CC BY
34
СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ПОЛУЧЕННОГО КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ РЕШЕНИЙ ДЛЯ КРУГЛОГО ВОЛОКНА
В.В. Котляр, Я.О. Шуюпова
Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
Аннотация
В настоящей работе рассматривается конечно-разностный метод расчета констант распространения и полей векторных мод круглых оптических волокон со ступенчатым профилем показателя преломления. Производится оценка точности полученного таким образом решения волнового уравнения с соответствующим аналитическим решением, которое является известным для данного типа волокон.
Введение
В последние годы по-прежнему актуальной остается проблема разработки эффективных методов анализа собственных мод оптических волноводов и волокон различных типов и конфигураций. Так в работе [1] рассматривается широко известный метод конечных разностей в применении к расчету векторных мод фотонных волноводов. Работа [2] посвящена усовершенствованному методу эффективного индекса для расчета таких модовых характеристик как эффективный индекс и дисперсия в фотонных волноводах. Продолжают активно изучаться круглые двух- и трехслойные волокна со ступенчатым профилем показателя преломления [3]. Особое внимание уделяется аналитическим и около аналитическим [4] методам анализа слабонаправляющих волокон.
В данной работе проведено численное сравнение аналитического решения и решения, полученного конечно-разностным методом, задачи расчета собственных пространственных мод оптического волокна со ступенчатым показателем преломления.
1. Конечно-разностный метод решения волновых уравнений
В работе [1] рассматривается метод конечно-разностного решения векторных волновых уравнений для монохроматического света для расчета мод в оптическом волноводе. Однако расчет был проведен только для электрической составляющей электромагнитного поля. Соответствующих формул и самого расчета для магнитной составляющей светового поля в [1] нет. Поэтому в этом разделе мы приведем расчетные формулы для обеих составляющих электромагнитного поля.
Рассмотрим однородные волновые уравнения для монохроматического излучения в диэлектрической среде без источников:
V2Е + У(У 1пп2 ■ Е) + к02п2Е = 0, (1)
V2Н - (ух Н) XV 1пп2 + п2к02Н = 0
(2)
где п - показатель преломления среды, зависящий от поперечных координат (х,у), к0 = 2п / X - волно-
вое число в вакууме, X - длина волны света. Далее применим уравнения (1) и (2) для волноводов, однородных вдоль продольной оси г. При этом электрическая и магнитная составляющие поля можно представить в виде Е(х, у, г) = Е(х, у)ехр(-/кгг) и Н(х,у,г) = Н(х,у)ехр(-/кгг), где Е(х,у) и Н(х,у) - напряженности составляющих поля в поперечной плоскости, кг - константа распространения. Далее
дЕ
используются граничные условия Неймана —^ = 0
дН 0
и -= 0 ,
дп
где п - вектор нормали к границам ис-
дп
следуемой области.
Принимая во внимание инвариантность волновода вдоль продольной оси г и справедливость ра-
венств
д 1п п
= 0 , дЕ/ = -1кЕ
и д% = -1кгН >
'дг ~ ' /дг' векторные уравнения (1) и (2) можно представить в матричной форме:
Рх Ру
Р Р
ух уу _ Оу
Оуу
\ЕХ' ~ЕХ'
= к
1Еу _ г Еу _
Ох
Оу
\ Нх' ' Нх'
= к
НУ _ г НУ _
(3)
(4)
где непрерывные дифференциальные операторы Рц и определяются следующим образом:
дх
д(1п п2 ■ Ех)
д2 Еу Р...Е.. = - у
дх д
дх 2 д
д2 Ех ' ду2
д(1пп2 ■ Еу)
д
- + п к02 Ех
+ п2к: Е,,
Р Е = — " у дх
Р Е = —
ух х ду
д(1п п2
■Еу)
д
д(1п п2 ■ Ех)
дх
д2 Еу
дхду
д2 Ех дудх
ОхНх =
д2 Н„
-—\ 1п п2
д
дх2
дНх
_(1 + 1п п2 ))^
1 ' ду2
д
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
+ п К Нх
QyyHy = ( П2)
д2 Hx д2 Hv
дх2
ду
д_
Г, 2дНу ^ 1п п--
ду
+п к2 ну,
дНу
QxvH V =4- (1пп 2 - 1пп 2
ду
дх
дН.
дудх
д 2 Нх
д 2 дН 2 Q Hx =— (1п п 2-^) - 1п п 2-
ух Л --V 4 ' -Л -Л
дх ду дхду
(10)
(11) (12)
Заменяя непрерывные дифференциальные операторы конечно-разностными, получаем две независимые задачи на собственные значения относительно квадрата константы распространения:
2,
(13)
ВН = клгН . (14)
Размерность каждой из задач (13) и (14)
АЕ = к 2 Е ,
,2,
2М х 2М , где М = пхпу .
