Восстановление сигнала по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.396:681.323

С. И. Зиатдинов

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПО ЕГО ВЫБОРКАМ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ ОТСЧЕТОВ КОТЕЛЬНИКОВА

Показано, что для однозначного восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы частота дискретизации превышала удвоенную максимальную частоту в спектре сигнала.

Ключевые слова: восстановление сигнала, дискретизация, ошибки.

При цифровой фильтрации непрерывного входного сигнала важнейшей задачей является правильный выбор его частоты дискретизации.

Согласно теореме Котельникова, если наивысшая частота в спектре сигнала и(V) не превышает значения Fmsк, то сигнал и(V) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга не более чем на 0,5/Fmax. Иными словами, частота дискретизации непрерывного сигнала Рд должна удовлетворять условию

Рд > 2Ршах [см лит ]

Покажем, что требование к выбору частоты дискретизации должно быть более жестким, а именно: для замены непрерывного сигнала совокупностью выборок без потери информации необходимо обеспечить соотношение Рд > 2Ршах . В случае, когда Рд = 2Ршах, дискретизация

непрерывного сигнала приводит к информационным потерям.

Пусть дискретизированный входной сигнал представляет собой синусоидальное колебание

и (V,-) = и мп Щ, V = ,Тд +АТ, (1)

где и, О — амплитуда и круговая частота сигнала; Тд — период дискретизации; АТ — смещение во времени момента текущего отсчета V-; г = 0,1, 2,... — номер текущего отсчета.

Сигнал, с помощью которого осуществляется интерполирование (восстановление) исходного сигнала по его отсчетам, зададим в виде

ии(4 ) = ии + Ф), (2)

где ии, ф — амплитуда и фазовый сдвиг интерполирующего сигнала. Таким образом, для интерполирования сигнала по его отсчетам необходимо найти амплитуду ии и фазовый сдвиг ф интерполирующего сигнала.

Будем считать, что в точках отсчетов сигналы (1) и (2) полностью совпадают, т.е.

и & ) = ии ) или

Восстановление сигнала по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова

45

и8т[П(/'Тд +ЛТ)] = ии 8т[(П(/'Тд + ЛТ)+ф]. (3)

Из данного соотношения находим требуемую амплитуду интерполирующего сигнал

8т[П(/'Тд + АТ)]

ии=и-

8т[П(/Тд +ЛТ) + ф]

Рассмотрим ряд частных случаев. При ЛТ = 0 из соотношения (4) следует, что

8т(0/Тд )

(4)

и„=и-

8т(0/Тд + ф)

(5)

Согласно теореме Котельникова, на нижней границе частота дискретизации Ед равняется удвоенной частоте сигнала Е = О /2п . Тогда при Ед = 2Е после простых преобразований формула (5) принимает вид

зт(/п)

ид =и-

8т(/'п+ф)

(6)

Положим в формуле (6) ф = 0, п, 2п,... При этом отсчеты сигнала и(г1) берутся в точках, где и (г) = 0 (рис. 1). В соотношении (6) возникает неопределенность типа 0/0. В результате интерполирующий сигнал ии (г1) может иметь любую амплитуду, так как в точках отсчета его значения, как и значения исходного сигнала, равны нулю.

и, у.е.

0,4 0,6 0,8 г, у.е

Рис. 1

Следовательно, при ЛТ = 0; ф = 0, п,2п,... и Ед = 2Е сигналу и(г1) можно сопоставить бесчисленное множество интерполирующих сигналов и^(г1), имеющих любую амплитуду (см. рис. 1).

При фФ0, п, 2п,... выражение (6) принимает вид

ии=и

0

8Ш(/П + ф)

-= 0.

В данном случае вообще нет интерполирующего сигнала.

Таким образом, при взятии отсчетов синусоидального сигнала в точках, где его значение равно нулю, интерполирующий сигнал также проходит через эти точки и может иметь любую амплитуду. Восстановление исходного сигнала по его отсчетам в этом случае невозможно.

46

С. И. Зиатдинов

При АТ ^ 0 точки отсчета сигнала и ) не совпадают с моментами времени, где его значения равны нулю (рис. 2). По-прежнему считаем, что частота дискретизации равняется удвоенной частоте сигнала ( Ед = 2Е ).

и, у.е. 1,5

1,0 0,5 0 -0,5

-1,0-

-1,5 -

0,4 Рис. 2

t, у.е

Рассмотрим, например, случай, когда АГ = 0,25Т . Здесь Т = 1/ Е — период синусоидального сигнала. В результате соотношение (4) преобразуется к виду

Un =u-

sin[Q(/T„ + 0,25T)]

U

(7)

sin[Q(/Tfl + 0,25T) + ф] cos ф

Из данного выражения можно найти амплитуду интерполирующего сигнала для различных значений ф :

а) ф = 0, ии = U; б) ф = 45°, ии = 2U/V2; в) ф = 60°, ии = 2U; г) ф = 60°, ии = «>.

