Воздействие продольного магнитного поля на распространение когерентного излучения в волоконном световоде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Физика

УДК 681.7.068.4:535.3

ВОЗДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОГЕРЕНТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ВОЛОКОННОМ СВЕТОВОДЕ1

А.В. Ершов2, НД. Кундикова3

Получены аналитические выражения, позволяющие определить влияние продольного магнитного поля на вид спекл-картины света, распространяющегося в оптическом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления.

Ключевые слова: эффект Фарадея, магнитное поле, оптическое волокно, ступенчатый профиль показателя преломления.

Хорошо известный эффект Фарадея [1] наблюдается при прохождении линейно поляризованного света через прозрачный диэлектрик, помещенный в магнитное поле. Угол поворота плоскости поляризации & определяется магнитооптическими свойствами прозрачного диэлектрика, через который проходит свет, величиной магнитного поля Н и длиной диэлектрика в магнитном поле Ь:

& = УНЬ008 р. (1)

Здесь У - постоянная Верде, у - угол между направлением распространения света и направлением магнитного поля [1].

В одномодовом волокне, помещенном в продольное магнитное поле, также наблюдается поворот плоскости линейной поляризации, пропорциональный величине магнитно поля [2]. В многомодовом оптическом волокне поляриза ия прошедшего через волокно света, как правило, не сохраняется, поэтому эффект Фарадея в классическом варианте не наблюдается. Однако индуцированное магнитным полем иркулярное двулучепреломление в оптическом волокне приводит к возникновению иного эффекта, а именно, поворота спекл-картины излучения, прошедшего через маломодовое оптическое волокно, помещенное в магнитное поле, при смене направления магнитного поля [3, 4]. В работе [3] теоретический анализ эффекта проводился в рамках простейшей модели, в которой рассматривалось распространение света в аксиально симметричном оптическом волноводе, который удерживает в скалярном приближении только три моды. Точное рассмотрение позволило предсказать эффект «магнитного» поворота спекл-картины, который был обнаружен экспериментально [4], однако результаты, полученные в работе [3], не позволяют провести детальное исследование влияния магнитного поля на распространение когерентного света в оптическом волокне.

Цель настоящей работы - аналитическое решение задачи о распространении когерентного излучения в волоконном световоде со ступенчатым профилем показателя преломления под воздействием продольного магнитного поля.

Рассмотрим распространение когерентного света в оптическом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления, который в цилиндрической системе координат (х = г оо8у, у = г зту, г = г) описывается функцией:

\п (г) = псо, г < а,

I со (2)

[п (г)= пс1, г > а

где псо, пс1 - показатели преломления сердцевины и оболочки волокна соответственно, г - пространственная координата, а - радиус сердцевины волокна.

Распространение когерентного излучения в немагнитной среде описывается системой уравнений Максвелла [5]:

1 Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 г. (Государственный контракт — П572 от 17 мая 2010 г.).

2 Ершов Александр Викторович - аспирант, кафедра оптики и спектроскопии, Южно-Уральский государственный университет.

3 Кундикова Наталия Дмитриевна - профессор, доктор физико-математических наук, кафедра оптики и спектроскопии, Южно-

rotЁ = -—, rotH = —D, divB = 0, divD = 0, B = M0H = pH, D = є0ЄЁ, (З)

-t -t

где ё - вектор электрического поля, B - вектор магнитной индукции, D - вектор электрического смещения, H - вектор магнитного поля, є - тензор диэлектрической проницаемости.

Под воздействием магнитного поля тензор диэлектрической проницаемости принимает следующий вид [б]:

Г є iy 0Л

-iy є 0 , (4)

0 0 є

є0є =

где у = (&пА/л)є0, } - угол фарадеевского вращения, определяемый выражением (1), Л - длина волны света в вакууме.

С учетом трансляционной симметрии волокна решения ищутся в виде Ё(х, у, г, ґ) = Ё(х, у) е~і(ш~Рг), Н (х, у, г,ґ) = Н (х, у) е~і(о~вг), где о - угловая частота, в - постоянная распространения.

