Восстановление изображений на основе вариационного принципа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИИ НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА

Работа выполнена в рамках научно-технической программы Союзного государства «СКИФ-ГРИД» «Разработка и использование программно-аппаратных средств грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (2007—2010), а также проекта РФФИ № 09-01-00246

Ю.Л. Сачков, д.ф.-м..н.; А.А. Ардентов; В.М. Касимов; А.П. Маштаков

(Институт программных систем им.. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский,

sachko v@sys ■ botik. ru)

Описан математический подход к решению задачи восстановления изображения на основе следующего вариационного принципа: восстанавливаемая кривая (х(Ч), у(Ч)) должна минимизировать длину в пространстве (х, у, 8), где 8 - угол наклона кривой. Разработана программа в системе МаШешайса для решения этой задачи, продемонстрированы результаты ее работы. Предложен параллельный алгоритм восстановления скрытого изображения на основе данного подхода.

Ключевые слова: обработка изображений, оптимальное управление, параллельные алгоритмы и программы.

Рассмотрим задачу восстановления черно-белого (штрихового или полутонового) изображения с некоторыми испорченными или скрытыми от наблюдения фрагментами. Необходимо восстановить испорченные фрагменты антропоморфным (естественным для человека) способом. Математически задача может быть формализована следующим образом. Даны прямоугольная область РсЫ2, взаимно непересекающиеся подобласти

N

0х,...,01чсР и гладкая функция Г:Р\(ио,)^[0,1].

1=1

Требуется восстановить функцию f в областях О1, ..., Ом. Здесь Р - область исходного изображения; О| - подобласти с испорченным изображением; функция f задает доступное наблюдателю изображение (для полутонового изображения -яркость, а для штрихового - это функция, линии уровня которой совпадают с кривыми, составляющими изображение). Предлагается восстановить изображение в подобластях О! на основе дополнения линий уровня функции f в этих подобластях (области между восстановленными кривыми в случае полутонового изображения раскрашиваются согласно значениям яркости на этих кривых). Кривые вычисляются на основе вариационного подхода: построенная линия (хф, уф) должна минимизировать расстояние в пространстве (х, у, 0), где (х, у) - координаты на плоскости К2; 6(1) - угол наклона касательной к кривой (хф, у©). Этот подход принят в нейрофизиологии зрения как естественный для человеческого глаза метод восстановления частично скрытого изображения [1]. Алгоритм решения соответствующей задачи оптимального управления основан на результатах работ [2, 3] и реализован в системе Ыаке-тайса [4]. В настоящее время разрабатывается параллельная версия программ в системах gridMa-Лвтайса и TSim [5].

Восстановление кривой на основе вариационного подхода

Рассмотрим гладкую плоскую кривую АВ={(х(Ч), у(Ч)| 1е|а,1)]!. Предположим, что часть

этой кривой СВ={(х(1),у(0)|1е[с,(1]} скрыта от наблюдения или повреждена. Согласно недавним работам по нейрофизиологии зрения, при первичном восприятии контура мозг человека сохраняет информацию о контуре не в виде последовательности точек (хь У|) этого контура, а в виде набора контактных элементов уь ©¡), где 01 - угол наклона касательной к контуру в точке (хь у^). Этот способ гораздо эффективнее для сохранения информации о контуре. Восстановить скрытую часть кривой СБ можно следующим образом. Построим касательную Тс к кривой АС в точке С и касательную Т|) в точке Б. Обозначим через 9С, 0Й углы наклона касательных ТС, ТБ. Искомая кривая

СБ={(х^),у^))^е[с,(1]} должна выходить из точки С с углом наклона 9С, приходить в точку Б с углом наклона 9(| и иметь кратчайшую длину в пространстве (х, у, 9):

л _

|7((1х/(к)2 +(с1у/сИ)2 +((Ш/(И)2(к —>ггпп .

с

Граничные условия означают гладкое сопряжение новой кривой СБ с известными участками АС и БВ исходной кривой. Условие минимума формализует условие естественности новой кривой СБ: при ее поиске штрафуются большие отклонения как по координатам (х, у), так и по углу наклона 0. Таким образом, минимизируется некоторый интегральный компромисс между линейной и угловой скоростями движения кривой. Считается, что при первичной обработке контура зрительная кора человеческого мозга достраивает небольшие скрытые дуги кривых именно этим способом. Описанная задача формализуется как следующая задача оптимального управления:

(1х/(И=исо8(9), (1у/(Н=1тп(0), (10/(К=у,

(х,у)еК.2, 0е[О, я], (и,у)еЯ2. (х(с),у(с))=С, 0(с)=0с, (х((1),у((1))=В, 0((1)=0(1,

№

+v dt—>min.

c

В работах [2, 3] эта задача сведена к решению систем алгебраических уравнений в эллиптических функциях. Описанный способ восстановления кривой имеет важное свойство инвариантности относительно движений плоскости: при поворотах и параллельных переносах плоскости одни решения задачи оптимального управления переходят в другие, поэтому форма восстанавливаемой кривой не зависит от положения и ориентации изображения на плоскости.

