CC BY
85
РАСЧЕТ МОД ФОТОННО-КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО СВЕТОВОДА РАЗНЫМИ МЕТОДАМИ
Я.О. Шуюпова1, В.В. Котляр2 1 Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН, 2Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва
Аннотация
Результаты расчета эффективного индекса для фундаментальной моды фотонно-кристаллического световода с заполненным сердечником, полученные с помощью нового конечно-разностного метода и коммерческой программы РГММЖЛУБ 4.6, совпадают с точностью до 0,2 %. Новая реализация метода согласованных синусоидальных мод в среде МайаЪ 7.0 дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод (до 20 мод), чем коммерческая программа БГММЖЛУБ. В работе сделан обзор и приведена обширная литература по методам расчета мод фотонно-кристаллических световодов.
Ключевые слова: фотонно-кристаллические световоды, моды световода, численные методы расчета мод.
Введение
Коммерческая программа моделирования процессов распространения света FIMMWAVE v.4.6 (http://www.photond.com/products/fimmwave.htm) позволяет рассчитывать моды диэлектрических световодов с произвольным поперечным сечением однородных в продольном направлении, в том числе фотонно-кристаллических световодов (ФКС), с помощью реализации векторного метода согласованных синусоидальных мод (FMM Solver (real)) и метода эффективного индекса (Eff. Idx. Solver (real)).
Основной целью статьи является сравнение двух реализаций метода FMM c помощью программы FIMMWAVE 4.6 и программы в среде Matlab 7.0 для расчета мод ФКС.
Фотонно-кристаллические световоды - это относительно новый класс оптических волокон, использующих свойства фотонных кристаллов [1]. ФКС представляют собой кварцевую или стеклянную микроструктуру с периодической либо апериодической системой микровключений, чаще цилиндрических микроотверстий, ориентированных вдоль оси волокна. Дефект микроструктуры, соответствующий отсутствию одного или нескольких элементов в центре структуры, служит сердечником световода, обеспечивая волноводный режим распространения электромагнитного излучения. Существуют световоды со сплошным сердечником или сердечником с более высоким усредненным показателем преломления относительно микроструктурированной (дырчатой) оболочки, которые используют эффект полного внутреннего отражения, так же как и обычные оптические волокна, но в отличие от последних могут обладать лучшей способностью удерживать свет в сердечнике при его распространении за счет большей локальной разницы показателей преломления в сердечнике и оболочке. Другой тип ФКС для заключения в себе света использует эффект фотонных запрещенных зон (брэгговское отражение), создаваемый микроструктурированной оболочкой, за счет этого свет может удерживаться и распространяться даже в сердечнике с более низким по отношению к оболочке показате-
лем преломления, в том числе и в полом сердечнике. Фотонная запрещенная зона, возникающая в спектре пропускания (зависимость коэффициента пропускания от длины волны) двумерной периодической оболочки световода данного типа, обеспечивает высокий коэффициент отражения для излучения, распространяющегося вдоль полого сердечника, позволяя существенно снизить потери, присущие модам обычных полых световодов со сплошной оболочкой и быстро растущие [2] с уменьшением диаметра полого сердечника. Среди световодов второго типа выделяется несколько групп. Световоды с полым сердечником -центральное отверстие, как правило, большего радиуса, окружается «кольцами» микроотверстий. Волокно Брэгга [3-7] имеет полый сердечник, окруженный оболочкой, образованной чередующимися кольцами с низким и высоким показателями преломления. В работе [8] демонстрируется волокно Брэгга с заполненным материалом (твердым) сердечником, рабочая область которого может быть смещена в видимый диапазон путем варьирования толщины оболочки из брэгговских отражающих колец. Твердотельные световоды [9, 10], оболочка которых содержит стержни с высоким показателем преломления, размещенные в основном материале световода с низким показателем преломления. Кроме того, в обоих типах световодов может варьироваться целый ряд параметров (рис.1), таких как форма микроотверстий (круглые, квадратные, эллиптические) [11], схема локализации микроотверстий (правильные шестиугольная и прямоугольная решетки, неправильные решетки) [12, 13], количество сердечников [14, 15], количество дефектов, образующих сердечник [16, 17], материал, заполняющий микроотверстия [18, 19]. Так, например, в работе [20] полости в оболочке ФКС заполнялись жидкими кристаллами, что породило гибридный механизм распространения света: эффект полного внутреннего отражения и эффект фотонных запрещенных зон действуют соответственно на ортогонально поляризованные моды. О применении ФКС, заполненных жидкими кристаллами, в оптических свичах говорится в работах [21-23].
ЛИ
ждмшж 0000000000000
ЖоЖоожВДА 0000000 0000000
шш
ШАШАШ
. mm
Рис. 1. Сечения различных типов ФКС: (а) - схема сплюснутой шестиугольной решетки с эллиптическими отверстиями [12], (б) - схема сечения волокна Брэгга с тремя концентрическими цилиндрическими слоями кварца [6], (в) - оптический микроснимок сечения твердотельного световода, светлые и темные области на снимке соответствуют областям с
низким и высоким показателями преломления [10]
С созданием ФКС появились новые степени свободы для управления характеристиками световода, позволившие эффективно управлять дисперсией, делать волокна с очень высокой или очень низкой нелинейностью, с большой или малой эффективной площадью моды и т.д.
Теоретический интерес к ФКС вызван в большей степени фактом наличия в их структуре больших контрастов показателя преломления, чем в обычных слабонаправляющих волокнах, и, как следствие, необходимости создания специальных работоспособных методов их исследования. Стоит отметить, что способность ФКС заключать в себе свет зависит от множества факторов, таких как количество микровключений, их местоположение, соотношение диаметра и расстояния между центрами. Это дает широкое поле деятельности для проектирования световодов с заранее заданными свойствами.
