Возбуждение волн свистового диапазона в магнитоактивной плазме при наличии дактов с пониженной плотностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

УДК 533.951

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛН СВИСТОВОГО ДИАПАЗОНА В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ ПРИ НАЛИЧИИ ДАКТОВ С ПОНИЖЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

© 2011 г. В.А. Еськин, Т.М. Заборонкова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского eskin@rf.unn.ru

Поступила в редакцию 01.07.2011

Исследованы особенности возбуждения волн свистового диапазона при наличии поперечно-неоднородного цилиндрического дакта с пониженной плотностью в однородной магнитоактивной плазме. На основании строгого решения уравнений Максвелла для полного поля, представленного в виде разложения по волнам дискретной и непрерывной частей пространственного спектра, получено выражение для сопротивления излучения однородного кольцевого электрического тока, расположенного внутри дакта. Определены условия, при которых наличие дакта с пониженной плотностью приводит к заметному увеличению сопротивления излучения кольцевого тока по сравнению со случаем размещения данного источника в однородной плазме с плотностью, соответствующей приосевой области дакта или фоновой среде. Приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие изменение характеристик излучения кольцевого тока в резонансной области свистового диапазона частот применительно к условиям модельных лабораторных и активных ионосферных экспериментов по формированию дактов с пониженной плотностью в магнитоактивной плазме.

Ключевые слова: дакты с пониженной плотностью, волны свистового диапазона, сопротивление излучения.

Введение

Изучению особенностей возбуждения и распространения волн свистового диапазона при наличии цилиндрических плазменных структур, находящихся во внешнем постоянном магнитном поле, посвящено большое число работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу). Это объясняется, с одной стороны, важной ролью, которую свистовые волны (вистлеры) играют во многих физических процессах в ионосфере и магнитосфере Земли [1-4]. С другой стороны, использование направляющих свойств вытянутых вдоль внешнего магнитного поля плазменных неоднородностей (дактов плотности) открывает дополнительные возможности для решения ряда прикладных задач диагностики космической плазмы [5] и разработки новых методов эффективного возбуждения вистлеров в магнитоактивной плазме [2, 6]. В подавляющем большинстве теоретических работ, посвященных поведению свистовых волн в открытых направляющих структурах в магнитоактивной плазме, рассматриваются дакты с повышенной относительно фона плотностью [2, 6-10]. Вопросы возбуждения и распространения элек-

тромагнитных волн свистового диапазона при наличии в плазме дактов с пониженной плотностью получили в литературе значительно меньшее внимание и исследовались в ряде работ лишь для некоторых частных случаев [11, 12]. Детальному теоретическому изучению дисперсионных свойств и структуры поля собственных мод поперечно-неоднородного цилиндрического дакта с пониженной плотностью, расположенного в однородной магнитоактивной плазме, посвящена работа [13].

В настоящей статье исследуются особенности возбуждения волн свистового диапазона в магнитоактивной плазме при наличии поперечно-неоднородных дактов с пониженной плотностью. Заметим, что подобные волноводные структуры могут возникать в лабораторной или ионосферной плазме вследствие нелинейного взаимодействия полей электромагнитных источников с окружающей (фоновой) плазменной средой [14-16] и представляют значительный интерес для управления характеристиками излучения источников в свистовом диапазоне. В последние годы интерес к особенностям излучения свистовых волн при наличии в плазме дактов с пониженной плотностью стимулиро-

вался новыми экспериментальными исследованиями соответствующих плазменных структур в космической [4] и лабораторной плазме [17].

