CC BY
17УДК 004.921
ВОЗМОЖНОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЦИКЛИДЫ ДЮПЕНА НА
ПРИМЕРЕ КУЛАЧКОВОГО ЗАЖИМА
Латышев С. С., Тищенко И. В., Дронова А. В.
Белгородский государственный технологический университет имени В.Г. Шухова, Россия, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46, lat.sergej@gmail.com, ira_koroleva@inbox.ru, 46, dav0212@yandex.ru
Аннотация.Циклида Дюпена принадлежит к каналовым поверхностям. Известно, что циклиды Дюпена - единственные поверхности, у которых фокальные поверхности, т.е. поверхности, состоящие из множеств точек центров кривизн, вырождены в кривые второго порядка. Два множества дают две софокусные коники. Именно поэтому любое исследование циклид Дюпена имеет большой интерес - как научный, так и прикладной. В работах, посвященных циклиде Дюпена, глубоко изучаются свойства и вопрос применения этой поверхности в разных отраслях. На основе свойств циклид разработаны различные изобретения, касающиеся приборов для вычерчивания и имеющие возможность применяться в разных геометрических построениях с применением компьютерных технологий. В настоящей работе изучается вопрос применения компьютерных технологий для моделирования поверхности циклиды Дюпена на примере использования этой поверхности в отрасли машиностроения в качестве кулачкового зажима. Основополагающим для построения поверхности циклиды является выбор способа ее задания, варианты которых рассмотрены в работе - от традиционного способа при помощи трех заданных сфер до кривых второго порядка. При этом, если тремя сферами можно задать четыре циклиды, а при задании циклиды посредством кривой второго порядка (коникой) и сферой их число уменьшается до двух, то при задании с помощью коники и одной из двух осей циклиды получим единственную циклиду Дюпена. Возможность и степень погрешности построения циклиды Дюпена с применением программ компьютерного моделирования представлены на примере применения программыSoHdEDGE. Работа в достаточной мере иллюстрирована.
Предмет исследования: предметом исследования является поверхность циклиды Дюпена. Исследуется компьютерное моделирование этой сложной геометрической поверхности в графической программе, учитывая достоинства и ограничения возможностей компьютерной графики, на примере канавки кулачкового механизма.
Материалы и методы: применяется графическая программа для компьютерного проектирования, SolidEDGE.
Результаты: сравнительный анализ полученных данныхпостроений выявил закономерность, заключающуюся в том, чтоотносительная погрешность размеров сеченийуменьшается с ростом числа сечений, задаваемых при построении поверхности.
Выводы: предмет исследования (циклида Дюпена) выигрышно сочетает в себе возможность показа на его примере механизма геометрического моделирования, возможность компьютерной реализации и практическую ценность полученных результатов при компьютерном моделировании узлов и механизмов, в которых задействована циклида Дюпена.
Ключевые слова: циклида Дюпена; конструирование поверхности; кривые второго порядка; компьютерная графика
ВВЕДЕНИЕ
Циклида Дюпена является интересной для изучения поверхностью [26]. Любое исследование циклид Дюпена имеет большой интерес - научный [2; 5; 9;12-15] и прикладной [1; 11; 16; 17; 19; 20]. Она принадлежит к каналовым поверхностям [3-6; 9; 10]. Каналовая поверхность образуется непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений монотонно изменяются в процессе их перемещения по направляющей или могут быть постоянными [8]. В
общем случае на каждой поверхности существует два взаимно ортогональных семейства линий кривизны - линий на поверхности, которые в каждой своей точке имеют касательными одно из главных направлений. Исключением являются поверхности сферы и плоскости, на которых все линии являются линиями кривизны [24]. Циклида Дюпена является двухканаловой поверхностью -поверхностью, на которой оба семейства линий кривизны являются семействами окружностей. Частным случаем циклиды Дюпена являются тор, цилиндрическая и коническая поверхности вращения [8].