С общей точки зрения, фотонный кристалл является сверхрешеткой (crystal superlattice) - средой, в которой искусственно создана периодическая модуляция какой-либо внутренней характеристики вещества, на порядки превышающая период основной атомной решетки вещества. Для фотонов такую модуляцию получают периодическим изменением коэффициента преломления среды в одном, двух или трех измерениях (1D-, 2D-, 3Б-фотонные структуры соответственно). Если период оптической сверхрешетки сравним с длиной электромагнитной волны, то поведение фотонов кардинально отличается от их поведения в решетке обычного кристалла, узлы которого находятся друг от друга на расстоянии, много меньшем длины волны света. Поэтому такие решетки и получили особое название - фотонные кристаллы.
Понятие разрешенных и запрещенных энергетических зон является основным в твердотельной электронике. В оптике твердого тела схожие понятия появились лишь в 1987 году [24]. Как и электрические среды, в зависимости от ширины запрещенных зон фотонные кристаллы можно разделить на проводники - вещества, способные проводить свет
на большие расстояния с малым поглощением, диэлектрики - практически идеальные зеркала, полупроводники - вещества, способные, например, выборочно отражать фотоны определенной длины волны, и сверхпроводники, в которых благодаря коллективным явлениям фотоны распространяются практически на неограниченные расстояния.
Аналогично примесному атому, нарушающему трансляционную симметрию атомного потенциала, изменения диэлектрической проницаемости в определенной области фотонного кристалла нарушают трансляционную симметрию и приводят к появлению разрешенной моды внутри фотонной запрещенной зоны, локализованной в пространственной окрестности дефекта.
Изготавливаемые путем набора однородных стержней или трубок в заготовки и последующей вытяжки их в волокна, имеющие полости (неоднородности) по всей длине, ФКС по аналогии с кристаллами имеют зонную энергетическую структуру, т. е. у них существуют разрешенные и запрещенные энергетические зоны, в которых свет с определенной длиной волны либо может, либо не может распространяться вдоль волокна. Такой световод в поперечном сечении является двумерным кристаллом с зонной структурой фотонного изолятора. При этом в продольном направлении волокно является идеальным проводником.
Заготовки для производства ФКС могут выполняться из различных диэлектрических материалов, таких как кварц, полимеры, легкоплавкие стекла. Кварц используется часто по причине прозрачности в широком диапазоне длин волн. Заготовки обычно имеют длину порядка 400-600 мм, внешний диаметр - 20-40 мм и содержат исходные элементы (стержни, трубки), формирующие затем микроструктуру размерами порядка 0,5-5 мм [25]. Впоследствии заготовки вытягиваются в волокна диаметром около 100 мкм с конечными размерами элементов структуры порядка одного микрометра и меньше. В процессе вытягивания геометрия исходной микроструктуры может деформироваться, исследованию влия-
ния ее искажения на дисперсию и свойство двулу-чепреломления посвящены работы [26, 27].
Благодаря оболочке в виде фотонного кристалла ФКС обладают рядом свойств, отличающих их от обычных световодов. Так, ФКС могут быть одномо-довыми в очень широком диапазоне длин волн [28]. Величина и наклон кривой дисперсии групповой скорости может сильно меняться в зависимости от геометрических параметров ФКС, что позволяет, например, сместить ее нулевое значение в область более коротких длин волн, чем у стекла, получить дисперсию с малым наклоном в достаточно широком диапазоне длин волн или требуемое значение дисперсии на заданной длине волны [29-33]. В работе [34] исследуется связь между эффективной площадью моды и дисперсией. ФКС, дисперсия которого может изменяться в широких пределах за счет незначительного изменения показателя преломления материала, производимого фоточувствительным германием, присутствующим в составе в качестве добавки, предложен в работе [35]. Обладающие аномальной дисперсией групповой скорости ФКС могут быть использованы в качестве компенсаторов дисперсии [36]. Анизотропия формы сечения ФКС, связанная, например, с использованием множественного дефекта для образования сердечника [17] или геометрически неправильных решеток периодической структуры оболочки, приводит к возникновению двулучепреломления. Ортогонально поляризованные моды в таких световодах различаются постоянными распространения, т.е. проекциями на оптическую ось волнового вектора моды, эффективными модовыми индексами, групповыми скоростями, значениями дисперсии групповой скорости и другими параметрами. Структура ФКС позволяет достигать больших, порядка 10-2, значений параметра двулучепреломления Ъп = - , где пи
пуе^ - эффективные модовые индексы ортогонально
поляризованных мод [12]. ФКС со значительным двулучепреломлением привлекательны для использования в оптических сенсорах. В таких световодах удается осуществить преобразование частоты лазерных импульсов и поляризационное управление явлением генерации суперконтинуума - искусственного белого света, получаемого в результате нелинейно-оптического преобразования сверхкоротких лазерных импульсов [37].
Масштабное преобразование геометрии одномо-дового ФКС позволяет изменять эффективную площадь моды в широких пределах (практически на два порядка), что дает возможность управления величиной нелинейных эффектов в ФКС [31, 38]. ФКС с большой площадью моды позволяют достигать высоких энергий лазерных импульсов в волоконных лазерах и усилителях [15].
Оптические солитоны - важный класс объектов нелинейной оптики, используемых для передачи оптических сигналов на большие расстояния и позволяющих наблюдать новые нелинейно-оптические
явления [39]. ФКС с полым сердечником позволяют сформировать устойчивые изолированные моды (солитоны) мощных сверхкоротких световых импульсов и осуществлять эффективные нелинейно-оптические преобразования таких полей [40]. Полые ФКС открывают широкие возможности для передачи нано- и пикосекундных импульсов высокой мощности для биомедицинских и технологических приложений [41].
