CC BY
4ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 532.59: 532.501.34
ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН ВЗРЫВНЫМ ИМПУЛЬСОМ
Неволин В.Г.
THE GENERATION OF SURFACE WAVES BY THE EXPLOSIVE PRESSURE INPULSE
V. G. Nevolin
АННОТАЦИЯ
Рассматривается модельная задача возбуждения поверхностных волн взрывом. Исследование проводится для случая несжимаемой жидкости. Отсюда взрывное давление моделируется повышением плотности жидкости, в которой происходит взрыв.
Проблема возникла в связи с возможностью уничтожения смерча взрывом [1]. Разрушение смерча обусловлено возбуждением волн на границе раздела между нисходящим и восходящим потоками. Рост амплитуды этих волн приводит к схлопыванию так называемого глаза бури. Поскольку использование взрыва для уничтожения смерча часто сопровождается ещё и разрушением окружающей инфраструктуры, то исследуется возможность уничтожения смерча периодическим взрывным воздействием меньшей мощности.
ABSTRACT
The model problem of the generation of surface waves by the explosive pressure inpulse is considered. The study is conducted for the case of the incompressible fluid. Because of that, the explosive pressure is modeled by the increase of the density of the fluid, inside which the explosion takes place.
This problem arose in connection with the possibility to destroy a tornado with the help of the explosion [1]. The destruction of a tornado is caused by the generation of waves on the interface between the descending and ascending flows. The increase of the amplitude of these waves leads to a collapse of the so-called eye of the storm. Since using the explosionfor the destruction of a tornado is often accompanied by the destruction of the surrounding infrastructure, the possibility of the destruction of a tornado by the periodical explosive impact of lower power is studied.
Ключевые слова: Поверхностные волны, несжимаемая жидкость, плотность жидкости, давление взрыва, длительность действия взрыва, периодичность взрывного воздействия.
Key words: surface waves, incompressible fluid, fluid density, explosive pressure, duration of the effect of the explosion, frequency of the explosive impact
Рассматривается устойчивость поверхности раздела слоёв вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины, когда в верхнем слое действуют или одиночный импульс давления длительностью т (рис.1, а), или же периодическое воздействие одиночными импульсами давления (рис.1, Ь).
Задача решается в линейном по вязкости приближении методом преобразования Лапласа по времени.
Поскольку рассмотрение проводится для случая несжимаемой жидкости, то изменение давления отождествляется с изменением плотности жидкости. Предполагается, что изменение давления не влияет на вязкость жидкости.
Равновесное состояние рассматриваемой системы запишется в виде:
Voi = 0, Ço = 0, pi = Pg - pigz, (1)
где V = (и, V, V) - вектор скорости, р -плотность жидкости, ^ - смещение поверхности от положения равновесия, Рё - давление на границе раздела при г = 0, / = 1, 2 - номер жидкости. Жидкость с I = 1 заполняет полупространство х < 0, а жидкость с / = 2 заполняет область х > 0.
Исследуем устойчивость равновесия (1), для чего обычным образом внесём возмущения
скорости и давления. Выбирая в качестве единиц измерения длины, времени, частоты, скорости и давления соответственно [а/(р+рё)§]1/2,
[a/(pi+pg)g3]1/4, [ag/(p+pg)]1/2, получим для возмущений следующую линеаризованную систему уравнений:
[(Pi+Pg)g3/a]1/4, [ag/(pi+pg)]
1/4
dvi/dt = - (1/р) Vpi + y F v, Vyî = 0, (2)
где Pi = p/(pi +pg), y, = Vi[g(pi +pg)3/a3]1/4, p2 = pg +Ap, P2 = fco +Ap,
ßzo =pg/(pi +pg), Aß = Ap/(pi +pg).
Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела. Изменение плотности Ap в области z > 0 найдём, например, из уравнения PJPg = (pm/pg)3, т.е. Ар = pg[(Pm/Pg)1/3 - 1] (см., например [2]). Индекс g говорит об исходных параметрах жидкости с номером 2 (газовая среда).
Индекс т соответствует параметрам жидкости с номером 2 при взрывном давлении, Рё = Р0 -атмосферное давление (давление на границе раздела жидкость-газ).