Рис. 1. Циклида Дюпена Fig. 1. DupinCyclide
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ
При рассмотрении циклиды Дюпена как каналовой поверхности, понятен характер образования этой поверхности. Из общего центра (полюса) проводятся плоскости, вращающиеся вокруг оси, проходящей через полюс. В каждой плоскости проводится образующая окружность. Положение центра и радиус образующей окружности должны определяться так, чтобы эти окружности являлись линиями кривизны получаемой поверхности [8]. Известно, что циклиды Дюпена - единственные поверхности, у 2.
которых фокальные поверхности, т. е. поверхности, состоящие из множества точек центров кривизн, вырождены в кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. [18].
В зависимости от способа задания циклиды Дюпена можно получить различное количество ее возможных форм, от единственно возможной до нескольких. В результате исследования в работе [21] получены следующие способы задания циклид Дюпена.
1. Задание тремя сферами. В результате получим четыре циклиды Дюпена (Ьис. 2).
Рис. 2. Задание тремя сферами Fig. 2.Representatюnby threespheres
2. Задание циклиды Дюпена ее очерками: на плоскости проекций, параллельные плоскостями симметрии циклид (на плоскость симметрии х02
или на плоскость симметрии хОу). Получаем единственную циклиду Дюпена (рис. 3).
Рис. 3. Задание циклиды Дюпена очерками: а- на плоскость симметрии xOz; б- на плоскость симметрии xOy. Fig. 3.DupinCycliderepresentationbyoutlines: а- to plane of symmetryxOz; б - to plane of symmetryxOy.
3. Задание коникой (эллипс, гипербола или парабола) и сферой, центр которой принадлежит этой конике. Получаем 2 циклиды Дюпена (рис. 4).
Рис. 4. Задание коникой и сферой. Fig. 4. Representationby cone and sphere
4. Задание циклиды коникой и одной из осей циклиды. Получаем единственную циклиду Дюпена (рис.
5).
Рис. 5. Задание циклиды коникой и одной из осей циклиды -i Fig. 5. Representationby cone andone of Cyclide axis -i
5. Задание циклиды одной из осей, одним из очерков и центром касательной к циклиде сферы. Получаем единственную циклиду Дюпена.
Рис. 6. Задание циклиды одной из осей, одним из очерков и центром сферы Fig. 6. Representationby one of Cyclide axis, one of one of Cyclideoutlines and sphere center
Все приведенные способы построения подходят для компьютерного моделирования.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
Особенности поверхности циклиды Дюпена применяют в области машиностроения. Рассмотрим их на примере кулачкового зажима. Это изделие может применяться для зажима прутковых и трубчатых деталей [23].
Рис. 7. Кулачковыйзажим. Fig. 7. The cam lock.
Основными элементами зажима являются два кулачка, на поверхности которых выполнена проточка в виде поверхности, представляющей собой часть циклиды Дюпена. В каждом из радиальных сечений данных кулачков линия рабочей поверхности образует половину окружности, являющейся образующей циклиды Дюпена. При такой конфигурации рабочей поверхности кулачка осуществляется контакт с заготовкой по всему периметру профиля. При этом
зев, образованный двумя кулачками, может меняться в пределах от максимального до минимального диаметра, чем обеспечивается зажим заготовок, различающихся по сортаменту. В результате повышаются технологические возможности за счет осуществления контакта по всему периметру профиля заготовок, в отличие от других зажимов, у которых площадь контакта уменьшается при увеличении диаметра заготовки.
Рассмотрим компьютерное моделирование поверхности циклиды Дюпена на примере кулачкового зажима с помощью программы 8оИаЕБОБ[14, 15].
Исходные данные для построении циклиды Дюпена приведены на рис. 8. В качестве исходных сечений заданы окружности радиусом Rl и R2, диаметр экватора поверхности Б. Положение оси ) было определено согласно [22].
Для построения циклиды Дюпена в SolidEDGE использовалась функция «Выступ по направляющим» (рис. 9). Поверхность циклиды была построена по двум сечениям и двум направляющим, для чего были заданы поперечные
сечения поверхности в плоскости У2 исходных диаметров, а в качестве направляющих - две окружности плоскости ХУ, являющиеся очерками циклиды.
Рис. 9. Построение циклиды Дюпена по двум направляющим и двум сечениям Fig. 3. DupinCyclide modelling by twooutlines and two sections.
В результате получаем поверхность циклиды Дюпена (рис. 10).
