CC BY
59
УДК 534.1:539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛИЯНИЯ СОСРЕДОТОЧЕННОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА МЕМБРАНУ-ПОЛОСУ
Е.Г. Янютин, профессор, д. т. н., ХНАДУ, Н.И. Кучерова, студент, НТУ «ХПИ»
Аннотация. Предложены способы решения нестационарной задачи расчета колебаний мембраны-полосы под действием поперечной нагрузки. Методика решения задачи включает в себя применение интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Обсуждаются вопросы достоверности полученных решений.
Ключевые слова: мембрана-полоса, перемещение, нагрузка, интегральные преобразования, достоверность.
Введение
В механических системах, которые можно рассматривать как тонкие упругие двумерные тела, выделяют тела, носящие название мембран, которые при поперечных своих колебаниях имеют пренебрежимо малую жесткость на изгиб.
В настоящей работе рассматривается прямая задача математической физики о сосредоточенном нестационарном воздействии на бесконечную мембрану-полосу. Целью является построение решения задачи в аналитической форме о колебаниях мембраны под действием известной нагрузки.
Анализ публикаций
Исследованиям стационарных и нестационарных колебаний мембран различных геометрических форм посвящено очень большое количество работ. В монографии [1] приводятся решения прямых и обратных задач математической физики для круговых и прямоугольных мембран, колеблющихся в результате воздействия импульсных нагрузок. Рассмотренная в настоящей работе задача о нестационарных колебаниях мембраны-полосы с использованием последовательного применения интегральных преобразований Лапласа и Фурье ранее никем не была решена.
Цель и постановка задачи
Пусть имеется прямоугольная мембрана, ограниченная прямыми х = 0, х = I. Вдоль оси ординат мембрана является бесконечной при у ® ±® (рис. 1).
Задача о колебаниях мембраны - полосы сводится к решению стандартного уравнения
О u ,2и 2 2u О Ы, ^ (1)
— = Ь2 Ч(— +—) + G(х, у, г) (1)
О t
о х о у
Рис. 1. Схема нагружения мембраны с нулевыми начальными условиями
п О ы ,
= 0, — |<=0 = 0 о г
(2)
и краевыми условиями, заданными на границе бесконечного прямоугольника
0, ы\ = 0 Ит ы (х, у, t) = 0
■ ± Г
(3)
В соотношениях (1) - (3) обозначены следующие величины так:
ы - нормальное перемещение точек мембраны-полосы, Ь - скорость распространения деформационной волны в мембране-полосе, С(х, у, г) -функция, пропорциональная внешней нагрузке.
2
ы
г = 0
ы
х= 0
х
Предположим, что внешняя нагрузка интенсивности Р(г) сосредоточена вдоль линии у = 0 , а по переменной х изменяется по закону синуса, т.е.
1 р х
0(х, у, г) = —8 (у) 8т(—) Р(г), (4)
Р 1
где р - удельная плотность мембраны, 8 (у) -дельта-функция.
а\ (у, 5) = ,— т а^Р (г, 5) 'Че'^йг (9)
л/2л - г
получим следующее выражение:
ч]д2ь2 + 52
ь, , Рь (5).. еь
а\ (у, 5) = —^ Ч
2Ьр ^2ь2 + 52
(10)
Первый способ решения задачи
Применим к уравнению (1) преобразование Лапласа [2] и с учетом начальных условий (2) получим
) 2 О 2
5гыь = Ь2 Ч(— ыь +—2ыЬ) + Сь (х,у,5). (5)
О2 ь О-.—г ыь + — О х О у
Теперь применим к (10) обратное преобразование Лапласа [2, 4]. В результате чего будем иметь
1 |у|
а1( у, г) = тг- ЧЯ (г -^) г 2Ьр Ь
(11)
г т Р(т)ЧJй(QЬ\1 (г-т)2 - (Ь)2)Л.
Здесь принято ыь (х, у, 5) = т ы (х, у, г) Че~ ,
0
причем 5 - параметр преобразования Лапласа.