Подставляя тензор (4) в систему уравнений (3), получаем уравнения Максвелла в декартовой системе координат:

(дЁ Л

г -1@Ёу = 1ацНх,

Эу ,

^вЁх -dx 1 = io!Hy,

Г дЁу ЭЁ.

Л

= iO!Hz ,

ду

iвHy

iPHx ^ 1 = -iO( -i7Ex + єЕу ) = -°7Ёх - іюєЕ

дх ду

(єіх + iyEy) = -іюєіх + юуЁу ,

= -iO

дх

Г -Hy -h

Л

= -ioEz.

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(І0)

дх ду

Из уравнений (5), (6), (8) и (9) легко получить выражения для компонент магнитного поля Нх , Ну и компонент электрического поля Ех , Еу , которые зависят только от продольных ком-

понент Ez и Hz

Hx =-

o

Hy =-

W-(k2-в2)

-вгюу—Х-i^(m2!yl-є(k2 -в2)) ЭH

л

—у

-в^РТ-У- - ів( k 2 -в2)

соА!2уг-(k 2-в2)

io

-у v ' дх

(о^му2 - є( k2-в2 ))-Ё^-в2юї

ів( k 2 - в2)+ во2

v ' ду

дх

(ІІ)

Ё=

i —Ez юр

+ 7Г Hy , ёу ='

i -Ez юр

-j:lHx , k2 = ю2рє.

в дх в' ^ у в ду в

После подстановки выражения (11) в уравнения (7) и (10) система уравнений для Ег и Нг принимает вид:

І

2

І

2

Физика

і(а>2цу2 -є(к2 - в

( д 2 Ёг д 2 Ёг Л __________г +___________г

дх2 ду

V

-во

( д2 Ёг д 2 Ё Л

______г +_______г

дх2 ду2

- і(к2-в2)

+ Іє(а>Ац2у2 -(к2 - в2)2^

\Ё7 +Ртг

( д2Нг д2Нг Л _____г +_____г

V

дх

2

ду

2

= о,

д2Нг д2Н Л

^ + -

дх2

ду2

+ і (ю4ц2у2-(к 2-в2 )2 ] Нг = 0.

(12)

После умножения первого уравнение системы (12) на мнимую единицу і и сложения со вторым уравнением можно разделить мнимую и действительную части и получить уравнение для каждой из компонент Ёг и Н г :

( д2Ёг д2Ёг Л ______г +____г

дх2 ду

V

2

є| «V2

+ -

у

о

г2-(к2-в2 )2 ]

____________ё = о

цу2-є(к2-в2^)+Рюу г

( д2Нг д2Нг Л _____г +_____г

дх

2

ду

2

+

/

,4му -(к2 -в2) Ртг-( к2 -в2)

Н7 = 0. (13)

В связи с тем, что оптическое волокно обладает аксиальной симметрией, запишем уравнения (13) в цилиндрической системе координат:

д 2Ёг 1 дЁг 1 д 2Ёг

—т-+—+——г+

дг

д 2Нг 1 дН

- + —

є^^у2-(к 2-в2 )2 ]

^ 1 дЁг 1 д 2Ёг V V ' у г п

г +________________________________г + ___ ё — о

г дг г2 дф со2цу2 -є(к2-в) + Р« г

(14)

г 1 д 2Н7 «

- + -г----------т- +

г дг г дф

гг-(к2-в1) =

вфГ-( к 2-в2) г

Предполагая, что можно разделить переменные, и считая, что поле описывается произволь ными функциями, зависящими только от р и г , ищем решение в следующем виде:

Ег = ГЕ (г) е1тр, Нг = ГН (г) етр.

