CC BY
121
УДК 624.04
А.В. Игнатьев, В.А. Игнатьев, Е.В. Онищенко
ФГБОУВПО «ВолгГАСУ»
ВОЗМОЖНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ФОРМЕ КЛАССИЧЕСКОГО СМЕШАННОГО МЕТОДА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рассмотрен алгоритм численного решения геометрически нелинейных задач деформирования шарнирно-стержневых систем (большие перемещения и повороты) как при жестком, так и при мягком нагружениях на основе разрабатываемого авторами метода конечных элементов в форме классического смешанного метода. На примере решения задачи о статическом деформировании плоской механической шарнирно-стержневой системы, состоящей из двух линейно-упругих стержней, показаны простота и эффективность алгоритма при нахождении всего множества равновесных состояний системы. Достоверность решения задачи подтверждена совпадением результатов при мягком и жестком нагружениях системы, а также с результатами других исследователей.
Ключевые слова: геометрическая нелинейность, метод конечных элементов, классический смешанный метод, шарнирно-стержневые системы, жесткое на-гружение, мягкое нагружение, линейно-упругие стержни
В настоящее время опубликовано большое количество работ, в которых рассматриваются вопросы численного решения геометрически нелинейных задач расчета различных типов конструкций. Среди них можно отметить [1—9], в которых рассматривается решение подобных задач по методу конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений, а также [10, 11], в которых рассмотрено применение смешанной формы МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей. Тем не менее проблема достоверности численного решения геометрически нелинейных задач деформирования стержневых конструкций (большие перемещения) до сих пор вызывает большой интерес. Начало дискуссии по этой проблеме в сети Интернет и специализированных изданиях положили публикации Д.И. Назарова [12, 13]. В них обосновывалось его утверждение о несостоятельности всех существующих программ конечно-элементного анализа в решении геометрически-нелинейных задач. Хотя в публикациях оппонентов, например, в [14—16], и была показана некорректность в математических выкладках Д.И. Назарова, однако в результате дискуссии возникла необходимость верификации численных расчетов. Достоверность решения конкретной задачи подтверждается лишь совпадением результатов, полученных двумя различными способами, или с экспериментом.
Одним из таких способов является разрабатываемый авторами МКЭ в форме классического смешанного метода [17, 18]. Покажем это на примере решения задачи, с которой началась упомянутая дискуссия. Рассмотрим геометрически нелинейное поведение шарнирно-стержневой системы из двух линейно-упругих стержней (рис. 1).
Кинематический анализ показывает, что рассматриваемая система в исходном состоянии является мгновенно изменяемой. После прощелкивания она становится неизменяемой и статически определимой. Поэтому усилия в ней в не-деформированном состоянии могут быть найдены из условий равновесия. Из них следует, что первый и второй стержни сжаты. Величина этого начального сжимающего усилия
Р
EF' №
Рис. 1
N = N2 — -
(1)
sin а
Если предположить, что податливость стержней на растяжение-сжатие большая, то система будет иметь большие деформации и в расчете нужно учитывать изменение ее геометрии в процессе нагру-жения.
Выполним такой расчет по МКЭ в форме классического смешанного метода [17, 18] с использованием процедуры пошагового догружения системы [19, 20]. Основная система показана на рис. 2. На нем также показана система в деформированном состоянии.
Полагая поведение системы линейным на каждом малом шаге нагружения АР, запишем систему канонических уравнений смешанного метода, которая в данном случае имеет следующий вид:
Рис. 2
«Р -М 5 (!)
1) w R —
«Р _«5 (!)
