Двусторонняя оценка корня одного уравнения, содержащего полные эллиптические интегралы Текст научной статьи по специальности «Математика»

issn 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ т. 9, №4(39), с. 253-264 УДК 517.977

А. Ю. Попов, Ю. Л. Сачков

Двусторонняя оценка корня одного уравнения, содержащего полные эллиптические интегралы

Аннотация. Доказана единственность корня уравнения, возникающего в одной задаче геометрической теории управления. Задача состоит в изучении особенности субримановой сферы на группе Энгеля вблизи анормальной кратчайшей.

В ходе доказательства получено несколько новых неравенств для полных эллиптических интегралов. Например, доказано возрастание функции К(к)Е(к) на промежутке [0, 1), не встречавшееся ранее в справочниках.

Разработанный метод исследования и полученные результаты могут быть полезны как при иследовании эллиптических интегралов, так и при решении задач, в которых эти интегралы возникают (например, в задачах субримановой геометрии).

Ключевые слова и фразы: асимптотика, полный эллиптический интеграл, субриманова геометрия.

1. Введение

В последние десятилетия выяснилось, что многие задачи оптимального управления после их математической формализации сводятся к задачам отыскания кратчайшей кривой, соединяющей две точки какого-либо многообразия, наделенного субримановой метрикой. Центральное место среди таких многообразий занимают левоинвариантные субримановы структуры на нильпотентных группах Ли, т.к. они доставляют фундаментальную нильпотентную аппроксимацию общих субримановых структур [1].

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01387) в Институте программных систем им. А.К. Айламазяна Российской академии наук.

© А. Ю. Попов, Ю. Л. Сачков, 2018

© Институт программных систем имени А. К. Айламазяна РАН, 2018 © Программные системы: теория и приложения (дизайн), 2018

Левоинвариантная субриманова структура ранга 2 максимального роста на 4-мерной группе Ли единственна — это нильпотентная субриманова структура на группе Энгеля. Детальному исследованию этой структуры посвящен ряд работ [2-5]. В последней работе этого цикла построен оптимальный синтез и описана глобальная структура множества разреза.

Одной из важных задач, остающейся для нильпотентной субрима-новой структуры на группе Энгеля нерешенной, состоит в исследовании особенности сферы вблизи анормальной кратчайшей. В этой задаче возникает ряд нетривиальных вопросов теории эллиптических функций и интегралов. Данная работа посвящена ответу на один из таких вопросов.

А именно, исследуется структура трехмерной субримановой сферы S вблизи анормальной кратчайшей. Для доказательства того, что сфера S допускает однозначное проецирование на трехмерную гиперплоскость, потребовалось установить, что уравнение (4) (см. ниже раздел 2) имеет единственное решение на интервале 0 < х < 1. Доказательство единственности решения уравнения (4) позволяет перейти к дальнейшему изучению сферы Б вблизи анормальной траектории. Двусторонняя оценка корня этого уравнения задает диапазон, в котором лежит фрагмент сферы вблизи анормальной кратчайшей.

Отметим, что в ходе доказательства получено несколько новых неравенств для полных эллиптических интегралов. Например, доказано возрастание функции К(к)Е(к) на промежутке [0,1), не встречавшееся ранее в справочниках.

Разработанный метод исследования и полученные результаты могут быть полезны как при иследовании эллиптических интегралов, так и при решении задач, в которых эти интегралы возникают (например, в субримановых задачах в плоском случае Мартине [6], на группе Картана [7], а также субримановых задачах энгелева типа [8]).

2. Постановка задачи

Даны две функции

1 К (к)

Е(к)

1, 0 < к < 1.

(Функция 1/К доопределяется в точке к =1 нулём, после этого она становится непрерывной на отрезке [0,1]). Функция Х1 убывает, поскольку функции Е, К положительны, Е убывает, К возрастает. Нас интересуют неотрицательные значения Х1(к), поэтому рассмотрим эту функцию на отрезке 0 < к < ко, ко — единственный корень уравнения 2Е(к) = К (к). Из таблиц [9] (с. 288-303) видно, что 0.9 < к0 < 0.91. Имеем Х1(0) = 1, Х1(ко) = 0. Обозначим у1: [0,1] ^ [0, ко] функцию, обратную к Х1. Она, как и Х1, непрерывна и убывает.

Из разложения в степенной ряд [10] (гл. 7, §44) функций Е и К следуют асимптотики

Е(к) = 2 (1 - у + 0(к4)) , К (к) = 2 (1 + у + ^(к4^ , к ^ 0+,

к2

Е(к)/К(к) = 1 - у + 0(к4), к ^ 0+,

из которых видно, что в результате доопределения Х2(0) = 0, функция Х2(к) становится непрерывной на отрезке 0 < к < 1. Ниже в лемме 3 доказано возрастание функции Х2. Очевидно равенство Х2(1) = 1. Через у2 : [0,1] ^ [0,1] обозначим функцию, обратную к Х2. Она также непрерывна и возрастает.

