Восстановление импульсного воздействия на бесконечную цилиндрическую оболочку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1:539.3

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА БЕСКОНЕЧНУЮ

ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ

Е.Г. Янютин, профессор, д.т.н., НТУ «ХПИ», Н.И. Воропай, аспирант, ХНАДУ

Аннотация. Рассматриваются сосредоточенные нестационарные воздействия на тонкую бесконечно длинную круглую упругую оболочку. Построено решение прямой и обратной задач. При решении задачи идентификации используется регуляризирующий метод.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, радиальная нагрузка, интегральное преобразование, мембранное напряжение.

В1ДНОВЛЕННЯ 1МПУЛЬСНОГО ВПЛИВУ НА НЕСК1НЧЕННУ ЦИЛ1НДРИЧНУ ОБОЛОНКУ

С.Г. Янютш, професор, д.т.н., НТУ «ХП1» Н.1. Воропай, асшрант, ХНАДУ

Анотаця. Розглянуто зосереджен нестацгонарш дИ на тонку несюнченно довгу круглу пружну оболонку. Побудовано розв 'язання прямог та оберненог задач. При розв 'язанш задач ¡дентифтацп використовуеться регуляризуючий метод.

Ключовi слова: цилтдрична оболонка, рад1альне навантаження, ттегральне перетворення, мембранне напруження.

IDENTIFICATION OF IMPULSE ACTION ON INFINITE CYLINDRICAL SHELL

Ye. Yanyutin, Professor, Doctor of Technical Science, NTU «KhPI», N. Voropay, Post-graduate student, KhNAHU

Abstract. The concentrated non-stationary actions on the shell are considered. The shell is supposed to be elastic, thin, round and infinitely long. The solution of the direct and inverse problems is obtained. The regularizing method is used for the solution of the identification problem.

Key words: cylindrical shell, radial load, integral transformation, membrane stress.

Введение

Многие нестационарные задачи для круглых упругих цилиндрических оболочек благодаря симметрии можно свести к решению дифференциальных уравнений в частных производных, которые зависят лишь от двух переменных: угловой координаты 0 и времени t. В основном такого рода задачи решаются с использованием тригонометрических рядов по угловой переменной. Главный недостаток

этого метода состоит в том, что необходимо при численных расчетах учитывать значительное число членов рядов Фурье. Первое представление решения в иной форме, которое известно авторам, было сделано R. G. Рауюп в работе [1].

В настоящей статье, опираясь на результаты работы [1], разработана методика решения прямой и обратной задач для безмоментной цилиндрической оболочки, которая находит-

ся в условиях плоской деформации. Эта методика свободна от указанного недостатка.

Анализ публикаций

Исследованиям нестационарных колебаний цилиндрических оболочек посвящено очень значительное число работ. В монографии [2] приводятся решения прямых и обратных задач математической физики для цилиндрических и сферических оболочек, колеблющихся в результате воздействия импульсных нагрузок. Рассмотренная в настоящей работе задача о восстановлении импульсного воздействия на тонкую бесконечно длинную оболочку с использованием метода регуляризации А.Н. Тихонова ранее никем не была решена.

*

t =

R

Е

Р (1 - V 2).

>2

Здесь Е - модуль Юнга; р - плотность материала оболочки; V - коэффициент Пуассона.

Решение прямой задачи

Решение уравнения (1) будем строить с нулевыми начальными условиями.

Из геометрических и механических соображений следует, что функция о является периодической функцией 0 с периодом 2п, поскольку рассматривается деформирование круглой цилиндрической оболочки.

Цель и постановка задачи

Рассматривается тонкая бесконечно длинная цилиндрическая оболочка (рис. 1).

6(0, г*)

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка

Пусть определение ее колебаний сводится к решению уравнения [1]

Решение уравнения (1) представляется по угловой координате в виде бесконечной суммы, члены которой являются непериодическими функциями переменной 0. Однако вводимая сумма будет периодической (с периодом 2п) функцией угловой координаты. Следуя [1], представим решение уравнения (1) в виде

(0, Г*) = £ X (0 + 2пр, Г*).

(2)

Подчеркнем, что область изменения 0 здесь следующая: -да<0<+да. Легко видеть, что уравнение для функции £(0,Г*) получается таким:

ТФ!:-| о г (0, г У

(3)

Г'пн = - ^, Г

где г(0,Г*)=6/6о при |0|<п, а если |0|>п, то (1) £(0/)=О, причем оо=RQо/h. В приведенных выражениях 60 - интенсивность нагрузки.

где о - напряжение, полагаемое постоянным по толщине оболочки; Я - радиус оболочки; h - толщина оболочки; 6 - функция, определяющая интенсивность нормальной к цилиндрической оболочки нагрузки.

Решение уравнения (3) было выполнено с помощью использования преобразований Лапласа и Фурье [3, 4]. Оно осуществлялось аналогично построению решения в работе [5] и имеет вид

В уравнении (1) штрихом обозначено дифференцирование по 0, а точкой - дифференцирование по безразмерному времени Г*. Укажем, что связь между безразмерным временем Г и физическим временем Г такова:

_ I

X(0,г*) = \ч(т) 2 -1

(Г* - т)2 - |0 + 2пр 2

х Н[(Г* - т)- |0 + 2пя|]<А.

Г

П= - ¥

*

х

Отметим, что решение уравнения (3) было получено для случая, когда

Q(9,t*)=Qo5(9)q(t*), т.е. оно будет соответствовать приложению к оболочке сосредоточенного воздействия интенсивностью Q0 в точке 9=0, причем действие нагрузки во времени задается функцией q(t*), которая может быть произвольной.