Рис. 10. Поверхность циклиды Дюпена в программе SolidEDGE. Fig. 10. DupinCyclide surface in program Solid EDGE.
С целью определения точности построения поверхности циклиды в SolidEDGE по исходным данным (рис. 8) были построены поверхности по 4, 8, 16 и 32 сечениям.
Ввиду того, что диаметр сечения циклиды плоскостью, проходящей через ось/', изменяется по нелинейному закону, для каждого сечения его размеры были определены графически (рис. 11) и занесены в табл 1.
Рис. 11. Изменение диаметров сечения циклиды. Fig. 11. Change ofCyclide section diameters.
Таблица 1. Размеры диаметров сечения циклиды. Table 1. Sizes of Cyclide section diameters.
Сечение Диаметр, мм Сечение Диаметр, мм
1-1 14,00 10-10 29,12
2-2 14,23 11-11 31,61
3-3 14,93 12-12 33,92
4-4 16,06 13-13 35,98
5-5 17,59 14-14 37,68
6-6 19,48 15-15 38,95
7-7 21,66 16-16 39,73
8-8 24,05 17-17 40,00
9-9 26,57
По результатам построения в SolidEDGE были получены чертежи каждой модели, а также построены сечения циклиды плоскостями А-А и Б-Б (рис. 12), размеры которых указаны в табл. 2. Ввиду того, что программа закладывает в полученный результат (чертеж) некую погрешность, ее значение было зафиксировано
выполнением дополнительных построений. Так, на полученное сечение командой «Чертеж на виде» была наложена окружность, диаметр которой был определен графически аналогично сечениям из табл. 1, а видимая разница между контурами сечений образмерена (рис. 13).
Таблица 2. Размеры сечений А-А и Б-Б.
Table 2. Sizes of section A-A and Б-Б.
Сечение Диаметр, мм Сечение Диаметр, мм
А-А (меньшее) 20,18 Б-Б (меньшее) 15,63
А-А (большее) 33,18 Б-Б (большее) 38,15
Рис. 13. Погрешность построения сечения циклиды Fig. 13. Construction error of Cyclide section
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Сравнительный анализ полученных данных выявил следующую закономерность (рис. 14). Относительная погрешность размеров сечений уменьшается с ростом числа сечений, задаваемых при построении модели, однако значительного
изменения величины погрешности при увеличении числа сечений с 8 до 32 не происходит, что делает эту процедуру нецелесообразной ввиду высокой трудоемкости построений.
Зависимость максимальной абсолютной погрешности построений от количества сечений приведены на рис. 15.
Рис. 14. Относительная погрешность размеров сечений Fig. 14. Relative error of section sizes
Рис. 15. Абсолютная погрешность размеров сечений, мм Fig. 14. Absolute error of section sizes, mm
ВЫВОДЫ
Данные значения могут быть приняты инженерами в качестве ориентира для задания допусков при компьютерном моделировании узлов и механизмов, в которых задействована циклида Дюпена.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Учпедгиз, 1957. - 267 с.
2. Аргунов Б.И. Элементарная геометрия / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1996. - 240 с.
3. Берже М. Геометрия. Т. 1 / М. Берже. - М.: Мир, 1984. - 500 с.
4. Берже М. Геометрия. Т. 2 / М. Берже. - М.: Мир, 1984. - 368 с.
5. Гильберт Д. Наглядная геометрия / Гильберт Д, С. Кон-Фоссен. - М.-Л.: Объединенное научно-
техническое издательство НКТП СССР, Главная редакция общетехнической литературы и номографии, 1936. - 302 с.
6. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании // Грязнов Я.А. Геометрия и графика. - 2012. -Т. 1. - №1. - С. 17-19. - DOI: 10.12737/2077.
7. Диденко Д.В. Учимся работать в SolidEDGE / Д.В. Диденко. - М.: ДМК Пресс, 2009. - 250 с.
8. Иванов В.Н. Некоторые аспекты геометрии циклид Дюпена. Вестник Российского университета дружбы народов №1. Серия: Инженерные исследования. Издательство: Российский университет дружбы народов, Москва, 2002. с. 12 -21.
