Восстановление одномерных функциональных зависимостей по выборкам ограниченного объема Текст научной статьи по специальности «Математика»

№6

2008

РАЗНОЕ

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПО ВЫБОРКАМ ОГРАНИЧЕННОГО

ОБЪЕМА

Д-р техн. наук, проф .В.Н. Сызранцев, ст.препод. ТР. Змызгова, д-р техн. наук, проф.. СЛ. Голофаст

Рассмотрен алгоритм построения аппроксимирующих функций по выборкам ограниченного объема, основанный на теории минимизации функционала эмпирического риска. Алгоритм направлен на решение таких задач, когда точный вид аппроксимирующей функции заранее не известен, могут иметься лишь общие представления о ее характере, диапазоне изменения аргументов, существенности их вклада в обгцую зависимость.

Многие задачи восстановления функциональных зависимостей сводятся к одной и той же схеме - непосредственной аппроксимации экспериментальных точек аналитической зависимостью. Успех применения данных методов в существенной мере определяется корректным выбором класса приближающих функций и наиболее естественным упорядочением их сложности.

Традиционно при аппроксимации экспериментальных точек аналитической зависимостью искомое приближение строится на основе его выбора из заранее фиксированного пространства гладких функций, который, чаще всего, определяется квалификацией исследователя, его опытом и возможностями наиболее распространенного при решении подобных задач метода наименьших квадратов в части решения получаемых при этом систем нормальных уравнений. В качестве альтернативы может быть использован метод сплайн-аппроксимации на неравномерной сетке узлов [1]. Результаты обработки экспериментальных данных свидетельствует, что нередко искомая зависимость может быть настолько сложной, что при построении аппроксимирующей функции практически не используются строгие математические критерии оптимальности. Их заменяют качественные представления о целесообразности той или иной формы

№6

2008

связи, опирающиеся на субъективные оценки результатов. Другая проблема возникает из-за ограниченности объема эмпирических данных.

Предлагаемый алгоритм построения аппроксимирующей функции основан на теории минимизации функционала эмпирического риска [2]. Алгоритм направлен на решение таких задач, когда точный вид аппроксимирующих функций заранее не известен, могут иметься лишь более или менее грубые представления об ее характере, диапазоне изменения аргументов, существенности их вклада в общую зависимость. Оптимальная зависимость строится автоматически, наилучшим образом соотнося качество приближения экспериментальных данных и сложность выбранной функции. Реализация предложенного алгоритма может быть осуществлена только в процессе компьютерного моделирования.

Сущность метода структурной минимизации эмпирического риска сводится к тому, что на первом этапе в качестве начальной приближающей функции выбирается предельно грубая модель, Далее эта модель постепенно усложняется до достижения оптимального соотношения между точностью аппроксимации эмпирического материала и надежностью результата в условиях ограниченного объема данных. Алгоритмическое построение приближения функции регрессии заключается в поиске функции, минимизирующей ее среднее квадратичное уклонение от экспериментально наблюдаемых значений исследуемой зависимости, т.е. эмпирический риск

с] - дисперсии замеров .

Теоретическое обоснование данного критерия позволяет утверждать [2], что задача восстановления искомой зависимости может быть сведена к математической процедуре выбора размерности пространства сглаживающих функций. Оптимальной размерностью будет считаться та, при которой достигается минимум функционала эмпирического риска по экспериментальным данным, который соответствует минимуму среднеквадратической ошибки сглажива-

В целях сокращения объема вычислений при определении параметров искомой зависимости в качестве базисных функций удобно использовать ортонормированные функции [3]. При использовании многочленов высокой степени предпочтительным является метод последовательного повышения степени многочлена, предложенный П.Л. Чебышевым [2, 4].

В качестве искомой регрессионной функции берется алгебраический полином степени к, который имеет вид

а)

где / = 1,...,«,- независимые пары значений функции .у и ее аргумента х,

к

_Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ_73_

№ б 2008

где (ТУ) = соз(у - ахссо$(М)) - полином Чебышева степени у.

Чтобы отказаться от использования тригонометрических соотношений для нахождения полиномов Чебышева любого порядка, легко установить для них рекуррентное соотношение вида

2)+1(х) = 2хд^х)-дн(х). (з)

Суть метода состоит в построении многочленов различных степеней, каждый из которых для своей степени минимизирует функционал эмпирического риска 1Э (у), ив выборе из них

полинома, для которого данный функционал принимает наименьшее значение. В этом случае функционал эмпирического риска можно записать следующим образом:

( к Т

/зОо—Е^—-(4)

П /«1 С;

Очевидно, что этот функционал соответствует минимуму среднеквадратической ошибки построения приближающей зависимости и фактически представляет собой меру адекватности построенного приближения значениям {хх,у19...9хп9уп).