После подстановки выражений (15) в (14) уравнения (14) принимают вид:

д 2ГЁ . 1 др

+ —

Ё

дг г дг

+

2 т

2

*1

2

где

2 і 2 о2 т 2

и1 = к1со - Р1со, к1со = "

Рё = о,

4 2 2

єсо°МГ

д2ГН . 1 дг,

дг2

+ —

Н

г дг

+

2

V

2т

и2----2"

г2

", Р1со = "

є

Рн = 0,

( ксо -р2 )

(15)

(16)

оо2УГ2-єсо (кСо-Р2 )+Ыà со о2УГ2 - є со (к2-Р2 ) + Роу’

и 2 = к 2 - р2 к 2 =

и2 = к2со р2со, к2со =

(о4ц2Г2

єс

( ксо -р2 )

, Р22со =

Рт7-( к2о-Р2 )’ со Р«7-( к2о-Р2)

Действительными решениями уравнений (16) являются функции Бесселя и Макдональда. При г ^ 0 только функции Бесселя ограничены, поэтому целесообразно их выбрать для описания поля в сердцевине волокна. Функции Макдональда ограничены при г ^ ж , поэтому их можно выбрать для описания поля в оболочке волокна.

Воспользуемся граничными условиями на границе сердцевина-оболочка. Непрерывность угловых и тангенциальных компонент на границе г = а между сердцевиной и оболочкой описывается системой уравнений:

Ер = Е(2), Е® = Е{2), Нр = Н(2), Н™ = Н{2), (17)

где Е®, Е^, н(^, н!1 - угловые и тангенциальные компоненты электромагнитного поля в

77(2) 17(2) хт(2) хт(2)

сердцевине, Ер , Е! , Нр , Н^’ - угловые и тангенциальные компоненты электромагнитного поля в оболочке.

В соответствии с выбранными решениями уравнений (16) танген иальные компоненты электромагнитного поля примут вид:

2

= Z AmJm ( u\r) C0S m<pel(a = Z BmJm (u2r) C0S (mP + Pm )<

m=-tt m=-tt

(18)

E? = Z CmKm (Vir) cos mpe), H(2) = Z DmKm ( V2r) COS (mp+Pm ) e~^Z

m=-tt m=-tt

2 ,2 fl2 ,2 £cla>A^272 ol e(~ P2)

где V1 kicl + Pici, kicl — ~2—2----------TT2--—-—, Acl -

со2цу2 -£cl (k2 -ft2) + Роу' c (О'цу2 -e(k2 -ft2) + Роу' 'W Л2 _ (k2-в )2

2 r 2 r>2 r 2 О) Ц у n2

v2 — -k2cl + Plcl, k2cl — ~--------------------------T2-----Plcl -

®y-( k2cl-в )’ c /Зюцу-( k2cl-в )

Следует отметить, что в рамках рассматриваемой модели величина у полагается одинаковой в сердцевине и оболочке.

Используя выражения (ii) и (i7), угловые компоненты электромагнитного поля можно выразить в следующем виде:

^ ( i \

Elpi— Z Ami [ WUv) C0S mp-iL,M Sin mpY^-e-')-

m—-<tt \ у

^ ( i \

- Z Bm IL2 - mJm (u2a ) Sin ( mP+Pm )-iL4U2Jm( u2a ) C0S ( mP+Pm ),

m—-ж [ a J

EP — Z Cm ( L5ViKm ( Via ) C0S mP-lLl~ mKm ( Via ) sin mp\ e~l^a~Pz) -

m—-<n

^ ( i \

Z Dm I Le~mKm ( V2a ) Sin ( mP+Pm )-lL8V2Km( V2a ) C0S ( mP+Pm ) W®-^

т—-<ж [ a J

m—-ж

ж

Hpi — Z Am \Li — mJm (uia) sin mp+lL9uiJ'm(uia) C0S mp| e в) +

m—-<tt [ a

ж

m—-tt

+ Z Bm I L2u2jrn(u2a) C0S ( mP+Pm ) + lL4^^mJm (U2a ) Sin ( mP+Pm ) ^ ^ ^

^ ( i \

HPp] — Z Cm I L5 mKm (Via ) Sin mP+ lLi0ViK'm( Via ) C0S mP I ) +

a

+ Z Dm I L6V2K'rn( V2a ) C0S ( mP+Pm ) + lL8~ mKm ( V2a ) Sin ( mP+Pm )

m—-~ [ a

(i9)

B2a>y в®цу (kco P ) £co° Ц(kco P )

где Li — 2 , L2 — 2 , L3 — ;

