CC BY
18
УДК 621.396.67
ВОЗМОЖНОСТИ МЕТАЭВРИСТИЧЕСКИХ АЛГОРИТМОВ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЛИНЗОВЫХ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК
РЭС СВЧ-ДИАПАЗОНА
Н.Л. Алымов, В. А. Кочетков, И.Ю. Лысанов, И.В. Солдатиков
Рассматриваются методы оптимизации процессов пректирования линзовых антенных решеток современных РЭС СВЧ-диапазона. Представлены варианты постановки задачи оптимизации параметров антенной решетки. Рассмотрена классификация традиционных и эвристических алгоритмов оптимизации в процессе проектирования диграммообразующих схем линзового типа антенных решеток. Анализируются метаэвристические алгоритмы решения задач оптимизации в процессе анализа и синтеза антенных систем.
Ключевые слова: проектирование антенных решеток, диаграммообразующая схема, методы оптимизации, традиционные, эвристические и метаэвристические алгоритмы оптимизации, параметры антенных решеток.
Постановка задачи синтеза антенн. Одной из наиболее важных задач прикладной электродинамики является задача синтеза антенн, то есть выбор пространственной конфигурации и способа питания излучающей системы, которые обеспечили бы необходимые характеристики излучения антенны, прежде всего, заданное пространственное распределение поля, и её согласование с фидером [1]. Поскольку геометрические параметры антенны и конфигурация питающих токов связаны с характеристиками излучения достаточно сложным образом, задача синтеза в общем случае считается неразрешимой.
Это вызывает необходимость постановки практически важных задач параметрического или конструктивного синтеза. В [2 - 3] показано, что возможности численных электродинамических методов (РЖЛ) относятся преимущественно к сфере анализа антенн. Вычислительные сложности проектирования и оптимизации антенных решёток (АР) и их отдельных элементов, ограничивают возможности использования численных методов в "чистом виде" в решениях задач синтеза. Существенная проблема, возникающая при решении задач оптимизации традиционными градиентными методами, связана со сложностью поиска глобального оптимума в конечномерном пространстве параметров антенного элемента и АР в целом, что вызвано многоэкстремальностью функционала качества.
Развитие оптимизации характеристик АР в диапазоне СВЧ требует анализа большого числа различных вариантов излучающих структур, обеспечения высокой точности конструктивных и электродинамических параметров элементов, входящих в состав решеток, наиболее полного учёта их электродинамического взаимодействия, а также оценки влияния разнообразных дестабилизирующих факторов [4 - 6].
Тем не менее, если тип синтезируемой антенны известен, а задача сводится к оптимизации небольшого числа геометрических параметров антенны, синтез может быть успешно выполнен. В последние годы для ре-
27
шения подобных задач активно и успешно применяются эвристические алгоритмы [7 - 9] дополняющие численные методы (гибридные алгоритмы) или/и самостоятельно участвующие в решении задач оптимизации АР и их элементов. Оптимизация сводится к поиску наилучшего решения задачи путём апробирования различных решений и сравнения их между собой для оценки качества. Обычно методы глобальной оптимизации (генетический алгоритм, "роя пчёл" и др.) применяются тогда, когда число возможных решений слишком велико, перебрать их все невозможно либо, когда оптимизируемая целевая функция (оптимизационный функционал) является невыпуклой и многопараметрической функцией.
Популярность эвристических алгоритмов обоснована, прежде всего, их универсальностью, т. е. тем, что большинство из них не требуют доработки и каких-либо изменений при переходе с одной задачи проектирования на другую. Такая нечувствительность к решаемой задаче объясняется тем, что данные методы включают в себя лишь некоторые правила перебора вариантов решения и абсолютно не зависят от конкретного вида уравнений, описывающих задачу [10]. Второй привлекательной особенностью эвристических алгоритмов является относительная простота их машинной реализации. Обе эти особенности привели к тому, что в настоящее время существует ряд универсальных библиотек, реализующих те или иные эвристические методы, например, galib [11] - для генетических алгоритмов. Помимо библиотек, существуют программные продукты, позволяющие применять эвристические алгоритмы пользователям компьютеров, не имеющим навыков программирования.
Процесс оптимизации конструкции антенны можно структурировать в виде двух модулей, объединённых обратной связью, как показано на рис. 1. Начиная с некоторого исходного проектного решения, модуль анализа рассчитывает характеристики антенны с использованием численных методов, основанных на интегральных и дифференциальных уравнениях электродинамики, таких как MoM, FDTD, FEM [12, 13]. С другой стороны, модуль синтеза с использованием некоторого алгоритма оптимизации позволяет оценить конструкцию. Этот процесс повторяется многократно, пока не будут выполнены некоторые критерии конвергенции [14].
переменных
Рис. 1. Процесс проектирования антенной решетки
В общем случае, задача синтеза АР сводится к определению амплитудно-фазового распределения, обеспечивающего требуемые характеристики излучения (форму ДН, значение коэффициента направленного действия, и других).
Пример задачи синтеза линейной симметричной эквидистантной АР с секторной ДН показан на рис. 2 [15].
а
б
Рис. 2. Симметричная линейная АР с чётным числом элементов: а -геометрия и принятые обозначения; б - шаблон для множителя решётки
Решётка состоит из 2И изотропных излучателей, расположенных вдоль одной прямой на расстоянии й = 0,51, где 1 - длина волны. Поле такой решётки в дальней зоне может быть записано в виде:
№
Eq
4pr
F (0),
ijn
где k = 2ж/к- волновое число; F(6) - множитель решётки, определяемый для случая симметричной решётки с чётным количеством элементов по формуле:
N f kd Л
F(0) = 2 X an cos (2n -1)—cos 0
n=1 V 2
где an и (pn - амплитуда и фаза n-го элемента соответственно.