Для целей передачи информации наиболее важной задачей является создание световодов, в которых удастся снизить затухание до величины меньше фундаментального предела затухания обычных кварцевых световодов, порядка 0,2 дБ/км, определяемого рэлеевским рассеянием в материале волокна. Сердечники ФКС обычно изготавливаются из кварца, поэтому уменьшение затухания в них ниже фундаментального предела невозможно так же, как в обычных волокнах. Для ФКС, в основе действия которых лежит эффект фотонных запрещенных зон, в случае падения света с длиной волны, лежащей в запрещенной зоне полубесконечной периодической структуры оболочки, должно происходить полное отражение падающего света, но так как в реальных световодах количество периодических слоев ограничено, происходит частичное вытекание света из волокна. В работе [42] показано, что данные потери можно сократить до уровня ниже 0,01 дБ/км. Оптимизации слоев оболочки брэгговских волокон с точки зрения минимизации потерь посвящена работа [43]. Установлено [44], что значительный вклад в потери ФКС с полым сердечником вносит механизм рассеяния, основанный на перекачке энергии направляемых мод в поверхностные моды оболочки [45], которых нет в обычном кварцевом волокне, поэтому необходимо обеспечить отсутствие самих поверхностных мод [46, 47] или, как минимум, чтобы в спектральной области фотонных запрещенных зон отсутствовал волновой синхронизм между направляемыми и поверхностными модами. Для волокон Брэгга, как показано в работе [48], общие потери можно снизить до уровня от 0,01 до 0,1 дБ/км при использовании в оболочке материала с затуханием 10 дБ/км. Твердотельные световоды, обладающие лучшей устойчивостью к механическим воздействиям по сравнению с полыми световодами, демонстрируют большие потери при распространении света, составляющие порядка 2 дБ/км в случае использования вокруг каждого стержня дополнительного слоя с еще более низким показателем преломления, нежели основной материал оболочки [10].
В данной работе приведен краткий обзор существующих методов расчета мод ФКС, а также проведено сравнение между некоторыми из них. В работе показано, что значения эффективного индекса для фундаментальной моды, полученные с помощью КР-метода и коммерческой программы БГММЖЛУБ для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2 %. По-
казано также, что разработанная авторами реализация ССМ-метода в среде МаИаЪ [80] дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод (до 20 мод), чем коммерческая программа РЕММЖЛУБ.
Методы расчета мод фотонно-кристаллических световодов
Основной задачей исследования ФКС, как и световода любого другого типа, является проблема отыскания его мод - электромагнитных полей, способных в нем распространяться. Исторически первым методом, примененным для расчета мод ФКС, стал метод эффективного индекса [28, 49-51]. Метод эффективного индекса является одним из самых быстрых, суть его состоит в замене сложной модели сечения ФКС с множеством микроотверстий на адекватную модель обычного круглого световода со ступенчатым профилем показателя преломления. При этом метод уступает конкурентам по точности.
Существует несколько методов, предназначенных для расчета мод ФКС. Все их можно условно разделить на три группы: приближенно-аналитические методы, или методы декомпозиции, интегральные методы и конечно-разностные методы.
Методы декомпозиции
Основная идея, эксплуатируемая в данной группе методов, - это возможность представления поля моды световода в форме разложения по некоторому базису. В результате чего отыскание мод сводится к задаче на собственные значения и собственные вектора некоторой матрицы.
Разложение по плоским волнам [32] с периодическими граничными условиями дает решение для бесконечного, периодически повторяющегося в поперечной плоскости световода, что делает принципиально невозможным получение данным методом мнимой части константы распространения, соответствующей потерям при распространении вытекающей или несобственной моды.
Метод разложения по модам Гаусса-Эрмита [29, 30] оказывается более пригодным для описания сложной структуры сечения ФКС, нежели метод разложения по плоским волнам, однако данный метод ограничен применением только к ФКС с отверстиями в оболочке, расположенными в узлах правильной гексагональной решетки, так как расстояние между центрами любых двух соседних отверстий должно быть фиксировано, и это значение входит в выражение для базисных функций.
Обобщением метода мультиполя, применяемого обычно для световодов с несколькими сердечниками, на случай ФКС можно считать работу [52]. Ключевым аспектом предлагаемого авторами метода мультиполя является то, что он с выгодой использует факт округлости включений и свойства симметрии, присущие многим ФКС, в связи с регулярностью расположения микроотверстий [53].
Сильная сторона метода также состоит в том, что он позволяет вычислять как действительную, так и мнимую части константы распространения. В отличие от подхода мультиполя для световодов с несколькими сердечниками, продемонстрированного в работе [54], использующего технику поточечной стыковки поля на границах включений, метод [52] обрабатывает граничные условия путем разложения компонент поля по ортонормальному базису. Авторы утверждают, что применение метода может быть расширено также на световоды с произвольной формой включений, в соответствии со стратегией, предложенной в работе [55].
Характерной чертой метода согласованных синусоидальных мод (ССМ-метод) [56] является техника разбиения неоднородного сечения волновод-ной структуры на прямоугольные области с постоянным значением показателя преломления среды. В каждой из таких областей поле моды аппроксимируется суперпозицией факторизованных гармонических функций. А константы распространения мод находятся из условия минимизации невязки представлений поля на границах соседних областей, для чего используется интегральный подход. Метод согласованных синусоидальных мод использует процедуры поиска корней уравнений, и потому проигрывает по скорости методам, основанным исключительно на отыскании собственных чисел матриц.
Интегральные методы
Интегральные методы являются сеточными, то есть в отличие от методов предыдущей группы в данном случае решением задачи отыскания поля моды является сеточная функция, а не заданная аналитически.
Среди этой группы можно выделить метод конечных элементов [57, 58]. Он представляет собой мощный инструмент векторного анализа, способный учитывать все особенности геометрии микроотверстий и расположение их в структуре сечения. Достаточно быстрый и гибкий, он часто используется для моделирования свойств ФКС. Среди недостатков метода конечных элементов можно назвать требовательность к ресурсам памяти, так как для описания структуры сечения ФКС требуется подробная дискретизация и большое количество переменных, а также необходимость вмешательства человека в работу алгоритма для лучшего определения граничных условий (Perfectly matched layer) и сетки дискретизации.