2) ^r =
C¡4
P =
.(!) 5 (!) Л =
q3 =0;
3) (Ч — (1)5«q + (1)5«д2-
.«К (!) Л =
q3 =0;
(2)
4) «Д4 — (1)54,2(1)д2-
.«К (О q =1
'4,4 q4 = 0
Для деформированного состояния на первом шаге нагружения:
(i)~ (1) 5 • (1) Г 3 = — о31 = - sin1 'а1,
(1) r _
= -(1)Я =— (i) • 2 4 — Я4 2 — C°S а 2,
(i)5 _ _(i)
= -(1)Я 3 2 — cos (1)а1
(1) r р — -(1) р — -(1)ДР;
(1)g — 3 3
l
EF,
(1)g — 4 4
и
EF
■ 1 2 В недеформированном состоянии
а1 — а2 — а(0), /1 — /1(0) — о>/2 , U2 — ^0) — ¿V2.
(3)
Для этого состояния из уравнений 1) и 2) в (2) следует прежний результат (1):
)= qf (4)
sin a '
Подставляя этот результат и (3) в уравнения 3) и 4) системы (2), получаем:
(1)AP/(0) (0) (1)AP Г /(0) /(0П
4.2^ . (0) (0) '
EF EF2
1 2 у
(5)
™ • (0) (0) ' -2 (0) EF2sin a ;cos a ' sin ay '
Используя результаты (4) и (5), перейдем к построению решения в геометрически нелинейной постановке для первого шага итерационного процесса. На этом этапе имеем следующие исходные данные:
^ ^ -0)/(0) /(0) / ^ ^ ^ q(0)/(0) /(0) / <ч + EF(eF +-"') • /2"=l2 + q-Ejt-= EF + -<') ■
(0) U , (0) u (0) (6)
• (i) a - -I • (i) b (i) a + -2 (i) b - -2
sin ay -—7TT"—, sin ay --rr, cos al; -———, cos a2; -———.
1 /(1) 2 /(1) 1 /(1) 2 /(1)
1 2 1 2 Подставив эти данные в систему уравнений (2), получим:
--« sin a((1)-AP(1) - 0;
--(1) cos a2,1) + -31"1 cos a(1) - 0;
/ «
-11) sin af) - -21) cos af) + - 0; (7)
EF1
(1) (1) ~(1) /21) n
-2) cosa2)+ -у-Ьт - 0.
EF2
T> ~ (1) (1) ~(1) ~(1)
Решая эту систему уравнений, найдем -1 , -2 , -з , -4 • Для перехода к следующему (второму) шагу итерации, используя выражения (6), находим новые исходные данные:
/<2> - /« + ^ - EF1 + qf), 22) - /21) + ^ - EF2 + -«); 1 1 EF EF\ 2 ef EF \ /
EF1 EF1 v / EF2 EF2
■ (2) a - -1(1) . (2) b (2) a + -21) (2) b -
sin a1 - /(2)1 , sin a2 - ' C0S ai = /(2) 2 ' C0S a2 /^T"
(8)
Эти данные подставляем в систему уравнений (7), в которой верхние
индексы (1) должны быть заменены на (2), а нагрузка Р()) = ДР()) заменена на
рй = др(1)
+ АР( 2). Итерационные циклы повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности решения.
По изложенному алгоритму выполнен расчет на воздействие заданной нагрузки Р.
Если же требуется отследить поведение системы в процессе нагружения до заданного уровня нагрузки, то для этого необходимо использовать процедуру пошагового догружения с использованием на каждом шаге изложенного выше алгоритма.
Процедура пошагового догружения имеет один существенный недостаток — при достижении некоторого уровня нагрузки происходит мгновенная смена конфигурации системы и, следовательно, дальнейшее поведение системы может исследоваться только с применением других алгоритмов. Точки, на которых это происходит (перескок с одной траектории нагружения на другую), называются особыми или предельными.
Для корректного исследования поведения системы и появления в процессе нагружения всех возможных ее конфигураций заменим приближенные уравнения неразрывности деформаций системы (7) на точные решения. При этом система разрешающих уравнений принимает вид
sin а«-ДР(1) = 0;
-¿¡41 cos а^1-1 + дЗ1"1 cos а(1) = 0;
= 0;
(а - q«)2 +(а + 4«)
b2 + (b -g«)2-(/«)2 = 0. Подставляя (6) в (9), получаем:
(9)
43
(1).