Рассматривается еще одна пара функций

(2) А1 (к) = 4К(к) (Е(к) - (1 - к2)К(к)), А2(к) = Е(к)К(к),

0 < к < 1.

Обе функции (2) положительны и, как доказано в лемме 2, возрастают. Положим

(3) В1(х)= А1(у1(х)), В2(х) = А2(у2(х)), В(х) = В2(х) - ^(х). Требуется доказать, что уравнение

(4) В(х) = 0

имеет на интервале 0 < х < 1 единственный корень, и этот корень на самом деле лежит на интервале ^ < х < ^.

3. Монотонность функций (1) и (2)

Введём обозначение к' = %/1 - к2. Производную по переменной к будем обозначать точкой. Справедливы следующие тождества [10] (гл.

7, §44) (для краткости опускаем аргумент к у всех функций):

Е — К ■ о ■ к

(5) Е= —--, кК = Ек'-2 - К, к ' = - —.

кк

Лемма 1. При любом к € (0,1) справедливо неравенство

Е — к 'К > 0.

Доказательство. Поскольку Е(0) = К(0) = 2, к'(0) = 1, то функция Е — к 'К в точке к = 0 равна 0. Поэтому для доказательства её положительности на интервале (0,1) достаточно проверить положительность её производной. Согласно (5) имеем

(Е — к'К) = Е — к ' К — к 'К = + кК — к (Ек'-2 — К).

ик к к к

Следовательно,

кк '4- (Е — к'К) = к' (Е — К) + к2К — к ' 2(Ек'-2 — К) = ак

= к' Е — Е — к 'К + (к2 + к' 2)К = Е(к' — 1) + К(1 — к') = = (1 — к' )(К — Е).

Последнее равенство влечёт за собой положительность производной функции (Е — к 'К). Лемма доказана.

Лемма 2. Функции А\, А имеют на интервале (0,1) положительную производную и, в частности, возрастают на полуинтервале [0,1).

Доказательство. Согласно (5) имеем

А2 = ЕК + ЕК=(Е - К)К + Е(Ек '-2 — К) = Ек'— К2 = к к к

= (Е — к 'К )(Е + к 'К) > 0 кк'2

по лемме 1.

Докажем положительность производной функции Аз = Е — к' К.

Имеем

Аз = Е - к'2К - к'2К = ^ + 2кК - к'2 (Ек'-2 - ^ =

кк

Е - К + 2к2 К - Е + к'2К К, ,2 ,.2 ,

=-----= — (2к2 + к'2 - 1) = кК > 0.

кк

Таким образом, функция Аз имеет положительную производную на интервале 0 < к < 1 и сама положительна по лемме 1. А так как функция К обладает этими же свойствами, то их произведение А1 = 4КАз также положительно и имеет на интервале (0,1) положительную производную. Лемма полностью доказана.

Лемма 3. Функция Х2 имеет положительную производную на интервале (0,1), в частности, возрастает на отрезке [0, 1].

Доказательство. Имеем

_ 2 / Е \ 1 ( Е V 2 К - Е + К Е - Е К

2 2 к3 V К) к2 VК) к2 кК к2К2

К Е - Е К 2 ЕЕ К Е + ЕЕ К А2

=--1---=-!-=-— > 0

к2К2 + к2 К к2К2 к2К2 >

по лемме 2. Лемма доказана.

4. Существование и единственность корня уравнения (4). Двусторонняя оценка корня

Функция у1 непрерывна и убывает на [0,1], множеством её значений является отрезок [0, ко] С [0,1). Функция А1 непрерывна и возрастает на [0,1). Следовательно, функция В1(х) = А1(у1(х)) непрерывна и убывает на [0,1]. Согласно (3) имеем

(6)

В1(0) = А1Ы0)) = А1(ко) = 4К(ко) ( Е(ко) - (1 - ко2)К(ко)

= 8Е(ко) Е(ко) - 2(1 - ко2)Е(ко^ = 8(2ко2 - 1)Е2(ко), (7) В1(1)= А1(у1(1))= А1 (0)=0.

Функция у2 непрерывна и возрастает на [0,1], у2(0) = 0, у2(1) = 1. Функция А2 возрастает и непрерывна на [0,1]. Следовательно, функция В2 возрастает и непрерывна на [0,1]. Имеем также

(8) B2(0)= ¿2Ы0)) = A2(0) = —,

lim B2(x) = lim A2(k) =

Из сказанного заключаем, что функция B(x) = B2(x) — Bi(x) непрерывна и возрастает на полуинтервале [0,1),

lim B(x) =

B(0) = П- — (16ko2 — 8)E2(ko) < Ц0 — (16ko2 — 8) =

= 10.5 — 16k02 < 10.5 — 16 • 0.92 = —2.46.