Для решения задачи восстановления полиномиальной зависимости сначала определяется степень искомого полинома к, а затем в классе полиномов этой степени восстанавливается регрессия. При фиксированной степени к минимум функционала находится путем решения нормальной системы линейных уравнений с симметрической матрицей коэффициентов, полученных методом наименьших квадратов, относительно параметра а 5 при котором достигается минимум функционала эмпирического риска

ВТ 'Ва = В> Вт8 . (5)

Здесь а = (а0,...,ак)Т - искомый вектор коэффициентов разложения функции регрессии по полиномам Чебышева, у = (у19у2>--->Уп)Т~ в^ктор экспериментальных значений исследуемой зависимости, В = (х{) / сг,2 } - матрица размера пх (к +1) значений полиномов Чебышева в экспериментальных точках хп / = 1с] - дисперсии замеров у1.

Разрешая эту систему уравнений в матричном виде относительно параметра а, находим,

что

а* =(ВТВ)~1ВТ6. (6)

Тогда достигнутая величина функционала эмпирического риска будет равна

У,

1э(«*)=1-±К Т-(7)

(Г?

№6

2008

Именно это значение характеризует качество построенного приближения искомой зависимости, Оценка качества осуществляется по той же выборке, для которой это приближение строилось. На основании теорем, приведенных в [2], можно утверждать, что качество построенного соотношения можно определить выражением

(к + Ц 1п

п

к +1

+ 1

1п Г}

п

(8)

Эта оценка имеет место для любой случайной выборки. Здесь 1 — 77 - вероятность, с которой она справедлива. Следует отметить, что величина критерия Т{к) зависит от степени полинома к. Степень, при которой значение критерия будет наименьшим, и является оптимальной степенью построенной полиномиальной зависимости. При этом сама функция регрессии аппроксимируется полиномом такого же порядка.

Входными параметрами программы, реализующей описанный выше алгоритм, служат число экспериментальных данных, массив значений независимой переменной, упорядоченный в порядке неубывания, и соответствующий массив значений зависимой переменной. Результатом работы программы являются оптимальная степень полученного полинома, массив значений его коэффициентов в виде разложения по полиномам Чебышева и в виде обычного многочлена.

Для компьютерного тестирования рассмотренного алгоритма была использована задача построения полиномиального приближения к регрессии, значения которой заданы со случайной помехой следующим образом:

• общее число экспериментальных пар точек ¿ = 21;

• массив значений независимой переменной: 0.000; 0.314; 0.628; 0.942; 1.256; 1.570; 1.884; 2.198; 2.512; 2.826; 3.140; 3.454; 3.768; 4.082; 4.396; 4.710; 5.024; 5.338; 5.652; 5.966;

6.280;

•Резуяь тирующие пары знамений переменн1э!к::

х = 0.0000 у = 0.8725 х = 0.3140 у = 0.7439 х = 0.6280 у = 1.17031 х = 0.9420 % = 1.92241 х = 1.2560 !у = 2.82411 . х= 1.5700 у = 3.7473 х = 1.8840 ; у = 4.6064 х = 2.1900 у = 5.3530 ' Х = 2,5120|§уя 5.969В 1 |||Шх - 2.В260|у « 6.46571 3.1400% = 6.8700 |111р1Вх * 3.4540-Ну = 7,22711 |Й|р!||х = 3.7680% * 7.590?! |||||||Х * 4.0820||у * 8.01 В4| |}|||Ш||Х=4.3960||У«8.5666| 1|1|||&<в 4.7100% = 9.28431

Х=5.0240||у= 10.20821

||;||Х«5.3380р|у= 11.35671 12.72491

■

: х = 5.9660 у = 14.2708 РШ :':х« 6.2800% = 15.9497

Ш ________________________

Коэффициент корреляции равен 0 £974 ^Оптимальная степень построенного полинома 5«»';

щШКЪйффицмьжты функция р у-ре сои и, '

военной в виде полинома Чебышева и- И в трад1Цман1-ога лоликзма

• ("1-ЫЙ и 2-ой столбцы С1Х1ТЕ»тс-тданно): •' '■' Г" '

