CC BY
13
ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В СРАВНЕНИИ С ОБОБЩЕННОЙ ОЦЕНКОЙ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ Эралиев Х.А.1, Латипова М.И.2, Бойназаров Б.Б.3, Абдуллаев А.А.4, Ахмаджонов А.Э.5 Email: [email protected]
'Эралиев Хожиакбар Абдинаби угли - ассистент; 2Латипова Мухайё Ибрагимжановна - ассистент;
3Бойназаров Бекзод Бахтиёрович - ассистент; 4Абдуллаев Абдувохид Абдугаппар угли - ассистент,
кафедра электроэнергетики; 5Ахмаджонов Аббосжон Эркинжон угли - студент, энергетический факультет, Ферганский политехнический институт, г. Фергана, Республика Узбекистан
Аннотация: это статья показывает, что метод оптимизации восстановления с разреженным состоянием эквивалентен известному М-оценщику Хьюбера, а затем оправдывает его устойчивость к неверным данным. Мы получаем суммарные функции влияния М-оценки Хьюбера и обобщенного (GM) -метора максимального правдоподобия и даем формальное доказательство того, что М-оценка Хубера уязвимы для точек плохого кредитного плеча, в то время как GM-оценка могу справиться с ними. Численные результаты, проведенные на различных системах IEEE, подтверждают наши теоретические результаты.
Ключевые слова: неверные данные, GM-оценка, функция влияния, точка воздействия, M-оценка, восстановление разреженного состояния, оценка состояния.
SPARSE STATE RECOVERY VERSUS GENERALIZED MAXIMUM-LIKELIHOOD ESTIMATOR OF A POWER SYSTEM Eraliev Kh.A.1, Latipova M.I.2, Boynazarov B.B.3, Abdullaev A.A.4,
Akhmadjonov A.E.5
1Eraliev Khojiakbar Abdinabi ugli-- assistant; 2Latipova Mukhayo Ibragimjanovna - assistant; 3Boynazarov Bekzod Baxtiyorovich - assistant; 4Abdullaev Abduvohid Abdugappar ugli - assistant, DEPARTMENT OF ELECTRIC POWER; 5Akhmadjonov Abbosjon Erkinjon ugli - student, DEPARTMENT OF POWER ENGINEERING, FERGHANA POLYTECHNIC INSTITUTE, FERGHANA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this letter shows that the sparse state recovery optimization method is equivalent to the well-known Huber M-estimator, and then justifies its robustness to bad data. We derive the total influence functions of the Huber M-estimator and the generalized maximum-likelihood (GM)-estimator, and give a formal proof that the Huber M-estimator is vulnerable to bad leverage points while the GM-estimator can handle them. Numerical results carried out on various IEEE systems validate our theoretical results. Keywords: Bad data, GM-estimator, influence function, leverage point, M-estimator, sparse state recovery, state estimation.
УДК.621.316
Раньше метод оптимизации восстановления с разреженным состоянием (ВРС), предложенный для сжатого зондирования, был предложен для оценки статического состояния энергосистемы [1-2]. Утверждается, что ВРС способен одновременно подавлять неверные данные (НД) и отфильтровывать аддитивные помехи измерений с помощью смешанного выпуклого программирования 12 - и 11 - нормы. Тем не менее, не было представлено никаких доказательств в обоснование этой претензии. В этой статье мы доказываем, что метод SSR эквивалентен известной М-оценке Хьюбера. Мы выводим суммарные функции влияния М-оценки Хьюбера и обобщенного (GM)-метора максимального правдоподобия и даем формальное доказательство того, что М-оценка Хьюбера имеет неограниченную функцию влияния в присутствии точек плохого влияния, в то время как GM-оценка ограничена. В энергосистемах точка рычага - это измерение ввода мощности на шине с относительно большим количеством ответвлений по сравнению с другими (концентратор графика) или вводом мощности или измерением потока мощности, связанным с линией, имеющей относительно небольшое реактивное сопротивление по сравнению с другими [2].
I. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Для энергосистемы связь между вектором измерения Е Rm и вектором состояния j6R° может быть выражена как
= h (х) + е , (1)
где h/): Rn ^ Rm - векторная нелинейная функция; е Е Rm - это шум измерения, который должен следовать гауссову распределению с нулевым средним и ковариационной матрицей R, которая состоит из обратных дисперсий измерения. Умножая обе части (1) на R-12, мы получаем следующую хорошо известную взвешенную форму регрессии [2]
z = Л(х) + e, (2)
где E[ee T ] = I. Когда существуют BD, предлагается следующая форма [1].
z = h(x) + a + e (3)
где a - разреженный вектор, элемент которого равен нулю, если НД отсутствует, в противном случае он соответствует НД с произвольным значением. С этой моделью цель метода ВРС [1] состоит в том, чтобы найти х и а, которые минимизируют
J (x,a) = i| | z- (x)-a | | 2 + | | a | | (4)
где - параметр регуляризации. Заметим, что если ^ да, мы получаем a = 0, а затем (4) сводится к взвешенной оценке наименьших квадратов; напротив, если ^ 0, (4) сводится к оценщику наименьшего абсолютного значения.
II. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этом разделе мы сначала покажем, что метод ВРС идентичен М-оценке Хьюбера. Затем мы выводим суммарные функции влияния М-оценки Хьюбера и GM -оценки и делаем некоторые выводы.
А. Эквивалентность SSR и М-оценки Хьюбера Теорема 1. Оценка SSR равна М-оценке Хьюбера
arg йт in£ ™ хр fa) , (5)
Где r = zt - hj(x) - i-й остаток, а р(^) - выпуклая функция стоимости Хьюбера, выраженная как
оГгл=(^/2 /ОГ | Г |<
Р ( U Г |- 2 /2 /ОГ | Г |> . ()
Доказательство: переписать целевую функцию, заданную (4), как
/ (х.а) = ££ ^(^-Г) 2+ | аг | . (7)
Необходимым и достаточным условием оптимальности является
and £¿^=0. (8)
да дх v '
Для первого равенства, если a¿ Ф 0 , имеем
что эквивалентно a ¿ = r¿ — s ign (r¿) , если | r¿ | > ; в противном случае a ¿ = 0, где знак (•) - это функция знака действительного числа. Подставляя ai в (7), получим
aigOOnun££! ;{r¿2 } [ | r | — { | r¿ | — 2 /2 }I | r¿ | > , (10)
где [Л : X — { 0 , 1 } - индикаторная функция подмножества A множествах. Заметим, что производная (10) по х равна производной второго условия равенства в (8), В результате (10) эквивалентно (5).
Теорема 1 показывает эквивалентность метода SSR М-оценке Хьюбера, которая имеет ограниченную функцию влияния невязки, а затем обосновывает свою устойчивость к вертикальным выбросам. Последнее относится к выбросам, которые не находятся в положении рычага [1-2]. Кроме того, в отличие от решений, основанных на оптимизации, для решения М-оценки Хьюбера предлагается алгоритм с наименьшим квадратом (IRLS), который является численно устойчивым и с быстрой сходимостью. Наконец, чтобы иметь хорошую устойчивость при одновременном достижении высокой статистической эффективности М-оценки Хьюбера при гауссовости, обычно выбирают в диапазоне от 1 до 3 [2].
Б. Функции влияния М-оценки и GM -оценки
Чтобы подтвердить надежность М-оценки ВРС/Хьюбер к вертикальным выбросам, мы выводим ее функцию полного влияния (ФПВ). Обратите внимание, что ограниченный ФПВ является ключом для обоснования устойчивости оценки к выбросам. Пусть кумулятивное распределение вероятностей остаточного вектора r = z - h(x) равно Ф(г), М-оценка Хьюбера дает оценку состояния путем решения следующего неявного уравнения:
^ (r,x) = £™ (r¿) = 0, (11)
Где (r¿) = öp (r¿) /ö r¿. Используя определение асимптотического полного ФПВ и следуя нашей предыдущей работе [7], мы получаем ФПВ М-оценки Хьюбера следующим образом:
I F (г, Ф) =-Л^(ЯгЯ) - V (12)
ЕФ [ '(г;)]
где 1 (r¿) = д (r ; ci - вектор i-го столбца HT.
orí
Проверяя функцию Хьюбера и ее производную, легко проверить, что, если нет плохой точки воздействия, (12) ограничен. Напротив, если ci искажен из-за грубых ошибок, он не ограничен, что приводит к неограниченным отклонениям оценок.