Целью оптимизации является определение амплитудно-фазового распределения, обеспечивающего требуемую форму множителя решётки. Поскольку решётка является симметричной, оптимизации подлежат параметры только половины элементов решётки. Целевая функция, соответствующая поставленной задаче, может быть задана как
((Fi - F(0m ))A0)|(0m € [0,01 ])U (F > F2) + ((F(0m) - F2)A0x" X(0m g[02,P/2])U(F > F2)
где M- количество точек разбиения интервала [0, п/2]; 6m = n/2M; в1, в2 и F2 - параметры шаблона (рис. 2, б).
Определённая таким образом целевая функция равняется сумме штрафа, начисляемого за нарушение заданного шаблона.
29
F
M
cos t = X m=1
Fi
Задача синтеза антенны по заданной диаграмме направленности (ДН) теоретически разрешима в силу существования и единственности решения системы уравнений Максвелла. Тем не менее, как уже отмечалось, общего метода синтеза до настоящего времени построить не удалось, вследствие чего необходимо искать приближённые методы, применимые для различных классов антенн. Наиболее простым случаем является синтез антенной решетки, состоящей из элементов с известными электродинамическими характеристиками. С одной стороны, это не позволяет точно решить поставленную задачу - речь может идти только о приближённом решении, с другой - поиск решения существенно упрощается.
Методы анализа антенн, в основном, не разработаны до уровня, позволяющего их использовать непосредственно в проектировании антенн, в основном из-за сложности методов и нелинейности физических свойств антенны (например, материальных констант, размерностей, расположения облучателей). В большинстве приложений, в которых методы оптимизации были использованы при проектировании антенны, целевая функция была либо доступна в аналитической форме либо требовала небольших вычислительных затрат. Так моделирование микрополосковой антенны основывается на относительно более сложных и вычислительно дорогостоящих интегральных и дифференциальных методах и не предназначено для моделирования в цикле оптимизации.
Требования к анализу и синтезу антенн при проектировании. Основными требованиями к анализу и синтезу антенны, которые делают проектирование сложной задачей и ограничивают применение методов моделирования в оптимизации являются следующие.
Полная геометрическая адаптивность. Модуль моделирования должен обеспечивать обработку антенн со сложной геометрией, таких как фрактальные антенны и различные возбуждающие структуры. Автоматическое перестроение конечно-элементной сетки геометрии также является необходимым в итерационном процессе оптимизации поверхности антенн.
Полная адаптивность материала. Алгоритмы анализа и синтеза антенны должны обладать способностью обрабатывать композиты искусственных материалов для антенных подложек (например, фторопласт с различными наполнителями, полиэфиримид, армированная эпоксидная смола и др.), резистивные нагрузки, а также проводящие штыри (проводки).
Широкий диапазон показателей качества. Отношения между переменными проектирования и производительностью системы очень сложные. Примеры желаемого качества включают максимальный частотный диапазон, минимальный размер антенны, предварительно заданный угол сканирования и т.д. Многие из этих целей находятся в конфликте друг с другом и должны быть достигнуты компромиссы, чтобы найти проектное решение, удовлетворяющее всем требованиям к системе.
Скорость. Такие методы решения задач антенн, как MOM, FDTD, FEM используют сетки дискретизации, что резко увеличивает вычислительные сложности. Соответственно, реализация таких методов при проектировании антенн и их компонентов требует очень быстрых алгоритмов.
Постановка задачи оптимизации антенн. Оптимизация представляет собой процесс максимизации или минимизации желаемой целевой функции (ЦФ), при этом выполняется набор ограничений. Цикл оптимизации, как правило, состоит из модуля синтеза и модуля анализа. Модуль синтеза содержит определенный алгоритм оптимизации, а модуль анализа вычисляет ЦФ и её производные в случае необходимости. Большинство алгоритмов оптимизации являются итерационными и имеют свой собственный путь поиска в направлении оптимального решения.
Специально для задач оптимизации конструкции антенны, желаемые характеристики описаны и сформулированы в терминах ЦФ, таких как полоса пропускания, угол сканирования луча, частотной характеристики или эффективность. Аналитический этап, как правило, прибегает к численным методам, так как структура антенны является достаточно сложной, предназначенный для получения решения в аналитической форме.
Математически задача оптимизации может быть определена следующим образом:
минимизация f(x, p) при условии g(x, p) < 0
h(x, p) = 0, (1)
где xe/c^",f: ^n ®^, h : ^n ®^m и g : ^n ®^*, x - переменные проектирования с x как пространством проектирования; вектор p содержит определенные параметры с фиксированными значениями в процессе оптимизации, f(x, p) целевая функция, вектор g(x, p) представляет множество ограничений в виде неравенств и h(x, p) обозначает ограничения в виде равенств. Множество значений x, удовлетворяющее всем ограничениям, т. е. Q = {x : g < 0, h = 0}, называется допустимой областью.
Предположение о минимизации является несущественным и применяется лишь для стандартизации рассуждений при рассмотрении различных методов. Задачу минимизации и задачу максимизации можно сводить друг к другу f(x)^opt, где в общем случае x = (xi, x2, ..., xn) eX- вектор решений размерности n; f(x) - ЦФ (целевой функционал, критерий качества, алгоритм вычисления показателя качества).
В самом общем виде оптимизация (1) представляет задачу с ограничениями нелинейного программирования. Задачи оптимизации можно классифицировать несколькими способами, такими как задачи с ограничениями или без ограничений, целочисленные или вещественные задачи программирования [2], а также компонентные или системные задачи оптимизации проектирования и т.д. [3]. В данной работе рассматриваемые задачи оптимизации имеют отношение к задачам компонентов. Традиционно задачи оптимизации уровня компонентных могут быть классифицированы по размеру, форме, и оптимизации топологии, где расчётные переменные являются пропорциями, границами и топологиями компонентов АР, соответственно.
Методы оптимизации, в свою очередь, могут быть классифицированы по-разному [15].
Так, например, генетические алгоритмы в классификации по принципу принятия решений относятся к стохастическому классу, по структуре - метаэвристике, по типу целевой функции - статическому, по использованию памяти - без использования памяти, по сходимости решения - несходящиеся, так же как и в случае классификации по сходимости по значению.