а - 41
(1)
/(0)
(1)
-Р(1) = 0;
ДР
EF sin а
(0)
-4Р-
b - 42'
(1)
/(0)
(1)
ДР
■43
(1)
а + 42
(1)
EF2 sin а(0) J
/(0)
(1)
= 0;
ДР
EF1 sin а
(0)
(10)
(а - 41(1))2 +(а + 421))2-( (
( (
1 (0)
V V
(1)
ДР
EF sin а
(0)
= 0;
yj
■( b - 42" )2
(0)
2
V V
(1)
1-
ДР
EF2 sin а(0)
2J
= 0.
После приведения к общему знаменателю эти уравнения принимают следующий вид:
( «ДР ^
4«(а - 4«) + РWjM
1-
EF1 sin а
(0)
= 0;
(b - 421))/1
(0)
(1)
ДР
EF1 sin а
(0)
■431)( а + 421)) /2
(0)
(1)
ДР
EF2 sin а
(0)
= 0;
(а - 41(1))2 +(а + 421))2-
( í
( (
j (0) 1
V V
(1)
1
ДР
(11)
EF1 sin а
(0)
= 0;
j j
(b - ,24)2
1 (0)
2
V V
(1)
ДР
EF sin а(0)
= 0.
; j
Решая данную систему разрешающих уравнений относительно неизвест-
(1) (1) „(1) „(1)
ных , 42 , Ч3 , Чл , найдем их величины в первой итерации.
Погрешность этого решения оценим, подставив его в систему разрешающих уравнений (2), в которой вместо /1(1), ¡2(), определяемых с учетом (4), имеем
¡1(1) = ¡1(0) + 4^=Е^И + ^, ¡2° = ¡20) + Ет=Е^И + 4?)-(12)
^ ' Е¥2 Е¥2 ^ '
Уточнение решения выполняем итерационно, положив во второй итерации:
4(1)2 = 41(1)1 +Д41(1)2, Ч21)2 = Ч2()( +ДЧ21)2 ; (13)
ч31)2=Ч31)( +ДЧ31)2, 41)2=4()( +Д41)2. и
Здесь верхний индекс 2 относится ко второй итерации. Величины 41(1)1, Ч1,
~(1)1 -(()( - тт
Ч3 , Чл — значения неизвестных, найденные в первой итерации. Индекс в скобках означает номер шага нагружения.
Подставив (12) и (13) в систему разрешающих уравнений (10) и приведя каждое из уравнений к общему знаменателю, получим систему нелинейных
уравнений относительно приращений неизвестных Дч((1)2, Дч21)2, Д4з1)2, ДЛ1)2.
Отбросив в этих уравнениях все члены второго и выше порядков малости, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений неизвестных. Далее, подстановкой в (2) определяем степень невязки и переходим к следующей итерации. Итерационные циклы повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень точности решения.
Рассмотрим численный пример [6—8] анализа поведения геометрически нелинейной шарнирно-стержневой системы из двух линейно-упругих стержней. Оба стержня работают на растяжение-сжатие. Проекции стержней на оси а = 10 м, Ь = 2 м. Жесткости стержней ЕЕ( = 1000 т, ЕЕ2 = 2000 т. Из-за наличия больших перемещений решение задачи следует рассматривать с учетом геометрической нелинейности.
Используя вышеизложенный алгоритм, проведем численный анализ поведения системы под действием нагрузки.
На рис. 3 приведен график зависимости вертикального перемещения верхней опоры ч( стержневой системы от величины нагрузки Р (при этом для наглядности указаны конфигурации системы). Заявленному уровню нагрузки 95 т соответствуют три возможных конфигурации, каждая из которых является равновесной.
Первая и вторая конфигурации — стержень № 2 прощелкивает вправо при прощелкивании стержня № 1 вниз; третья конфигурация — стержень № 2 прощелкивает влево при прощелкивании стержня № 1 вниз.