Постановка задачи и основные соотношения

Рассмотрим продольно-однородный дакт плотности в холодной бесстолкновительной неограниченной магнитоактивной плазме. Предполагается, что дакт ориентирован вдоль внешнего постоянного магнитного поля В0,

направленного по оси г цилиндрической систе-

мы координат (р, ф, 2). Плазма описывается тензором диэлектрической проницаемости е - ig 0 ^ є = е0 ig є 0 , (1)

0 0 л

V V

где є 0 - электрическая постоянная. Будем считать, что круговая частота возбуждаемых в среде волн ю удовлетворяет условию

юьн << ю << юн << юр, (2)

где юш - нижняя гибридная частота, юн и юр -

гирочастота и плазменная частота электронов соответственно. При выполнении условия (2), отвечающего резонансной области свистового диапазона частот, выражения для компонент тензора (для зависимости от времени в виде ехр(іюґ)) даются формулами [18]:

є = -

2

2

юН — ю

, g =

2 2 ЮрЮН Юр

------------- л = —

(Юн — ю ) ю ю

л(р,2) = Фо 1о§(р-Ъ)8(г). (5)

Здесь 5 - функция Дирака, Ъ - радиус источника, 10 - его полный ток. Для определения эффективности возбуждения свистовых волн источником (5) необходимо вначале получить решение уравнений Максвелла при наличии в плазме дакта плотности. С учетом азимутальной симметрии задачи решение уравнений Максвелла в области вне источника может быть представлено в виде разложения по собственным волнам [2]

Е,,а (Г Ч) Е,,а(р Ч)

^.а^ Ч)_ ^.а^ Ч)_

ехр— ^0Р,,а(Ч)2 ) , (6)

Выберем следующее модельное распределение плотности плазмы. Пусть в областях пространства р < а0 и р > ах плотность плазмы

принимает постоянные значения N = N и N = N соответственно, причем N < Na. В области а < Р < а плотность N плавно изменяется по закону

N (Р) = 1 {~ + Na + (^ - Na ) ЯП [п(а - рУ(а1 - а0 )] }, (3)

где а = (а0 + а1)/2. В частном случае дакта с резкой границей, когда а0 = а1 = а , вместо профиля плотности (3) имеем

N (р) = Na +(~ - Na ) [1 -и(р-а)], (4)

где V - единичная функция Хевисайда.

Поле возбуждается кольцевым гармоническим электрическим током, плотность которого имеет вид

где д - поперечное волновое число в фоновой плазме с плотностью N, нормированное на волновое число в свободном пространстве к0 =ю/с; функция р5а(д) описывает зависимость нормированного (на к0) продольного волнового числа р от поперечного волнового числа д для «обыкновенной» (а = о) и «необыкновенной» (а = е) нормальных волн фоновой плазмы; индекс 5 отмечает направление распространения волны (5 = + и 5 = - обозначают волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях оси 2 соответственно); Е5а(р, д) и В5а(р, д) - векторные функции, описывающие радиальное распределение поля собственной волны, отвечающей поперечному волновому числу д и индексам 5 и а . Функции р5а(д) удовлетворяют

соотношению р+,а(д) = Ра(д)=-Р-,а(д), где ра(д) записывается в виде [2]

Ра(чЬ Я(д ) =

1

Єа 2

1

Ла

Л

ч2 + Хак(ч)

\ 2

1 —

2

ч4 — ^ ч2 + gр2

Ла

12

12

(7)

Здесь еа, и обозначают компоненты тензора в, § и в фоновой плазме,

%о = -%е = -1. Предполагается, что Яе Я(д)> 0 и 1тра (д)< 0 . Заметим, что радиальные и продольные компоненты векторных функций Е5а(р,д) и В5а(р,д) могут быть выражены

через две скалярные функции Е а(р , д) и Ар^а^ д) [2].

Л

а у

Согласно работе [2], в рассматриваемом случае искомое разложение полного поля содержит локализованные в поперечном направлении собственные моды, направляемые дактом, которые составляют дискретную часть пространственного спектра возбуждаемых волн, а также волны непрерывной части спектра. Последним соответствуют все положительные действительные значения д . В однородной фоновой

плазме (р > а1) азимутальные компоненты полей волн непрерывной части спектра имеют следующий вид:

Еф;,а ^ Ч) = і[Х>

к=1

С,к>(Ч )н1к) (к0Чр) +

О,,а(Ч )н1(2 )(koЧаP)],

Бф;,а (P, Ч )=—с 1[ХХ

к=1

х С«(ЧНІН1к) (к0 ЧР)