В классификации методов оптимизации по вероятностному признаку выделяются детерминированные и стохастические методы. В классе детерминированных методов все процедуры поиска строго определены математическими формулами.
К стохастическим методам относятся: метод стохастической аппроксимации градиента целевой функции, генетические алгоритмы в любой форме и модификации, глобальная оптимизация методом усреднения координат. Вероятностные методы используют элементы случайности, необходимые для поиска глобального оптимума. Стохастические методы являются псевдослучайными, так как в них используется машинный генератор случайных чисел, удовлетворяющий статистическим проверкам (но возможно применение аналогового генератора, например, связанного с измерением радиоактивности атомов).
Наиболее обобщённая классификация выделяет классы традиционных методов оптимизации, основанных на математическом анализе (Calculus based) и современные эвристические методы (Heuristic methods). На рис. 3 приведена подготовленная на основе Suman Debnath [16] структуризация оптимизационных подходов, получивших наибольшее распространение в т. ч. при оптимизации АР. Приведены англоязычные названия методов, т. к. в отечественной литературе нет общепринятых переводов, а ряд методов не встречается на русском языке.
=Е
Optimization approaches
Traditional (Calculus based)
Evolutionary algorithms
— Genetic algorithms
— Particle swarm optimization
Ant colony optimization
— Cuckoo search algorithms
— M emetic algorithms
— Differential evolution
— Fitness-Adaptive DE
L- Evolution strategy algorithms
Heuristic methods
Other natural based algorithms
— Simulated annealing
Bee algorithm
Bacterial foraging optimization
— Artificial immune system
— Firefly optimization
Fish optimization
J-
Logical Search algorithms
— Tabu search algorithms
— External optimization
Cross entropy method
— Harmony search Optimization
Рис. 3. Типология оптимизационных методов
32
В традиционных методах существует классификация методов оптимизации по наличию информации о производных функции.
1. Методы нулевого порядка:
а) методы "золотого сечения", деления отрезка пополам, метод с использованием чисел Фибоначчи, квадратичная и кубическая интерполяция для функций одной переменной;
б) метод Хука-Дживса, метод покоординатного спуска Гаусса-Зейделя, генетический алгоритм, последовательный симплексный метод, метод Нелдера-Мида (метод деформируемого многогранника) для функций п переменных.
Перечисленные методы используют в процессе оптимизации только значения функции в области значений и значения аргумента в области определения; они не используют значения производных первого, второго и п-го порядков. Эти методы изложены в источниках [2, 3, 14-16]. Они требуют от функции удовлетворения определенным условиям (например, унимодальная непрерывная выпуклая функция для метода деления отрезка пополам, деления отрезка в отношении "золотого сечения").
2. Методы первого порядка (градиентные): градиентный метод с фиксированным шагом, градиентный метод с адаптивным шагом, градиентный метод, в котором шаг вычисляется на каждой итерации алгоритма и является решением одномерной задачи оптимизации (метод наискорейшего спуска по антиградиенту), градиентный метод с использованием теории планирования эксперимента (ортогональные планы первого порядка). Данные методы требуют существования первой производной оптимизируемой функции в аналитическом или численном приближённом виде (конечные разности). Данная группа методов использует информацию о направлении спуска к минимуму по антиградиенту, не настраивая при этом величину шага. Метод Флетчера-Ривса (поиск ведется вдоль взаимно сопряжённых направлений) и Давидона-Флетчера-Пауэлла (необходима положительная определённость и симметричность матрицы вторых производных) наиболее быстро сходятся, если оптимизируемая функция квадратичная (для п переменных необходимо п шагов).
3. Методы второго порядка (ньютоновские методы) требуют существования первой и второй производной оптимизируемой функции (например, для вычисления матрицы Гессиана) в аналитическом или численном приближённом виде (конечные разности или ортогональное композиционное планирование второго порядка). Данная группа методов использует информацию о направлении спуска к минимуму по антиградиенту и информацию о выпуклости функций, настраивая при этом величину шага.
Если функция не дифференцируема, но является унимодальной, выпуклой и непрерывной, то возможно применение методов нулевого порядка. Методы оптимизации первого и второго порядков очень медленно сходятся вблизи окрестности оптимума, так как или градиент близок к нулю, или матрица вторых производных плохо обусловлена. Кроме того,
данные методы сходятся не к глобальному оптимуму, а к ближайшему локальному экстремуму (т. е. очень зависят от выбора начальной точки), что недопустимо при решении многоэкстремальных задач ввиду существенной погрешности вычислений. Также градиентные методы медленно сходятся на овражных плохо масштабированных функциях.
Современные методы оптимизации. В течение последних десятилетий получили развитие безградиентные методы - класс методов оптимизации, которые не используют производную информацию, а используют только значения функции, которые были введены для поиска глобального оптимума [17]. Безградиентные методы, или методы прямого поиска, как правило, надёжные и особенно эффективны для задач с небольшим числом проектных переменных, но, обычно, требуют быстрых оценок целевых функций для их практического применения. Они в значительной степени зависят от начальных параметров конструкций и области решения.
Следовательно, повышается вероятность нахождения глобального оптимума. Безградиентные методы хорошо работают при существовании многих локальных оптимумов, в то время как градиентные методы в этих случаях терпят неудачу. С другой стороны, безградиентные методы, как правило, работают медленно, без ориентации от градиентной информации, и для достижения сходимости требуют большого количества оценок целевой функции. В этой связи, они имеют ограниченное применение в сложных задачах, связанных с электромагнитными структурами, где распределение поля не может быть решено в замкнутой форме и должны быть использованы традиционные численные расчеты для вычисления целевой функции. Последние быстрые интегральные алгоритмы и их интеграция с методами конечных элементов делают более практичным использование такой безградиентной оптимизации.
