Восстановление матрицы корреспонденции на участке улично-дорожной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»



А.Ю.Михайлов

Восстановление матрицы корреспонденций на участке улично-дорожной сети

Информация о существующем распределении потоков на улично-дорожной сети (УДС) - один из важнейших видов данных. Идея настоящей работы возникла в 1988 г., когда автору пришлось участвовать в составлении технического задания на проектирование Ушаковской развязки в Санкт-Петербурге, Реконструкция узла объективно требовала данных о распределении потоков на прилегающих участках УДС, но доступной информацией являлись лишь данные обследований интенсивности движения. В этом контексте и возникла идея попытаться разработать метод оценки распределения потоков на основе исключительно данных интенсивности движения.

В нашей стране для проектов организации движения была предложена следующая методика определения матрицы корреспонденций для транспортных потоков:

территория города в пределах административных границ разбивается на учетно-транспортные районы

(УТР);

посты учета движения располагают на границах УТР;

группа учетчиков регистрирует тип транспортного средства и четыре цифры номерного знака, или другой вариант: о маршруте движения выборочно опрашиваются водители транспортных средств (при этом объем выборки - 5%).

Указанный выше способ получения исходных данных предполагает трудоемкие обследования. Кроме того, фиксация номеров автомобилей возможна только в случаях низкой интенсивности движения и оказывается совершенно непригодной для УДС с высокой интенсивностью движения. В этой связи и возник вопрос о возможности использования данных обследований интенсивности движения. Как правило, такие обследования проводятся в пиковые часы с подсчетом транспортных средств разных типов на всех направлениях движения на каждом из обследуемых перекрестков. Получаемые таким способом данные интенсивности движения используются, в основном, для уточнения режимов регулирования и в целом редко находят еще какое-то применение. Возможность их "утилизации" для восстановления существующей матрицы корреспонденции представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения, Поэтому цель этого исследования формулировалась как поиск метода регрессионной оценки матрицы корреспонденций для следующих условий:

рассматривается детализированное описание УДС, включающее потоки по разным направлениям на перекрестках;

исходными данными являются замеры интенсивности движения на отдельных участках улично-дорожной сети, выполняемые в определенное время в будние дни (например, вечерний час пик 17.00-19.00 ч.);

исходные данные об интенсивности движения содержат ошибки, вызванные проведением замеров в разные дни и ошибками самих подсчетов интенсивности движения.

В зарубежной теории и практике проектирования транспортных систем, уже начиная с 70-х годов, большее внимание уделялось восстановлению матриц корреспонденций в виде потоков транспортных средств. В основе методов восстановления матриц корреспонденций используется разный математический инструментарий, в том числе регрессионный анализ. По данной тематике имеется обширная библиография, которую невозможно представить в рамках статьи. Отметим, что наиболее часто публиковавшимися и выступавшими на конференциях по данной теме авторами являются М. G. Н. Bell, D. Е. Воусе, Е. Cascetta, G. Davis, S. Erlander, С. Fisk, M. Florian, R. Hamerslag, C. Hendrickson, D. O. Jornsten, Y: lida, J, T. Lundgren, M. J. Mäher, S. McNeil, S. Nguyen, N. L. Nihan, T. Sasaki, И. Spiess, J. Van der Zijpp, H. J. Van Zuylen, L. G, Willumsenl, H. Yang.

В нашей стране исследования в области восстановления матриц корреспонденций проводились, в основном, для маршрутов общественного транспорта. Модели оценки корреспонденций рассмотрены целым рядом авторов: А.П. Артынов, Г.А. Варепуло, М.Л. Дыданюк, В.Ш. Крупник, B.C. Огай, В.В. Скалецкий. Исключением являются исследования Н.В. Булычевой и С.Л. Сена, которые выполнялись в составе Комплексной транспортной схемы Ленинграда (ЛенНИИПИгенплана, 1987-1989 гг.) с целью установления матрицы грузовых корреспонденций. В данной работе использовалось анкетирование водителей,

