Возбуждение сейсмических волн источником, расположенным в скважине, заполненной жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Возбуждение сейсмических воли источником, расположенным в скважине, заполненной жидкостью

Д.М. Вишневский, В.И. Костин, В.А. Чеверда

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе предложен подход к численному моделированию процесса формирования и распространения сейсмических волн, вызванных действием аксиально-симметричного источника, расположенного в заполненной жидкостью скважине. Численное моделирование осуществляется на сдвинутых сетках в цилиндрической системе координат. Для ограничения расчетной области используется ее окаймление специальным идеально-поглощающим слоем, разработанным авторами. Проведены численные расчеты, характеризующие основные особенности поля упругих волн, создаваемых двумя скважинными источниками — источником типа центра расширения на оси скважины и сдвиговым источником на ее стенках.

1. Введение

Мониторинг изменчивости физико-геологических свойств околоскважинного пространства является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений геофизических исследований в скважинах. Естественно, что такой мониторинг должен предваряться изучением основных особенностей физико-геологического строения околоскважинного пространства, для чего представляется перспективным использование систем наблюдения, у которых источники и приемники располагаются в одной и той же скважине. Такие системы наблюдения, в отличие от традиционных поверхностных систем многократного перекрытия и систем наблюдения вертикального сейсмического профилирования, находятся в непосредственной близости от изучаемого объекта. Это обеспечивает существенное уменьшение уровня помех и позволяет использовать гораздо более высокочастотные зондирующие сигналы. По сравнению с межскважинным просвечиванием для таких систем наблюдения естественно ожидать более высокой разрешающей способности, так как они ориентированы на использование отраженных, а не проходящих волн.

Успешное применение односкважинных систем наблюдения в акустическом диапазоне частот описано в работе [1], в которой были получены изображения гео-

логической среды на удалениях 0-20 метров от ствола скважины. Для получения информации о строении среды на больших удалениях необходимо использование более низких временных частот, что позволяет уменьшить потери, связанные с внутренним поглощением, присущим любой геологической среде. Однако использование источников с более низкой частотой приводит к возбуждению так называемых трубных волн [2], на которые и уходит значительная часть энергии, излученной источником. Эти волны, хотя и несут информацию

о строении среды в самой непосредственной близости от скважины, безусловно, являются помехами для построения изображения геологической среды на удалениях 50-70 метров от ствола скважины.

Таким образом, представляется очень важным уметь оценивать, какая часть энергии, излученной источником, уходит в окружающее пространство в виде объемных упругих волн, а какая расходуется на возбуждение длинноволновых осцилляций жидкости, заполняющей ствол скважины, прежде чем приступать к проектированию систем наблюдения для построения изображения околоскважинного пространства.

К настоящему времени имеется ряд публикаций, посвященных расчету волновых полей, возбуждаемых источниками, расположенными в заполненных жидкостью

© Вишневский Д.М., Костин В.И., Чеверда В.А., 2002

скважинах. Для прямолинейной скважины, находящейся в однородной изотропной упругой среде, решение может быть представлено в виде разложений по цилиндрическим функциям. Анализ этих соотношений позволяет сделать выводы о некоторых основных свойствах упругих волн, распространяющихся в окружающей скважину среде [3]. На основании этих разложений задача об излучении упругих волн источником, расположенным в скважине, сводится к задаче излучения упругих волн некоторой системой «эквивалентных» источников в однородной упругой среде без скважины [4]. Для непрямолинейных скважин и неоднородной вмещающей среды широкое распространение получил асимптотический метод расчета упругих волновых полей, опирающийся на использование того факта, что диаметр скважины существенно меньше доминирующей длины волны, распространяющейся в среде [2, 5].

В настоящей работе предлагается использовать метод конечных разностей для расчета упругих волновых полей, излучаемых точечным источником монопольного типа, помещенным в скважину, заполненную жидкостью. Для ограничения расчетной области используется метод введения специальным образом сконструированного поглощающего слоя, который подбирается таким образом, чтоб на его границе с исходной средой не возникало бы искусственных отражений.

2. Постановка задачи

Аксиально-симметричный источник, действующий в аксиально симметричной скважине порождает и аксиально-симметричное волновое поле. В частности, точечный источник объемного расширения, расположенный на оси скважины, порождает волновое поле, формирование и распространение которого в жидкости описывается следующей системой уравнений акустики в цилиндрической системе координат

др 2 (диг иг ди7 —+ рс 21 —г- + -^ +—7 дt I дг г д7

= F ^)

^ +1 = 0, дt р дг

ди7. +1 др = 0

8(г, 7 - 7о)

(1)

дt р д7

Здесь р, с — плотность и скорость звука в жидкости; р— давление; иг, и7 — компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат. Точечный источник имеет г-координату, равную 70, что отражено в аргументах 8-функции в правой части.