Следовательно, существует бесчисленное множество интерполирующих сигналов. Данный результат поясняется временными реализациями, представленными на рис. 2.

Таким образом, из проведенных исследований следует, что при F = 2F невозможно

однозначно восстановить исходный синусоидальный сигнал по его отсчетам.

Пусть частота дискретизации не имеет жесткой привязки к частоте синусоидального сигнала > 2F. В этом случае из соотношения (3) получим

U sin

2л—

T

T, Г AT Л

i +-

T

v д

= U„ sin

T

T (. AT Л

i +-

TT

+ф

д у

Данное равенство будет выполняться для всех г = 0,1,2,... только при одном условии, когда ии = и и ф = 0, 2п, 4п,... Следовательно, в этом случае для всех точек взятия отсчетов существует единственный интерполирующий сигнал. Аналогичные рассуждения можно распространить на сигнал и (^) любой формы с ограниченным максимальной частотой спектром.

Таким образом, для однозначного восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам необходимо, чтобы выполнялось условие — частота дискретизации должна быть больше удвоенной наивысшей частоты в спектре сигнала.

литература

Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1971. 671 с.

Мощный импульсный СВЧгенераторный модуль

47

Сергей Ильич Зиатдинов

Сведения об авторе д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, кафедра информационно-сетевых технологий; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой информационно-сетевых технологий

Поступила в редакцию 29.11.07 г.

УДК 621.373.52

А. А. Титов, В. П. Пушкарев, Б. И. Авдоченко МОЩНЫЙ ИМПУЛЬСНЫЙ СВЧ ГЕНЕРАТОРНЫЙ МОДУЛЬ

Описан СВЧ генераторный модуль на диоде Ганна типа 3А762А с выходной импульсной мощностью не менее 36 Вт, рабочим диапазоном частот 8—11 ГГц и размером 46*42*36 мм. Приведена принципиальная схема ограничителя импульсов управления и возбудителя, описаны особенности конструктивной реализации СВЧ генераторного модуля и методика его настройки.

Ключевые слова: диод Ганна, генераторный модуль, ограничитель импульсов, возбудитель.

Используемые в настоящее время в системах ближней радиолокации и радионавигации импульсные СВЧ генераторы на магнетронах имеют большой вес, габариты и ограниченный срок службы. В то же время выпускаемые промышленностью диоды Ганна типа 3 А750, 3 А762, а также лавинно-пролетные диоды типа 3А765, 3А766 позволяют разрабатывать СВЧ-генераторы с выходной импульсной мощностью до 40 Вт в диапазоне частот 8—96 ГГц [1]. В работе описан СВЧ генераторный модуль, управляемый микроконтроллером, генерирующим импульсы управления ТТЛ-уровня, и состоящий из ограничителя амплитуды импульсов управления (далее — ограничитель), возбудителя и резонаторной камеры с диодом Ганна типа 3 А762А.

Принципиальная схема ограничителя и возбудителя приведена на рис. 1.

Для стабильной работы СВЧ генераторного модуля необходимо обеспечить постоянный уровень напряжения возбуждения диода Ганна. В случае работы импульсного возбудителя от микроконтроллера, генерирующего импульсы управления ТТЛ-уровня, напряжение возбуждения оказывается нестабилизированным. Это приводит к изменению генерируемой мощности и частоты генерации [1].

В цифровой технике в качестве ограничителя импульсов используют, как правило, компараторы [2], недостатком которых является увеличение длительности формируемых ими импульсов с возрастанием амплитуды входных воздействий, что связано с насыщением транзисторов компаратора. В системах ближней радиолокации изменение длительности излучаемых радиоимпульсов недопустимо, поскольку приводит к снижению точности производимых с помощью указанных систем измерений.

Ограничитель должен обеспечивать неизменную форму и амплитуду выходного импульса при изменении амплитуды входного сигнала. Экспериментальные исследования показали, что при изменении амплитуды входных импульсов в пределах от 4 до 20 В амплитуда выходных импульсов изменяется от 3,2 до 3,36 В. Важно и то, что изменение амплитуды входного воздействия не приводит к увеличению длительности выходных импульсов, что характерно для классических схем на основе компараторов. При этом выброс на переднем фронте импульса в рассматриваемом диапазоне амплитуд входных сигналов не превышает 3 % [3].