0Ч

+ А,а (Ч)п[2ХН12)(к0ЧаР)][ ] •

+

Здесь и[1’2^ - функции Ханкеля 1-го и 2-го

рода, Со и О5,а - подлежащие определению коэффициенты. Остальные величины в (8) даются формулами

,(1-2

1)(ч ь-^Ча^-

2

+ Ра

2

(Ч)+ — — еа ] (Р,,а(Ч )g а )_\

Є а

Ча= Ч, Ча2)= Ча(Ч) =

<?а

ЛаР,,а(Ч)

(Ч)

Ж

12

та. Обозначая их через Еф^аІР, ч), -~ф!,,а(р, Ч)

для азимутальных компонент поля в области р < ах в виде

2

Еф;,,а (P, Ч) = іХ (Ч)Е~фк,,а О5, Ч),

к=1

2

Вф;,,а (P, Ч) = —с_1 X (Ч)ВфЙа (P, Ч)

(10)

к=1

(1 2)

где Д5,а ; - подлежащие определению коэффициенты. Очевидно, что в однородной приосевой части дакта (р< а0) решения Е^к]а(р, д) и

Вфк]а(р, д) переходят в известные цилиндрические функции (см. [2]). Задавая значения этих функций и их производных на границе р = а0,

можно шит функции а(р, д) и Д^1, а(р? д)

в неоднородной области а0 < р < а1 для любого значения д используя численные методы решения уравнений Максвелла. Такая процедура автоматически обеспечивает непрерывность тангенциальных компонент поля при р = а . Далее, удовлетворяя условиям непрерывности тангенциальных компонент поля на границе р = а1, приходим к системе линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффици-

(12) (12)

А( I', С(' Ос . Эта система может

матричной форме

(8)

ентов

быть представлена

,, а •

в

8 • О = С,12р, где компоненты вектора О дают-

( = а(1,2)

(1,2 = А,,а

(3=с,22.

(9)

где предполагается, что 1тча(ч) < 0 .

В неоднородной области дакта компоненты поля не могут быть записаны в виде известных функций, так что при р < ах эти компоненты приходится отыскивать с использованием численных методов. Однако и в данном случае поле внутри дакта представляется в виде суммы линейно независимых решений системы уравнений, записанной для азимутальных композит п°ля Ер.,,^ Ч) и В-;,,^ Ч). Из четырех линейно независимых решений этих уравнений два решения являются регулярными на оси дак-

(!) (рЧ) В~(!)

ф;,,а^?У/> ф;,,

и ^р2,^^ ч\ ДPр,,а(P, Ч), запишем выражения

ся выражениями

(4 = О, а . Элементы матрицы 8 и компоненты

вектора Р, которые для краткости здесь не представлены, находятся из условия непрерывности тангенциальных компонент поля на границе р = ах. Приведенное матричное уравнение

дает четыре линейных соотношения для пяти

(12) (12)

коэффициентов , С^у , О,,а , один из которых может быть выбран произвольным образом. Для численных расчетов удобно положить

С,^ = ¿е! 181, а затем определить оставшиеся коэффициенты.

Поперечно локализованные собственные моды, направляемые дактом, отвечают дискретным комплексным значениям 4 (п = 0, 1, 2, ...), которые являются корнями уравнения С^п ) = 0 и имеют отрицательную мнимую часть (ітчп < 0). Подстановка ч„ в Р, 2(ч) дает постоянные распространения р, п собствен-

X

є

а

а

Е, отн.ед. В, отн.ед.

Рис. 1. Распределения по поперечной координате компонент поля низшей азимутально-симметричной моды с постоянной распространения рх = 48.38при значениях параметров (18)

ных мод. При этом предполагается, что р±п = ±рп. Поля собственных мод записываются в виде

ех р(- 'Кр^п2 )> (11)

Е5,П )] Е5,П (р)_

В5,п (Г ^ [_В5,П (р)^

где Е5,п (р) = Е5,а(р. дп ) и В5,п (р) = В5,а(р. дп ) .