Восстановление семейства кривых

В системе МаЛвта^са написана программа восстановления семейства линий уровня функции Г в подобласти ОсР.

Входные данные программы: прямоугольник Р; функция 1":Р\0—>[0Д]; параметрически заданная граница подобласти О; значения С15...,Сл функции 1", соответствующие линиям уровня изображения на границе области О.

Результаты работы программы:

- серия кривых, восстанавливающих линии уровня функции 1 в области О (параметрические уравнения),

- графический файл с изображением исходной и восстановленной сеток линий уровня (примеры изображений с восстановленной сеткой приведены на рисунке).

Программа имеет следующий алгоритм.

1. Считываются входные данные.

2. Вычисляются точки пересечения линий уровня {Г(х,у)=С, |1=1,2, ...,N1 с границей области О и углы наклона касательных к линиям уровня в этих точках (предполагается, что область О имеет малый диаметр и каждая линия уровня пересекает ее границу в двух точках). Результат записывается в массив

{(с, ,х'; у; ,о'; ,х', ,>■; ,о; >,...,( сч ,х» ,у»,о'; ,о;

3. Решается описанная в пункте 2 задача оптимального управления для пар граничных точек (С,\",у",е;',\;,у;,е;), ¡=1,..., N. Решения запоминаются как кривые у1,..., уч.

4. Кривые у, ,...,уч добавляются в область О. Если исходное изображение полутоновое, то области между кривыми у, ,...,ух раскрашиваются оттенками серого цвета в соответствии со значениями яркости С1?.,Ск.

Параллельный алгоритм восстановления изображения

Разработан параллельный алгоритм восстановления скрытого изображения на основе вариационного подхода к восстановлению кривых.

Входные данные алгоритма: прямоугольник Р;

Nj

функция f :Р\(иО()—>[0,1]; параметрически

за-

данные границы подобластей 0j,...,0Ni сР; значения функции f, соответствующие линиям уровня изображения на границах областей Oj,...,ON .

Результаты работы алгоритма:

- серия кривых, восстанавливающих линии уровня функции f в подобластях O15...,ON ;

графический файл с изображением исходной и восстановленной сеток линий уровня.

Алгоритм предусматривает несколько уровней параллелизма:

1) задача восстановления изображения для одной подобласти Oj, i=1,...,Ni;

2) восстановление одной кривой по паре граничных контактных элементов (х°,у°,0°), (x;,y;,e:).i=i,...,N2:

3) решение систем алгебраических уравнений в двух областях однородной параметризации кривых (см. подробнее в [2]);

4) i-я итерация решения систем алгебраических уравнений с фиксированным выбором начального приближения, i=l,...,N4.

Эта схема вычисления допускает 2-Ni-N2-N4 гранул параллелизма (для упрощения предполагается, что на каждом уровне j число Nj остается постоянным для всех задач). Задачи каждого уровня могут решаться независимо, что дает уверенность в высокой эффективности распараллеливания данного алгоритма. В настоящее время разрабатываются соответствующие параллельные программы в системах gridMathematica (параллельной версии системы Mathematica) и TSim (С++ библиотеки для параллельных вычислений).

Литература

1. Petitot J. The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure. J. Physiology. Paris, № 97 (2003), pp. 265-309.

2. Moiseev I., Sachkov Yu.L. Maxwell strata in sub-Rie-mannian problem on the group of motions of a plane, ESAIM: COCV. URL: http://arxiv.org/abs/0807.4731v1 (дата обращения: 21.07.09).

3. Sachkov Yu. L. Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane, ESAIM: COCV. URL: http://arxiv.org/abs/ 0903.0727v1 (дата обращения: 21.07.09).

4. Wolfram S. Mathematica: a system for doing mathematics by computer, Addison-Wesley, Reading, MA 1991.

5. Московский А.А. T-Sim-библиотека для параллельных вычислений на основе подхода Т-системы // Программные системы: теория и приложения: Междунар. конф. (Переславль-Залесский, октябрь 2006). М.: Наука-Физматлит, 2006. Т. 1. С.183-193.