Используя формулу (4), окружное мембранное напряжение вычисляется как следующий ряд:

ске.О = £х<е-2.,р,.-) = 02-2? (I- - V -|©-2.

(5)

Каждый член ряда (5) определяет деформационную волну, которая обходит оболочку либо в положительном, либо в отрицательном направлениях 9.

Оценка достоверности

Решим прямую задачу для случая, когда мембранное напряжение вызвано точечным импульсом; тогда выражение (5) примет вид

Для проверки достоверности полученного решения сравним рассчитанные напряжения с результатами из работы [1]. На рис. 2 изображены две кривые изменения мембранного напряжения в точке 9=0, которые практически полностью являются слившимися на основе визуального восприятия. Причем кривая 1 рассчитана по формуле, приведенной в работе [1], а именно

= -2о ЛК-

(7)

где учитываются первые три члена (п = -1, =0, =1). Кривая 2 рассчитана по формуле (6) также с учетом трех членов.

1-1

2.5

1.5 1

0.5

-0.5

\

1,2 \

\

2 3 4 5 Безразмерное время I*

Рис. 2. Изменение мембранного напряжения

Приведенное сравнение с результатами работы [1] свидетельствует о достоверности решения прямой задачи для импульсного на-гружения безмоментной цилиндрической оболочки.

Решение обратной задачи

Целью задачи является определение функции нагрузки от времени по известному (например, заданному) изменению мембранного напряжения во времени в одной из точек оболочки.

Ограничимся здесь изучением только одной деформационной волны, т.е. будем рассматривать решение (5) при п=0. Для указанного случая решение будет иметь вид

о (0, Г) =

2

т q(t) у0 ¡^

е - х )2 -10| г н - х) -10 .

(8)

Укажем, что выражение (8) является вспомогательным для определения неизвестной радиальной нагрузки, воздействующей на цилиндрическую оболочку, т.е. для решения обратной задачи.

Уравнение (8) при заданной функции о(9,1*) и искомой функции q(l*) является интегральным линейным уравнением Вольтерра I рода, которое в общем случае можно записать так

о(0,I*) = \д(%)К(0,I* - х

(9)

где

к(0, I * - х) = у

0 [-

]- н [(I * -х) -0]

Существо решения таких уравнений при построении обратных задач подробно описано в работе [2, 6]. Укажем, что задача сводится к отысканию минимума сглаживающего функционала, что эквивалентно решению ре-гуляризированной СЛАУ типа

(АТА + а С^ = Ато 5

(10)

Численное определение неизвестного закона изменения нагрузки во времени q(l*) было

*

2

г

(I- -х)2 -02

2

0

0

6

7

выполнено на основе выражения (10), причем в качестве известных мембранных напряжений (исходных данных для решения обратной задачи) заданной точки использовались решения соответствующей прямой задачи при некотором конкретном законе на-гружения.

1.6

1.2

*

0.8

и

^ 0 4

&

К

0

-0.4

0 1 2 3 4 5 6

Безразмерное время

Рис. 3. Изменение во времени нагрузки

16

а -0.4-----^------

Г)

-0.8 ------

0 1 2 3 4 5 6

Безразмерное время I*

Рис. 4. Изменение мембранного напряжения

На рис. 3 кривые 1, 2 описывают характер изменения некоторых импульсных нагрузок, которые использовались в прямой задаче для нахождения мембранных напряжений (рис. 4, кривые 1 и 2, соответственно); а кривые 3, 4 на рис. 3 соответствуют нагрузкам, идентифицированным по «зашумленным» мембранным напряжениям, причем «шум» накладывался по формуле

о8(0=а(0-[1+§-Ди^(0], где * - относительная погрешность; -

случайные числа в интервале [-1;1]. Уровень «шума» принимался равным 5 %, т.е. 5=0,05.

Из представленных результатов следует, что способ, использующий регуляризирующий алгоритм А.Н. Тихонова, позволяет осуществлять построение достаточно устойчивого решения для рассмотренной обратной некорректной задачи математической физики.

Предложенная методика для решения прямой задачи математической физики позволяет избежать такого недостатка, в отличие от метода Фурье, как сохранение всех многих членов ряда.

Использование регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова позволяет осуществлять построение достаточно устойчивого решения для обратной некорректной задачи.

Литература

1. Пейтон Р. Дж. Динамические мембранные

напряжения в круговой упругой оболочке / Р. Дж. Пейтон // Прикладная механика. - 1961. - № 3. - С. 112-116.

2. Задачи импульсного деформирования эле-

ментов конструкций : монография / Е.Г. Янютин, И.В. Янчевский, А.В. Во-ропай, А.С. Шарапата. - Харьков : ХНАДУ, 2004. - 392 с.

3. Диткин В.А. Операционное исчисление :

монография / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М. : Высшая школа, 1966. -405 с.

4. Снедон И. Преобразование Фурье : моно-

графия / И. Снедон. - М. : Изд-во иностр. лит., 1955. - 667 с.

5. Янютин Е.Г. Определение влияния сосре-

доточенного нестационарного воздействия на мембрану-полосу / Е.Г. Янютин, Н.И. Кучерова // Вестник ХНАДУ : сб. научн. тр. - Харьков : ХНАДУ. -2006. - Вып. 32. - С. 80-83.

6. Тихонов А.Н. Методы решения некоррект-

ных задач : монография / А.Н. Ти-хонов, В.Я. Арсенин. - М. : Наука, 1979. -288 с.

Рецензент: М. А. Подригало, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 7 апреля 2010 г.

2 1 3

/ ч [Мз

/ Л 4

La Л \г\ 7 А/Ч

Р»\/ v

Выводы