Восстановление интегро-дифференциального оператора свертки по спектру Текст научной статьи по специальности «Математика»

удовлетворяют условиям теорем 1,2 соответственно, и выполняется тождество ху' = х'у' = х* у (12).

ТЕОРЕМА 4. Алгебра (А,-,*) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{°,Q} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам;

(1)-(3), х'у* = у*х* (13), (х'у)' =х*у' =(ху*)' (14), xyz*=xyx*z* (15), x*yz = x*z*yz (16), (ху)*у* =х\ху)* = (хуУ (17), x*y*z*=x*yz* (18).

ГЕОРЕМА 5. Алгебра *) типа (2,1,1) принадлежит многооб-

разию Var{°,~] ,Qj тогда и только тогда, когда алгебра (/!,-, *, *) удовлетворяет условиям теоремы 4, и выполняются тождества: (х ')"' -х (19), (хуГ^у-]х'1 (20), (**)-'=(*"')*=** (21), (да"1)* =х* (22), (xyy~lY=W (23).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. TarskiA. On the calculus of relations// J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 6. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188- 189.

3. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирск. мат. журн. 1977. Т. 38. С. 29 - 41.

4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594 - 595.

5. Boner F., Poschel R. Clones of operations on binary relations. Contributions to general algebras. Wien, 1991. Vol. 7. P. 50 - 70.

6. Henkin !.., Monk J. D., Tarski A. Cylindric algeras I, II. Amsterdam, 1971, 1985.

7. Schein В. M. Representation of involuted semigroups by binary relations // Fundamenta Math. 1974. Vol. 82. P. 121 - 141.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ ПО СПЕКТРУ*

В [1] рассматривалось возмущение оператора Штурма - Лиувилля оператором свёртки, и исследовалась обратная задача восстановления свёрточной компоненты по спектру в предположении, что потенциал оператора Штурма - Лиувилля известен априори. Доказана теорема единст-

"Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042), Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00007) и гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).

венности решения обратной задачи, её локальная разрешимость и устойчивость решения. В настоящей статье доказана глобальная разрешимость этой обратной задачи в случае нулевого потенциала при несколько более общих условиях на оператор свёртки. За счёт специального вида ядра оператора преобразования обратная задача сведена к решению некоторого нелинейного интегрального уравнения (см. (7)). В [2] доказана глобальная разрешимость нелинейного уравнения более общего вида. Это позволяет доказать единственность решения обратной задачи и получить необходимые и достаточные условия её разрешимости.

Обозначим }к>, - спектр краевой задачи I = ¿(М) вида

X

Еу := -,у"(х) + ¡М(х-1)у'(г)Ж = Ху(х), 0<х<п, (д)

о

у(0)=у(п)=0. (2)

Пусть (я - х)А/(х)е¿2(0,я), тогда собственные значения имеют вид

+ {Р*Ь/2- (3)

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. По спектру найти функцию М(х).

ТЕОРЕМА. Для любой последовательности комплексных чисел 1>ч}*>1 вида (3) существует единственная (с точностью до значений на множестве меры нуль) функция М(х), (л - х)М(х) е Х2 (0, к), такая что является спектром краевой задачи I = Ь{м) вида (1) - (2).

Доказательству предпошлем несколько вспомогательных утверждений. Обозначим - решение уравнения (1) с начальными условиями 5(0Д) = 0, 5'(0Д)= 1. Рассмотрим уравнение

X I

Л/(х)=2/Я(х) + {Л|#(г-т)//(т)Л, 0 < х < 7Г. (4)

о о

Решая его шагами, как в [3], можно показать, что оно имеет единственное решение #(х), (л - х)я(х)е ¿2(0,тг). Отметим, что в [2] доказана разрешимость нелинейного уравнения более общего вида.

ЛЕММА 1. Пусть р2 = ^. Тогда справедливо представление

Р О Р ' и=1 и!

где

Н']{х) = Я(х), Н^]\х) = )н(х - /)Я*и .