Из графика зависимости вертикального перемещения от величины нагрузки (см. рис. 3) видно, что смена конфигураций шарнирно-стержневой системы без «прощелкиваний» возможна только при так называемом «мягком» нагру-жении, т.е. при шаговом нагружении перемещениями узла 1, или при приложении компенсирующей (отрицательной по направлению) нагрузке, обеспечивающей разгружение системы.
500
400
300
а,"
у 200
&
К
100
-15
-10
Рис. 3
-100;
/
-200
¿2^
у/ '
10
.и? У 20 х «_ ^
25
Вертикальное смещение опоры, м
30
- О < д, < Ъ, < а
• ••• Ъ < д< 2Ь, д^ < а Ъ < /-] < 2Ь. /_] > л — О < д_ < Ь, д > а ' • -2Ъ < д, < 0, д^ > а
По предложенному алгоритму найдены все возможные равновесные состояния системы.
На рис. 4 приведен график зависимости горизонтального смещения опоры с]-, стержневой системы от величины нагрузки Р. На рис. 5 и 6 приведены графики изменения усилий в стержнях в зависимости от нагрузки Р.
Достоверность решения проверена подстановкой его в уравнения равновесия системы.
Для примера проверим равновесие системы при горизонтальном смещении промежуточной опоры на 3 м.
Данное перемещение промежуточной опоры возможно при двух конфигурациях системы, показанных на рис. 7 и 8.
3^0 I
20| 1
100»-I
£ I
/\
-в-
-4
-3
-2
-1
0% 1 /2\
-100
-200
1 \
/4
0 <д,<Ь, д^а Ь < д]< 2 Ь, д^<а Ъ < д^< 2 Ъ, дл> а 0<д^<Ь, д^>а -2 Ь <д,<0, д^> а
Горизонтальное смещение опоры, м
Рис. 4
800 -700 -ф0 -500 -400 -300 -200 -¡¿Ы 100 200 300
— 0 <q,< b, ^ < a
.... ¡h < q < 2b, q^ < a
— 6 < g, < 2b, q > a ' — 0 < qi < b, q > a
■ • • -2b < g, < 0, q > a
-100
-150 -200
Усилие во втором стержне, т
Рис. 5
0 < g, < b, q < a b<q_t<2b, < a b<q^< 2b, ^ > a 0 < g, < b, q > a -2b <q,< 0. q^> a
Усилие в первом стержне, т
Рис. 6
Условия равновесия системы: ^х = 0; -У1оо8а1 + У2оо8а2 = 0; ^у = 0; У^та1 + У28та2 -Р = 0,
(14)
где
cos а) =
а + q2
а + q2
а + q2
] (о) )
(
А
ЕЕ
1у[2
г
) У
А
ЕЕ
) У
cos а2 =
1ъ - q2|
1ъ - q2|
1ъ - q2l
] (0)
2
N
ЕЕ
Ъл/2
2 У
N
ЕЕ
2 У
sm а) =
а - я
а - q)
а - q)
! (о) )
А
ЕЕ
) У
а\/2 Ъ
У
V
А
ЕЕ
) У
81И а 2 = — = -
I.
2
I.
(о)
)-
К
ЕЕ
ъТ2
2 У
)
К
V
ЕЕ
2 У
Из графиков (см. рис. 3—5) видно, что при горизонтальном смещении промежуточной опоры на 3 м значения вертикального перемещения и усилий в стержнях, приведены в таблице.
Конфигурация Горизонтальное смещение промежуточной опоры, м Вертикальное перемещение верхней опоры, м Усилие в первом стержне, т Усилие во втором стержне, т Вертикальная нагрузка, т
Первая 3 -2,102578 255,9307 -418,861 -174,389
Вторая 3 22,102578 255,9307 -418,861 174,389
Полученные данные (см. табл.) удовлетворяют условиям равновесия системы (14), что подтверждает правильность выполненных расчетов.