Метаэвристические алгоритмы для задач комбинаторной оптимизации. Алгоритмы безградиентной оптимизации относят к области мягких вычислений. Термин "мягкие вычисления" введен Л. Заде в 1994 г. [18]. Инструментарий технологий мягких вычислений основан на нечётких системах (нечёткие множества, нечёткая логика, нечёткие регуляторы и др.), моделях нечетких нейронных сетей, на биоинспирированных методах оптимизации, таких как генетические алгоритмы (а также иммунные алгоритмы, алгоритмы оптимизации на основе поведенческих реакций групп животных, птиц, муравьев, пчел и т. п.). Методы мягких вычислений хорошо дополняют друг друга и часто используются совместно.
В частности, алгоритмы искусственных нейронных сетей (ИНС) использовались в оптимизации характеристик антенны. M.A. Aboul-Dahab и др. [19] применили ИНС в приёмной цепи линейной антенной решётки, присваивая соответствующие "веса" участвующим в математической модели параметрам АР в режиме приёма для снижения уровня боковых лепестков. Аналогичный метод в проектировании линейной АР использовали C. Reza и C.G. Chrostodulou [20]. В качестве входных данных была принята ДН, и на выходе был получен расчёт линейной решётки и множество ве-
34
сов, обеспечивающих заданную ДН. Оптимальное решение АР содержало минимальное количество элементов, необходимых для воспроизведения диаграммы.
Вместе с тем большинство задач проектирования антенных решёток и их элементов считаются ^P-трудными и относятся к классу комбинаторных оптимизационных задач [2-3]. Оптимизационные задачи практической и теоретической значимости, как правило, связаны с выбором лучшей конфигурации из множества переменных для достижения некоторых целей. Эти задачи могут иметь решения, как в пространстве непрерывных вещественных переменных, так и дискретных переменных. Класс задач комбинаторной оптимизации (КО) относятся ко второму типу, где, как правило, рассматриваемый объект представляет целое число, подмножество, перестановки или графовую структуру.
Использование моделей и алгоритмов КО позволяет решать многие практические задачи, поскольку дискретные оптимизационные модели адекватно отражают нелинейные зависимости, неделимость объектов, учитывают ограничения логического типа и всевозможные технологические, в том числе и имеющие качественный характер, требования. Согласно C.H. Papadimitriou и K. Steiglitz [20] задачей комбинаторной оптимизации (КО) Р = (S, f) называется задача оптимизации, в которой задано конечное множество объектов S и целевая функция f S ^ R+, которая назначает положительное значение стоимости для каждого из объектов i е S. Цель состоит в том, чтобы найти объект с минимальным значением стоимости.
В связи с практической значимостью задач КО для их решения разработан ряд алгоритмов, которые могут быть классифицированы как точные или приближенные алгоритмы. Точные алгоритмы гарантированно находят оптимальное решение для любой задачи КО конечного размера за ограниченное время.
В последние три десятилетия сформировался новый вид алгоритмов приближенного поиска, которые по существу пытаются объединить основные эвристические методы КО в модели высшего уровня для рационального и эффективного исследования пространства поиска. Эти методы обычно называют метаэвристиками [18 - 20].
Эффективность метаэвристик состоит в их способности решения сложных задач без знания пространства поиска, именно поэтому эти методы дают возможность решать трудноразрешимые задачи оптимизации. Упрощенно можно рассматривать метаэвристики как алгоритмы, реализующие прямой случайный поиск возможных решений, оптимальных или близких к оптимальным, пока не будет выполнено некое условие или достигнуто заданное число итераций.
Класс метаэвристических алгоритмов включает в себя - но не ограничивается - алгоритмы оптимизации муравьиной колонии (ant colony optimization, ACO), эволюционные вычисления, включая генетические алгоритмы (genetic algorithm, GA), итеративный локальный поиск, метод имитации отжига и алгоритм табу-поиска (или поиска с запретами) [19, 20].
Каждая метаэвристика имеет своё собственное поведение и характеристики. Однако все метаэвристики имеют ряд основных компонент и выполняют операции в пределах ограниченного числа следующих категорий.
1. Инициализация. Метод нахождения начального решения.
2. Окрестности. Каждому решению x соответствует множество окрестностей и связанные с ними переходы: {N1, N2, . . . , Nq}.
3. Критерий выбора окрестности определяется в случае наличия более одной окрестности. Этот критерий должен указать не только выбираемую окрестность, но и условия её выбора. Альтернативы варьируют от "на каждой итерации" (например, генетические методы) до "при данных условиях".
4. Отбор кандидатов. Окрестности могут быть очень большими. Тогда обычно рассматривается только подмножество переходов на каждой итерации. Соответствующий список кандидатов C(x) c N(x) может быть постоянным и обновляемым от итерации к итерации (например, табу-поиск), или же он может быть построен на каждой новой итерации (например, генетические методы). Во всех случаях критерий выбора определяет, каким образом могут быть выбраны решения для включения в список кандидатов.
5. Критерий принятия. Переходы оцениваются с помощью функции g(x, y) зависящей от таких параметров двух решений, как значение целевой функции, штрафы за нарушение некоторых ограничений и т.п. Выбирается наилучшее решение по отношению к этому критерию ~ = arg opt{g(x, y); y e C(x)} (с учётом необходимости предотвращения зацикливания).
6. Критерии остановки. Метаэвристика может быть остановлена согласно различным критериям: время вычислений, число итераций, темпы улучшения решения и т.д. Может быть определен более чем один критерий для управления различными фазами поиска.
В соответствии с этими определениями, общая процедура метаэвристики показана на рис. 4. Если известно, что задача, как в случае обоснования топологии АР, является NP-полной или NP-трудной, то маловероятно, что существует полиномиальный алгоритм для решения этой задачи [16, 18-20]. Тем не менее, на практике, зачастую необходимо выполнить автоматизацию проектирования в полиномиальное время, и во многих случаях, с оптимальными затратами.
1. Инициализация: x0.
2. Выбор окрестностей N e {Ni, . . ., Nq}.
3. Выбор кандидатов J(x) e N(x).
4. Оценка перехода/исследование окрестности g(x, y), y e J(x).
5. Реализация перехода x = argopt{g(x, y)}.
6. Оценка решения, обновить параметры поиска.