Сформулированная в статье задача регрессионного оценивания корреспонденций предполагает использование статистических процедур, устойчивых к выбросам (т.е. грубым ошибкам данных). В ряде технических дисциплин уже накоплен опыт применения робастных оценок, а сама теория вопроса и практические приложения рассмотрены в работах Е.З. Демиденко, М.Л. Петрович, С.А. Смоляка, Б.П. Титаренко [1,4,5]. Один из приемов робастной

оценки параметров регрессии в состоит в использовании вместо суммы квадратов отклонений регрессии ^Г е~ минимизации целевой функции

¿=1

2>/Г=ЕЬ-«Г. (1)

7=1 /=1

где V - показатель степени, значения которого принимают в диапазоне 1<у<2,

Устойчивость так называемых и оценок (1), по сравнению с методом наименьших квадратов, вызвана тем, что

большие отклонения меньше влияют на целевую функцию. Поэтому V интерпретируется как фильтр выбросов [1].

Минимум функции (1) можно находить методом вариационно-взвешенных квадратических приближений (ВВП) [1]:

п п . п

iv 2| \~v-2 2

/=1 /=1 /=1 что соответствует итерационному взвешенному методу наименьших квадратов с весами м;л определяемыми по результатам предыдущей итерации,

Соответственно нормальные уравнения ВВП получают следующий вид:

А'И/Ах=А 'Ш,

где л: - вектор значений корреспонденций (далее по тексту векторы и матрицы выделены); А - матрица значений долей потоков на ребрах графа улично-дорожной сети (общем виде значения а^ изменяются от 0 до 1); У - вектор значений интенсивности движения на участках улично-дорожной сети; IV - вектор весов. В матричной форме оценка корреспонденций методом ВВП

х=(А'Ш)''А '\УУ. (2)

Кроме метода ВВП робастная оценка (1) формулируется и в другой форме. Оценка корреспонденций х] на основе наблюдаемых значений потоков у, может сводиться к минимизации функции

v

п т

iv

ХЫ=1

/=1 /=1

у/ - Hxjaü

м

где а,у - значения доли потока у на ребре / графа улично-дорожной сети (представлены матрицей А)\ у, - значение интенсивности движения по ребру графа улично-дорожной сети /; е, - остатки регрессии; п - количество дуг, на которых известна интенсивность движения; т - количество оцениваемых корреспонденций; / = 1,2,...,«; у = 1,2.....т.

Частным случаем [у = 1) оценки /,„ является минимизация суммы абсолютных модулей отклонений, т.е. метод наименьших модулей (МНМ)

ajxij

/=1 ¿=1 >1

Аппроксимацию с применением МНМ можно рассматривать как задачу линейного программирования с минимизацией целевой функции в виде взвешенной суммы модулей ошибок е,

т

!>/(£/(3)

Wi

весовые коэффициенты (в случае простого МНМ весовые коэффициен-

те gj = тах j 0, е, |; h, ~ min | -eh О ты Wj принимаются равными 1);

Ах + g - h = у; w>0,g>0,h>0.

Таким образом, при определении вектора корреспонденций л- (вектор-столбец размерности т х 1) решается задача линейного программирования для нового вектора переменных х2 размерности (т + 2п)х\. В целевую функцию (3), которой является сумма модулей ошибок, входит лишь часть вектора переменных х2. Матрица коэффициентов А размера пх т преобразуется в матрицу А2 размером п х (т + 2п) , т.е. дополняется двумя диагональными матрицами dl и d2\

ап ... а]т 1 0 ... О -1 0 ... О

а22 ... а2т 0 1 ... О 0 -1 ... О

............................................................О

К ... ^ 0 0 0 1 О О ... -1_

Вектор ошибок е 1 определяется с учетом результатов оценки вектора корреспонденций jc на предыдущей итерации. В зависимости от знака ошибки е, задаются элементы вектора х2, начиная с индекса т+1. Таким образом, задача (3) формулируется в следующем виде:

т+2п

min

i=m+\

при условии

А2х2 =у; х>0.