В цилиндрической системе координат требуется постановка краевых условий при г = 0. В случае аксиальносимметричных решений это не представляет проблемы,

т.к. в качестве такого условия может быть взято условие иг = 0, которое следует из симметрии.

При рассмотрении аксиально-симметричных волновых полей в упругой среде имеем, что и0 = 0, аг0 = 0, аг7 = 0. Остальные компоненты удовлетворяют системе уравнений

диг дагг даг7 агг а

дt дг д7

ди7 даг7 да 77 а

- 00 гг

+

77 | Г7

дt дг д7

+

^ = (Х + 2ц) ^ + ^ + Х ,

дt дг д7 г

^ = х^ + (Х + 2^+^, (2)

дt дг д7 г

= + + (Х + 2ц) Ь.,

дt дг д7 г

даг7 ( + ди7

дt | д7 дг

На границе между жидкостью и твердым телом должны выполняться условия сопряжения

[иг ] = ° аг7 = 0 Р = -аг

(3)

Заметим, что вместо системы уравнений (1) может быть использована система уравнений упругости (2), если параметр Ламэ ц в ней взят равным нулю. Легко видеть, что при условии аг7\{ 0 = 0 компонента аг7 будет равна нулю всегда. Следовательно, при расчетах внутри трубы вместо уравнений акустики можно использовать уравнения (2) с соответствующими поправками в виде источника, введенного в третье, четвертое и пятое уравнения (2). В качестве давления может быть взята любая из диагональных компонент тензора напряжений. При этом граничные условия (3) сохранят свой вид. Таким образом, расчеты могут быть проведены единообразно по «сквозным формулам». Это, конечно, предъявляет несколько завышенные требования к памяти, однако не требует явного выделения подобластей, в которых происходит переключение с одних расчетных формул на другие.

3. Конечно-разностная аппроксимация

Конечно-разностная аппроксимация производится на сдвинутых сетках и является модификацией схемы, описанной в работе [6] для декартовой системы координат. Прежде чем приводить конечно-разностные соотношения, введем используемые ниже обозначения:

т — шаг по времени;

К, К — шаги по г, г соответственно;

(а гг )1 ] = агг(kт, К, А);

(а77 \, ] = а77 (кт, , ]К7 );

(а00 Х-, ] = а00 ^ К, А);

(стг2 ІІ+уі, ]+12 = аг2 (кт (і + і/2Я, О' + V2)hz);

(“г)£$7- = “г ((к + і/2)т, (і +1/2)hr, А);

К )"++/і/і = “* ((к + 1/2)т, 'К, (у +1/2)hz).

Параметры среды р, Я, ц предполагаются заданными в точках сетки с целыми координатами, а границы раздела в среде проходят вдоль линий сетки с полуцелы-ми координатами.

С использованием введенных обозначений конечноразностные соотношения записываются следующим образом:

(“г ^Я/; - (“г )Й4/; = (^ - (^ ^

p---------------L-LL--------------------L^L_-------------------------------------------^L +

(аrz ^і/і, j+V- (аrz ^іі/і, j-ll

+-------------------1j-,----------------------------------------Ш" + (4.1)

(аrr X+1, j - (аee X+1, j + ^rr ) і, j - (аee )i,j

(li +1) hr

)i+Vl - (u )i-/l

)i, j+1/2 (Uz )i, j+1/і

(а rz X' +1/і, j+/l (аrz X -1/і, j+/l

(аzz )*,-+1 - (аzz )ij і zz i j zz i j і

(4.2)

Л*+1 /„ ^V1 _Л,

(аee )i, j - (аee )i, j , (ur )i+Vl, j (ur )i-1

т

i+v-

)i+1/і

_X-

)i+V-, j (Ur )і -/і, j

(u )*+/і - (u )*+/і + А (uz X,j+/і (uz h,j-l|l +

(4.5)

.(,+,

lihr

ч*+1/і

(а rz X+1/і, j і/і (а rz X+1/і, j+1/і _

_ц

f (u ) і:+1і - (u )*+^і

(Ur Л+1/і, j+1 (ur Л+1/і, j

(4.6)

(u )*+^і - (u )*+1і ^

(uz Л+1, j+1/і (uz )i, j+і/і

При использовании этих формул в неоднородной среде в качестве «параметров среды» выступают некоторые усредненные значения истинных параметров. Так,

в (4.1) р = (рг-,; + рг+1, ; V2, в (4.2) р = (рг-, ] + рг-, ]+0/2,

в (4.6) ц = 4/(1/ ц- } +1 ц+1,} +1 цг-}+1 + 1/ цг-+1,}+1), а в (4.3)-(4.5) используются значения параметров без усреднения: Х = Ху, ц = ц^-.