С учетом проведенного рассмотрения полное поле азимутально-симметричного источника при наличии дакта плотности представляется в виде следующего разложения по волнам дискретной и непрерывной частей спектра:

е(г)

В(г)_

= 1 а

Е»'

В5,п(г)

XI а5,а(д)

Е.а (г, д)

В, а (г. д)

Nn =■

2л

^0

| [Е+,п (р)х В-тп (р)-

- Е-^п (р) Х В+,п (р)]2 0рф.

Na (д) = -

16Л

7 к 7 0к0

¿ра(д) ад

1 + Л-1 (п«)2 ] С«(д) С+2)(д) ,

где ц0 - магнитная постоянная, 70 = д/ц0/в0 -

волновое сопротивление вакуума.

Полное сопротивление излучения кольцевого электрического тока с плотностью (5) записывается в виде

ДЕ= 2Ре/|10|2 = £ К + К,, (15)

где Р£ - полная излучаемая мощность,

К = -2л Ъ К^оЧ.пДр^.п (Ъ))

(16)

(

Я„, = -2л Ъ Яе

0 I ^5, а V

V а=о 0 Величины К и К

е о |

1П а.. а(g)Eф;s,а(Ъ, я) ¿Я(17)

представляют собой

где а5 п и а5 а - коэффициенты возбуждения

соответствующих мод. Далее, действуя по аналогии с известными методами, разработанными для отыскания коэффициентов возбуждения волн открытых волноводов [2], получим в случае источника (5) следующие выражения

а±,п = ^лЬ^ЕХп (Ъ),

а±.а= 1,2л Ъ^Е^ЦЪ, д) . (13)

Здесь знак (т) обозначает поля, взятые в среде,

описываемой транспонированным тензором

т

диэлектрической проницаемости в , нормировочные величины N и Nа (д) для волн даются формулами

(14)

парциальные сопротивления излучения в волны дискретной и непрерывной частей спектра соответственно. Подчеркнем, что в бесстолкнови-тельной холодной плазме «обыкновенная» волна является нераспространяющейся в диапазоне частот (2). Поэтому в рассматриваемом случае на указанных частотах вклад в правую часть формулы (17) дает лишь слагаемое, отвечающее «необыкновенной» волне.

Возбуждение волн свистового диапазона при наличии в магнитоактивной плазме дакта с пониженной плотностью

Выполненный в работе [13] анализ показывает, что в диапазоне частот (2) дакт с пониженной плотностью плазмы может направлять объемные собственные моды, постоянные распространения которых лежат в интервале

2~12 < р < 281/2 . Здесь и далее величины со знаком тильда относятся к внутренней области дакта (р < а0). Кроме того, дакт с пониженной плотностью может направлять поверхностные собственные моды с постоянными распростра-

п

5,п

а 0

п

о

X

X

Рис. 2. Зависимости полного и парциальных сопротивлений излучения источника (5) от его радиуса Ь при значениях параметров (18): а - полное сопротивление излучения источника при размещении его в дакте с пониженной плотностью (кривая 1) и в однородной плазме с плотностью N (кривая 2); б - парциальные сопротивления излучения в объемные собственные моды дакта с пониженной плотностью (номера кривых соответствуют значениям радиального индекса п )

нения p < 2s12 . Заметим, что в случае азимутально-симметричных мод дакт может поддерживать не более одной поверхностной моды в свистовом диапазоне частот. Оговоримся сразу же, что поверхностные моды, которым соответствует радиальный индекс n = 0, не представляют большого интереса из-за низкой эффективности их возбуждения источником (5). Поэтому основное внимание мы сосредоточим на объемных собственных модах, которые будем отмечать радиальным индексом, принимающим значения n = 1, 2, ... в порядке возрастания постоянных распространения мод pn.

В качестве примера на рис. 1 представлены компоненты поля низшей (n = і) азимутальносимметричной объемной моды для следующих значений параметров:

®/®н = 0.3; 5р /юр = 0.82; юр/юн = 29.3;

юна/с = 0.42; а0/а = 0.8; aja = 1.2.

Отметим, что выбранные значения безразмерных параметров являются типичными для модельных лабораторных экспериментов по наблюдению дактов с пониженной плотностью в магнитоактивной плазме [12].