При проведении первой итерации в методах ВВП и МНМ для определения весовых коэффициентов w, необходим оцененный каким-либо методом вектор хО, при этом допускаются даже экспертные оценки [1], Применительно к рассматриваемой задаче такой начальной оценкой хО могут быть старая матрица, матрица, полученная в результате предварительного расчета, в самом крайнем случае - экспертная оценка. Начальные значения коррес-

о

понденции Ху определялись автором с использованием простои гравитационнои модели

xl^afijAßj, (4)

где Xjj - количество транспортных средств, следующих из вершины i в вершину у; а, - интенсивность движения из /; bj - интенсивность движения в j\ Ah Bj - коэффициенты балансировки по столбцам и строкам матрицы.

Использование формулы (4) не исключает возможность учета влияния факторов расстояния или времени на риСПр8Д8Л8пИ8 К0рр8СП0иД6п'цИИ. 8 СЛу'ЧОЯХ, КОГДи С8ТЬ, ДЛЯ КОТСрОИ ПрОВОДИТС" СЦ8пКС миТрИЦы, ЗОНИМибТ ЗНОЧИ-тельную территорию (город в целом или городские районы крупных и крупнейших городов), вместо упрощенной гравитационной модели следует использовать гравитационную модель.

Как уже указывалось, исходными данными для восстановления матриц корреспонденций являются замеры интенсивности движения на отдельных перекрестках УДС, выполняемые в определенное время в будние дни (например, вечерний час пик). При сведении этих данных в одну выборку значения входящего на перегон и выходящего с перегона потоков рассчитываются по данным замеров на смежных перекрестках и получают отличающиеся значения (рис. 1).

Эти ошибки вызваны проведением замеров в разные дни и ошибками самих подсчетов интенсивности движения. В этой связи было необходимо:

предложить методику оценки качества исходных данных для восстановления матриц корреспонденций;

предложить статистическую процедуру выявления выбросов (т.е. грубых ошибок) или, другими словами, пар, значения потоков которых следует исправить.

Для оценки качества исходных данных и наличия в них грубых ошибок предлагается рассматривать УДС в следующем виде (рис. 2):

входящие на перегон F(in)j и выходящие F(out)j с перегона потоки образуют пары, при этом на перегонах с односторонним движением получается одна пара сравниваемых значений, а на перегонах с двухсторонним движением - две;

данные замеров интенсивности движения образуют матрицу размерностью пх2, где п - количество пар сравниваемых значений V(out)if V(in)f,

для оценки статистической однородности выборок значений интенсивности движения и выявления выбросов используются значения разностей пар

d, = V{out)i - V(in)j,

Таким образом, сравниваются две выборки, одна из которых состоит из значений интенсивности движения потоков, входящих на перегоны, вторая - выходящих с перегонов. Предложенные формализованное описание УДС и процедура оценки, использующая разности dh предполагают применение метода парных сравнений. Оценка качества данных интенсивности движения сводится к проверке гипотезы, согласно которой связанные выборки V(out), и V(in)j принадлежат одной генеральной совокупности, Для их сравнения используется набор статистических критериев: критерий Стьюдента для разностей пар, критерий Уилкоксона для разностей пар, критерий знаков, коэффициент корреляции между V(oat) и V(in), оценка значимости коэффициента корреляции - критерий Фишера.

А =

а-,

Рис. 1. Возникновение ошибки при проведении обследований интенсивности движения - результаты замеров интенсивности движения (физ.ед/ч) на смежных пересечениях участка

Рис. 2. Представление перегона улицы в модели оценки ошибок подсчетов интенсивности движения: V(in)i, V(inJ2 - входящие на перегон потоки; V(ouf)! , V(out)2 - выходящие с перегона потоки; VI, \12, V3- потоки, полученные в результате замеров на предыдущем перекрестке и образующие поток V(in)i; V4, V5, V6 - потоки, полученные в результате замеров на следующем перекрестке и образующие поток V(ouf)u di = V(ouf) i - V(in) i - ошибка подсчетов интенсивности движения на перегоне

Кроме проверки близости выборок представлялось необходимым оценивать ошибки наблюдений с использованием тех показателей, которые будут в дальнейшем применяться для оценки ошибок, возникающих при восстановлении матриц корреспонденций. С этой целью были выбраны следующие критерии: средняя ошибка

средняя абсолютная ошибка

dabs = ZKI jH 1

отношение средней абсолютной ошибки к среднему значению интенсивности движения на перегоне в одном направлении

E = dabJV.