Такие усреднения позволяют сохранить аппроксимацию второго порядка на границах раздела при условии, что они проходят по «полуцелым» узлам сетки.

(а rz )й-1і, j+1/і + (а rz )k-Vl, j+1/і

Hhr

(аrr - (аrr t, j

(u )*+1і - (u )*+1і _( + m)(UrW- {Ur^ hr (u )і:+1і - (u )*+1/і + А (Uz )г"’ j+1і (Uz ’ j-1і +

(u )*+1і + (u )*+1/і (Ur )І+1/і,- + (ur 4i-1/і, j

Hhr

/_ \*+1 / 4* (u ) *+1і - (u )*+1/і

(аzz )i, j - (аzz )i, j _ А (ur Л+1/і, j (ur X-1/і, j +

- (а + іц)

(u )*+1і - (u )*+1і (Uz )i,j+1/і (Uz )i, j-1/і

+А-

(u )*+1і + (u )*+1і (ur )І+1/і,- + (ur )i-1H. j

1 і, j

Hh,

4. Построение поглощающего слоя

Предлагаемый в настоящей работе способ введения фиктивных пространственных границ для ограничения расчетной области состоит в ее окаймлении достаточно узким «идеально соответствующим» поглощающим слоем (в англоязычной литературе для него принята аббревиатура PML — perfectly matched layer). Термин «идеально соответствующий» означает, что параметры

(4.3)

этого слоя выбираются таким образом, чтобы при прохождении через него волн, распространяющихся из целевой области, не возникало отраженной волны. На внешней границе такого слоя ставится какое-либо корректное краевое условие, удобное для аппроксимации в выбранной конечно-разностной схеме. Конечно, такая граница будет отражать, однако в силу демпфирующих свойств поглощающего слоя, дошедшая до нее волна будет существенно ослаблена. Отраженные волны после прохождения через этот слой вплоть до целевой области еще больше ослабнут и в самой целевой области

(4.4) станут уже практически не отличимыми от шума. Иначе говоря, некоторое отражение, обусловленное конечной шириной зоны, обязательно присутствует, но оно контролируется шириной зоны.

і

т

і

т

і

+

p

т

і

т

і

т

і

Впервые описание таких слоев было изложено в работе [7] для электромагнитных волновых полей, а применительно к упругим волновым полям в декартовой системе координат — в работах [8, 9]. Построение такого слоя для системы уравнений теории упругости в цилиндрической системе координат, насколько нам известно, ранее проведено не было и излагается ниже.

Геометрия задачи схематично представлена на рис. 1. Вводя вектор-функции

и = (“г , иг)т,

а = (агг , агг, аее, агг )Т

и матрицы

А = ■

1

ц(3Я + 2ц)

-х

^Я + ц — Я/ 2 -Я/ 2 -Я/ 2 Я + ц —Я/ 2 — Я/ 2 -Я/ 2 Я + ц

0

0

0

0

0

0

3Я + 2ц

В =

V

В =

10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 10

У

с=

0 0 10 0000

систему уравнений (2) можно записать в более компактной форме симметрической гиперболической системы

ди до до 1

р—-В1—-В2—--(В - с)о = 0, дt дг дг г

до * ди * ди 1 *

А-----в;--------------В2-с и = 0.

дt дг дг г

В соответствии с техникой PML введем в поглощающем слое вектор-функции иг, и1, аг, о1 и представим волновое поле в нем в виде суммы «радиальной» и «касательной» составляющих:

и = иг + и1, а = аг +а\

Пусть эти вектор-функции удовлетворяют системе уравнений:

р

А

диг дt до дt ди1 дt до1

В, |° - - (В,

дг г

с )о = 0,

* ди 1 *

-Ві-------------------------С и = 0,

дг г

до

(6)

р~---В2^Г = 0’

дг

А——В* ^ = 0.