7. Проверка критериев остановки: Stop или Goto 3 (продолжить локальный поиск).
или Goto 2 (начать новый этап поиска).
Рис. 4. Общая процедура метаэвристики
36
Алгоритмы с таким возможностями могут быть либо специализированным доменом, связанным с конкретной областью, или принадлежать к определённым общим классам. Такие классы алгоритмов, включают:
- жадные алгоритмы (Greedy Algorithms);
- алгоритмы разбиения/ декомпозиции или "Разделяй и властвуй" (Divide and Conquer Algorithms);
- алгоритмы динамического программирования вывода или алгоритмы потока в сети (Dynamic Programming Algorithms / Network Flow Algorithms);
- линейные и целочисленные методы программирования (Linear and Integer Programming Techniques).
Вышеуказанные методики были применены к различным задачам в проектировании АР с разной степенью успеха. Из-за большого количества компонентов, с которыми приходится иметь дело в системе автоматического проектирования антенных решёток (САПР АР), предпочтительны алгоритмы проектирования с низкими временными и пространственными сложностями. В целом, NP-трудные задачи могут быть решены в разумный период времени, используя любой из следующих методов:
показательные алгоритмы (Exponential Algorithms): если размер входа небольшой, то может быть осуществим алгоритм с экспоненциальной временной сложностью.
алгоритмы специального случая (Special Case Algorithms): основное упрощение общей задачи может быть получено путём применения ограничений к этой задаче. Эти ограничения задачи часто разрешимы за полиномиальное время. Алгоритмы, разработанные для решения таких ограниченных задач, являются движущей силой развития различных стилей проектирования АР.
приближенные алгоритмы (Approximation Algorithms): В некоторых случаях, алгоритмы экспоненциального времени могут быть вычислительно невозможными из-за размера входа, а также могут быть исключены алгоритмы специального случая из-за отсутствия каких-либо ограничений. В таких случаях, как правило, достаточно применить в САПР приблизительные алгоритмы для получения почти оптимального решения.
эвристические алгоритмы (Heuristic Algorithms): эвристические алгоритмы часто предназначены для получения решения NP-полных и NP-трудных задач. Эти алгоритмы не гарантируют оптимальные решения. Такие алгоритмы должны быть оценены на различных тестовых примерах для проверки их эффективности.
Основная часть исследований в проектировании АР была сосредоточена на эвристических алгоритмах. Эффективные эвристические алгоритмы должны иметь низкие временную и пространственную сложность и обеспечивать получение оптимального или почти оптимального решения в наиболее допустимое время. Достигнуть оптимальных решений может быть сложно, но может и не представлять практической сложности, если ориентироваться на возможность получения решений, близких к оптимальным в разумных временных пределах.
Рассмотрим возможности метаэвристических алгоритмов в решении задач проектирования антенных решёток.
Эволюционные алгоритмы в методах и моделях оптимизации антенных решёток
Метаэвристические алгоритмы решения ^-трудных задач. Существуют несколько стратегий решения ЛР-трудных задач. Метаэври-стический поиск является общей стратегией руководства и управления внутренними эвристиками специального применения к проблемам, находящимся "под рукой". Метаэвристические алгоритмы являются алгоритмами, позволяющими вырваться из локальных оптимумов, используя некоторые базовые эвристики: либо конструируя эвристическое начало с нулевого решения и последующим добавлением элементов, чтобы построить полное решение, или локальный эвристический поиск, начиная с полного решения и итеративно модифицируя некоторые его элементы с целью достижения лучшего решения. Метаэвристическая часть обеспечивает низкий уровень эвристики для получения решения, лучшего, чем она могла бы добиться сама по себе, через несколько итераций. Как правило, механизм управления достигается либо путём ограничения или рандомизации множества близких локальных решений, рассматривая локальный поиск (как в случае имитации отжига или табу-поиска), или, комбинируя элементы, принимать различные решения (как в случае эволюционной стратегии и генетических или биономических алгоритмов). Возможен естественный компромисс между качеством решения и временем работы алгоритма. Тем не менее, это считается хорошей альтернативой. Привлекательной особенностью метаэвристической оптимизации является то, что задачи оптимизации не должны быть сформулированы в виде математических моделей. Так как сложность систем АР растёт, метаэвристики могут оказаться жизнеспособной моделью, чтобы оправдать ожидания проектировщиков в части нахождения высококачественных решений для трудных оптимизационных задач.
В метаэвристиках выделяют две категории: метаэвристики локального поиска (МЛП) и эволюционные алгоритмы (ЭА) - алгоритмы глобальной оптимизации.
Эволюционные алгоритмы. Задача поиска глобального экстремума функции на допустимом множестве X состоит в поиске точки х* е X, при которой выполняется условие /(х*) < /(х) или /(х*) > /(х), для всех х е X. Ограничения, связанные с вычислительной погрешностью и другими факторами, часто не позволяют найти точное решение задачи. В этом случае имеет место поиск приближенного решения, т.е. точки из множества е-оптимальных решений X* = {х е X: /(х) < /(х*) + е }. Поиск точного решения можно рассматривать как частный случай поиска приближённого решения с е = 0. Алгоритмы поиска глобального экстремума делятся на детерминированные, стохастические и комбинированные. Часто задача глобальной оптимизации сводится к задаче поиска локальных экстремумов и нахождению среди них глобального оптимума, используя, таким образом, методы поиска локального экстремума.
Большинство детерминированных алгоритмов теряют эффективность с возрастанием размерности задачи. Стохастические методы позволяют уйти от проблем детерминированных алгоритмов, к ним относят эволюционные алгоритмы, такие как генетические алгоритмы, алгоритм имитации отжига, эволюционные и поведенческие стратегии и другие.