®W-{kl-ff ®Vf -(ki-в) ОЦ

P(kco- P2) р>2юу /Зо^цу

L4 2 , L5 2 , L6 2 ,

тАц2у2 - (kc2 - e2) оОЦ'у2 - (k2d - в) 0)Ац2у2 - (k2cl - в)

f — (k2cl-P2 )2-£с®2ц( k2cl-p2) f — p( k2cl -p2) r _с°цу2-£co°( kco-P2)

L7 — 7 , L8 — 2, L9 — 2

4..^,2 /,.2 ^\2 I m4..2n2_(b2 _R2\2 т4„2112_(и2_ R2\2

f О \ ’ ^8 '“y ^ *9

юЦю4ц2у2 -(k2cl -в) ^ 0)Ац2у2 -(k2l -в) оОЦ'у2 -(k2o -в)

оОцу2 -£cl®( k2l-p2)

Lio —---------------- -----T- •

0)Ац2у2 -(k2cl -в)

oo

Ш——Ж

Физика

Подставляя выражения (18) и (19) в граничные условия (17), получаем систему уравнений

а11 Ап + а12 Вт + а13Ст + а14^т = 0, а21Ат + а23Ст = 0,

<

а31 Ап + а32 Вт + а33Ст + а34 ^т = 0,

Здесь

la42Bm + a44 Dm — 0.

aii — LiuiJ'm( uia) C0S mp - lL3—mJm (uia) sin mp,

(20)

ai2

— - L2— mJm (u2a) sin (mp+pm) + lL4u2 J'm(u2a) C0S (mp+pm),

ai3 — -L5ViK'm (Via) C0s mp+lLl — mKm (Via) sin mp,

a

ai4 — L6 - mKm ( V2a ) sin ( mp+pm ) - lL8V2K'm ( V2a) C0s ( mp+pm ) ,

a

a2i — Jm (uia) , a23 — -Km (Via) ,

a3i — L — mJm (uia) sin mp+lL9uiJ'm (uia) C0s mp, a

a32 — L2u2 J'm(u2a) C0s (mp+pm ) + lL4~mJm (u2a) sin (mp+pm ) ,

a

a33 — -L5imKm (Via) sin mp - lLi0ViK'm (Via) C0s mp,

i

34

— -L6V2 K'm( V2a ) C0s ( mp+pm ) - lL8~ mKm ( V2a ) sin ( mp+pm ) ,

a42 — Jm (u2a) , a44 — Km (V2a) •

Система уравнений (20) имеет множество решений, когда

aii an ai3 ai4

det

*2i

0 a

23

0

a3i a32 a33 a34

0 a42 0 a44

— 0.

(2i)

После выделения мнимой и действительной частей уравнение (21) примет вид системы характеристических уравнений:

(/^/^т2 - //^т2 - /ЬбП2 + ЬфбП2 — ЬзЬ4т2 + Ь2Ь5т2 — Ьф2т2 + //7т2) =

(/1/6/т (и1а) 8т (^2а) — ЦЬ68т (^1а) 8т (^2а) — /8/108т (^1а) 8т (^2а) + //!т (и1а) 8т (^2а) —

: —

LiL2 fm ( uia) fm ( u2a) + L4Li0 fm ( u2a ) 8m ( Via) - L4L fm ( uia) fm ( u2a) + L2L5fm ( u2a ) 8m ( Via)

(LLl8m (V2a) - L3L68m ( V2a) + L5L8m ( V2a) - LiL88m ( V2a) + +LL3fm (u2a) - L4L5fm (u2a) + LiL4fm (u2a) - LLlfm (u2a)

(22)

LiL8fm (uia) L5L88m (Via) L6^08m (Via) + L6Lfm (uia) -LiL4 fm (uia) + L2Li08m ( Via) - L2L9 fm ( uia) + L4L58m ( Via)

\

где

( ) ulaJ'm(ula) ( ) VlaK'm( Vla) • , о

fm (ula )—~l—f-----Г", 8m ( Vla )—~^~,-Г", l — 1,2•

Jm (ula) ' Km (Vla)

Решив систему характеристических уравнений (22), можно найти постоянные распространения fim для любого количества мод когерентного излучения, которые могут распространяться в

волоконном световоде, помещенном в продольное магнитное поле. Для каждого значения m можно с помощью выражения (15) определить продольные компоненты электромагнитного поля, и через них найти с помощью выражений (11) поперечные компоненты электромагнитного поля. Распределение интенсивности I (r,P, z) в поперечном сечении волокна на расстоянии z от входного тор а волокна можно найти по известным выражениям из поперечных компонент электрического поля.