9. Клейн Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. - М.-Л.: ГОНТИ, 1939.
10. Куприков М.Ю. Инженерная графика / М.Ю. Куприков, Л.В. Маркин. - М.: Дрова, 2010. - 496 с.
11. Левицкий В. С. О теме «Сопряжения» в курсе «Инженерная графика» / В.С. Левицкий // Сборник научно-методических статей по начертательной геометрии и инженерной графике. - М.: Высшая школа, 1980. - С. 44-51.
12. Надолинный В.А Аналитические методы в конструировании поверхностей / В.А Надолинный.
- Киев: КПИ, 1981.
13. Сальков Н.А. Об особенностях оси торовой поверхности переменного радиуса / Н.А. Сальков // Прикладная геометрия и инж. графика. - Вып. 33. -Киев: Будiвельник, 1982. С. 79-80.
14. Сальков Н.А. О некоторых закономерностях, имеющих место при касании сфер / Н.А. Сальков // Прикладная геометрия и инж. графика. - Киев: Будiвельник, 1981. - №32. С. 113-115.
15. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч.1 / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - №1. - С. 16-25. - DOI: 10.12737/10454.
16. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 3: сопряжения / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2015. - Т.3. - №4. - С. 3-14.
- DOI: 10.12737/17345.
17. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение. Ч. 4: приложения / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №1. - С. 2132. - DOI: 10.12737/17345.
18. Сальков Н.А. Способы задания циклиды Дюпена / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. -2017. - №3. - с. 11 - 20.
19. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Ч. 1. / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №2. - С. 19-28. - DOI: 10.12737/19829.
20. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Ч. 2. / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №3. - С. 17-28. - DOI: 10.12737/21530.
21. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение / Н. А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2016.
- 142 с.
22. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение: монография / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2018. - 141 с. - (Научная мысль). -www.dx.doi.org/10.12737/18824.
23. Ткачук П.Д. Патент СССР от 15.05.1979 г. №662275. Эксцентриковый зажим. / П.Д. Ткачук, С.В. Величкович. Ивано-Франковский институт нефти и газа. - 1979.
24. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии / Пер. с франц. Ю.А. Рожанской и С.П. Финикова. Изд-во Иностранной литературы, М. 1960 г. - 322 с.
25. Шахнов В.А. Основы конструирования в SolidEDGE. Пособие по проектированию изделий в приборостроении / В.А. Шахнов, Л.А. Зинченко, В.А. Соловьев, А.Е. Курносенко. - М.: ДМК Пресс, 2014. - 272 с.
26. Dupin Ch.Developpements de geometrie, P., 1813.
REFERENCES
1. Argunov B.I. Geometric heskiepostroeniya na ploskosti. M.: Uchpedgiz, 1957. р. 267.
2. Argunov B.I. Elementarnayageometriya. M.: Prosveschenie, 1996. р.240.
3. Berzhe M. Geometriya. V. 1. M.: Mir, 1984. p. 500.
4. Berzhe M. Geometriya. V. 2. M.: Mir, 1984. p. 368.
5. Gilbert D. Naglyadnayageometriya/ M.: Ob'edinennoenauchno-tehnicheskoeizdatelstvo NKTP SSSR, Glavnaya redaktsiya obschetehnicheskoy literaturyiino mografii, 1936. Р. 302.
6. GryaznovYa.A. Otsekkanalovoy poverhnosti kak obraz tsilindra v rassloyaemomobrazovanii. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2012. -V. 1, No. 1, P. 17-19.
7. Didenko D.V. Uchimsyarabotat v Solid EDGE. -M.: DMK Press, 2009. р. 250.
8. Ivanov V.N. Nekotoryie aspektyi geometrii tsiklid Dyupena. Vestnik Rossiyskogo universitetadruzhbyinarodov. 2002.No. 1. р. 12 - 21.
9. Kleyn F. Vyisshayageometriya. M.: GONTI, 1939.
10. KuprikovM.Yu. Inzhenernayagrafika. M.: Drova, 2010. р. 496
11. Levitskiy V.S. O teme «Sopryazheniya» v kurse «Inzhenernayagrafika» Sborniknauchno-metodic heskihstateyponachertatelnoygeometriiiinzhenernoygr afike. M.: Vyisshayashkola, 1980. р. 44-51.