Отсюда следует существование и единственность корня уравнения (4) на интервале 0 < x < 1. Для доказательства наличия этого корня на интервале 3 < x < 2 достаточно проверить справедливость неравенств

b (3) <0 - b2 (3) <Bi (3

вШ >0 - 42) <М2

Докажем лемму, которая даст требуемые неравенства. Лемма 4. Справедливы численные неравенства

B2 (3) = A2 (У2 (3)) <П<А1 (У1 (3)) = B1 (3

Bi (2) = А1 (^1 (2)) <п<А (^2 (2))=в2 (2

Доказательство леммы проведём в следующем порядке. Сначала докажем двойное неравенство

(9) А^yJ!)) <п<А^yj3

Из тождества Лежандра [10] (гл. 7, §44) при к = к ' = следует равенство

; ^) к (7)—К 2 (7)=п - А, (^

В силу возрастания А, это означает, что (9) будет вытекать из двойного неравенстваа

(11) у,Ш <7 <у,Ш ~ 3 <х,Ш <1

(мы воспользовались убыванием х, и тем, что у, — функция, обратная к ж,). Разделив обе части левого равенства в (10) на К2(), находим

2Е1М) — 1= П ^ ^ ж,Ш = П

К(1^л/2) 2К2(1/%/2) чл/2/ 2К2(1/%/2)'

Известно также значение К(1/72) = 4г2(5/4)/7п [11] (стр. 337). Отсюда находим

1 ) п2

(12) у/2) 32Г4 (5/4)' Из двойного неравенства

г2 (4) < г (2) = £< г (4

и (12) выводим оценки

--4 (5) т,-4 (3) (А)-4 16 ( 1 ) п2 16 1

г4Ы < г4Ы = Ы = П2 ^ хЧ < П2 • П2 = 2,

г-4 (5) > г-2 (3) = 4 ^ х, (7) > — • 4 = п> 1.

\4) \2) п Ч 72) 32 п 8 3

Второе двойное неравенство в (11) доказано, и доказательство неравенства (9) завершено.

Перейдем к доказательству двойного неравенства

(13) А^у2 ^^ <п<А^у^2

Левое неравенство (13) доказывается с помощью двусторонних оценок значений полных эллиптических интегралов Е(0.975) и К(0.975),

взятых из таблиц [9]

(14) 1.05 < Е(0.975) < 1.06, 2.91 < К(0.975) < 2.92. Из (14) находим

Е(0.975) 1.06

(15) А2 (0.975) < 1.06 • 2.92 = 3.0952, К^щ < ^ < 0.365.

Покажем, что верно неравенство

У2 (1V < 0.975 ^ 1 < Х2 (0.975) = * Г1 - V - 1.

У2 V3) 3 2( ) 0.9752 V К(0.975) У

Действительно, последнее неравенство равносильно такому:

2 • 0.9752 Е(0.975) Е(0.975) 2 • 0.9752

- < 1--7--< 1 --= 0.36625,

3 К (0.975) К (0.975) 3 ,

а это, как видно из (15), верно. Таким образом,

А2 (у2 (< А2(0.975) < 3.1 < п.

Левое неравенство (13) доказано. Докажем правое неравенство (13) с помощью двусторонних оценок значений полных эллиптических интегралов Е(0.99) и К(0.99), взятых из тех же таблиц:

(16) 1.02 < Е(0.99) < 1.03, 3.35 < К(0.99) < 3.36.

Отсюда сразу же видно, что А2(0.99) > п и осталось убедиться в том, что 0.99 < у2(1/2): тогда в силу возрастания А2 правое неравенство (13) будет доказано. В силу возрастания функции Х2 имеем

(17) 0.99 < у2(^ ^ Х2(0.99) < 1 ^ (1 - Е(а99Л < 3 ^ У ' У2 V2) 2( ) 2 0.992 V К(0.99)У 2

0.992 • 3 Е(0.99)

^ 1--4Г- = 0.264925 <КЫ) .

Из упомянутых таблиц находим

Е(0.99) > 1.02 > 03 К(0.99) > 3.36 > . ,

что и требовалось доказать. Правое неравенство (13) доказано, и доказательство леммы 4 завершено.

[1 [2

[3

[4 [5

[6

[7 [8 [9

[10 [11

Список литературы

A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry, Preprint SISSA 09/2012/M, 2017, 525 p. url 263

А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков. «Экстремальные траектории в нильпо-тентной субримановой задаче на группе Энгеля», Матем. сб., 202:11 (2011), с. 31-54.

