CC BY
30
ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ
Возбуждение торнадо шквальной бурей
С. А. Арсеньева, Н.К. Шелковников6
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а arrsenyev@yandex.ru, ь shelkovnikov@phys.msu.ru
Статья поступила 31.12.2010, подписана в печать ?.?.2011
Построена теория генерации торнадо шквальной бурей. Результаты сравниваются с данными наблюдений.
Ключевые слова: торнадо, смерчи, шквальная буря, турбулентность в тропосфере, солитоны, ураганный ветер.
УДК: 551.510. PACS: 92.60.Qx; 92.60.Frn; 92.60.Gn; 92.60.hk. 47.35.Fg.
Введение
По определению, шквальная буря — это кратковременное (от 1 до 30 мин) и сильное увеличение скорости ветра у поверхности Земли (от 1 до 35 м/с), возникающее при прохождении быстрых синоптических циклонов, несущих облачность и дожди [1, 2]. Значительное увеличение скорости ветра на небольшом временном интервале вызывает большие ускорения и силы, которые разрушают легкие дачные дома, ломают деревья и опрокидывают корабли в море. По характеру воздействия на поверхность Земли шквальные бури не отличаются от штормовых торнадо класса Т1-Т2 по шкале TORRO или В10-В12 по шкале Бофорта [3], но существенным отличием от штормовых торнадо является отсутствие в шквальных бурях вращения ветра вокруг общего центра макровихря, характерного для торнадо.
Теория шквальных бурь была недавно предложена в работе [2]. Было показано, что шквальная буря является диссипативным солитоном давления воздуха и скорости ветра, бегущим по поверхности подоблачной температурной инверсии со скоростью длинных волн V = (gH)l/2, где g — ускорение силы тяжести и Н — высота нижней кромки облаков. Однако подоблачная инверсия существует не всегда. Большие вертикальные скорости ветра, обусловленные, например, сильными восходящими движениями на холодном атмосферном фронте, разрушают ее, и воздух стекается к этим холодным пятнам, образуя мощные грозовые облака СЬ [3, 4]. Если несколько небольших гроз объединяются в суперячейку, то образуется слабо вращающийся ме-зоциклон, который может сформировать торнадо. Как отмечается в [4], в 40% случаев этого не происходит. Однако в остальных случаях торнадо возникает внутри мезоциклона и быстро распространяется вниз до поверхности Земли. Согласно современной теории [3, 5, 6], мезоциклон генерирует торнадо, если кинетическая энергия и угловой момент турбулентных вихрей внутри мезоциклона являются достаточно большими. В работах [3, 5, 6] найдены точные критерии этого механизма в виде чисел подобия. Когда эти числа превышают критические значения, наступает неустой-
чивость и начинается процесс возникновения торнадо. В настоящей работе мы рассмотрим возможность альтернативного, дополнительного механизма генерации торнадо шквальной бурей. Бегущая по поверхности подоблачной инверсии, она может попасть в мезоциклон, где эта инверсия разрушена. Поэтому должен наблюдаться захват солитона шквальной бури мезо-циклоном с последующим приспособлением давления воздуха и скорости ветра друг к другу. Как мы покажем в настоящей статье, эта взаимная адаптация метеорологических полей приводит к возникновению торнадо, причем скорость ветра и падение давления воздуха могут достигать значительных величин.
Математическая модель
Выпишем формулы, определяющие шквальную бурю. Согласно теории [1] имеем
«-(4НЧ1
р=Ро + pgH - sec h2 (f) •
Здесь обозначено:
4Al ЗЛ '
(1) (2)
(3)
Д — ширина диссипативных солитонов (1), (2), А^ и А — коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости, соответственно Н — средняя высота инверсии (Н к, [500,2000] м), п = гё/Н и гё — высота выступов шероховатости на поверхности Земли, /» — частота трения
Х = х + У( — бегущая координата, х — координата, направленная вдоль распространения солитонов (1), (2), и I - время. Кроме того, введены обозначения
' 2 а Св
а =
k2H2'
(5)
(6)
Сё — коэффициент сопротивления воздуха на инверсии (на нижней границе облаков), & ^ 1 — ветровой коэффициент на этой границе, Р — давление воздуха у поверхности Земли, р0 — давление воздуха на инверсии, р= 1.3 кг/м3 — плотность воздуха, которая принимается постоянной, и — скорость ветра.
Как мы уже отмечали, бегущий по подоблачной инверсии солитон шквальной бури (1), (2), может попасть в торнадогенный мезоциклон, имеющий собственное вращение, вызванное, например, сдвиговой вихревой неустойчивостью [3, 7]. В этом случае, происходит захват солитона мезоциклоном, поскольку температурная инверсия здесь разрушена сильными восходящими движениями на грозовом фронте. Вращение воздуха в области мезоциклона описывается циклострофиче-ским балансом
где г — радиальная координата, направленная от центра вращения наружу. Таким образом, шквальная буря может вызвать дополнительное падение внутри грозовой суперячейки и усилить вращение ветра, порождая торнадо.