:

7 147$ б В 700 7 1580 ыЪь

_ % С 7706.' -2.402В 4У V:I

' / О бб72: В 400^ . ' :

. • . ; ' : (;4ь)30 .3 9439 , : • :. ■ ': _ '■

Т8рИр0ШЧН8ЙШЬИ6МКЮС1ЬЦЬИДе1ЭбЫЧН010 гипинимв " ' '

у^З.ВГО 3 724 х ;-2 403 " хл 2 ^ 400 < хл 3 О «44 * л* 4 -к-4 5В5>хА 5

• массив значений зависимой

переменной: 0.670

1.000; 1.492; 1.915

2.167; 3.500; 4.816

5.736; 6.242; 6.500

6.725;7.000; 7.325

8.000; 8.750; 9,500

10.444; 11.000

Рис.1. Коэффициенты аппроксимирующей зависимости

12.500; 15.857.

14.612

II

№ 6 2008

Результаты компьютерной реализации алгоритма и вид полученной аппроксимирующей зависимости приведены соответственно на рис. 1 и рис. 2.

Согласно полученным данным искомое приближение можно представить в виде разложения по полиномам Чебышева:

у = 7.1476 + 7.1580 • ^ (х) + 0.7706 • Q2 (х) + 0.6672 • Q3 (х) + 0.493 0 • Q4 (х) - 0.2856£?5 (х)

> (9)

где Q. (х) = eos (у - arccos(x)), причем О) = (х) - бу-i О) •

Очевидно, что предпочтительнее будет использование итоговой зависимости в виде обычного полинома:

3 +3.9439' х4 -4.5853Л:5. (10) Анализ рис.2 показывает, что данная методика демонстрирует хорошее приближение экспериментальных точек построенной кривой. Таким образом, задача определения одномерных функциональных зависимостей может быть разложена на этапы, на каждом из которых с успехом могут быть реализованы формализованные методы обработки данных. Разработанный алгоритм и реализующая его программа прирменялись в Курганском государственном университете и Тюменском государственном нефтегазовом университете при обработке данных, полученных в процессе научно-исследовательских работ по оценке нагру-женности и ресурса деталей и металлоконструкций машин с помощью датчиков деформаций интегрального типа.

СПИСОКАИТЕРАТУРЫ

у = 6.8700 + 3.7235- х-2.4028. х2 + 8.4004- х

Методы и алгоритмы аппроксимации решений на неравномерной сетке: Методические рекомендации. - Минск: Институт технической кибернетики АН БССР, 1991. -142с.

Алгоритмы и программы восстановления зависимостей/ Под ред. Вапни-ка В. Н. - М.; Наука, Главная редакция физико-математической литерату-ры,1 984. -816с.

№ 6 2008

3. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия: Пер. с англ. М., Мир, 1993.- 349 с.

4. Виттих В.А., Сергеев В.В., Сойфер В.А. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований. М.: Наука, 1982. -216с.

К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ ПОЛОЖЕНИЙ СТАНДАРТА ГОСТ Р ИСО 9001

Д-р техн. наук, проф.СМ. Голофаст, эксперт В.А.Булахов

Полноценная реализация требований систем менеджмента качества [1] невозможна без проведения трансформации организационных структур, основанных на функциональном подходе, т.е. приведения их к процессному виду. С одной стороны процессный подход является базовым принципом менеджмента качества, нарушение которого резко снижает результативность внедряемых систем менеджмента качества, с другой стороны реализация этого принципа является прямым требованием стандарта.

Практически, функциональный и процессный подходы представляют собой диалектически связанные формы организационной структуры и, как правило, дополняют друг друга, а система управления именуется по своей доминирующей составляющей части.

В отечественной практике основное распространение получили функциональные организационные структуры. Для такой системы характерно разделение функциональных подразделений по виду ресурсов, которые они предоставляют в общее пользование. Организационные структуры таких систем имеют иерархическую (пирамидальную) структуру. Данная структура позволяет сглаживать межфункциональные противоречия через общие органы управления, находящиеся на более высоких уровнях иерархии. В крупных организациях пирамиды управления могут содержать несколько уровней иерархии. Главной проблемой таких структур является их низкая оперативная управляемость. Если учесть, что по теории информации пропускная способность каналов связи в иерархических системах мснизу-вверхм хуже в >12раз, чем канала "сверху-вниз" (где N - кратность подчинённости), становится понятным то, что высшие уровни