A. A. Ardentov, Yu.L. Sachkov. "Conjugate points in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group", Journal of Mathematical Sciences, 195:3 (2013), pp. 369-390. I 1264

A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group", ESAIM: COCV, 21:4 (2015), pp. 958-988. f264

A. A. Ardentov, Yu.L. Sachkov. "Maxwell strata and cut locus in sub-Riemannian problem on Engel group", Regular and Chaotic Dynamics, 22:8 (December 2017), pp. 909-936. I ' 264

A. A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka. "Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case", J. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2 (1997), pp. 377-448. 264

Ю. Л. Сачков. «Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны», Матем. сб., 197:6 (2006), с. 111-160. 1 264

I. Beschastnyi, A. Medvedev. Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesies and integrability. ий)'|264

P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 67, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1971. I t2ss 26o

Н. И. Ахиезер. Элементы теории эллиптических функций, 2-е издание, Наука, М., 1970. t255,259

А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды. Т. 1, Физматлит, М., 2003. t259

Поступила в редакцию

Переработана

Опубликована

26.10.2018 02.12.2018 05.12.2018

Пример ссылки на эту публикацию:

А. Ю. Попов, Ю. Л. Сачков. «Двусторонняя оценка корня одного уравнения, содержащего полные эллиптические интегралы». Программные системы: теория и приложения, 2018, 9:4(39), с. 253-264.

10.25209/2079-3316-2018-9-4-253-264 @ http://psta.psiras.ru/read/psta2018_4_253-264.pdf

Об авторах:

Антон Юрьевич Попов

ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник (работа по совместительству) ИЦПУ ИПС им. А.К.Айламазяна РАН, д.ф-м.н. Основные научные интересы: теория функций.

МИ 0000-0001-8761-1450 e-mail: yusachkov@gmail.com

2*

Руководитель ИЦПУ ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, д.ф-м.н. Основные научные интересы: математическая теория управления.

Юрий Леонидович Сачков

[Da 0000-0002-3998-3177 e-mail: yusachkov@gmail.com

TWO-SIDE BOUND OF A ROOT OF AN EQUATION

263

UDC 517.977

Anton Popov, Yuri Sachkov. Two-side bound of a root of an equation containing complete elliptic integrals.

Abstract. We prove uniqueness of root of an equation arising in a problem of geometric control theory. The problem consists of description of singularity of the sub-Riemannian sphere on the Engel group near abnormal length minimizer.

During the proof, several new inequalities for complete elliptic integrals were obtained. For example, we proved that the function K(k)E(k) is increasing at the segment [0, 1); this fact was not noticed before in literature.

The method of investigation developed and the results obtained can be useful both for the study of elliptic integrals and for solving problems were such integrals arise (e.g. in problems of sub-Riemannian geometry). (In Russian).

Key words and phrases: asymptotics, complete elliptic integral, sub-Riemannian geometry.

References

[1] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and .sub-Riemannian geometry, Preprint SISSA 09/2012/M, 2017, 525 p. .url. 263

[2] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Extremal trajectories in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group", Sbornik: Mathematics, 202:11 (2011), pp. 1593-1615.

d '254

[3] A.A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Conjugate points in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group", Journal of Mathematical Sciences, 195:3 (2013), pp. 369-390. 264

[4] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov. "Cut time in sub-Riemannian problem on Engel

group", ESAIM: COCV, 21:4 (2015), pp. 958-988. d - 264

[5] A.A. Ardentov, Yu.L. Sachkov. "Maxwell strata and cut locus in sub-Riemannian problem on Engel group", Regular and Chaotic Dynamics, 22:8 (December 2017), pp. 909-936. 264

[6] A.A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka. "Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case", J. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2 (1997), pp. 377-448. 264

[7] Yu. L. Sachkov. "Complete description of the Maxwell strata in the generalized Dido problem", Sbornik: Mathematics, 197:6 (2006), pp. 901-950. d f264

[8] I. Beschastnyi, A. Medvedev. Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesies and, integra.bility. url 264

© A. Y. Popov, Y. L. Sachkov, 2018

© Ailamazyan Program Systems Institute of RAS, 2018 © Program Systems: Theory and Applications (design), 2018

[9] P. F. Byrd, M. D. Friedman, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 67, SpringerVerlag, Berlin—Heidelberg, 1971. d 266 260

[10] N. I. Akhiyezer. Elements of elliptic functions theory, 2-ye izdaniye, Nauka, M., 1970 (in RuSSian). f255,259

[11] A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, O.I. Marichev. Integrals and series. V. 1, Fizmatlit, M., 2003 (in Russian).f259

Sample citation of this publication:

Anton Popov, Yuri Sachkov. "Two-side bound of a root of an equation containing complete elliptic integrals". Program Systems: Theory and Applications, 2018, 9:4(39), pp. 253-264. (In Russian). 10.25209/2079-3316-2018-9-4-253-264

URL http://psta.psiras.ru/read/psta2018_4_253-264.pdf