Очевидно, для того чтобы найти скорости ветра в возникающем торнадо, необходимо заменить в формуле (2) .г на г, затем продифференцировать ее по г и подставить результат в формулу (7). Разрешая полученное выражение относительно азимутальной скорости v, получим формулу, позволяющую вычислить скорость ветра в возникающем торнадо:
Давление воздуха внутри торнадо у поверхности Земли будет определяться формулой (2).
Верификация теории по данным наблюдений за торнадо
Торнадо — это сильно вращающийся столб воздуха, возникающий в грозовом облаке и достигающий поверхности Земли [3]. Ураганные ветры, типичные для торнадо, вызывают разрушения, поэтому внутри торнадо много обломков домов, машин и деревьев, комьев грунта, воды и пыли, делающих задачу измерения здесь физических величин трудноразрешимой. Блунштейн [8] описал основные методы полевых исследований торнадо в США, из которых наиболее эффективными являются дистанционные измерения скорости и направления ветра с помощью доплеровских радаров (в том числе радаров, установленных на автомобилях). Другим способом является установка на пути торнадо автономных портативных комплексов аппаратуры для измерения скорости и направления ветра, давления и температуры воздуха, влажности и электромагнитных полей [8]. На рис. 1 в качестве примера показаны результаты измерений давления воздуха внутри торнадо 8 июля 1995 г. вблизи городка Allison (штат Техас), полученные Б. Винн с коллегами из Лэнгмюровской Лаборатории в Нью-Мексико (США) [8, 9]. Измерения проводились при помощи небольшого прибора, названного «черепахой», который был закопан в грунт на пути торнадо. Из рис. 1 видно, что давление воздуха
у поверхности Земли в торнадо сильно флуктуирует, особенно вблизи центра, что связано с наличием внутри торнадо множества турбулентных мезовихрей [3]. Тем не менее после осреднения этих флуктуаций имеет место монотонное падение давления к центру торнадо, оно показано на рис. 2 квадратами. Общее падение давления, вызванное торнадо, оказалось небольшим, около 50 гПа. Однако, согласно формуле (7), скорость ветра в торнадо определяется градиентами давления по радиусу (а не самим давлением). Таким образом, резкие пространственные изменения давления воздуха внутри торнадо могут создавать очень сильный ветер.
Время, час
Рис. 1. Результаты измерений давления воздуха в торнадо как функции времени, выполненные Винн и коллегами в США [8, 9]
На том же рисунке толстой кривой показан результат теоретического расчета давления приземного воздуха, выполненного по формуле (2). Вычисления проводились для следующих значений величин, входящих в формулу (2): Я = 980 м, £ = 9.8 м/с2, V = 98 м/с, ро = 785.15 гПа; р= 1.3 кг/м3, Л =1.709 м/с2, Д/. = 67.32 м/с2, Сё = 0.02, & = 1, ,г0 = 0.05 м (трава, рожь), так что значения в и Д оказались равными 384.62 м2/с и 7101.82 м соответственно. Для удобства расчетов мы ввели расчетное время 1= Т - 3636 с, где Т — текущее время измерений в секундах, показанное на рис. 1. Таким образом, начало координат по оси времени смещено в точку Т = 3636 с= 1.01 ч, и вся картина на рис. 2 оказалась симметричной относительно этого начала. Совпадение теоретической кривой с результатами измерений (рис. 2) подтверждает развиваемую здесь теорию.
Для проверки формулы (8) мы привлекли данные измерений скорости ветра внутри торнадо доплеров-ским радаром [10]. Эти данные показаны на рис. 3 квадратами. Сплошная кривая на рис. 3 — это теоретический расчет по формуле (8). Были выбраны следующие значения параметров: Н = 980 м, £ = 9.8 м/с2, А = 300 м/с2, А,. = 3.96 м/с2, Сё = 0.02, к = 1, = 0.05 м (трава, рожь), так что в = 67500 м2/с и Д = 130 м. Совпадение теории с наблюдениями в данном случае оказалось хуже, чем при расчетах давления. Из рис. 3 видно, что на измеренной кривой имеются дополнительные вторичные максимумы
Р, гПа
Рис. 2. Теоретический расчет изменений давления воздуха в торнадо, выполненный по формуле (2) — сплошная кривая £ = 7" —3636 с. Квадратами показаны осредненные значения давления воздуха, соответствующие
измерениям на рис. 1
V, м/с
Рис. 3. Теоретический расчет изменений азимутальной скорости ветра в торнадо, выполненный по формуле (8) — сплошная кривая. Квадратами показаны результаты измерений скорости ветра в торнадо [10]
для скорости ветра (при г и 300, 650, 780, ^500 и ^780 м). Очевидно, что они связаны с крупными мезомасштабными турбулентными вихрями, заполняющими торнадо. Таким образом, торнадо было измерено в момент времени, близкий к началу возникновения, и поэтому оказалось существенно мультивихревым. По этой причине затухание скорости ветра при удалении от центра торнадо происходит гораздо медленнее, чем это предсказывается теорией.