Эволюционные алгоритмы (ЭА) представляют стохастические методы глобального поиска, которые успешно применяются во многих реальных и сложных приложениях (эпистатические, мультимодальные, многоцелевые и очень ограниченные задачи). ЭА предназначены для поиска широкой области пространства проектирования, и потенциально могут обеспечить множество оптимальных решений для конкретной задачи (рис. 5). В формате задач данного исследования подход ЭА представляет большой интерес, поскольку многие различные решения могут быть определены в задачах оптимального синтеза АР, и это очень важно для проектировщика антенны - исследовать большую часть потенциального пространства решений, насколько это возможно, до принятия конкретной конструкции или контрольного решения (рис. 7). При этом ЭА может помочь найти хорошие решения в достаточно короткие сроки.
Пространство решений
Пространство целей
...........--► (/,./».........../.)
I I
Search *
Evaluation
Рис. 5. Пространство решений и пространство целей
В ЭА особи кодируются как хромосомы (строки), в составе некоторого алфавита(ов), так что значения хромосом, известные как генотипы, однозначно отображаются на переменных решения или "фенотипической" области.
Переформулируем задачу оптимизации как задачу нахождения максимума целевой функции _Дхь х2 , . . . , хп), называемой функцией приспособленности (фитнесс-функция). Необходимо, чтобы Дх1, х2 , . . . , хп) > 0 на ограниченной области определения, при этом совершенно не требуются непрерывность и дифференцируемость. Каждый параметр функции приспособленности кодируется строкой битов. Особью будет называться строка, являющаяся конкатенацией строк упорядоченного набора параметров:
1010 10110 101 . . . 10101
| Х1 | Х2 | Хз | . . . | Хп | 39
После того, как хромосома (хромосомы), принадлежащие каждой особи в популяции были декодированы в фенотипической области, можно оценить эффективность или пригодность, каждой из них. Эта оценка рассчитывается с помощью целевой функции, определяющей характеристики особи в проблемной области. В естественном мире характеристика отражала бы способность особи выживать в текущих условиях. В характеристиках оптимизации антенны целевая функция может принимать форму сочетания моделей антенны и методов анализа.
Эволюционные алгоритмы основываются на многих экспертных оценках ЦФ для проведения их поиска и поэтому важно, чтобы функции были как можно более эффективными. Каждая особь получает оценку приспособляемости - фитнесс-значение, выведенную в соответствии с её исходными показателями качества, которая рассчитывается с использованием целевой функции. Например, в задаче максимизации, лучшая (наиболее подходящая) особь будет иметь более высокую оценку приспособляемости, чем слабое решение.
В оптимизации антенны, чаще всего участвует больше чем один параметр оптимизации (рис.6). Многоцелевой принцип является весьма распространённым в оптимизации, так как редко представляет интерес только одно целевое значение. Оценка решения кандидата может потребовать расчёта многих различных целевых функций.
Проектирование антенны/ решение задачи
Целевые функции
. ^Коэффициент усиления^ f2=Шиpинa луча_
fЗ=Maкcимaльный УБЛ
f4=Cpeдний УБЛ
Фитнесс-функция
к Р
Рис. 6. Пример оценки целевой фитнесс-функции при оптимизации антенны (УБЛ - уровень боковых лепестков)
Эволюционные алгоритмы руководствуются одним фитнесс-значением, поэтому цели должны быть некоторым образом объединены. Сочетание достигается с помощью фитнесс-функции - функции пригодности, являющейся просто некоторой функцией целевых значений. Общие фитнесс-функции включают суммы целей (2) или взвешенные суммы (3):
Р = ¡1 + 12 + /з-+А, (2)
Р = W1А1 + ¡2 + Ыз/з- + ^пАи , (3)
где ... - веса, определяемые разработчиком.
Существуют много вариаций фитнесс-функции и требуется некоторая степень экспериментирования, чтобы определить наиболее подходящую для конкретного типа задачи. Это назначение фитнесс-функции формирует базу для подбора пар агентов, которые будут сопоставляться вместе во время репродукции. Для того, чтобы сохранить аналогию с процессом естественного отбора, наиболее подходящие решения для воспроизведения должны выбираться чаще, чем более слабые решения.
Эволюционные алгоритмы включают генетические алгоритмы, эволюционные стратегии, метод оптимизации муравьиной колонии, метод дифференциальной эволюции, метод кукушкиного поиска, оптимизация методом роя частиц. Рассмотрим характеристики этих методов в формате потенциальных задач оптимизации антенных решёток и их элементов.
Генетические алгоритмы (GAs) относятся к классу эволюционных методов и имитируют процессы эволюции биологических организмов. GAs имитируют процесс естественного отбора и выживания наиболее приспособленных для воспроизводства "хорошо адаптированных" особей при решении задач оптимизации [2-5, 17-19]. Согласно этой парадигме, популяция решений (обычно закодированных в виде битовых или целочисленных строк, называемых хромосомами) эволюционирует от одного поколения (генерации) к следующему путём применения операторов, подобных тем, что существуют в природе (селекция, генетическое скрещивание и мутация). В процессе селекции только лучшие решения могут быть взяты в качестве родителей для создания потомства. Процесс спаривания, известный как скрещивание, использует два выбранных родительских решения и комбинирует их наиболее желательные свойства для получения одного или более решений-потомков.
Универсальность GAs заключается в том, что от конкретной задачи зависят только такие параметры, как функция приспособленности и кодирование решений. Остальные шаги для всех задач производятся одинаково. С помощью функции приспособленности среди всех особей популяции выделяют: наиболее приспособленные (более подходящие решения), которые получают возможность скрещиваться и давать потомство; наихудшие (плохие решения), которые удаляются из популяции.
В классическом GA:
- начальная популяция формируется случайным образом;
- размер популяции (количество особей N) фиксируется и не изменяется в течение работы всего алгоритма;
- каждая особь генерируется случайной L-битной строкой, где L -длина кодировки особи;
- длина кодировки для всех особей одинакова.
GAs в настоящее время получил широкое применение из-за неадекватности линейного программирования и правил на основе эвристических систем в решении сложных нелинейных задач, и в более общем желании иметь эффективный алгоритм поиска, не зависящий от природы решения домена. Но недостатком подхода GA является требование большого количества генов и медленный процесс эволюции. Улучшенным, по сравнению с генетическим алгоритмом, является гибридный GA [20].