У
здесь пх, пу — количество
У
узлов сетки по соответствующим осям. Вектор-столбцы Е и Н , являются собственными векторами в задачах (13) и (14) и содержат отсчеты всех четырех поперечных компонент моды.
2. Аналитическое решение волновых уравнений для круглого волокна со ступенчатым профилем показателя преломления
Известны характеристические уравнения относительно константы распространения моды, для каждого типа мод, способных распространяться в круглом волокне со ступенчатым профилем показателя преломления [5].
Таблица 1. Характеристические уравнения для круглого волокна со ступенчатым профиле
НЕ -ЕН - vm \ J'V(U) + <(Ш) ]х \и^(и) ШК\(Ш) ] х \ J:(и) + п2 ) | = 1и^(и) п2С0ШК\(Ш) ] Г vkz V ( V У [ К по J 1 ишJ
ТЕ0т - J1(U) + КХ(Ш) и 0(и) ШК 0(Ш)
ТМ0т - nc2oJl(U) + п11К1(Ш) Ш0(и) ШК0(Ш)
Величины, входящие в выражения таблицы 1: псо - показатель преломления сердечника;
пс1 - показатель преломления оболочки; к0 = —, где Л0 - длина волны исследуе
о
и = р(к о пСоо - кг)1/2
параметр моды в сердечнике;
чения в мкм;
, 2 2
к0 псо
2 2 2 1 /2
Ш = р(кг - к0 пс1) - параметр (направляемой) моды в оболочке;
V = к0р(пСО - п^) - волноводный параметр;
р - радиус сердечника в мкм;
кг - константа распространения моды;
Jv - функция Бесселя первого рода порядка V;
Ку - модифицированная функция Бесселя второго
рода порядка V.
Также существует соотношение, связывающее параметр волокна V и параметры моды в оболочке и сердечнике Ш и и :
V 2 = Ш 2 + и2.
Выразив Ш через и и V и подставив вместо к^
выражение к^ = (к0пСо + и /р)(к0пСо - и /р), можно рассматривать характеристические уравнения как уравнения относительно параметра моды в сердечнике и .
Согласно введенным в [5] обозначениям, каждой моде присваивается два индекса: V - порядок моды, т - номер корня соответствующего характеристического уравнения. При этом корни нумеруются так, чтобы т = 1 соответствовал наименьшему и.
Условие отсечки и = V означает, что для направляемых мод решения характеристических уравнений следует искать только в области и < V или, что то же самое, константы распространения направляемых мод должны лежать в интервале
к0пс1 < К < к0псо .
Таким образом, если корень уравнения определяющего отсечку соответствующей моды не принадлежит области и < V, для волновода с таким V эта мода не существует. Гибридная мода НЕп условия отсечки не имеет и, следовательно, существует всегда. Круглый волновод со ступенчатым профилем является одномодовым, то есть в нем распространяется только НЕ11 , если его волноводный параметр 0 < V < 2,405.
Когда определена константа распространения, собственно составляющие моды рассчитываются по также известным формулам. Например, поперечные компоненты гибридных НЕт и ЕНт мод, будут определяться следующим образом (см. таблицу 2).
Таблица 2. Формулы для расчета поперечных электрических составляющих НЕут и ЕНу
моды в полярных координатах
Компонента
Сердцевина
Оболочка
Ег
а^^иК) + ^2 Jv+l(UR)
У (и)
/у (Ф)
и а^К^фК) - а2К^т)
Ф
К, (Ф)
/V (Ф)
ЕФ
а^Щ) - а2.^ЦК)
У (и)
(Ф)
и а1Ку-1(ФК) + а2КУ+!(ФК)
Ф
К, (Ф)
ёу (Ф)
Здесь
К = г / р - нормированный радиус +1
- коэффициенты, рассчиты-
Р -1 р
а, =-, а2 =——
1 2 2 2
ваются через ниже следующие параметры:
Р =
ит
2
V ) Ъ + ¿2
Ь = \^(и) ^(и)
2и [ У, (и) ./„ (и)
Ъ =- _!_ \ Ку-1(ф) + ку+х(Ф ) [; 2 2Ф [ Ку (Ф) Ку (Ф)
соб(уф) - четные моды(у - четное)
/ (Ф) = ёу (Ф) =
sin(vф) - нечетные моды(у - нечетное) '
-sin(vф) - четные моды(у - четное) соб(уф) - нечетные моды(у - нечетное)
На границе двух сред при К = 1 оба выражения для каждой из поперечных составляющих мод в сердечнике и оболочке дают одинаковый результат. Собственно из этого условия непрерывности и вытекают характеристические уравнения.
Переходя к декартовым координатам, получаем следующие выражения:
Ех = Ег СОБ ф - Еф БШ ф, Еу = Ег бШ ф - Еф СОБ ф.