дt дг

Уравнения в этой системе не распадаются, так как пространственное дифференцирование применяется к суммам и = иг + и1 и а = аг + а\ Сложив первое уравнение в системе (6) с третьим, а второе с четвертым, получим (5). Иными словами, решения системы уравнений (6) содержат в себе все обычные упругие волны. Теперь в первое и второе уравнения системы (6) введем демпфирование

р

А

д , ч

—+ а(г) дt

В |°-1(В[ - С)о = 0,

дг г

—+ а(г) дt

(7)

о-

* ди 1

- В---------С и = 0.

дг г

Здесь а(г) — демпфирующая функция. Обычно эту функцию выбирают непрерывной, равной нулю на границе целевой области и окаймляющего поглощающего слоя и возрастающей в направлении углубления в поглощающий слой. Тильда указывает, что в младших членах стоят не исходные вектор-функции, а их линейные преобразования, задаваемые следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

dа В(г)а dа , ч

— + 4 у = — + а(г)а, dt г dt

du В(г)и dи . .

— + = — + а(г )и,

dt г dt

Р(г) = | а(г )dг.

(8)

Для того чтобы пояснить, каким образом работает демпфирование в уравнениях (6), запишем эти уравнения в частотной области:

х

(—ію + а(г)) риГ -

Нет - ію + а(г)

— В1-----------------------

Нґ — ігю + Р(г)

(—ію+ а(г)) Асгг -

(В1 - С)о = 0,

- В^ - - ію + «(г> с‘и = 0.

Нґ — ігю + Р(г)

Здесь использованы уравнения (7) в частотной об-

ласти

-ігю + Р(г) г

— ігю + Р(г)

~ = (-ію + а(г ))сг,

~ = (-ію+ а(г)) и.

Помножив на скаляр —;

—ію

-іюри

-ію

— ію + а(г)

Но

получим

В1 -

- ію + а(г) Нг

—і вТ)/ (В1 - с) о = 0,

- ію + Р(г)/ г г

, „ г - ію * Ни

— іюАо-----------------В1-------

- ію + а(г) Нг

-ію -с*и = 0

- ію + Р(г) / г г

и введем в рассмотрение комплекснозначную переменную — соотношением — = г + іР(г У ю. Тогда для оператора дифференцирования имеем

-ію

dr - г'ю + а(г) dг В новых обозначениях система уравнений внутри поглощающего слоя принимает вид

- іюриг - В1 А- - — (В1 - с)о = 0,

—

— іюА о — В1

Ни 1

(9)

—с и = 0.

Как легко заметить, полученная система только переобозначением г ^ ~ отличается от результата применения преобразования Фурье к исходной системе (первые два уравнения в (6)). Решения системы уравнений (9), удовлетворяющие условию излучения на бесконечности, допускают аналитическое продолжение в полуплоскость 1т ~ > 0, где экспоненциально убывают при возрастании г. Это свойство как раз и обеспечивает затухание волн, распространяющихся внутри поглощающего слоя. Теперь остается только ввести условия на границе Г между целевой областью и РМЪ-слоем, обеспечивающие отсутствие отражений. Как легко понять, эти условия должны выглядеть следующим образом:

и г = (и + и )| г ,

0г= (аг +а‘)| Г.

Условия на внешней границе особой роли не играют — достаточно корректности постановки соответствующей краевой задачи и удобства их разностной аппроксимации. В частности, таковые условия можно взять в виде иг = и7 = 0.

5. Численные эксперименты

Для проведения численных экспериментов была выбрана модель, состоящая из скважины диаметром 20 см, заполненной жидкостью со скоростью распространения волн 1500 м/с и плотностью 1000 кг/м3. Эта скважина предполагалась помещенной в идеально упругую изотропную среду, состоящую из двух однородных блоков, причем граница между блоками проходила перпендикулярно оси скважины. Блоки будем условно обозначать римскими цифрами I и II. В блоке I скорости продольных и поперечных волн Ур = 1364 м/с, У5 = 691 м/с, а плотность р = 1769 кг/ м3. Для блока II эти параметры соответственно равны Ур = 2873 м/с, У5 = 1639 м/с, р = 2083 кг/м3. В качестве сигнала в источнике был выбран импульс Рикера с доминирующей частотой 500 Гц, а шаг по пространству был взят равным 0.1 м.