Эти же результаты можно получить, решив систему (14) при заданном параметре вертикального смещения опоры q). При этом точность решения будет зависеть от выбранного шага параметра. Контроль точности решения проводится на каждом шаге. Уточнение его выполняется итерационно по алгоритму, описанному в [18].
Анализ поведения системы по параметру нагрузки возможен, как это отмечено выше, только до момента достижения мгновенно изменяемой конфигурации.
Приведенные примеры расчета шарнирно-стержневой системы показывают высокую эффективность МКЭ в форме классического смешанного метода и возможность использования его как альтернативного для верификации результатов, полученных с использованием традиционного МКЭ в перемещениях.
I
2
I
Библиографический список
I. Belytscko T., Liu W., Moran B. Nonlinear finite elements for continua and structures. J Wiley & Sons, 2000. 300 р.
). Bonet J., Wood R. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. Cambridge University Press, 1997. 248 р.
3. Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. J. Wiley & Sons, 1997. Vol. 1. 3б2 р.
4. Kyther P., Wie D. An introduction to linear and nonlinear finite element analysis. Birkhauer Verlag, 2004. 445 р.
5. Reddy J.N. An introduction to nonlinear finite element analysis. Oxford University Press, 2004. 488 р.
6. Данилин А.Н., Зуев Н.Н., Снеговский Д.В., Шалашилин В.И. Об использовании метода конечных элементов при решении геометрически нелинейных задач // САПР и графика. 2000. № 4. С. 2б—31.
7. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. М. : СКАД СОФТ, 2007. б53 с.
S. Хейдари А., Галишникова В.В. Прямой упругопластический расчет стальных ферм с большими перемещениями на предельное равновесие и приспособляемость // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 3. С. 51—б4.
9. ГородецкийА.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. К. : «Факт», 2007. 394 с.
10. Покровский А.А., Хечумов Р.А. Смешанная форма МКЭ в расчетах стержневых систем с учетом физической и геометрической нелинейностей // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. № 2. С. 5—11.
II. Покровский А.А., Хечумов Р.А. Предельное и запредельное состояние стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. № 4. С. 18—21.
О. Назаров Д.И. Геометрически нелинейный анализ в метод конечных элементов, реальности и мифы // Проблемы динамики, прочности и износостойкости машин. 2000. № б.
13. Назаров Д.И. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. 2000. № 2. С. 52—55.
14. Кургузов В.Д. О численном решении геометрически нелинейных задач строительной механики // Известия вузов. Строительство. 2009. № 3—4. С. 14—22.
15. Евзеров И.Д., Гераймович Ю.Д., ЛазнюкМ.В., Марченко Д.В. Численное решение задач сильного изгиба // Сайт поддержки пользователей САПР. Режим доступа: http://www.cad.dp.ua/obzors/lira.php/. Дата обращения: 30.10.2015.
16. Левяков С.В. О численном решении геометрически нелинейных задач статики упругих конструкций // Сайт поддержки пользователей САПР. Режим доступа: http:// www.cad.dp.ua/obzors/fem3.php/. Дата обращения: 30.10.2015.
17. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Жиделёв А.В. Смешанная форма метода конечных элементов в строительной механике. Волгоград : ВолгГАСУ. 200б. 172 с.
1S. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В., Галишникова В.В., Онищенко Е.В. Нелинейная строительная механика стержневых систем. Основы теории. Примеры расчета. Волгоград : ВолгГАСУ. 2014. 84 с.
19. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. М. : Инфра — Инженерия, 2014. 480 с.
20. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов : Изд-во Саратовск. гос. ун-та, 1975. 120 с.
Поступила в редакцию в ноябре 2015 г.
ВЕСТНИК 12/2015
12/2015
Об авторах: Игнатьев Александр Владимирович — кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, [email protected];
Игнатьев Владимир Александрович — доктор технических наук, заведующий кафедрой строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, [email protected];
Онищенко Екатерина Валерьевна — соискатель кафедры строительной механики, Волгоградский архитектурно-строительный университет (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, [email protected].
