CC BY
9
УДК 52-601
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЗАИМНО НЕОДНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
А. В. Шишкина, С. С. Чернова
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: nastya.shishkina95@mail.ru
Рассматривается задача восстановления функции по наблюдениям, когда исследуемый процесс описывается взаимно неоднозначными характеристиками. Эта задача сводится к задаче аппроксимации, главной особенностью которой является отсутствие априорной информации о параметрической структуре модели исследуемого процесса. Предлагается непараметрическая оценка взаимно неоднозначных характеристик, ее некоторая модификация и результаты численных исследований.
Ключевые слова: непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики.
RESTORATION OF MUTUALLY UNBELIGIOUS FUNCTIONS A. V. Shishkina, S. S. Chernova
Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: nastya.shishkina95@mail.ru
We consider the problem of restoration of function of the observations, when the studied process is described by mutually ambiguous performance. This problem is reduced to the problem of approximation, the main feature of which is the lack of a priori information on the parametric structure of the model, the studied process, i.e. the equation is unknown. It is proposed nonparametric estimation of mutually ambiguous characteristics, some modification of it, and the results of numerical studies.
Keywords: nonparametric model, mutually ambiguous characteristics.
Введение. При восстановлении функций регрессии по наблюдениям часто используют непараметрические оценки. При этом предполагается, что характер ее зависимости однозначный по аргументу. Ниже рассматривается зада восстановления функции по наблюдениям при взаимно неоднозначной зависимости. Это потребовало внесения некоторых изменений в известную оценку Надарая-Ватсона.
Постановка задачи. Введем следующие обозначения: xi, yi, i = 1, s - элементы обучающей выборки объема - s. Непараметрическая оценка Надарая-Ватсона выглядит следующим образом:
IИ Ф
( x - x >
Ys (x) = ,=1. "' , (1)
IФ
c± x - x
\ c.
i=1
где yi - элементы обучающей выборки, Ф(у) - колоколообразная функция, обладающая следующими свойствами: Ф(у) > 0; j Ф(v)dv = 1; lim—Ф(у) = 5(0); v - произвольный аргумент;
cs
cs - параметр размытости, удовлетворяющий следующим условиям сходимости [1; 2]: cs > 0; sc ; lim c ^ 0 .
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
При восстановлении взаимно неоднозначной функции регрессии оценка Надарая-Ватсона должна быть изменена следующим образом:
¿У, Ф г=1 ( х, хг Л Ф ) ( хг _1 хг _1 л Ф ) ( У1 _1 _ У, _1 Л
( с, ( с, ( с, )
Е ф ( г=1 ( Л х, хг ( Ф ( Л хг _1 хг_1 ( Ф ( _1 _ У, _1 Л
с, ) с, ) с, )
(2)
где х,_ь значения координат функции регрессии на предыдущем шаге ее оценивания [3].
Как показали многочисленные вычислительные эксперименты целесообразно (2) несколько подкорректировать:
(х,) =
¿¿Уг Ф г=1 ( х, хг Л Ф0 ) ( хг _1 хг _1 Л Ф0 ) ( yt _1 _ У,_1 1
( с, ( с, ( с,
Е ф ( г=1 ( Л х, хг ( Ф0 ( Л хг _1 хг _1 ( Ф 0 ( У, _1 _ Уг_1 1
с, ) с, ) с, )
(3)
где Ф°(у) с точностью до коэффициента повторяет Ф(у), но Ф0(у) < Ф(у), но Ф0(у) = 1, если V < 1 и 0 в остальных случаях.
Вычислительный эксперимент. Без нарушения общности, взаимно неоднозначную характеристику примем в виде окружности:
(4)
х2 + У2 = г2,
где г - радиус окружности. В этом случае обучающая выборка формировалась следующем образом: произвольно задавались - начальная точка х1, г = 1,, и радиус окружности, по формуле (4)
генерировались все остальные точки выборки объема ,. Каждому значению хг, г = 1,,, принадлежит два значения уг, г = 1,, . В связи с этим, возникает вопрос о выборе траекторий движения. Появление выборочных значений начинается в некоторой точке х0 и двигается последовательно, проходя точки х1, х2 и т. д. Таким образом, суть оценки Надарая-Ватсона формула (2), заключается в том, что при оценивании очередной точки, производится «фиксация» алгоритма в предыдущей.
На следующем шаге добавлялось случайное воздействие И на наблюдения уг.
И, = У £ , (5)
где £ е [_1,1], уровень помех I = 0 %; 5 %; 10 %.
В качестве критерия точности непараметрической оценки использовалось соотношение:
¿1 Уг _ У,(X )|
^ =
г=1
¿1
г=1
(6)
У, _ У
- 1
где У = — Е У, - среднее арифметическое; У, (хг) - непараметрическая оценка.
Следует отметить, что: с уменьшением ошибки восстановления (w), точность оценки возрастает; с ростом объема выборки (,), ошибка восстановления (w) уменьшается; величина ошибки растет, при возрастании уровня помех (/).
Обозначим на рис. 1, 2 цифрой (1) - обучающую выборку, (2) - непараметрическую оценку. Эффективность работы, непараметрической оценки взаимно неоднозначных функций представлена на рис. 1, 2. На рис. 1 - уровень помех равен 5 %, на рис. 2 - уровень помех равен 10 %.
15
10
5
0
-5
-10
-15
-15 -Ю 4 I 5 И 15
Щ
Рис. 2. Эффективность работы алгоритма с помехой 5%
Рис. 3. Эффективность работы алгоритма с помехой 10%
Заключение. В настоящих тезисах рассмотрена малоизученная непараметрическая оценка взаимно неоднозначной функции по наблюдениям с помехами. Предложена некоторая модификация непараметрической оценки, а также показаны некоторые результаты вычислительного эксперимента. Подобная задача возникает при создании некоторых робототехнических устройств.
Библиографические ссылки
1. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1983.
2. Васильев В. А., Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. М. : Наука, 2004.
3. Живоглядов В. П., Медведев А. В., Тишина Е. В. Восстановление неоднозначных статических характеристик по экспериментальным данным // Автоматизация промышленного эксперимента. Фрунзе 1973. С. 32-39.
© Шишкина А. В., Чернова С. С., 2017