Оператор hill climbing (локальный поиск) меняет определение характеристик новых индивидуумов для улучшения их годности и разнообразия популяции. Процесс повторяется, пока не будет получено новое поколение потомков. Наконец каждый потомок меняется случайным образом с помощью оператора мутации. Начиная с некоторой начальной популяции
(полученной случайным образом или с помощью эвристической процедуры), этот цикл повторяется для множества поколений и в конце будет найдено лучшее решение.
На рис. 7 показаны основные шаги общего GA. Блок-схема GA показана на рис. 8.
1. Инициализация: порождение начальной популяции.
2. Выбор окрестности: выбор операторов crossover и mutation.
3. Выбор кандидата-родителя: использование оператора селекции к текущей популяции
4. Оценка шага/исследование окрестности: не производятся
5. Реализация шага: использование операторов crossover, mutation, hill climbing, выбора потомка и родителя для получения новой популяции
6. Если критерии остановки не выполняются, то Goto 3 (продолжить эволюцию) или изменить критерии эволюции и Goto 3.
Рис. 7. Общий генетический алгоритм
Такой процесс эволюции, вообще говоря, может продолжаться до бесконечности. Критерием останова может служить заданное количество поколений или схождение популяции. Схождением называется состояние популяции, когда все строки популяции находятся в области некоторого экстремума и почти одинаковы. То есть кроссовер практически никак не изменяет популяции, а мутирующие особи склонны вымирать, так как менее приспособлены. Таким образом, схождение популяции означает, что достигнуто решение, близкое к оптимальному.
GAs широко применяются в оптимизационных моделях АР и их элементов [5-8, 12, 14-18].
Примером может быть использование GA в качестве способа поиска большого набора множества возбуждений, определяя те, которые приводят к хорошим характеристикам ДН АР.
Рис. 8. Блок-схема генетического алгоритма
42
В ОЛs, значения амплитуды и фазы для пробного решения могут быть легко представлены в терминах хромосом. В наиболее общем представлении, ОЛ охватывает модель системы характеристик антенны, как показано на рис. 9.
Модель характеристик антенны
Возбуждения устанавливаются
Измерения диаграммы излучения из (от fi до fn)
Рис. 9. Схема реализации ГА в модели характеристик АР
Основные этапы реализации GA в данной модели.
1. Первый шаг состоит в генерировании случайным образом множества популяции, содержащего ряд хромосом, представляющих пробные множества возбуждения.
2. Каждая хромосома (пробное решение) декодируется в реальные значения амплитуды и фазы, и вводится в модель характеристик антенны. Модель затем вычисляет ДН.
3. Каждая диаграмма направленности излучения анализируется, и присваиваются целевые значения (f1, f2, ... fü) по степени соответствия пробного решения в достижении успеха, каждого множества желаемых характеристик, таких как уровень боковых лепестков или ширина луча.
4. Целевые значения затем каким-то образом объединяются, например, присвоением "веса" каждому фактору, чтобы дать единственную сводную меру успеха, известную как значение пригодности (fitness value, F) для каждого решения. Фитнесс-значение обычно вычисляется прямым суммированием или с помощью взвешенных сумм (уравнения (2)
и (3)).
5. После этого проводится конкурсный отбор для определения родителей следующего поколения решений и стандартных генетических операторов скрещивания (кроссоверов) и мутации, которые используются для генерации дочерних решений, формирующих новое поколение.
6. После того, как популяция была заменена новыми решениями детей, процедура повторяется с шага 2, пока не будет выполнено в какой-то мере сближение, или числовое множество поколений (итераций) имеющих прошлое.
Контент-анализ публикаций, проведенный D.W. Ansell [21] в отношении статистики применимости различных методов ЭА, используемых в разработках антенных решёток, показал, что примеры семи из восьми методов встречались менее чем в 10 разработках каждый, в то время методы GA применялись в более чем 150 разработках антенной техники.
Заключение. Возможности численных электродинамических методов относятся преимущественно к сфере анализа антенн. Вычислительные сложности проектирования и оптимизации антенных решёток и их отдельных элементов, ограничивают возможности использования численных методов в "чистом виде" в решениях задач синтеза.
Существенная проблема, возникающая при решении задач оптимизации традиционными градиентными методами, связана со сложностью поиска глобального оптимума в конечномерном пространстве параметров антенного элемента и АР в целом, что вызвано многоэкстремальностью функционала качества. Определены особенности постановки задачи синтеза антенн на основе численных методов и эвристических алгоритмов, сформулированы основные требования к анализу и синтезу антенны. Идентифицирован процесс оптимизации конструкции антенны в виде двух модулей: анализа и синтеза, объединённых обратной связью. Раскрыты особенности постановки задач синтеза и анализа при оптимизации антенной решётки. Проведена классификация методов оптимизации по различным признакам. Представлены особенности метаэвристических алгоритмов для ^Р-трудных задач комбинаторной оптимизации. Систематизированы и раскрыты особенности метаэвристик двух категорий: метаэвристик локального поиска и эволюционных алгоритмов - алгоритмов глобального поиска.
Список литературы
1. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ: учебное пособие для вузов / Д.И. Воскресенский, С.Д. Кременецкий, А.Ю. Гринев, Ю.В. Котов. М.: Радио и связь, 1988. 240 с.
2. Кочетков В.А., Сивов А.Ю., Тихонов А.В., Шишкин Н.В., Солдатиков И.В. Современное состояние и возможные направления совершенствования элементов методологии проектирования линзовых антенных решеток РЭС СВЧ- диапазона / В. А. Кочетков, А.Ю. Сивов, А.В. Тихонов, Н.В. Шишкин, И.В. Солдатиков // Научно-технический журнал "Информационные системы и технологии". 2016. № 5 (97). Орел: ОГУ им. И.С. Тургенева, С. 73 - 82.