На рис. 2 для тех же значений параметров приведены результаты численных расчетов зависимости полного сопротивления излучения Ri кольцевого электрического тока с плотностью (5) от его радиуса b (нормированного на а) при наличии в плазме дакта с пониженной плотностью (кривая 1 на рис. 2а), а также аналогичные зависимости для парциальных сопро-

(18)

тивлений излучения в собственные моды (рис. 2б). Для сравнения на рис. 2а показано полное сопротивление излучения того же источника, помещенного в однородную плазму, плотность которой совпадает с плотностью плазмы N внутри дакта (рис. 2а, кривая 2). Аналогичная зависимость, отвечающая размещению данного источника в однородной фоновой плазме, лишь на несколько процентов превышает кривую 2 и поэтому на рис. 2а не показана. Из данных, представленных на рис. 2, следует, что при выбранных значениях параметров сопротивление излучения кольцевого электрического тока, расположенного внутри слабо неоднородного дакта с пониженной плотностью плазмы, может в несколько раз превосходить сопротивление излучения того же источника, помещенного в однородную плазму с плотностью N или N. Заметим, что в рассматриваемом случае поверхностная мода действительно дает незначительный вклад в величину Я%. Кроме того, как оказалось, вклад волн непрерывной части спектра в полную излучаемую мощность также пренебрежимо мал при соблюдении условия 5рЬ^ > 1. Таким образом, максимумы в

нашем случае определяются максимумами Лп для доминирующих объемных мод. Напротив, при 5рЬ^ < 1 основная доля излучаемой мощности идет в волны непрерывной части спектра. В этом случае заметного увеличения сопротивления излучения кольцевого тока при его размещении внутри дакта не происходит. Данная ситуация характерна для излучателей сравни-

R, 1б3Ом

4 3 2 1 ■

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Ь/а

Рис. 3. Зависимости полного сопротивления излучения (кривая 1) и сопротивления излучения в волны непрерывной части спектра (кривая 2) от радиуса Ь для кольцевого электрического тока (5), находящегося в дакте с пониженной плотностью, в случае (19); кривая 3 показывает полное сопротивление излучения того же источника в однородной плазме с плотностью N

тельно малых электрических размеров и может иметь место при формировании дакта с пониженной плотностью в ближнем поле источника, находящегося в ионосферной плазме, вследствие тепловых нелинейных эффектов.

В качестве примера на рис. 3 представлены результаты численных расчетов для кольцевого электрического тока, расположенного в дакте с пониженной плотностью, при следующих значениях параметров:

ю/юн = 0.02; /ю_ = 0.82;

' н ’р/р ’

юр/ юн = 6.42; юн а/с = 0.073

(значения а0/а и ах/а прежние). Заметим, что случай (19) может быть реализован в ионосферных условиях при ю/2% =30 кГц, а =2.5 м,

N = 106 см-3 и В =0.5 Гс. Кривые 1 и 2 на рис. 3 показывают полное сопротивление излучения и сопротивление излучения Ясх в волны непрерывной части спектра соответственно в зависимости от радиуса источника Ь . Кривая 3 соответствует полному сопротивлению излучения того же источника в однородной плазме с

плотностью N.

Разумеется, в случае юрЬ 1с > 1, отвечающем

источнику сравнительно большого электрического размера, увеличение сопротивления излучения кольцевого электрического тока, находящегося внутри дакта с пониженной плотностью, может быть достигнуто и в ионосферных усло-

виях за счет эффективного возбуждения поддерживаемых дактом собственных объемных мод.

Наконец, отметим, что переход к случаю однородного дакта с резкой границей (см. (4)) не выявил каких-либо принципиальных изменений в особенностях возбуждения свистовых мод применительно к рассмотренным выше условиям.