Метод граничных элементов [59], где сечение разбивается на однородные области, а задача на собственные значения получается в результате применения теоремы Грина, отличает меньшая требовательность к ресурсам памяти. Однако существенным недостатком является возможность возникновения ложных решений.
В методе функции Грина [60] задача отыскания констант распространения мод также сводится к задаче на собственные числа матрицы, для решения
которой разработан специальный быстрый алгоритм. Этот метод работоспособен в случае сложных геометрических форм микроотверстий, хотя и с меньшей скоростью сходимости, чем в случае круглых отверстий.
Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы так же, как и методы интегральные, дают сеточное решение.
Метод конечных разностей (КР-метод) широко используется для решения разного рода уравнений. Благодаря простоте реализации этот метод стал удобным инструментом для расчета мод оптических световодов, особенно тех, для которых не существует аналитического решения, например, таких как ФКС. Наличие больших контрастов показателя преломления в структуре сечения ФКС требует использования полностью векторного подхода при расчете мод вместо часто используемого для слабонаправляющих световодов скалярного подхода. Однако, как было продемонстрировано в работе [61], скалярный конечно-разностный метод может использоваться для получения как минимум качественной оценки распределения мод ФКС, в том числе на основе эффекта фотонных запрещенных зон.
Для более точного анализа были предложены векторные конечно-разностные схемы [62]. Дискретизации подвергаются дифференциальные операторы и функции, входящие в уравнение Гельмгольца или волновые уравнения. В работе [63] представлен конечно-разностный пространственно-временной подход (РБТО-метод) расчета мод ФКС с использованием сдвинутых сеток (ячеек Йи). Усовершенствованному конечно-разностному пространственно-временному методу, учитывающему дисперсию материала, посвящена публикация [64].
Результатом применения специальных конечно-разностных схем к нестационарным волновым уравнениям или уравнениям Максвелла является семейство методов распространения пучка [6567]. Суть методов состоит в моделировании распространения когерентного пучка света вдоль световода, в результате чего получают моды данной структуры как бы апостериорно. С помощью метода удобно исследовать энергетические потери при прохождении излучения по световоду, хо -тя это может быть и затруднительно в связи с проблемой сходимости метода к устойчивому со -стоянию, а плохо сходящиеся результаты для многомодового световода будут получаться вся -кий раз, когда более одной моды достигают устойчивого состояния одновременно.
Модернизация ССМ-метода
Базовая идея ССМ-метода, близкая к идее другого метода - метода поперечного резонанса [68, 69], была впервые сформулирована в работе [70]. Последующее развитие метод получил в работе [71], где его применяли для расчета потерь излучения за счет вытекающих мод в ступенчатых световодах. Затем в работах [56, 72] был введен описательный термин
«согласование синусоидальных мод» и дана точная математическая формулировка. Близость метода поперечного резонанса и другого широко используемого метода - метода линий [73, 74], отмечалась уже неоднократно [75, 76]. Подход бинаправленного распространения собственной моды [77] и метод бинаправленного распространения, основанный на методе линий [78], позволяют вычислять распределение любых (не только модовых) полей в оптических световодах. Оба они могут рассматриваться как частные случаи метода поперечного резонанса. Несмотря на преимущества данного подхода, связанные с возможностями полного векторного анализа и непрерывным характером результирующего поля, ССМ-метод до публикации авторов [79] не применялся для моделирования ФКС. Кроме того, в ССМ-методе процедуры поиска корней (нулей функции) как на начальном этапе отыскания локальных мод, так и при определении константы распространения обладают существенным недостатком, а именно: возможен пропуск корней в том случае, если они располагаются вблизи друг друга или вблизи разрыва функции на расстоянии меньше шага дискретизации. Пропуск корней в первом случае ведет к неверному решению для пространственной моды, а во втором - и вовсе к ошибочному отрицанию факта существования моды световода с некоторым значением константы распространения. Поэтому в работе [80] ССМ-метод был модифицирован на этапе отыскания констант распространения с помощью итеративного метода Крылова решения нелинейной матричной задачи на собственные значения и вектора. А на этапе поиска локальных мод авторами предложен оригинальный «статистический» алгоритм нахождения нулей непрерывной функции.
Модернизация КР-метода
За основу конечно-разностного метода, рассматриваемого в настоящей работе, был взят подход, предложенный в работе [11], где для расчета мод использовалась техника применения конечно-разностных аппроксимаций к стационарным векторным волновым уравнениям для монохроматического света. КР-метод выигрывает (в несколько раз) по скорости работы алгоритма у ССМ-метода, поскольку задача отыскания константы распространения и отсчетов сеточных решений для поперечных компонент электрической или магнитной составляющих напрямую сводится к линейной матричной задаче на собственные числа и вектора. В работе [11] приводится вывод только для электрической составляющей электромагнитного поля. Компоненты магнитной составляющей могут быть рассчитаны через компоненты электрической составляющей путем численного их дифференцирования, что влечет возникновение дополнительных ошибок. В работе [81] формулируется математическая задача расчета магнитной составляющей светового поля и строится алгоритм ее решения. Полностью расписана структура матрицы линейной задачи на собст-
венные значения и вектора для электрической составляющей, которая не показана в [11]. Совместное решение двух аналогичных, но независимых задач для электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля позволяет произвести контроль правильности работы метода путем сравнения значений констант распространения.
Сравнениереализаций ССМ- и КР-метода
с программой FIMMWA VE Для модели ФКС, сечение которого изображено на рис.2, и длины волны X = 1,3 мкм в FIMMWAVE с применением FMM Solver (real) с числом локальных y-мод равным шестидесяти была получена фундаментальная мода с эффективным индексом 1,4477.
Полученные авторами ранее [82] результаты с помощью реализаций модернизированных ССМ- и КР-методов для данной модели сравниваются с результатом работы FIMMWAVE в Таблице 1.