Таблица 1. Средняя абсолютная ошибка каждого оценителя
Случаи SSR метод М-оценка Хьюбера GM-оценка
Случай 1 0.0030 0.0031 0.0031
Случай 2 0.0985 0.0984 0.0402
Случай 3 0.743 0.7425 0.0033
Для подавления точек плохого кредитного плеча рекомендуется GM-оценка, целевой функцией которой является
т¿п£Т=, !Р(П/ г) (13)
где I - вес, ограничивающий влияние точки плохого кредитного плеча. Следуя тем же шагам, что и ранее, ФПВ GM-оценки можно вывести как [1]
I Р(г,Ф) = -^^(ЯгЯ) " ^ г. (14)
ЕФ [ /(г;)] 82
Благодаря весу i НД в позиции плеча также ограничен. Следовательно, GM-оценка способна подавлять как вертикальные выбросы, так и точки плохого кредитного плеча. Для расчета веса ь Мили и другие. [2] предлагают использовать прогнозную статистику. Другие методы, такие как метод определения минимальной ковариации, также могут быть использованы. Обратите внимание, что если не происходит выбросов, GM-оценка сводится к М-оценке Хьюбера.
РЕЗУЛЬТАТЫ СИМУЛЯЦИИ
Чтобы подтвердить теоретические результаты, мы проводим обширные моделирования на тестовых системах IEEE. В частности, мы тестируем М-оценку Хьюбера, метод ВРС [2] и GM-оценка [1] в системе IEEE с 30 шинами. X установлен как 1,5 для всех трех методов; Все тесты выполняются на ПК с Intel Core i5, 2,50 ГГц, 8 ГБ оперативной памяти. Код Matlab можно найти на нашем сайте исследователей. Тестируются три случая: i) выброса не происходит; ii) мощность, подаваемая на шину 8, изменяется с -0,3 у.е. до -0,2 у.е. для моделирования вертикального выброса; (iii) ввод мощности на шине 2 изменен с 0,18 у.е. до 1 у.е. для моделирования имитации точки плохого плеча. Средняя абсолютная ошибка используется в качестве показателя для оценки общей эффективности каждого метода.
Таблица I показывает среднюю абсолютную погрешность каждого метода для трех случаев. Можно обнаружить, что метод ВРС дает почти те же результаты, что и М-оценка Хьюбера. Это ожидается, так как мы доказали, что метод ВРС эквивалентен М-оценке Хьюбер. Кроме того, мы находим, что когда возникают вертикальные выбросы, смещения всех оценок увеличиваются, но остаются ограниченными. Это оправдывает их устойчивость к вертикальным выбросам. С другой стороны, когда возникают плохие рычаги воздействия, и метод ВРС, и М-оценка Хьюбера получают значительно смещенные результаты оценки. Это подтверждает наши теоретические результаты, что они имеют неограниченные функции влияния. В отличие от этого, GM-оценка подавляет как вертикальные выбросы, так и точки плохого кредитного плеча и достигает наивысшей статистической эффективности.
Таблица 2. Среднее время вычисления каждого оценителя
Сценарии SSR метод M-оценка Хьюбера GM-оценщик
Случай 1 0.069 с 0.068 с 0.074 с
Случай 2 0.073 с 0.074 с 0.082 с
Случай 3 0.075 с 0.076 с 0.084 с
IEEE 14-шина 0.0303 с 0.0302 с 0.042 с
IEEE 118-шина 0.242 с 0.243 с 0.32 с
Таблица II показывает время вычислений каждого метода для трех случаев, а также для систем с 14 и 118 шинами IEEE без выбросов. Из этой таблицы мы видим, что метод ВРС обладает сравнительной вычислительной эффективностью в качестве М-оценки Хьюбера. GM-оценка является наиболее трудоемким подходом, но его вычислительное время находится в том же порядке, что и М-оценки Хьюбера [3-13].