Для отыскания решения уравнения (5), удовлетворяющего краевым условиям (3), представим искомую функцию ыь (х, у, 5) в следующем виде:
ыь (х, у, 5) = а1 (у, 5) Чsin . (6)
К выражению (6) применим бесконечное преобразование Фурье по переменной У согласно следующему закону [3]:
1 + <
а\ь (25) = -¡= т а1 (у, 5) Че~ ,2Чу , (7)
-\/2я - г
где г - параметр преобразования Фурье.
В результате с учетом рассматриваемого уравнения получим
аь (г, 5) Ч- =
, П^ЧРь (5)
I = у2гс р_____________________. (8)
2 ь2г2 + Ь2д2 + 52
Здесь Я (г) - единичная функция Хевисайда, равная единице при положительных значениях аргумента и нулю - при отрицательных; J 0 - функция Бесселя нулевого порядка.
Перемещение ы (х, У, г) будет вычисляться по формуле
1 \у\
ы( х, у, г) = — ЧЯ (г - ^) г 2Ьр Ь
(12)
г т Р(т) ЧJo(eь у (г -т )2 - А2)Л Ч81п н.
0 V ь I
Рассмотрим пример воздействия на мембрану нагрузки для случая, когда в формуле (12) функция Р(г) меняется как единичная функция Хевисайда (Р(г) = Р0 ЧЯ (г)). Укажем, что Р0 - интенсивность приложенной нагрузки. Для такого нагружения формула (12) приобретает следующий вид:
ы(х, у, г) = -р— ЧЯ (г - —) г 2Ьр ь
(13)
г т J0(0ЬЧ.1 (г-т)2 - (у)2)^ Чsin^.
0 V ь I
В выражении (8) Q = Л1 ^ 2
Выражение (8) имеет такую конструкцию, что можно выполнить последовательно обратные преобразования Фурье и Лапласа. После выполнения обратного преобразования Фурье по закону
[3]
Второй способ решения задачи
Рассматривается та же задача, что и ранее. Однако отличие состоит в том, что здесь изменен порядок выполнения обратных интегральных преобразований.
К выражению (8) применим обратное преобразование Лапласа [2] и получим
У
у
г -
ыр (х, 2, г) = а( (х, г) Чsin— = ^ г
I л/2р р
Соответствующие кривые полностью (на уровне точности построения графиков) совпали с кривыми, изображенными на рис. 2.
г Члп7^227й^(г-т) . рх
гт Р(т) Ч , =--Л Чsin —. (14)
I ( )
Далее к соотношению (14) применим обратное преобразование Фурье [3]. В результате будем иметь
, ч 1 ц+Г г чllsi^Vb2Z27"b2Q2(г- т) ы (х, у, г) =-----Ч т тР(т) Ч— , -----dт г
2р р - Г 0 7ь222 + Ь^2
г е'2^ Чsin —. I
(15)
В случае воздействия на мембрану-полосу нагрузки, отвечающему варианту, когда в формуле (15) функция Р(т) меняется как единичная функция Хевисайда, выражение (15) имеет вид
р
ы(х, у, г) = — г р р
Г 1 - cos^|b-Z-Tb2Q-t
г т ¥77^
р х
Чcos (ух) dz Чsin — • (16)
Структура формулы (16) принципиально отличается от формулы (13), поскольку для расчета по формуле (16) необходимо вычислять несобственный интеграл первого рода, который является сходящимся, однако практическая сходимость его плохая. Подынтегральная функция убывает к
нулю при 2 ® Г как —. Отмеченное обстоя-
х
тельство существенно усложняет численный расчет по этой формуле по сравнению с расчетом по формуле (13).
Описание численных результатов
Для численного расчета прогиба мембраны-полосы согласно формулы (13) принимались следующие исходные данные: удельная плотность р = 7,8 кг/м2; скорость распространения поперечных волн деформации Ь = 2800 м/с; ширина мембраны I = 0,4 м; интенсивность действующей нагрузки Р0 = 105 Н.
На рис. 2 представлены результаты выполненных
I
расчетов, причем рис.2,а отвечает х = —, у = 0 , а рис. 2, б - х = —, у = 1,2 м.