39 ---------
7 6 5 4 3 2 1
О 12 3456789
X, мкм
Рис. 2. Модель сечения фотонно-кристаллического световода: темным показаны области со значением показателя преломления п1=1,47, светлым - с п2 = 1
Таблица 1. Абсолютное и относительное отклонения значений эффективного индекса фундаментальной моды ФКС (рис. 2.), рассчитанных разными методами, от результата, полученного ЕММШЛУЕ
Как следует из Таблицы 1, результаты трех рассмотренных методов отличаются от результата FMM Solver (real) не более чем на одну десятую процента. На рис.3 показаны распределения интенсивности моды, рассчитанной программой FIMMWAVE (г), скалярной моды, полученной ССМ-методом (а), и основной векторной компоненты магнитного поля, полученной ССМ-методом (б) и КР-методом (в). Из рис. 3 видно, что все четыре картины основной моды очень близки.
Для другой модели ФКС (рис. 4) с круглыми отверстиями и заполненным сердечником, расчет фундаментальной моды которого в работе [83] производился с помощью только КР-метода, также было проведено сравнение с коммерческой программой FIMMWAVE.
При прочих равных параметрах модели и количестве локальных y-мод FMM Solver (real) равном тридцати было получено значение эффективного индекса nfjMWA^ = 1,4533. Таким образом, относительное отклонение значения, полученного КР-методом nf = 1,4509, составляет 0,17 %.
На рис.4 показаны два аналогичных сечения ФКС, но рядов отверстий в модели на рис.4б на один меньше, чем на рис.4 а. Это сделано для то -го, чтобы показать, что увеличение числа рядов отверстий в оболочке ФКС больше трех не приводит к заметному влиянию на параметры основной моды.
На рис.5 показаны распределения модулей амплитуд поперечных электрических составляющих фундаментальной моды, рассчитанных для ФКС (рис.4) КР-методом (а, б) и программой FIMMWAVE (в, г). Из рис. 5 видно, что оба метода дают почти одинаковые картины фундаментальной моды, и что эта мода почти вся сосредоточена в сердечнике ФКС.
В сопровождающей документации к программному продукту FIMMWAVE рекомендовано использовать минимальное число локальных мод, равное тридцати, что согласуется с исследованиями сходимости метода, проведенными в [79]. Сравним две реализации СММ-метода: предложенную в работе [80] и коммерческую программу FIMMWAVE - на сходимость относительно числа локальных мод. Изменение относительной ошибки расчета одного из выходных параметров - константы распространения, от числа локальных мод в диапазоне от 10 до 60 для ФКС (рис. 2) показано на рис. 6.
Из сравнения графиков на рис.6 следует, что предложенная в работе [80] реализация в среде Matlab 7.0 дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод (до 20), чем коммерческая программа FIMMWAVE. Если выбрать число локальных мод при расчете ССМ-методом больше 30, но меньше 60, то обе реализации будут давать практически одинаковые результаты (рис. 6).
Метод Эффек- Абсолют- Относи-
тивный ное тельное
индекс, отклоне- отклоне-
neff ние, А ние, 8
КР-метод, 1,4480 0,0003 0,02%
nxxny=52x52
ССМ-метод 1,4473 0,0004 0,03%
(векторный)
ССМ-метод 1,4491 0,0014 0,10%
(скалярный)
FMM Solver 1,4477 0 0
(real)
7 8 9 X, мкм г)
■ кт; Мо(1е ¡пгывНу □0®
I 51с Орйогк Екр»*
еН 8 ;п(1е:< = (1.447639313, 0)
а; Ё -
\ а;
а и э; А
г;
1 _ °о"" 1" "й III 1 1 1 1 1111 1111 1 И 1 1111 1 I! I 3 4 5 6 7 6 9 Ьог:гоп1 ь\/|оп
Рис 3. Для модели ФКС (рис. 2) распределения квадрата модуля амплитуды скалярного поля фундаментальной моды, рассчитанное ССМ-методом (а), распределения квадрата модуля амплитуды наибольшей векторной компоненты Н у
фундаментальной моды , рассчитанное ССМ- методом (б), распределения квадрата модуля амплитуды наибольшей векторной компоненты Ну фундаментальной моды, рассчитанное КР-методом (в), и распределения интенсивности фундаментальной моды, полученное в программе ЕИММШЛУЕ (г)
Рис. 4. Модель сечения ФКС (а): темным показаны области со значением показателя преломления щ = 1,46, светлым -отверстия, заполненные воздухом «2 = 1; окно программы ЕИММШЛУЕ с моделью сечения аналогичного световода (б), но
количество рядов отверстий по вертикали на один меньше
НЕ®
в;
File Add Options Export
ooooooooo oooooooooo ooooooooo oooo uoooo
■ООО ООО
oooo oooo ooooooooo oooooooooo ooooooooo oooooooooo
5 6 7 hofijonlol/ijLrn
г;
Fite Add Options Export
ooooooooo oooooooooo ooooooooo oooo oooo
ООО ООО
oooo oooo ooooooooo oooooooooo ooooooooo oooooooooo
5 6 7 borljcnioly urn
Рис. 5. Для модели ФКС (рис. 4а) распределения абсолютных значений амплитуды поперечных электрических
составляющих фундаментальной моды: Ex
(а) и Ey (б), рассчитанные КР-методом, и для модели ФКС (рис.4б)
Ex (в)
и Ey (г) , полученные программой FIMMWAVE
£
1 3
S U
а
£ О
0,0012 0,0010
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
О
■0,0002
— CCM Matlab CCMFMMWAVE
1.
О 10 20 30 40 50 К
Рис. 6. Зависимость относительной ошибки константы распространения фундаментальной моды ФКС (рис. 2) от числа локальных мод для двух реализаций ССМ-метода
Заключение В работе дан обзор методов расчета мод фотон-но-кристаллических световодов и получены следующие результаты:
Значения эффективного индекса для фундаментальной моды, полученные с помощью КР-метода и коммерческой программы FIMMWAVE для двух моделей ФКС с заполненным сердечником совпадают с точностью до 0,2% . 2. Разработанная авторами реализация ССМ-метода в среде Matlab [80] дает более устойчивую и монотонную сходимость, а также существенно меньшую величину ошибки при малом числе локальных мод, чем коммерческая программа FIMMWAVE.
Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF PG08-014-1), гранта РФФИ 08-0799007 и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9).
Литература
1. Knight, J.C. All-silica single mode optical fiber with photonic crystal cladding / J.C. Knight, T.A. Birks ,
P.S.J. Russel , and D.M. Atkin // Opt. Lett., 1996. - Vol. 21(19) - p. 1547-1549.
2. Adams, M.J. An Introduction to Optical Waveguides / M.J. Adams - New York, Wiley, 1981.
3. Yeh, P. Theory of Bragg fiber / P. Yeh, A. Yariv, and E. Marom // J. Opt Soc. Am., 1978. - Vol. 68 - p. 1196-1201.
4. Ibanescu, M. All-dielectric coaxial waveguide / M. Ibanescu, Y. Fink, S. Fan, E.L. Thomas, and J.D. Joannopoulos // Science 2000. - N. 289 - p. 415-419.
5. Cojocaru, E. Dispersion analysis of hollow-core modes in ultralarge-bandwith all-silica Bragg fibers, with nanosupports / E. Cojocaru // Appl Opt, 2006. - Vol. 45(9) - p. 2039 - 2045.
6. Foroni, M. Confinement loss spectral behavior in hollow-core Bragg fiber / M. Foroni [and other] // Opt Lett., 2007. - Vol. 32(21) - p. 3164 - 3166.
7. Zhelticov, A.M. Ray-optic analysis of the (bio)sensing ability of ring-cladding hollow waveguides / A.M. Zhelticov // Appl. Opt, 2008. - Vol. 47(3) - p. 474-479.
8. Dupuis, A. Guiding in the visible with "colorful" solid-core Bragg fiber / A. Dupuis [and other] // Opt. Lett., 2007. - Vol. 32(19) - p. 2882-2884.
9. Fang, Q. Despersion design of all-solid photonic bandgap fiber / Q. Fang [and other] // J. Opt. Soc. Am. A., 2007. -Vol. 24(11) - p. 2899-2905.
10. Ren, G. Low-loss all-solid photonic bangap fiber / G. Ren [and other] // Opt. Lett. 2007 - Vol. 32(9) - p. 1023-1025.
11. Yang, R. Research of the effects of air hole shape on the properties of microstructured optical fibers / R. Yang [and other] // Opt. Eng. 2004 - Vol. 43(11) - p. 2701-2706.
12. Yue, Y. Highly birefringent elliptical-hole photonic crystal fiber with squeezed hexagonal lattice / Y. Yue [and other] // Opt. Lett. 2007 - Vol. 32(5) - p. 469-471.
13. Choi, H.-G. Discpersion and birefringence of irregularly microstructured fiber with elliptical core / H.-G. Choi [and other] // Appl. Opt. 2007 - Vol. 46(35) - p. 8493-8498.
14. Mafi, A. Shaping Modes in Multicore Photonic Crystal Fiber / A. Mafi and J.V. Moloney // IEEE Photonics Tech Lett. 2005 - Vol. 17 - p. 348-350.
15. Michaille, L. Characteristics of a Q-switched multicore photonic crystal fiber laser with a very large mode field area / L. Michaille [and other] // Opt. Lett. 2008 - Vol. 33(1) - p. 71-73.
16. Szpulak, M. Experimental and theoretical investigations of birefringent holey fibers with a triple defect / M. Szpulak [and other] // Appl. Opt 2005 - Vol. 44 - p. 2652-2658.
17. Eguchi, M. Geometrical birefringence in square-lattice holey fibers having a core consisting of multiple defect / M. Eguchi, Y. Tsuji // J. Opt. Soc Am. A. 2007 - Vol. 24(4).
18. Zhang, Ch. Design of tunable bandgap guidance in highindex filled microstructure fibers / Ch Zhang [and other] // J. Opt Soc. Am A. 2006 - Vol. 23(4) - p. 782-786.
19. Sun, J. Refractive index measurement using photonic crystal fiber / J. Sun [and other] // Opt Eng. 2007 - Vol. 46(1).
20. Sun, J. Hybrid guiding in liquid-crystal photonic crystal fibers / J. Sun, Ch.Ch. Chan // J. Opt. Soc. Am. A. 2007 -Vol. 24(10) - p. 2640-2646.
21. Larsen, T. Optical devices based on liquid crystal photonic bandgap fibres / T. Larsen [and other]// Opt Express 2003 - Vol. 11(20) - p. 2589-2596.
22. Haakestad, M. W. Electrically tunable photonic bandgap guidance in a liquid-crystal-filled photonic crystal fiber / M.W. Haakestad [and other] // IEEE Photon. Technol. Lett. 2005 - Vol. 17(4) - p. 819-821.
23. Domachuk, P. Transverse probed microfluidic switchable photonic crystal fiber devices / P. Domachuk, H.C. Nguyen, B.J. Eggleton // Photon Technol. Lett., 2004. -Vol. 16(8) -p. 1900-1902.
24. Yablonovitch, E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics / E. Yablonovitch // Phys. Rev. Lett., 1987. - Vol. 58 - p. 2059-2062.
25. Wynne, R.M. A Fabrication Process for Microstructured Optical Fibers / R.M. Wynne // J. Lightwave Tech., 2006. - Vol. 24(11).
26. Lui, J. Impact of imperfect geometry structure on nonlinear and chromatic dispersion properties of microstructure fiber / J. Lui [and other] // Appl. Opt., 2007. - Vol. 46(31) - p. 7771-7775.
27. Zghal, M. Impact of small geometrical imperfections on chromatic dispersion and birefringence in photonic crystal fiber / M. Zghal, R. Cherif // Opt. Eng., 2007. -Vol. 46(12).