Как показано в работе [3], мезомасштабные вихри в торнадо могут передавать энергию среднему течению и поэтому со временем уменьшают свои размеры, кинетическую энергию и угловой момент. Поэтому мы выполнили еще один вариант расчетов скорости ветра
применительно к большому, очень мощному торнадо, находящемуся в стадии, близкой к максимальному развитию. На рис. 4 кружками показаны данные измерений скорости ветра на высоте 100 м в торнадо класса F5, полученные с помощью доплеровского радиолокатора [10-12]. Это виолентное торнадо 3 мая 1999 г. атаковало город Оклахому в США и получило собственное название «tornado Bridge Creek» [13]. По данным работы [14], максимальная скорость ветра достигла 144 м/с, что соответствует скорости 512 км/ч, или 318 миль/ч. Торнадо «Bridge Creek» уничтожило более 4000 жилых домов и 47 коммерческих зданий, погибло 48 человек и множество людей получили ранения различной степени тяжести. На рис. 4 показана
dv/dr, 1/с
г, км
Рис. 4. Теоретический расчет изменений азимутальной скорости ветра в торнадо, выполненный по формуле (8) — сплошная кривая. Кружками показаны результаты измерений скорости ветра в торнадо Р5, выполненные 3 мая 1999 года в г. Оклахома (США) [11-14]
-0.005
25 г, км
Рис. 5. Расчет пространственной изменчивости скорости ветра для торнадо Р5 (рис. 4), выполненный по формуле (9)
также 10%-ная относительная ошибка измерений. Она неизбежна, поскольку измерения проводились в неконтролируемых полевых условиях. На том же рисунке изображена и теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (8) при следующих значениях параметров: 1 = 0, х = г, Я = 980 м, £ = 9.8 м/с2, А = 355.55 м/с2, А/, = 19591.84 м/с2, С§ = 0.02, к= 1, г0 = 0.05 м (трава, рожь), так что ¡3 = 80000 м2/с и Д = 8400 м. Как видно, теория и наблюдения в пределах 10%-ной точности совпадают.
Анализ результатов
Адекватность теории данным наблюдений убеждает в применимости формул (1)-(8) для расчетов реальных торнадо. Помимо давления воздуха и скорости ветра у поверхности Земли представляют интерес и другие характеристики. На рис. 5 показан расчет пространственной скорости изменения ветра, выполненный с помощью соотношения
ди дг
х
sec /г
th
2 gfl 17Ду r + Vl Д
r + Vl
д
г ,9 (г + VI
— sec/Г -:-
Д \ Д
(9)
v (r + Vl
-Г th —;—
Д V Д
где v определяется формулой (8). Расчет проведен для торнадо «Bridge Creek» при тех же значениях параметров, что и для рис. 4. Видно, что в центре ядра торнадо величина dv/dr постоянна (твердотельное вращение), а затем начинает убывать, обращаясь в нуль на внешней границе «стены урагана». После этого величина dv/dr становится отрицательной, что соответствует затуханию скорости ветра при удалении от центра торнадо.
Большой интерес представляет радиальное распределение завихренности в торнадо F5 показанное на рис. 6. Оно рассчитывалось с помощью соотношения
fi = rot,'» =
dv dr
(Ю)
25 г, км
Рис. 6. Расчет радиального распределения завихренности для торнадо Р5 (рис. 4), выполненный по формуле (10)
25 г, км
Рис. 7. Расчет вихревой силы для торнадо Р5 (рис. 4), выполненный по формуле (11)
где V определяется формулой (8), а dv/dr — формулой (9). Как видно, максимальная завихренность имеет место в центре торнадо, причем для торнадо Р5 она достигает очень большой величины 15 Гц (для сравнения укажем, что в тропических ураганах и тайфунах ОйЮ"3 Гц, [15]).
На рис. 7 показан также расчет вихревой силы для торнадо Е5
F = ¡V х rot »1 = vü =
diu
д г V 2
tr r
(11)
Она представляет собой сумму динамического напора и центробежной силы, которая связана с давлением уравнением (7)
'-¿(И)"
(12)
Вихревая сила входит в уравнения Громека-Ламба
dv / f2 \ 1
grad^—J - [их rotü] = — gradP + t]Av, (13)
dt
которые являются следствием уравнений Навье-Стокса [16-18].