В линейном по О приближении, имеем на границе раздела следующее [3]:
(VI - У2)п = 0, (VI - У2)хп = 0, д/ = ш, (3)
/31у1(д1и/д1 + дш/дх) = Ргу2(ди2/д1 + дшг/дх),
/Зф(дУ1/д1 + дш/ду) = P2y2(дv2/дz + дш2/ду),
рх - Р2 = (¡1 - Р2Х - (д2/дх2 + д2/ду2+ 2Рфдш1д - 2р2у2дш2д
При г ^ + ж VI ^ 0. ^ 0 при |х, у| ^ +ж, получим, поступая также как и
Здесь п = (-д^/дх, -д@ду, 1) единичный вектор в работе [4], после обратного преобразования
нормали к поверхности. Лапласа в линейном по вязкости и приращению
Совершая преобразования Фурье по плотности приближении следующее уравнение для
переменным х, у и Лапласа по времени и учитывая, смещения поверхности от положения равновесия: что v1(t = 0) = 0, ОН = 0) = 0 и V,, С, дv/дх, дv1/дх, ддду
ё+2О^ = 0, (4)
где5 = + /320у2 + к2,п2=к3 + - Ц0), IX = к -кз), к
- волновое число.
Здесь д = Др = (Р - р) = -¡1[(Рт/Ро)1'3- 1] при 0 < г < т и д = (51 - р,0), если 0 > г > т (Фиг.1, а).
На участке 0 < 1 < т общее решение уравнения (4) имеет вид:
1 = в-хс^Ы^ + С2СИП1)
а на участке 0 > 1 > т общее решение уравнения (4) имеет вид:
2 = eSt(C3smÜ2t + Ccosfat),
где Д2 = (kG - Q22), Ü22 = (Q02 - ö2), G = (ßm -ß0) = ßo[(Pm/Po)1/3 - 1].
Из условий непрерывности на границах участков при t = 0 и t = т
1(0) = 2(0), д 1(0)/д=д 2(0)/д, 1(т) = 2(т), д 1(т)/д=д 2(т)/д
получим систему линейных однородных уравнений, получим условие нетривиальности уравнений для постоянных С\, С2, С3, С4 [5]. Из решения: равенства нулю определителя этой системы
2П1П2[(сЬП1т)(^П2т) -1] - (П12 - П2)^ИП1т)^^шП2т) = 0. (5)
Уравнение (5) связывает между собой волновое число (длину волны), возбуждаемых поверхностных волн, время действия взрыва с амплитудой взрывного давления ДР = Рт - Р0.
При реализации режима движения «Ь» (Рис. 1) уравнение (4) примет вид:
^+2^ + ^ = 0. (5)
Здесь на участке 1 (0 < г< Т/2) = -[к(Рт -Рг) - к3] = -{кр1[(Рт/Р3)1/3 - 1]- к3} = -0?, а на участке 2 (Т/2 < г < Т) П?2 = к3 + к(01-рд) (см. фиг. 1, Ь). Общее решение уравнения (6) имеет вид:
■ dt
Zi = e-St(Cishßit + C2chüit), Z2 = e-St(C3sinÜ2t + C4CosÜ2t), где ßi2 = (kG - П22), П22 = (Ш - S2), G = (ßm - ßg) = ßg[(Pm/Pg)i/3 -1], Ш = k3 + k(ßi - ßo).
Из условий непрерывности на границе &(Т — /&(0), д Z2/дt¡t — т — цдZl/дt¡t = о
участков 1 и 2 при t = Т/2
получим систему линейных однородных уравнений для постоянных С1, С2, С3, С4. Из равенства нулю определителя этой системы вместе с условиями «воспроизводства» через уравнений, получим для фактора ^ квадратное период Т уравнение [6]:
1 — & д 1/дг — д 2/д
/2 - 2/{сЪ(ТП1/2)•ооб(ТПо/2) - [(П\ - Пог)/2П1По]БЬ(ТП1/2уБт(ТПо/2)}ет + 2 = 0. (7)
Периодические решения получаются при ц = ± 1. Отсюда для границ области устойчивости получаем:
сЪ (ТП1/2) •соб(ТПо/2)
Ш)/2П1По]БЬ(ТП1/2)^т(ТПо/2)= ± сЬ(5Т). (8)
Знак плюс соответствует «целым» решениям, т.е. колебаниям поверхности с периодом, равным периоду модуляции, а знак минус соответствует «полуцелым» решениям, когда период колебаний поверхности вдвое больше периода модуляции.