Как показал анализ результатов реальных обследований интенсивности движения, средняя ошибка d не несет объективной информации о точности исходных данных, значительно информативнее статистики dabs и

dabJV . В соответствии с имевшимися данными (материалы обследований: Ленинград 1977-1978 гг., 1985-1988 гг.; Иркутск 1995 г., центральная часть Иркутска 1998 г.) максимальные абсолютные значения ошибок достигают 450-470 авт./ч (в одном направлении), Диапазон значений средней абсолютной ошибки составил dabs= 53,8 -

190,6, а значений отношения dabs/V -от 0,082 до 0,391 (табл. 1). Средняя абсолютная ошибка составила 115,3 авт./ч, при этом средняя относительная абсолютная ошибка составила в среднем 19% интенсивности движения.

Таблица 1

Средние показатели точности обследований интенсивности движения

Оценки Среднее значение Доверительный интервал, % Значения Стандартное отклонение

-95.0 +95.0 минимальное максимальное

dabs 115,3 92,5 138,1 53,8 190,6 41,2

dabs/V 0,187 0,140 0,234 0,082 0,391 0,085

По результатам исследований критериями, наиболее отвечающими задачам оценки качества исходных данных, являются:

критерий Стьюдента для парного сравнения зависимых выборок;

среднее абсолютное значение разностей пар входящих и выходящих потоков dabs (средняя абсолютная

ошибка).

Для выявления грубых ошибок исходных данных следует использовать нормированное отклонение

z — id1 — d)/Sd , рассчитываемое для разностей пар входящих и выходящих потоков d-, = V{out), - V(in)r

Проведенный статистический анализ материалов различных обследований интенсивности движения показывает, что использование таких данных для оценки матриц корреспонденций является корректным с позиций статистики. Все рассмотренные в данной работе выборки входящих и выходящих потоков оценены как относящиеся к одним и тем же генеральным совокупностям. Коэффициенты корреляции между выборками V(out), и V(in)it как правило, превышали 0.9. Кроме того, установление диапазонов значений ошибок обследований интенсивности движения позволило сформулировать требования к точности восстановления матриц корреспонденций. По мнению автора приемлемая точность восстановления корреспонденций ±10...±20 авт/ч, ее можно использовать в качестве допустимой невязки итераций при проведении восстановления матрицы.

Для проведения тестирования методов ВВП и МНМ необходимо было выбрать библиотеки программ обработки матриц и линейного программирования. Современные методы линейного программирования, их реализация в виде пакетов и библиотек программ (наиболее полная информация представлена в обзоре 2001 LINEAR PROGRAMMING SOFTWARE SURVEY http: II www, lionhrtpub. com / orms / surveys / LP) предоставляют возможность решать так называемую задачу со смешанными ограничениями

min с7х

при линейных ограничениях

А х<Ь

и двухсторонних ограничениях

x'b<x<x"b.

Как показали последующие тесты, так называемые двухсторонние ограничения, служат эффективным инструментом управления качеством аппроксимации. Для выполнения тестов был выбран пакет MATLAB, который наиболее отвечал задачам исследования.

Тестирование методов ВВП и МНМ выполнялось на основе следующих данных: 1 - искусственные данные без ошибок; 2 - искусственные данные с внесенными грубыми ошибками; 3 - данные реальных обследований, Задачей первого этапа тестирования являлась оценка точности методов, поэтому тест выполнялся по следующей схеме:

задавались искусственная матрица корреспонденций х, преобразованная в вектор (изменение индексации переменных), и соответствующие этой матрице точные значения интенсивности движения на дугах графа у = А-х;

проводилось восстановление матрицы корреспонденций и выполнялась оценка точности этого восстановления с применением целого ряда статистик, Оценка точности включала:

парное сравнение заданных х1- и оцененных Х1 значений корреспонденций с использованием статистик

где т - количество оцениваемых корреспонденций;

парное сравнение заданных у1 и оцененных значений потоков на дугах (т.е. анализ остатков регрессии е=у-А*х) с использованием статистик

= У1 - Л; ё = 2е/ !п; *аы = ХЫ /п; Е = ёаЬз/У <

где п - количество дуг, на которых заданы значения интенсивности движения.