3. Структура областей применения численных методов моделирования линзовых антенных решеток СВЧ диапазона в процессе их проектирования (1-я часть цикла статей) / В.А. Кочетков, А.Ю. Сивов, И.В. Солдатиков, А.В. Тихонов, Н.В. Шишкин, Д.Ю. Шеянов // Научно-технический сборник "Техника радиосвязи". Омск: ОНИИП, 2016. Вып. 3 (30). С. 46 - 61.
4. Kalyanmoy Deb. Multi-Objective optimization using evolutionary algorithms // John Wiley & Sons, ltd: Chichester, New York, Singapore, Toronto, 2005. 515 p.
5. Колбин В.В. Специальные методы оптимизации: учеб. пособие. СПб.: Изд-во "Лань", 2014. 384 с.
6. Back T. Evolutionary algorithms in theory and practice. New York: Oxford University press. 1996. 128 p.
7. Применение методов геометрической оптики при проектировании линзовых антенных решеток (2-я часть цикла статей) / В. А. Кочетков, А.Ю. Сивов, И.В. Солдатиков, А.В. Тихонов, Н.В. Шишкин, И.Ю. Лысанов // Научно-технический сборник "Техника радиосвязи". Омск, ОНИИП, 2017. Вып. 1 (32). С. 46 - 64.
8. Dielectric lens design concepts to enhance antenna directivity and gain / J. Baker, A. Sharma, B. Camps-Raga, C. Mayberry, N.E. Islam // Intern. Journal of Innovative research in computer and communication engineering. 2015. Vol. 3. P. 779 - 783.
9. Balicki J., Kitowsky Z. Multicriteria evolutionary algorithm with tabu search for task assignment. In Proceedings of the First International Conference on Evolutionary Multi-Criterion Optimization // EMO-2001. 2001. P. 373 - 384.
10. Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем. М.: Наука, 1977.
433 с.
11. Библиотека по генетическим алгоритмам [Электронный ресурс]. URL: http://lancet.mit.edu/ga/ (дата обращения: 10.02.2020).
12. Кочетков В. А., Тихонов А.В., Солдатиков И.В. и др. Численные методы электродинамического анализа антенн, применяемые при моделировании линзовых антенных решеток РЭС СВЧ диапазона // Сб. научных трудов X Всероссийской НК / под общ. ред. В.В. Мизерова. Орел: Академия ФСО России, 2017. Ч. 2. С. 182 - 184.
13. Возможность применения метода конечных элементов для электродинамического анализа диэлектрических линз как элементов диаграм-мообразующих схем антенных решеток РЭС СВЧ и КВЧ-диапазонов / Н.Л. Алымов, А. А. Горшков, В. А. Кочетков, И.В. Солдатиков, И.М. Хана-рин, А.Е. Черкасов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 10. С. 172 - 180.
14. A Modified Finite-Element Method for Dielectric Waveguides Using an Asymptotically Correct Approximation on Infinite Elements. Jan A.M. Sve-din // IEEE Trans. On Microwave Theory and Techniq. 1991. 39. № 2. P. 258 - 266.
15. Constantine A. Balanis. Antenna theory. Analysis and design. Third edition. Wiley. 2005. P. 1073.
16. Приложение Math Lab [Электронный ресурс]. URL: http:// www.mathworks.com/matlabcentral/profile/autors/9611485 - suman - debnath (дата обращения: 11.02.2020).
17. Kolbin V.V. System optimization methodology // Trans from Russian by Y.M. Donets. Singapore. World scientific. 1999-2000. Part I, Part II.
18. Заде Л. А. Нечеткие множества // Нечеткие множества и мягкие вычисления. 2015. Т. 10. Вып. 1. С. 7 - 22.
19. Mangoud M.A., Aboul-Dahab M., Sabry M. Optimum null steering-techniques for linear and planar antenna array using genetic algorithm // IEEE Proceedings of the Twentietac National Radio Science Conference. 2003. Vol. 3. P. 1 - 7.
20. Papadimitrion C.H., Steiglitz K. Combinatorial optimization: Algorithms and complexity. Book in IEEE transactions on Acoustics speech and signal processing. January 1982.
21. Using multi-objective genetic algorithms to optimize the subarray partitions of conformal array antennas. P.W. Ansell; E.J. Hughes / IET, Twelfth International Conference on Antennas and Propagation. 2003.
Алымов Николай Леонидович, сотрудник, n.alymovamail.ru, Россия, Орел, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации,
Кочетков Вячеслав Анатольевич, канд. техн. наук, сотрудник, huhtins a mail.ru, Россия, Орел, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации,
Лысанов Иван Юрьевич, канд. техн. наук, сотрудник, ivanlisanovagmail.com, Россия, Орел, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации,
Солдатиков Игорь Викторович, сотрудник, putnicorela mail. ru, Россия, Орел, Академия Федеральной службы охраны Российской Федерации
FEA TURES OF METAHEURISTIC ALGORITHMS FOR DESIGNING LENS ANTENNA ARRA YS OF ELECTRONIC FACILITIES OF THE SHF OF RANGE
N.L. Alymov, V.A. Kochetkov, I.Y. Lysanov, I.V. Soldatikov
The article discusses methods of optimization of processes of this new lens antenna arrays of modern of electronic facilities of the SHF of range. Variants of the problem of optimizing the parameters of the antenna array are presented. The classification of traditional and heuristic optimization algorithms in the process of designing digram-forming schemes of the lens type of antenna arrays is considered. Metaheuristic algorithms for solving optimization problems during the analysis and synthesis of antenna systems are analyzed.
Key words: design of antenna arrays, diagram-forming scheme, optimization methods; traditional, heuristic and metaheuristic optimization algorithms, the parameters of antenna arrays.
Alymov Nikolay Leonidovich, employee, n.alymova mail.ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Kochetkov Vyacheslav Anatolevich, candidate of technical sciences, employee, huhtins@,mail.ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Lysanov Ivan Yurievich, candidate of technical sciences, employee, ivanlisa-nov a gmail. com, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia,
Soldatikov Igor Viktorovich, employee, piitnicorel a mail.ru, Russia, Orel, Academy of Federal Security Service of Russia