28. Birks, T.A. Endlessly single-mode photonic crystal fiber / T.A. Birks, J.C. Knight, P.St.J. Russell / Opt Lett., 1997. - Vol. 22(13) - p. 961-963.
29. Mogilevtsev, D. Group-velocity dispersion in photonic crystal fibers / D. Mogilevtsev, T.A. Birks, P.St J. Russell // Opt Lett, 1998. - Vol. 23 - p. 1662-1664.
30. Broderick, AN.G.R. Modeling Large Air Fraction Holey Optical Fiber / AN.G.R. Broderick [and other] // J. Opt. Tech., 2000. - Vol. 18 - p. 50-56.
31. Broderick, AN.G.R. Nonlinearity in holey optical fibers: measurement and future opportunities / AN.G.R. Broderick [and other] // Opt Lett., 1999. - Vol. 24 - p. 1395.
32. Ferrando, A. Full-vector analysis of a realistic photonic crystal fiber / A. Ferrando [and other] // Opt. Lett., 1999. -Vol. 24, p. 276-278.
33. Ferrando, A. Nearly zero ultraflattened dispersion in photonic crystal fibers / A. Ferrando [and other] // Opt. Lett., 2000. - Vol. 25 - p. 790-792.
34. Moester, M. Analitical relation between effective mode field area and waveguide dispersion in microstructure fibers / M. Moester [and other] // Opt. Lett., 2006. -Vol. 31(22) - p. 3249-3251.
35. Zhang, L. Photosensitivity-enabled dispersion controllability for quasi-phase-matching in photonic crystal fibers / L. Zhang [and other] // Opt. Lett., 2007. -Vol. 32(24) - p. 3498-3500.
36. Riishede, J. Inverse design of dispersion compensating optical fiber using topology optimization / J. Riishede and O. Sigmund // J. Opt Soc. Am B., 2008. - Vol 25(1) - p. 88-97.
37. Желтиков, А.М. Да будет белый свет: генерация суперконтинуума сверх короткими лазерными импульсами / А.М. Желтиков // Успехи физических наук, 2006. - Т. 176, №6. -C. 623-649.
38. Knight J.C. Large mode area photonic crystal fiber / J.C. Knight, T.A. Birks, R.F. Gregan, P. St J. Russell, de Sandro J.-P. // Electron Lett, 1998. - Vol. 13. - p. 1347.
39. Hasegawa, A. Optical solitons in fibers / A. Hasegawa -Heidelberg, Springer, 1990.
40. Федотов, АБ. Полые фонтонно-кристаллические волокна для передачи мегаваттных фемтосекундных импульсов в солитонном режиме / А.Б. Федотов [и др.] // Российские нанотехнологии, 2007. - Т. 2, № 3-4. - C. 134-139.
41. Желтиков, А.М. Микроструктурированные световоды для нового поколения волоконно-отических источников и преобразователей световых импульсов / А.М.Желтиков // Успехи физических наук, 2007. -Т. 177, №7. - С. 738-762.
42. Xu, Y. Loss analysis of air-core photonic crystal fibers / Y. Xu, and A. Yariv // Opt. Lett, 2003. - Vol. 28. - PP. 1885-1887.
43. Богданович, Д.В. Минимизация потерь и расчет оптических свойств брэгговских волоконных световодов с полой сердцевиной / Д.В. Богданович // Письма в ЖЭТФ, 2007. - Т. 86, № 4. - C. 265-269.
44. Павлова, Е.Г. Механизм потерь в фотонно-кристаллических волокнах / Е.Г. Павлова // Lightwave Russian Edition, 2005. - № 3. - C. 54-56.
45. Saito, K. Air-core photonic bang-gap fibers: the impact of surface modes / K. Saito, N.A. Mortensen, and M. Koshiba // Opt Express, 2004. - Vol. 12(3). - PP. 394-400.
46. Kim, H.K Designing air-core photonic-bandgap fibers free of surface modes / H.K. Kim [and other] // IEEE J. of Quantum Electronics, 2004. - Vol. 40(5). - PP. 551-556.
47. Digonnet, M.J.F. Simple geometric criterion to predict the existence of surface modes in air-core photonic-bandgap fiber / M.J.F. Digonnet [and other] // Opt. Express, 2004. - Vol. 12(9). - PP. 1864-1872.
48. Sakai, J. Optical loss estimation in Bragg fiber / J. Sakai // J. Opt. Soc. Am. A, 2007. - Vol. 24(4).
49. Adibi, A. An Approximate Effective Index Model for Efficient Analysis and Control of Beam Propagation Effects in Photonic Crystals / A. Adibi [and other] // J. Lightwave Technology, 2005. - Vol. 23(3). - PP. 1522-1532.
50. Park, K N. Improved effective-index method for analysis of photonic crystal fibers / K.N. Park and K.S. Lee // Opt Lett., 2005. - Vol. 30(9). - PP. 958-960.
51. Li, Y. Improved fully vectorial effective index method for photonic crystal fibers: evaluation and enhancement / Y.Li [and other] // Appl. Opt, 2008. - Vol. 47(3). - PP. 399-406.
52. White, T.P. Multipole method for microstructured optical fibers / T.P. White [and other] // J. Opt. Soc. Am. A, 2002. - Vol. 19(10). - PP. 2322-2330.
53. Steel, M.J. Symmetry and degeneracy in microstructured optical fibers / M.J. Steel [and other] // Opt. Lett., 2001. -Vol. 26. - PP. 488-490.
54. Yamashita, E. Modal analysis method for optical fibers with symmetrically distributed multiple cores / E.Yamashita, S. Ozeki and K. Atsuki // J. Lighhtwave Techn., 1985. - Vol. 3. - PP. 341-346.
55. Tayed, G. Scattering by a random set of parallel cylinders / G. Tayed [and other] // J. Opt. Soc. Am. A, 1994. - Vol. 11. - PP. 2526-2538.