Список литературы /References
1. Сюй В., Ван М., Цай Дж., Тан А. «Разреженное исправление ошибок нелинейных измерений с приложениями для обнаружения неверных данных для электрических сетей», декабрь 2013 г.
2. Кекатос В. и Джаннакис Г.Б., «Оценка состояния распределенной устойчивой энергосистемы», май 2013 г.
3. Eraliyev A.Kh., Hamidjonov Z.M., RakhimovM.F., Abdullaev A.A. Increasing efficiency of turbo generators in heat electric centers // «European science», 2019. № 6 (48), C. 36-40.
4. Kholiddinov Ilkhombek Khosilzhonovich, Shaismatov Sayfulla Ergashevich, Eraliyev Hozhiakbar Abdunabi's son. Modular method of calculation of asymmetry of currents and voltage in the electric network of 0,38kV // «European Applied Sciences», 2015. №8.
5. Жабборов Т.К., Насретдинова Ф.Н., Назиржонова Ш.С., Хомиджонов З.М., Рахимов М.Ф., Бойназаров Б.Б. Использованж систeмы аскуэ для повышeния энepгeтичeской эффeктивности пpоцeссов анализа потpeблeния элeктpоэнepгии // Вестник науки и образования 2019. No 19 (73).Часть 2. С. 13-16.
6. Халилова Ф.А., Бойназаров Б.Б. Характеристика дугогасящих реакторов, применяемых для компенсации емкостных токов замыкания // Проблемы науки, Москва. № 10 (46), 2019 Ст.11-15.
7. Туйчиев З.З., Исмоилов И.К., Турсунов Д.А., Бойназаров Б.Б. Проблемы качества электроэнергии в системах электроснабжения // Проблемы науки, Москва. № 10 (46), 2019 Ст.15-18.
8. Узбеков М.О., Туйчиев З.З, Бойназаров Б.Б., Турсунов Д.А., Халилова Ф.А. Исследование термического сопротивления солнечного воздухонагревателя с металлической стружкой // Научно - технический журнал «Энергосбережение и водоподготовка», 2019 г. № 4. С. 29-33 (05.00.00 № 97. РИНЦ 2018, IF:0,32)
9. Исмоилов И.К., Туйчиев З.З., Байназаров Б.Б., Турсунов Д.А., Эралиев Х.А., Аппаков Д.Ш. Повышение коэффициента полезного действия в результате изменения магнитодвижущей силы обмоток машин переменного тока // «Проблемы современной науки и образования», 2019 г. № 11 (144). Часть 1. Ст. 54-58.
10. Жабборов Т.К., Насретдинова Ф.Н., Бойназаров Б.Б., Эргашев К.Р. Электрические цепи содержащие нелинейные элементы и методы их расчёта // Вестник науки и образования 2019. № 19 (73).Часть 2; с.10-13.
11. Касимахунова А.М., Олимов Ш.А., Мамадалиева Л.К., Норбутаев М., Назиржанова Ш.С., Саджида Риффат Лараиб. Фототермический генератор селективных радиационных конструктивно-энергетических особенностей // «Журнал прикладной математики и физики», том 07, № 6 (2019), Ст.1263-1271. ID статьи: 93268,9 страниц 10.4236 / jamp.2019.76086.
12. Rahimov Mirkamol, Xamidjonov Zuriddin. Увеличение эффективности турбогенераторов теплового электрического центра // Journal of Technical sciences, 2019. №3. С. 10-13.
13. Бойназаров Б.Б., Турсунов И.М., Рахмонов М.Д., Умаров И.А., Махкамов А.Б. Выработка электроэнергии с использованием двигателей из стерлингов на конденсационных тепловых пунктах // «Международный научный обзор проблем и перспектив современной науки и образования» (Boston. USA. october 22-23, 2019) Ст. 39-42.