Первая серия расчетов проводилась для источника типа объемного расширения, помещенного на оси трубы. Как следует из асимптотического анализа такой постановки [2], здесь нужно различать две ситуации — скорость поперечных волн в упругом пространстве больше или меньше скорости волн в жидкости, заполняющей среду. В первом случае практически вся энергия остается сосредоточенной в узкой окрестности скважины и может уходить внутрь среды только в окрестности сингулярных точек — расположения источника либо разрывов параметров вмещающей среды. Во втором случае распространяющаяся вдоль ствола скважины трубная волна сопровождается конической поперечной волной, беспрепятственно распространяющейся внутрь среды. Именно такую картину мы наблюдаем на моментальных снимках волнового поля (рис. 2), рассчитанного по описанной выше конечно-разностной схеме с введением поглощающего слоя. На них вертикальной линией отмечена граница между блоками I и II (блок II находится слева), а горизонтальной линией — граница поглощающего слоя. Сама скважина располагается по горизонтали в верхней части рисунка, ось г направлена вдоль нее, в то время как ось г — перпендикулярно к ней. На левой границе мы умышленно поставили условие абсолютного отражения с тем, чтобы иметь возможность сравнить трубную волну до и после отражения от границы блоков с тем, чтобы оценить часть энергии, прошедшей из блока II в блок I.

Вторая серия расчетов проводилась для источника сдвиговых напряжений, действующего на поверхности скважины. Асимптотическая теория для таких источников утверждает, что трубной волны в этом случае не

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 2. Распространение волнового поля, вызванного действием объемного источника в цилиндрических координатах. Слева — блок II, справа — блок I. По горизонтали отложено расстояние в метрах. По вертикали одно деление равно двум метрам. Приведена компонента иг вектора смещений

возникает [5]. Однако результаты наших расчетов, представленные на рис. 3, показывают, что наряду с интенсивной поперечной волной, уходящей в среду, наблюдается и сравнимая с ней по амплитуде трубная волна.

6. Заключение

В настоящей работе предложен эффективный подход к численному моделированию упругих волновых полей, излученных скважинными источниками. Ограничение

Рис. 3. Распространение волнового поля, вызванного действием сдвигового источника в цилиндрических координатах. Слева—блок II, справа — блок I. По горизонтали отложено расстояние в метрах. По вертикали одно деление равно двум метрам. Приведена компонента иг вектора смещений

расчетной области путем окаймления ее поглощающим слоем оказалось весьма эффективным приемом и практически не привело ни к каким паразитным отражениям. Проведенные нами численные расчеты проиллюстрировали некоторые основные эффекты, наблюдаемые в скважинных экспериментах, такие как наличие интенсивных трубных волн, возникновение конической поперечной волны в низкоскоростных формациях и проявление границ разрыва во вмещающей среде как источника объемных волн. Кроме того, показана и возможность существенного ослабления трубных волн за счет использования не объемных, а сдвиговых источников, действующих на поверхности скважины.

Разработанные численные методы и созданное на их основе программное обеспечение позволяет рассчитывать аксиально-симметричные сейсмические волновые поля, излученные источниками для скважин практически любых конфигураций, включая обсаженные. Авторы считают, что такое моделирование должно предварять разработку и использование систем скважинного наблюдения сейсмических волновых полей.

Литература

1. Hornby B.E. Use of full-waveform sonic data to image near borehole structural features // Petroleum Geoscience. - 1995. - V 1. - P. 1G9-114.

2. Burrudge R., Kostek S., Kurkjian A. Tube waves, seismic waves and effective sources // Wave motion. - 1993. - V. 18. - P. 1б3-2Ю.

3. Lee M.W., Balch A.H. Theoretical seismic wave radiation from a fluid-

filled borehole // Geophysics. -1982. - V 47. - P. 13G8-1314.

4. Ben-Menahem A., Kostek S. The equivalent force system of monopole

source in a fluid-filled open borehole // Geophysics. - 1991. - V 5б.-P. 1477-1481.

5. Kurkjian A., Coates R., White J., Schmidt H. Finite difference and frequency-wavenumber modeling of seismic monopole sources and receivers in fluid-filled boreholes // Geophysics. - 1994. - V. 59. -P. Ю53-Юб4.

6. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. - 198б. - V 51. - P. 889-9G1.

7. Berenger J.P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. of Comp. Phys. - 1994. - V. 114. - P. 185-2GG.

8. Collino F. Perfectly matched absorbing layers for the paraxial equations // J. Comput. Phys. - 1997. - V. 131(1). - P. 164-18G.

9. Collino F., Tsogka C. Application of PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media // Geophysics. - 2GG1. - V. бб(1). - P. 294-3G7.