56. Sudbo, A.S. Film mode matching: A versatile method for mode field calculations in dielectric waveguides / A.S. Sudbo // Pure Appl. Opt. (J. Europ. Opt. Soc. A), 1993. - Vol. 2. - PP. 211-233.
57. Cucinotta, A. Holey fiber analysis through the finite element method / A. Cucinotta [and other] // IEEE Photon. Technol. Lett., 2002. - Vol. 14. - PP. 1530-1532.
58. Brechet, F. Complete analysis of characteristics of propagation into photonic crystal fibers by the finite element method / F. Brechet [and other] // Opt. Fiber Technol., 2000. - Vol. 6(2). -PP. 181-191.
59. Guan, N. Boundary Element Method for Analysis of Holey Optical Fibers / N. Guan [and other] // J. Lightwave Technol., 2003. - Vol. 21(8).
60. Cheng, H. Fast, accurate integral equation methods for the analysis of photonic crystal fibers / H. Cheng [and other] // Opt. Express, 2004. - Vol. 12(16) - PP. 37913805.
61. Riishede, J. A "Poor Man's Approach" to Modeling Micro-Structured Optical Fibers / J. Riishede, N.S. Morten-sen and J. Legsgaard // J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 2003. -Vol. 5. - PP. 534-538.
62. Hardley, G.R. Full-vector waveguide modeling using an iterative finite-difference method with transparent boundary conditions / G.R. Hardley and R.E. Smith // J. Lightwave Technol., 1994. - Vol. 13. - PP. 465-469.
63. Zhu, Z. Full-vectorial finite-difference analysis of micro-structured optical fibers / Z. Zhu and T.G. Brown // Opt Express, 2002. - Vol. 10(17). - PP. 853-864.
64. Jiang, W. An Extended FDTD Method With Inclusion of Material Dispersion for the Full-Vectorial Analysis of Photonic Crystal Fibers / W. Jiang [and other] // J. Lightwave Technol., 2006. - Vol. 24(11). - PP. 4417-4423.
65. Xu, C.L Full-vectorial mode calculations by finite difference method / C.L. Xu [and other] // Inst Elec. Eng., Proc.-J., 1994. - Vol. 141. - PP. 281-286.
66. Huang, W.P. The finite-difference vector beam propagation method. Analysis and Assessment / W.P.Huang [and other] // J. Lightwave Technol., 1992. - Vol. 10. - PP. 295-305.
67. Xu, C.L. Efficient and accurate vector mode calculations by beam propagation method / C.L. Xu // J. Lightwave Technol., 1993. - Vol. 11(9). - PP. 1209-1215.
68. Itoh, T. Numerical techniques for microwave and millimeter-wave passive structures / T. Itoh - New York, Wiley, 1988.
69. Sorrentino, R. Transverse resonance technique / R. Sor-rentino // Ch. 11 in Itoh's book [68].
70. Schlosser, W. Partially filled waveguides and surface waveguides of rectangular cross section / W. Schlosser and H.G. Unger - New York, Advances in Microwaves -Academic, 1966.
71. Peng, S.T. Guidance and leakage properties of a class of open dielectric waveguides: Part I - Mathematical formulations / S.T. Peng and A.A. Oliner // IEEE Trans. Microwave Theory Techn, 1981. - Vol. MTT-29. - PP. 843-855.
72. Sudbo, A.S. Improved formulation of the film mode matching method for mode field calculations in dielectric waveguides / A.S. Sudbo // Pure Appl. Opt. (J. Europ. Opt. Soc. A), 1994. - Vol. 3. - PP. 381-388.
73. Pregla, R. The method of lines / R. Pregla and W. Pascher // Ch. 6 in Ithon's book [68].
74. Rogge, U. Method of lines for the analysis of dielectric waveguides / U. Rogge and R. Pregla // J. Lighhtwave Techn.,1993. - Vol. 11. - PP. 2015-2020.
75. Sudbo, A.S. Problems in vector mode calculations for dielectric waveguides / A.S. Sudbo // Linear and Nonlinear Integrated Optics, SPIE Europto Series Proceedings, 1994. - Vol. 2212. - PP. 26-35.
76. Dreher, A. New Aspects of Method of lines / A. Dreher and T. Rother // IEEE Microw. Guided Wave Lett., 1996.
- Vol. 5. - PP. 451-453.
77. Sztefka, G. Bidirectional eigenmode propagation for large refractive index steps / G. Sztefka and H.P. Nolting // IEEE Photonic Technol. Lett., 1993. - Vol. 5. - PP. 554-557.
78. Gerdes, J.J. Bidirectional eigenmode propagation analysis of optical waveguides based on the method of lines / J.J. Gerdes // Electron. Lett., 1994. - Vol. 30. -PP. 550-551.
79. Kotlyar, V.V. Calculating the Modes in Microstructured Optical Fibers / V.V. Kotlyar, Y.O. Shuyupova // Optical Memory & Neural Networks (Information Optics), 2004.
- Vol. 13. - PP. 27-36.
80. Котляр, В.В. Нахождение констант распространения методом Крылова при расчете мод фотонных волноводов / В.В. Котляр, Я.О. Шуюпова // Компьютерная оптика, ИСОИ РАН, 2007. - T. 31. - C. 27-30.
81. Котляр, В.В. Сравнение аналитического и полученного конечно-разностным методом решений для круглого волокна / В.В. Котляр, Я.О. Шуюпова // Компьютерная оптика, ИСОИ РАН, 2005. - T. 28. - C. 41-44.
82. Шуюпова, Я.О. Сравнение двух методов расчета пространственных мод волноводов на фотонных кристаллах / Я.О. Шуюпова // Сборник трудов. Всероссийский семинар по моделированию, дифракционной оптике и обработке изображений, 3-7 июля 2006. - C. 9-11.
83. Котляр, В.В. Расчет мод фотонно-кристаллического световода разностным методом / В.В. Котляр, Я.О. Шуюпова // Оптический журнал, 2007. - Т. 74, № 9. - С. 600-608.
В редакцию поступила 29.01.2009г.