Задачей второго этапа тестирования методов являлась оценка их сходимости при наличии грубых ошибок, Автор считает, что наиболее объективно выполнить тест можно при проведении численного эксперимента, в котором: задаются точные значения корреспонденций Х\ и потоков у„ соответствующих этим корреспонденциям, т.е. у = А-х;

*

задаются ошибки исходных данных (т.е. значения у( с внесенными ошибками);

л *

восстанавливается матрица корреспонденций Х1 при заданных с ошибками значенях потоков у1 ;

восстановленные значения корреспонденций х1 сравниваются с заданными точными значениями х-,. Проводимый в такой форме численный эксперимент позволил установить:

влияние ошибок исходных данных (т.е. значений интенсивности движения) на сходимость простого МНМ и взвешенного МНМ;

точность восстановления матрицы корреспонденций при использовании простого МНМ и взвешенного МНМ в случае ошибок исходных данных;

предельные допустимые значения ошибок исходных данных, позволяющие выполнять восстановление матрицы корреспонденций,

На третьем этапе тестирования выполнялось сравнение простого и взвешенного МНМ на примерах реальных данных с целью:

установить влияние верхних и нижних ограничений оцениваемых переменных на сходимость и точность оценки; сравнить сходимость и точность простого и взвешенного МНМ при одних и тех же верхних и нижних ограничений оцениваемых переменных.

Тестирование метода ВВП (2) на примерах реальных данных показало его непригодность уже на первом этапе. Исходные матрицы весов А, построенные для реальных УДС, получаются плохо обусловленными из-за наличия коррелированных столбцов и строк, что не позволяет применять данный метод.

Тестирование вариантов МНМ показало, что метод отличается хорошей устойчивостью в случаях плохо обусловленных матриц и матриц неполного ранга. Это особо важно с позиций практического использования метода, поскольку позволяет применять его для случаев, когда число ненулевых элементов матрицы корреспонденций превышает количество дуг графа УДС, на которых известны значения интенсивности движения.

По результатам тестирования простой МНМ обладает более быстрой сходимостью и устойчивостью к грубым ошибкам. Анализ ошибок оценки корреспонденций и величин потоков, невязок оценок корреспонденций показывает, что необходимая для практических задач точность обеспечивается уже на 2-ой итерации. В качестве примера можно привести результаты восстановления матрицы корреспонденций на ул. К.Маркса в центре Иркутска (рис. 3 и табл. 2) по данным обследований 1998 г. (оценивались 92 корреспонденции по данным интенсивности движения на 53 дугах графа). В частности, использование процедуры восстановления матрицы простого МНМ или комбинированного МНМ (на второй итерации используется взвешенный МНМ) дало среднюю абсолютную ошибку 2,7 авт/ч.

Рис.3. Картограмма интенсивности движения в районе ул. К.Маркса (центр Иркутска) в вечерний час пик (а) и граф сети (б) с нагрузочными вершинами (порождающими и поглощающими корреспонденции)

Таблица 2

Сравнение точности восстановления значений потоков с использованием взвешенного МНМ, простого

МНМ и комбинации взвешенного и простого МНМ

Ошибки Абсолютные ошибки

минимальная максимальная средняя е максимальная средняя eabs

шаг 0 -61 90 6.981132 90 27.77358

Взвешенный МНМ шаг 1 -25 21 0.716981 25 11.16981

шаг 2 -14 10 -0.54717 14 5.981132

шаг 0 -61 90 6.981132 90 27.77358

Простой МНМ шаг 1 -11 8 -0.622641 11 4.433962

шаг 2 -10 4 -1.995600 8 3.188679

шаг 0 -61 90 6.981132 90 27.77358

Комбинация шаг 1 -11 8 -0.622641 11 4.433962

шаг 2 -8 5 -1 8 2.698113

Учитывая показатели точности восстановления матриц, приводимые в других исследованиях (R.G.Dowling, A.D. May, I. Geva, E. Hauer, U. Landau), этот результат можно оценивать как очень хороший. В ряде случаев сильного загрязнения увеличение числа итераций приводило к снижению качества оценки. В этой связи для практического использования рекомендуется использование процедуры восстановления матрицы простого МНМ или комбинированного МНМ.