Для цитирования: Игнатьев А.В., Игнатьев В.А., Онищенко Е.В. Возможность использования метода конечных элементов в форме классического смешанного метода для геометрически нелинейного анализа шарнирно-стержневых систем // Вестник МГСУ. 2012. № 12. С. 47—58.
A.V. Ignat'ev, V.A. Ignat'ev, E.V. Onishchenko
POSSIBILITY OF USING FINITE ELEMENT METHOD IN THE FORM OF CLASSICAL MIXED METHOD FOR GEOMETRICAL NONLINEAR ANALYSIS OF HINGED-ROD SYSTEMS
At the present time a great number of works have been published, in which the problems of numerical solution of geometrical nonlinear tasks of calculating different types of structures are considered. Nevertheless the problem of the certainty of the numerical solution of geometrical nonlinear tasks of rod structures deformation (large displacements) still provokes great interest. The quality of the solution for a certain task is proved only by the coincidence of the results obtained before using two different methods or with the experiment.
The authors consider the numerical solution algorithm of geometrical nonlinear tasks of the deformation of hinged-rod systems (large displacements and turns) both in case of high and gentle loading basing on the finite element method in the form of classical mixed method being developed by the authors. Solving the problem of static deformation of a flat mechanical hinged-rod system consisting of two linear-elastic rods the authors show the simplicity and efficiency of the algorithm when finding all the range equilibrium system states. The quality of the solution is proved by the coincidence of the results in case of gentle and heavy loading of the system and with the results of other investigations.
Key words: geometrical nonlinearity, finite element method, classical mixed method, hinged-rod systems, heavy loading, gentle loading, linear-elastic rods
References
1. Belytschko T., Liu W., Moran B. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. J.Wiley & Sons, 2000, 300 p.
2. Bonet J., Wood R. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 1997, 248 p.
3. Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. J. Wiley & Sons, 1996, vol. 1, 362 p.
4. Kyther P., Wie D. An Introduction to Linear and Nonlinear Finite Element Analysis. Birkhauer Verlag, 2004, 445 p. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-8160-9.
5. Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford University Press, 2004, 488 p.
6. Danilin A.N., Zuev N.N., Snegovskiy D.V., Shalashilin V.I. Ob ispol'zovanii metoda konechnykh elementov pri reshenii geometricheski nelineynykh zadach [On the Use of Finite Element Method when Solving Geometry Nonlinear Tasks]. SAPR i grafika [CAD and Graphics]. 2000, no. 4, pp. 26—31. (In Russian)
7. Perel'muter A.V., Slivker V.I. Ustoychivost'ravnovesiya konstruktsiy i rodstvennye problemy [Equilibrium Stability of Structures and Related Problems]. Moscow, SKAD SOFT Publ., 2007, 653 p. (In Russian)
8. Kheydari A., Galishnikova V.V. Pryamoy uprugoplasticheskiy raschet stal'nykh ferm s bol'shimi peremeshcheniyami na predel'noe ravnovesie i prisposoblyaemost' [Straight Elastic-Plastic Calculation of the Limit Equilibrium and Adaptability of Steel Trusses with Large Displacements]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings]. 2014, no. 3, pp. 51—64. (In Russian)
9. Gorodetskiy A.S., Evzerov I.D. Komp'yuternye modeli konstruktsiy [Computer Models and Structures]. Kiev, «Fakt» Publ., 2007, 394 p. (In Russian)
10. Pokrovskiy A.A., Khechumov R.A. Smeshannaya forma MKE v raschetakh ster-zhnevykh sistem s uchetom fizicheskoy i geometricheskoy nelineynostey [Mixed Form of FEM in Calculation of Truss Systems with Account for Physical and Geometric Nonlinear-ity]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanica and Calculation of Structures]. 1991, no. 2, pp. 5—11. (In Russian)