(15)
3. Численные результаты Рассматривается слабонаправляющий волновод с
радиусом сердечника Гсо = 3 цт и показателями пре-
п = 1,47 п, = 1,463 ломления 01 и 0 в сердечнике и в
оболочке, соответственно. Расчет производится для
Х0 = 1,3 цт г-р длины волны излучения 0 ^ . Так как вол-
новодный параметр для данной модели
V = 2 078 < 2 405
' ' , то волокно является одномодо-
вым. Результаты расчета константы распростране-
к.
пе/ =-
к
0 НЕи
0 моды 11
ния и эффективного индекса конечно-разностным и аналитическим методами по казаны в таблице 3.
Распределение основной поперечной составляющей моды НЕ11 - Еу, показаны на рис. 1.
Таблица 3. Значения параметров моды НЕ11 для слабонаправляющего волокна,
описанного в тексте, рассчитанных разными методами
Параметр Конечно-разностный метод, пх х пу = 52 х 52 Аналитическое решение
кг, цт 7,0855 7,0859
"е// 1,4660 1,4661
2 4 6 8 10 12 14 х, мкм
Рис. 1. Графики распределения компоненты Еу
моды НЕи для слабонаправляющего волокна, описанного в тексте, (а) - конечно-разностный метод пх х пу = 52 х 52, (б) - аналитическое решение
Среднеквадратическое отклонение между двумя решениями для Еу , нормированными по интенсивности на единицу, по области Фх хФу = 14цт х 14цт составило 0,00444 .
Далее рассматривается круглое волокно со ступенчатым профилем показателя преломления псо = 1,5 - в сердечнике и пс1 = 1 - в оболочке, с радиусом сердечника гсо = 0,52 цт . Длина волны излучения в вакууме принимается равной Х0 = 1,55 цт . Это волокно также является одномо-довым, так как его волноводный параметр V = 2,357 < 2,405. Распределение основной поперечной составляющей моды НЕ11 - Еу , показаны на рис. 2.
Из рис. 2 видно, что, не смотря на круглое сечение сердечника и квадратное сечение оболочки волокна, преимущественная по величине составляющая элек-
V
трического поля Еу имеет эллиптическую форму. В
диапазоне изменения числа узлов сетки по каждой из осей координат от 30 до 68 конечно-разностный метод не демонстрирует равномерной сходимости рассчитываемого эффективного индекса НЕ11 круглого волокна к аналитическому решению (рис. 3).
. _ _ _ 2 3
а) х,мкм б) х,мкм
Рис. 2. Графики распределения компоненты Еу
моды НЕи для круглого волокна, описанного в тексте, (а) - конечно-разностный метод пх х иу = 52 х 52 , (б) - аналитическое решение
1,265
30 35 40 45 50 55 60 65
Рис. 3. График зависимости значения эффективного индекса пед направляемой моды НЕи круглого волокна,
описанного в тексте от числа узлов сетки по каждой из осей в метода конечных разностей; штриховой линией показано точное значение, полученное аналитическим методом
Из рис. 3 видно, что максимальное относительное отклонение рассчитанного пед от точного значения
пд. = 1,2333 при пх,пу > 35 составляет около 1,1%.
Заключение
Таким образом, в работе подробно рассмотрен конечно-разностный подход к решению волновых уравнений. Получены матричные уравнения относительно константы распространения моды отдельно для поперечных электрических и магнитных составляющих моды, отсчеты которых получаются в данном случае как собственные векторы матриц. Проведен расчет основной моды круглых одномодовых волокон методом конечных разностей, и показано, что результирующие константы распространения и распределения полей хорошо согласуются с результатами, полученными аналитически (отклонение около 1%).
Благодарности Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, правительства Самарской области и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF Project SA-014-02) в рамках российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), а также при поддержке гранта Президента РФ № НШ-1007.2003.01 и гранта РФФИ №05-08-50298.
Литература
1. Yang R., Xue W., Huang T, Zhou G. Research on the effect of air hole shape on the properties of microstructured optical fibers // Opt. Eng. 2004 V. 11. N. 43. Р. 27012706.
2. Park R.N., Lee K.S. Improved effective-index mehod for analysis of photonic crystal fibers // Optics Letters, 2005, Vol. 30. N. 9. P. 958-960.
3. Daxhelet X., Martineau L., Bures J. Influence of fiber index profile on vectorial fiber modes and application to tapped fiber devices // Journal of Lightwave Technology, 2005. Vol. 23. N. 5. P. 1874-1880.
4. Liang Z., Cao Z., Shen Q., Deng X., Exact eiigenvalue equations for weakly guiding optical fibers with arbitrary graded-index profile. // Journal of Lightwave Technology, 2005. Vol. 23. N. 2. P. 1874-1880.
5. Снайдер А., Лав Д. Теория оптических волноводов // М., Радио и связь, 1987.