Выявлено, что наибольший эффект на качество восстановления корреспонденций и значений потоков оказывают двухсторонние ограничения искусственных переменных в/. В соответствии с результатами тестирования рекомендуется при использовании программ линейного программирования со смешанными ограничениями использовать следующие ограничения:

нижние ограничения искусственных переменных lb,=0;

верхние ограничения искусственных переменных ubre/div, div > 30 .

Поскольку при восстановлении корреспонденций значения коэффициента корреляции восстановленных и наблюдаемых значений транспортных потоков очень высокие (0,95 и выше), предлагается использовать для оценки качества регрессии следующее сочетание критериев;

критерий Стьюдента для парного сравнения исходных и оцененных значений потоков; средняя абсолютная разность пар исходных и оцененных значений потоков; показатели дисперсии модели - критерий Фишера; коэффициент детерминации.

Предложенная методика оценки существующей матрицы корреспонденций наилучшим образом соответствует задачам локальной реконструкции сетей и адресных мероприятий ОДД. Она основана на применении стандартных математических библиотек, поэтому проста и доступна для использования, поскольку предъявляет минимальные требования к навыкам пользователя в области программирования и теории оптимизации. В целом она позволяет производить оценку УДС с использованием только одного вида исходных данных замеров интенсивности движения. Так как методика не требует проведения обследований маршрутов движения, она позволяет в зависимости от размеров сети на 20-40% снизить стоимость обследований. Кроме того, она может дополнять обследования, выполняемые с выборочным анкетированием водителей, например, такие как "Программа и методика комплексного обследования условий движения на улично-дорожной сети г. Москвы" (Приложение 2 к распоряжению Мэра Москвы от 18 октября 1999 г, № 1168-РМ).

Библиографический список

1, Демиденко V.3. Линейная и нелинейная регрессия, - М.: Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

2, Лоусон Ч., Хенсен Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов/Пер. с англ.- М.: Наука, 1986. - 232 с.

3, Мягков В.Н., Пальчиков Н.С., Федоров В.П. Математическое обеспечение градостроительного проектирования. - Л: Наука, 1989. - 144 с,

4, Петрович МЛ Регрессионный анализ и его математическое обеспечение на ЕС ЭВМ: Практическое руководство. - М,: Финансы и статистика, 1982. - 199 с,

5, Сербер Д. Линейный регрессионный анализ/Пер, с англ, - М.: Мир, 1980, - 456 с,

6, Смоляк СЛ., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания (Статистическая обработка неоднородных совокупностей). - М.: Статистика, 1980. - 208 с,

7, Aldrin М, Traffic volume estimation from shot-period traffic counts. Traffic Eng. and Contr., 1998, v 39, N 12, p, 656 - 659,

8, Cascetto E. Estimation of trip matrices from traffic counts and survey data: a generalized least squares estimator, Trans, Res., 1984, В 18, N 4-5, 289 - 299.

9, Dowling R.C., May A,D. Comparison of small - area OD estimation techniques. Transp. Res. Rec. 1985, N1045, p,9 - 15.

10, Erlander S, On estimation of trip matrices in the case of missing and uncertain data, Transp, Res. 1985, B19, 2, p. 123 - 141.

11, Geva !„ Hauer E., Landau U. Maximum - likelihood and bayesian methods for the estimation on origin - destination flows. Transp, Res, Rec. 1983, N944, p.101 - 105,

12, Gur Y, Estimation trip tables from traffic counts: comparative evaluation of available techniques. Transp, Res, Rec, 1983, N944, p.113 - 117.

13, Hedrickson C., McNeil S, Estimation Matrices with constrained regression, Transp, Res, Rec, 1984, N976, 25 - 32,

14, McNeil S„ Hedrickson C. A regression formulation of the matrix estimation problem. Transp, Sci, 1985, 19, N3, 278 - 292.

15, Old P„ Foster N„ Payne A. Using Microsoft Access to develop trip matrices Traffic Eng, and Contr,, 1998, v 39, N 10, p, 551 - 553.