11. Pokrovskiy A.A., Khechumov R.A. Predel'noe i zapredel'noe sostoyanie ster-zhnevykh sistem [Limit and Beyond Limit State of Truss Systems]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1991, no. 4, pp. 18—21. (In Russian)
12. Nazarov D.I. Geometricheski nelineynyy analiz v metode konechnykh elementov, real'nosti i mify [Geometric Nonlinear Analysis in Finite Element Method, Reality and Myths]. Problemy dinamiki, prochnosti i iznosostoykosti mashin [Problems of Dynamics, Stability and Durability of Machines]. 2000, no. 6. (In Russian)
13. Nazarov D.I. Obzor sovremennykh programm konechno-elementnogo analiza [Review of the Modern Programs of Finite Element Analysis]. SAPRi grafika [CAD and Graphics]. 2000, no. 2, pp. 52—55. (In Russian)
14. Kurguzov V.D. O chislennom reshenii geometricheski nelineynykh zadach stroitel'noy mekhaniki [On Numerical Solution of Geometric Nonlinear Tasks of Structural Mechanics]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2009, no. 3—4, pp. 14—22. (In Russian)
15. Evzerov I.D., Geraymovich Yu.D., Laznyuk M.V., Marchenko D.V. Chislennoe resh-enie zadach sil'nogo izgiba [Numerical Solution of Strong Bend Tasks]. Sayt podderzhki pol'zovateley SAPR [Site of CAD User Support]. Available at: http://www.cad.dp.ua/obzors/ lira.php/. Date of access: 30.10.2015. (In Russian)
16. Levyakov S.V. O chislennom reshenii geometricheski nelineynykh zadach statiki up-rugikh konstruktsiy [On Numerical Solution of Geometric Nonlinear Tasks of Elastic Structures' Statics]. Sayt podderzhki pol'zovateley SAPR [Site of CAD User Support]. Available at: http://www.cad.dp.ua/obzors/fem3.php/. Date of access: 30.10.2015. (In Russian)
17. Ignat'ev V.A., Ignat'ev A.V., Zhidelev A.V. Smeshannaya forma metoda konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noy mekhaniki [Mixed Form of Finite Element Method in Problems of Structural Mechanics]. Volgograd, VolgGASU Publ., 2006, 172 p. (In Russian)
18. Ignat'ev V.A., Ignat'ev A.V., Galishnikova V.V., Onishchenko E.V. Nelineynaya stroitel'naya mekhanika sterzhnevykh sistem. Osnovy teorii. Primery rascheta [Nonlinear Structural Mechanics of Truss Systems. Foundation of the Theory. Calculation Examples]. Volgograd, VolgGASU Publ., 2014, 84 p. (In Russian)
19. Petrov V.V. Nelineynaya inkremental'naya stroitel'naya mekhanika [Nonlinear Incremental Structural Mechanics]. Moscow, Infra — Inzheneriya Publ., 2014, 480 p. (In Russian)
20. Petrov V.V. Metod posledovatel'nykh nagruzheniy v nelineynoy teorii plastinok i obolochek [Method of Continuous Loadings in Nonlinear Theory of Plates and Shells]. Saratov, Izdatel'stvo Saratovskogo gosudarstvennogo universiteta Publ., 1975, 120 p. (In Russian)
BECTHMK 19/9nl5
12/2015
About the authors: Ignat'ev Aleksandr Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; [email protected];
Ignat'ev Vladimir Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, head, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; alignat70@ yandex.ru;
Onishchenko Ekaterina Valer'evna — external student, Department of Structural Mechanics, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE),
1 Akademicheskaya str., Volgograd, 400074, Russian Federation; [email protected].
For citation: Ignat'ev A.V., Ignat'ev V.A., Onishchenko E.V. Vozmozhnost' ispol'zovaniya metoda konechnykh elementov v forme klassicheskogo smeshannogo metoda dlya geometri-cheski nelineynogo analiza sharnirno-sterzhnevykh sistem [Possibility of Using Finite Element Method in the Form of Classical Mixed Method for Geometrical Nonlinear Analysis of Hinged-Rod Systems]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 12, pp. 47—58. (In Russian)