о

Доказательство Подстановкой легко проверить, что решение у = е(х, р) задачи Коши

X

I !>• := 'У(л-) + \н(х - 1)у(()Л = ру(х), 0 < х < л, >'(0) = 1 о

имеет вид

е(х,р)=ехр(-грх) + j>(x,/)exp(- /р(х - t))dl. о

Далее, в силу (4) для любой достаточно гладкой функции у(х), _у(0)=0, справедливо равенство iy = £]£]y. Отсюда согласно е'(0, р) = -/р следует тождество

2/р

которое вместе с (5) даёт требуемое представление для 5(хД). Лемма 1 доказана.

Собственные значения задачи L совпадают с нулями характеристической функции Д(А.)= ¿¡'(яД). Согласно лемме 1 имеем

ЛМ= Sinpn + , w(X)E L2(О,к). (6)

Р о Р

Здесь

(7)

и=1 и!

Можно показать, что любая функция Л(л) вида (6) обладает счётным множеством нулей имеющих вид (3). При этом она определяется

своими нулями однозначно по формуле

Д(Ь)=пП^. (В)

*=1 к

Аналогично лемме 1 из [4] доказывается следующее обратное утверждение.

ЛЕММА 2. Пусть заданы произвольные комплексные числа вида (3). Тогда функция Д(Х.), определяемая формулой (8), имеет вид (6).

Доказательство теоремы. Для любой функции w(x)eZ^(0,7t) нелинейное уравнение (7) имеет единственное решение #(х), такое что (я - х)Я(х)е ¿2(0,я), (см. [2]). По заданным числам виДа (3) строим функцию Д(А,) по формуле (8). Тогда согласно лемме 2 для Д(л) справедливо представление (6) с некоторой функцией w(x)e /,2(0,л). Пусть //(х) - решение уравнения (7) с этой функцией >v(x). Определим функцию

М(х) по формуле (4) и рассмотрим краевую задачу L = L(M). Нетрудно увидеть, что построенная функция Д(/.) является характеристической функцией краевой задачи L, а значит, спектр последней совпадает с Согласно (6), (8) единственность функции А/(х) сле-

дует из единственности решения уравнения (7). Теорема доказана.

Замечание. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и даёт алгоритм решения обратной задачи.

17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В. Л. Обратная задача для интегро-дифференциальных операторов // Мат. заметки. 1991. Т. 50, вып. 5. С. 134 - 146.

2. БутеринС.А. Обратная задача для одномерного возмущения оператора свёртки. Саратов, 2003. 84 с. Деп. в ВИНИТИ 01.10.03, № 1754-В2003.

3. Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов // Теория функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. Ч. I. С. 90 - 96.

4. ЮркоВ. А. Обратная задача для интегральных операторов // Мат. заметки. 1985. Т. 37, вып. 5. С. 690-701.

УДК 511.3

А. С. Быкова

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ОТМЕЧЕННОЙ ТОЧКИ ДЛЯ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

При построении гомотопических групп лт(Х,х0) толерантных пространств существенную роль играет базисная точка д:0. Постараемся, насколько это возможно, освободиться от необходимости выбирать эти точки. Построение гомотопических групп толерантных пространств описано в работе [1].

Пусть (Х,х0) - толерантное пространство, х0 ч х] - две точки этого пространства. Толерантным путём, соединяющим точки х0 ид:,, называется толерантное отображение сор : (Х,т) такое, что выполняются свойства:

1)шр(0) = х0,

2)и>р(1) = х,.

Рассмотрим толерантный сфероид а„ в точке х0: аи:(/<"\г<">)->(Л\т), а„(Э/Г) = *о-

Построим отображение со» класса [а„] сфероидов в точке х0 в класс со • ([а „ ]) сфероидов в точке х]. Для этого возьмём двойное замедление сфероида а„ (оно будет принадлежать классу [а„]), поставим ему в соответствие сфероид Р4„+2я в точке х1, описанный ниже, тогда

[Р4р + 2»]= ».([««])■ (П

Определим Р4„+2„ формулой