12. Nadolinnyiy V.A Analiticheskiemetodyi v konstruirovaniipoverhnostey. Kiev: KPI, 1981.
13. Salkov N.A. Ob osobennosty ahositorovoy poverhnosti peremennogo radiusa Prikladnaya geometriyaiinzh. grafika. No. 33. Kiev: Budivelnik, 1982. P. 79-80.
14. Salkov N.A. O nekotoryihzakonomernostyah, imeyuschihmestoprikasaniisferPrikladnayageometriyai inzh. grafika. Kiev: Budivelnik, 1981. No. 2. P. 113115.
15. Salkov N.A. Svoystvatsiklid Dyupenaiihprimenenie. Ch.1. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2015, V. 3, No.1. - P. 16-25.
16. Salkov N.A. Svoystvatsiklid Dyupenaiihprimenenie. Ch. 3. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2015, V.3, No.4. P. 3-14.
17. Salkov N.A. Svoystvatsiklid Dyupenaiihprimenenie. Ch. 4. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, No.1. P. 21-32.
18. Salkov N.A. Sposoby izadaniyatsiklidyi Dyupena. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2017. p. 11 - 20.
19. Salkov N.A. Tsiklida Dyupenaikrivyievtorogo poryadka. Ch. 1. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, No. 2, p. 19-28.
20. Salkov N.A. Tsiklida Dyupenaikrivyievtorogo poryadka. Ch. 2. Geometriyaigrafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, No. 3, p. 17-28.
21. Salkov N.A. TsiklidaDyupenaieeprilozhenie. M.: INFRA-M, 2016. p. 142.
22. Salkov N.A. TsiklidaDyupenaieeprilozhenie: monografiya M.: INFRA-M, 2018. - 141 p. www.dx.doi.org/10.12737/18824.
23. Tkachuk P.D. Patent SSSR ot 15.05.1979 g. #662275. Ekstsentrikovyiyzazhim. Ivano-Frankovskiyinstitutneftiigaza. - 1979.
24. FavarZh. Kurs lokalnoy differentsialnoy geometrii. M.: Izd-volnostrannoyliteraturyi, 1960 g. p.322.
25. Shahnov V.A. Osnovyikonstruirovaniya v Solid EDGE. Posobiepoproektirovaniyuizdeliy v priborostroenii. M.: DMK Press, 2014. p.272.
26. Dupin Ch. Developpements de geometrie, P., 1813.
OPPORTUNITIES OF COMPUTER MODELLING DUPIN CYCLIDE
ASACAMLOCK
Latyshev S. S., Tishchenko I.V., Dronova A.V.
Summary DupinCyclide is channel surfaces. It has been known that DupinCyclides are unique surfaces whose focal surfaces are degraded in quadric curve. Focal surfaces consist of center of curvature point set. Two system create two confocal conics. That why any DupinCyclide research has great scientific and engineering meaning. Features and application questions are explored in great depth in papers devoted to DupinCyclide. Varying inventions are designed from DupinCyclide features. Such inventions can be used in geometrical construction with computer technologies application. Application of computer technologies for Dupincyclide modelling is discussed in this paper by example of application in machine construction industry as a cam lock. Choice of Dupincyclide representation is fundamental step of it modelling. Cyclide representation by three sphere, second-order curves and others are represented in this paper. Representation by three sphere can set four Dupincyclides, representation by second-order curves and sphere can set two Dupincyclides, representation by second-order curves and axis of Cyclide can set the only one Dupincyclides. Opportunities and lapse rate of Dupincyclide construction by use of computer technologies are represented in this paper by modelling in program Solid EDGE.
Materials and methods: computer modelling program Solid EDGE is used.
Results:benchmark analysisof findingsdetected thatrelative error of section sizes decreases according to increaseofsection number was given before surfaces consrtuction.
Conclusions: object of research (DupinCyclide) combinesopportunityofgeometric modellingrepresentation,
geometricrealizationopportunity and practical effect of results obtainedin process of computer modelling.
Key words: Dupincyclide; surface constructing; second-order curves; computer graphics.