Заключение

Итак, в настоящей работе изучены особенности возбуждения волн свистового диапазона частот в магнитоактивной плазме лабораторного и ионосферного типа при наличии дактов плотности. На основе строгого решения задачи о возбуждении таких направляющих структур заданными источниками исследована эффективность излучения свистовых волн кольцевым электрическим током, расположенным внутри дакта с пониженной плотностью. Определены условия, при которых наличие такого дакта в магнитоактивной плазме приводит к существенному увеличению сопротивления излучения кольцевого электрического тока в свистовом диапазоне по сравнению со случаем размещения того же источника в однородной плазме с плотностью, соответствующей приосевой области дакта или фоновой среде.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 09—02—00164-а, 10—02—00636-a), Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (государственный контракт № П313), а также фонда «Династия».

Список литературы

1. Helliwell R.A. Whistlers and related ionospheric phenomena. Mineola: Dover, 2006.

2. Kondrat’ev I.G., Kudrin A.V., Zaboronkova T.M. Electrodynamics of density ducts in magnetized plasmas. Amsterdam: Gordon and Breach, 1999.

3. Ferencz Cs., Ferencz O.E., Hamar D., Lichtenber-ger J. Whistler phenomena: Short impulse propagation. Dordrecht: Kluwer, 2001.

4. James H.G. // J. Geophys. Res. 2006. V. 111. № 9. P. A09315.

5. Sazhin S., Hayakawa M., Bullough K. // Ann. Geophys. 1992. V. 10. № 5. P. 293-308.

6. Kudrin A.V., Lyakh M.Yu., Zaboronkova T.M. // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. V. 49. № 12. P. 1645-1648.

7. Karpman V.I., Kaufman R.N. // J. Plasma Phys. 1982. V. 27. Pt. 2. P. 225-238.

8. Голубятников Г.Ю., Егоров С.В., Костров А.В. и др. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. Вып. 4. С. 124-135.

9. Заборонкова Т.М., Кудрин А.В., Лях М.Ю. // Изв. вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 5-6. С. 452-471.

10. Еськин В.А., Заборонкова Т.М., Кудрин А.В. // Изв. вузов. Радиофизика. 2008. Т. 51. № 1. С. 31-49.

11. Карпман В.И., Кауфман Р.Н. // Геомагнетизм и аэрономия. 1983. Т. 23. № 5. С. 791-796.

12. Заборонкова Т.М., Костров А.В., Кудрин А.В. и др. // ЖЭТФ. 1992. Т. 102. Вып. 4(10). С. 1151-1166.

13. Бахарев П.В., Заборонкова Т.М., Кудрин А.В., Краффт К. // Физика плазмы. 2010. Т. 36. № 11. С. 979-990.

14. Егоров С.В., Костров А.В., Тронин А.В. // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47. Вып. 2. С. 86-89.

15. Мареев Е.А., Чугунов Ю.В. Антенны в плазме. Нижний Новгород: ИПФ СССР, 1991.

16. Kostrov A.V., Kudrin A.V., Kurina L.E. et al. // Phys. Scripta. 2000. V. 62. Pt. 1. P. 51-65.

17. Amatucci W.E., Blackwell D.D., Walker D.N. et al. // IEEE Trans. Plasma Sci. 2005. V. 33. № 2. P. 637-646.

18. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

WHISTLER WAVE EXCITATION IN A MAGNETOPLASMA IN THE PRESENCE OF DENSITY DEPLETION DUCTS

V.A. Es’kin, T.M. Zaboronkova

The features of whistler wave excitation in the presence of a transversely nonuniform cylindrical duct with depleted density in a homogeneous magnetoplasma are studied. An expression for the radiation resistance of a uniform ring electric current inside the duct is obtained on the basis of the rigorous solution of Maxwell’s equ a-tions for the total field represented in the form of wave expansion over discrete and continuous parts of the spatial spectrum. Conditions are determined under which the presence of a density depletion duct leads to a notable increase in the radiation resistance of the ring current as compared with the case where this source is located in a homogeneous plasma with density corresponding to the duct near-axis region or the background medium. Numerical results are given which illustrate changes in the radiation characteristics of the ring current in the resonance region of the whistler frequency range as applied to conditions of model laboratory and active ionospheric experiments on the formation of density depletion ducts in a magnetoplasma.

Keywords: density depletion ducts, whistler-range waves, radiation resistance.