Если вихревая сила отсутствует (/*" = 0), то из (11) следует уравнение
= (и)
V г
Его решением является закон гиперболического затухания скорости ветра и = оо • /о/г, соответствующий вихрю Ранка в идеальной жидкости без трения [3, 16, 17]. Из рис. 7 видно, что Р^О, т.е. вихрь Ранка в данном случае не реализуется, так как движение воздуха в торнадо происходит при наличии турбулентного трения. Максимальное значение Ртах = 740 м/с2 достигается на внутренней границе «стены урагана». Умножая .Ртах на р = 1.3 кг/м3, находим Ф и 762 н/м2, что соответствует давлению 76 кгс/м2 (так как 1 кг-сила = 9.81 Н), или 0.076 т/м2. Таким образом, стена дома площадью 50 м2 испытывает давление от торнадо в 3.8 т. Очевидно, что для уменьшения этого давления необходимо сокращать площадь ветрового воздействия, т. е. строить дома обтекаемой формы. Разрушение домов от торнадо можно полностью ликвидировать, располагая дома под землей.
Заключение
Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе.
1. Построена теория генерации торнадо диссипатив-ным солитоном шквальной бури, бегущим по поверхности подоблачной инверсии температуры. Когда солитон
шквальной бури попадает в грозовую суперячейку (ме-зоциклон), он захватывается ей. В результате происходит дополнительное падение давления в мезоциклоне, которое усиливает ветер и генерирует торнадо.
2. Определены пространственно-временные изменения давления воздуха внутри торнадо. Расчеты хорошо соответствуют наблюдениям.
3. Найдены аналитические формулы для расчетов пространственно-временных изменений скорости ветра в торнадо. Они проверяются с помощью данных полевых измерений в США и теория подтверждается наблюдениями.
Авторы благодарят академика Г. С. Голицына за обсуждение проблем, затронутых в статье.
Список литературы
1. Арсеньев СЛ., Шелковников Н.К. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 5. С. 76.
2. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Л., 1969.
3. Арсеньев С.А., Бабкин В.А., Губарь А.Ю., Николаевский В.Н. Теория мезомасштабной турбулентности. Вихри атмосферы и океана. М., 2010.
4. Сноу Дж.Т. // В мире науки. № 6. С. 44.
5. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Николаевский В.Н. // Доклады РАН. 2004. 396. № 4. С. 541.
6. Губарь А.Ю., Аветисян А.И., Бабкова В.В. // Доклады РАН. 2008. 419, № 4. С. 547.
7. Арсеньев С.А., Николаевский В.Н., Шелковников Н.К. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 5. С. 76.
8. Bluenstein H.B. 11 Weather and Forecasting. 1999. 14. P. 558.
9. Winn W.P., Hunyady S.J., Aulich G.D. 11 J. Geophys. Res. 1999. 104D. P. 22067.
10. Wurman J., Gill S. 11 Monthly Weather Review. 2000. 128. P. 2135.
11. Wurman J.J., Straka E.N., Rasmussen M. et al. 11 J. At-rnos. Oceanic Technol. 1997. 14. P. 1502.
12. Wurman J. 11 Science. 1996. 272. P. 1774.
13. Doswell-III. Atmospheric Research. 2003. 67-68. P. 135.
14. Monastersky R. 11 Science News. 1999. May 15. 155. N 20. P. 308.
15. Арсеньев С.А., Губарь А.Ю., Шелковников H.K. I ! Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2007. № 2. С. 50.
16. Васильев О.Ф. Основы механики винтовых и циркуляционных потоков. М.; Л., 1958.
17. Сэффмен Ф.Дж. Динамика вихрей. М., 2000.
18. Алеексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. М., 2005.
The excitation of tornado by sqaull storm S.A. Arsenyev , N. K. Shelkovnikov
Department of Marine and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a arrsenyev@yandex.ru, b shelkovnikov@phys.msu.ru.
The theory of generation of tornado by squall storm is created. Results of the theoretical calculations are compared with observations.
Keywords: tornado, spout, squall storm, solitons, turbulence in troposphere, hurricane wind. PACS: 92.60.Qx; 92.60.Fm; 92.60.Gn; 92.60.hk. 47.35.Fg. Received 31 December 2010.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2011).
Сведения об авторах
1. Арсеньев Сергей Александрович — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник; тел.: (495) 911-34-09, e-mail: arrsenyev@yandex.ru.
2. Шелковников Николай Константинович — докт. физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник; e-mail: shelkovnikov@phys.msu.ru.