Уравнения (8) связывает между собой волновое число к, вязкое трение д с амплитудой и частотой (периодом) модуляции давления ДР.
Амплитуда давления одиночного и периодически действующего взрыва от времени их действия для различных значений волнового числа приведена на фиг.2.
Заключение. Получена зависимость значений амплитуд взрывного давления для единичного и периодического взрывного воздействия от времени их действия для различных значений волнового числа.
Литература
1. Таланов Б.П. Способ борьбы со смерчем. Пат. РФ № 2062660, МПК: А0Ш 15/00// БИ 2002, №15.
2. Баум Ф.А., Станюкович К.П., Шехтер Б.И. Физика взрыва. - М.: Гостехиздат. 1959. - 799 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред, гл.2. М.-Л., Гостехиздат, 1944.
4. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение волн на границе раздела.//Изв. АН СССР. МЖГ. - 1977. - Вып. 2. - С.167-170.
5. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001. - 395 с.
6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Ковективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Главная редакция ф.-мат. Литературы изд-ва «Наука», 1972. - 392 с.
Рисунки и подрисуночные подписи
2Т I
Фиг. 1. Импульс давления взрыва: а) одиночный импульс взрывного давления, б) периодически действующие взрывные импульсы. Рт - амплитудное значение давления взрыва, Pg - исходное гидростатическое давление на границе раздела.
Волновое число 1/м
Фиг. 2. Зависимость относительной амплитуды взрывного давления от времени действия взрыва. Здесь Pm - давление взрыва, Pg =P0 - атмосферное давление, 1) Одиночное взрывное воздействие длительностью 0,01 с, 2) Периодическое взрывное воздействие с периодом 0,02 с.
519.683.8, 519.688
АВТОМАТИЧЕСКОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОГРАММ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ
Новиков М.Д.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 52, факультет ВМК.
AUTOMATIC TESTING OF COMPLEX PASCAL PROGRAMS
M.D. Novikov
Moscow State university, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Russia, 119991, Moscow, GSP-1, 1-52, Leninskiye Gory.
DOI: 10.31618/nas.2413-5291.2023.1.88.729
АННОТАЦИЯ
Статья посвящена автоматическому тестированию программ на языке Паскаль, выполняемых студентами первого курса факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова. Описывается представление сложных структур данных на экране компьютера и тестирование программ, допускающих различные варианты правильных ответов.
ABSTRACT
The article is devoted to automatic testing of Pascal programs created by first year students of the faculty of computational mathematics and cybernetics of Moscow state university. Output of complex data to the computer screen is described. Testing of programs with multiple correct answers is discussed.
Ключевые слова: программирование, язык Паскаль, тестирование программ, структуры данных.
Key words: programming, Pascal language, program testing, data structures.
Введение.
На факультете ВМК МГУ с 2017 года используется система автоматического тестирования программ (САТП), предназначенная для проверки правильности программ на языке Паскаль, выполняемых студентами первого курса в рамках практикума на ЭВМ. Задачи для тестирования взяты, в основном, из книг [1], [2] и [3]. Эти книги содержат как задачи на составление программ, тестирование которых не вызывает затруднений, так и задачи, требующие нетривиальных алгоритмов для их программной реализации и специальных методов проверки
правильности этих алгоритмов. Возможности САТП следующие: 1) можно тестировать как полную программу, так и фрагмент программы -процедуру или функцию; 2) проверяется выполнение формальных требований к программе, указанных в [1], [2] и [3] - это обычно запрет или, наоборот, обязательное использование каких-либо конструкций языка Паскаль; 3) проверяется корректность использования динамической памяти ЭВМ; 4) производится анализ выдаваемых тестируемой программой результатов на предмет их правильности. Основная информация по САТП изложена в работах [4], [5] и [6]. Данная статья