Таким образом, получены аналитические выражения, которые позволяют рассчитать при разных величинах магнитного поля распределение интенсивности I (r,P, z) в поперечном сечении волокна на расстоянии z от входного тор а волокна и определить влияние магнитного поля на спекл-картину когерентного света, распространяющегося в оптическом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления.

Литература

1. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред I Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1982. - б20 с.

2. Smith, A.M. POlarizatiOn and magnetOOptiC prOpertieS Of Single-mOde OptiCal fiber I A.M. Smith II Applied OptiCS. - 19?8. - V. 1?, № 1. - P. 52-5б.

3. BaranOva, N.B. ROtatiOn Of a ray by a magnetiC field I N.B. BaranOva, B.Ya. Zel’dOviCh II JEPT Lett. - 1994. - V. 59. - P. б48-б50.

4. Наблюдение «магнитного» поворота спекл-картины света, прошедшего через оптическое волокно I М.8. Даршт, Б.8. Зельдович, И.В. Жиргалова, Н.Д. Кундикова II Письма в ЖЭТФ.

- 1994. - Т. 59. - С. ?З4-?Зб.

5. Борн, М. Основы оптики I М. Борн, Э. Вольф. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 19?З. -

?21 с.

6. ZhurOmSkyy, O. MagnetOOptiCal WaveguideS with POlarizatiOn-Independent NOnreCiprOCal PhaSeShift I O. ZhurOmSkyy, H. DotSCh, M. LOhmeyer, L. WilkenS, P. Hertel II IEEE jOurnal Of Lightwave TeChnOlOgy. - 2001. - V. 19, № 2. - P. 214-221.

Поступила в редакцию 20 июля 2011 г.

MAGNETIC FIELD INFLUENCE COHERENT LIGHT PROPAGATION THROUGH AN OPTICAL WAVEGUIDE

A.V. Ershov1, N.D. Kundikova2

ExaCt exSpreSSiOnS fOr determinatiOn Of the magnetiC field influenCe SpeCkle pattern Of the COherent light tranSmitted thrOugh OptiCal fiber with Step like index prOfile have been Obtained.

Keywords: Faraday effect, magnetic field, optical fiber, step like index profile.

References

1. Landau L.D., LifShitS E.M. Elektrodinamika sploshnykh sred (EleCtrOdynamiCS Of COntinuOuS Media). Moscow, Nauka, 1982. б20 p.

2. Smith A.M. POlarizatiOn and magnetOOptiC properties Of single-mOde OptiCal fiber. Applied Optics. 19?8. VoI. 1?, nO. 1. pp. 52-5б.

3. Baranova N.B., Zel’doviCh B.Ya. Rotation of a ray by a magnetiC field. JEPT Lett. 1994. Vol. 59. pp. б48-б50.

4. Darsht M.Ya., Zel'doviCh B.Ya., Zhirgalova I.V., Kundikova N.D. Pis'ma v ZhETF. 1994. VOl. 59. pp. ?З4-?Зб.

5. Born M., Wolf E. Osnovy optiki (PrinCiples of OptiCS). Moscow, Nauka, 19?3. ?21 p.

6. Zhuromskyy O., DotSCh H., Lohmeyer M., Wilkens L., Hertel P. MagnetooptiCal Waveguides with Polarization-Independent NonreCiproCal PhaseShift II IEEE Journal of Lightwave Technology. -2001. Vol. 19, no. 2. pp. 214-221.

' Ersh0v Alexander Viktorovich is P0stgraduate student, OptiCs and SpeCtrosC0py Department, S0uth Ural State University.

2 Kundik0va Nataliya Dmitrievna is Dr. Sc. (PhysiCs and MathematiCs), Pr0fess0r, OptiCs and SpeCtr0sC0py Department, S0uth Ural State University_e-mail:knd@susu^_______________________________________________________________________________________