Для тех же параметров были произведены расчеты перемещений балки-полосы по формуле (16).
Изложенное свидетельствует, что полученные результаты являются достоверными. а
Время 1, с
0.000025
0.00002
0.000015
2 0.00001
£ 0.000005 з
ю 0
5
о -0.000005 л
с -0.00001 -0.000015 -0.00002 -0.000025
Время 1, с
Рис. 2. Изменение прогиба во времени
Входящий в соотношение (16) несобственный интеграл первого рода при расчетах рассматривался как интеграл с фиксированным конечным верхним пределом. В процессе численных экспериментов этот верхний предел монотонно увеличивался и устанавливалась численная сходимость результатов в зависимости от длины промежутка интегрирования. Процедура вычисления интеграла была численной и производилась с использованием современной библиотеки программных сред.
Достоверность результатов можно проверить и другим способом. Рассмотрим мембрану ограниченных размеров, поперечное перемещение которой описывается следующим выражением:
/ . Р0 ы 1 .. . т\
ы(х, у1, г) = ^ е —- Чsin—г
2р п= 1W-
г (1 - cosWnt) Чsin ППРу- Чsin—.
50 I
(17)
Выражение (17) записано в декартовой системе координат (х, у1). Связь между у и у1 такова,
50
что ордината X = ■— приложенной нагрузки вида
(4) отвечает середине вдоль длины мембраны. В
б
0
0.001
0.002
0.003
0.004
формуле (17) 50 - длина мембраны, I - ее шири-
2-2 Ь2п2р2
+------—. Нагружение мембраны
на
= Ь-±
п г-
соответствует изображенному воздействию на рис. 1. Выражение (17) получено с использованием теории рядов Фурье и стандартных способов операционного исчисления. Аналогичное решение можно найти, например, в [1].
0.00018
0.00016
0.00014
Д 0.00012 ^ 0.0001 ■Е 0.00008 £ 0.00006 0.00004 0.00002 0
А
-Алдмл ААА/
0.002 0.003
Время 1, с
0.000025 -0.00002 -0.000015 -0.00001 -0.000005 -0 -
-0.000005 --0.00001 --0.000015 --0.00002 --0.000025 -
0 0.001 0.002 0.003 0.004
Время 1, с
Рис.3. Изменение прогиба во времени
Кривая на рис. 3,а отвечает х = —, у = 0, а на рис. 3,б изображена кривая, отвечающая
1 1 —
х = —, у = 1,2 м.
2
Из физических соображений следует, что при неограниченном увеличении длины мембраны ( 50 ® ¥ ) численные значения перемещений со-
гласно формулам (13), (16) и (17), должны совпадать. Указанное подтверждается сопоставлением графиков, изображенных на рис. 2 и на рис. 3. При расчетах принималось, что 50 = 40 Ч1. Кривые на рис.3 рассчитывались с учетом 4000 членов ряда в (17). Более высокочастотные колебания, наблюдаемые в конце исследуемого временного промежутка по сравнению с основными, появляются в результате прихода в расчетную точку (точку наблюдения) отраженных волн деформаций в мембране конечной длины 50 от ее абсолютно жестких границ, которые параллельны оси абсцисс ( у1 = 0, у1 = 50 ).
Выводы
Предложенные два способа решения задачи математической физики о колебаниях мембраны позволяют эффективно решать прямую задачу о влиянии заданного сосредоточенного нестационарного воздействия на бесконечную мембрану-полосу и проанализировать ее динамическое поведение.
Литература
1. Янютин Е.Г., Янчевский И.В., Воропай А.В.,
Шарапата А.С. Задачи импульсного деформирования элементов конструкций. - Харьков: Изд-во ХНАДУ, 2004. - 392 с.
2. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное
исчисление. - М.: Высшая школа, 1966. -405 с.
3. Снедон И. Преобразование Фурье. - М.: Изд-во
иностр. лит., 1955. - 667 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по
операционному исчислению. - М.: Высш. школа, 1965. - 466 с.
Рецензент: В.В. Буланов, профессор, д. т. н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 14 марта 2006 г.
0
а
0
0.001
0.004
б
