CC BY
17
matching // Pattern Recognition Letters. 1994. Vol. 15, №4. P. 337-339. 11.Машталир С.В. Поиск аффинитета на основе скелетонизации бинарных изображений // Прикладная радиоэлектроника. 2003. Т. 2, № 2. С. 188-192. 12. Машта-лир С.В., Путятин Е.П. Морфологическая обработка изображений динамических объектов // Автомобильный транспорт. Вып. 12. Харьков: ХНАДУ, 2003. С. 55-58. 13. Serra J. Image analysis and mathematical morphology. Vol. I. London: Academic Press, 1982. 610 p. 14. Image Analysis and Mathematical Morphology: Theoretical Advances / Serra J., ed. London: Academic Press, 1989. 411 p. 15. Heijmans H.J.A.M. Morphological image operators. Boston: Academic Press, 1994. 509 p. 16. Giardina C.R., Daugherty E.R. Morphological methods in image and signal processing. New York: Prentice-Hall, Englewood Clifs, 1988. 321 p. 17. Mathematical morphology and its applications to image and
signal processing / Maragos P., Schafer R. W., Butt M. A., eds. // Computational Imaging and Vision. Vol. 5. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2002. 475 p.
Поступила в редколлегию 19.10.2005
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Бодянский Е.В.
Егоров Андрей Сергеевич, студент группы ИСПР-03-1 ХНУРЭ. Научные интересы: распознавание образов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 80667317108.
Машталир Сергей Владимирович, канд. техн. наук, ассистент кафедры информатики ХНУРЭ. Научные интересы: обработка изображений. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-419, e-mail: Ma shtalir_S @kture. krarko v.ua.
УДК621.391
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ С ОГРАНИЧЕННЫМ КОЛИЧЕСТВОМ СЕРИЙ ЕДИНИЦ
БАРАННИК В.В., ЮДИН А.К___________________
Излагается восстановление массивов двоичных данных на основе декодирования структурных кодовых конструкций по ограниченному количеству серий единиц. Доказывается взаимооднозначность разработанного представления исходным данным.
Введение
Выполнение требования по достоверности данных является одним из основных условий правильного и своевременного принятия решения [1, 2]. В [3, 4] разработано двоичное полиадическое кодирование данных с ограниченным числом серий. Обосновано, что такое представление позволяет дополнительно относительно известных методов кодирования без внесения погрешности повысить степень сжатия данных. Однако для получения исходных данных на приемной стороне необходимо:
- доказать взаимооднозначность такого представления;
- для полученных условий взаимооднозначности определить систему правил, обеспечивающих восстановление исходных данных без внесения погрешности.
Целью исследования является разработка взаимооднозначного восстановления двоичных данных с ограниченным числом серий единиц в двоичном полиадическом пространстве.
Восстановление данных на основе двоичного полиадического декодирования по числу серий единиц
Перед разработкой восстановления исходных двоичных последовательностей покажем, что представле-
ние, предложенное в работах [3, 4], является взаимооднозначным. В этом случае по заданному коду-номеру N(m, Л, $)j можно восстановить исходную последовательность без внесения погрешности, т. е.
N(m, Л, S)j =фk(A(j)); A(j)* =9d (N(m, Л, S)j);
aizj = aizj, i = 1m; z =1Z, (1)
где A(j) = {aizj>i=1m; A(j) ={a!zj>i=i;m; <Pk,Фа -соответственно операторы кодирования и восстановления двоичных полиадических чисел с учетом ограниченного количества серий единиц; A(j) , A(j) -
соответственно исходная и восстановленная двоичные последовательности; aizj, aizj - izj -е элементы соответственно исходной и восстановленной двоичных последовательностей, принадлежащих z -й допустимой зоне.
Теорема о взаимооднозначности структурного представления двоичных данных в полиадическом пространстве по числу серий единиц. Для
выбранного лексикографического правила нумерации, заданных ограничений на число серий единиц и на расположение единичных элементов для двоичной последовательности A(j) можно сформировать только один код-номер N(m, Л, Q)j [4]. Наоборот, для заданных ограничений и по известному коду-номеру можно восстановить только одну двоичную последовательность A(j), т.е. выполняется условие (1).
Доказательство. Предположим противное, т.е. то, что найдется как минимум один элемент, для которого
выполняется неравенство a*z. Ф aizj. В этом случае как минимум два двоичных полиадических числа с ограниченным количеством серий единиц A(j) и A(j) будут иметь одинаковое значение кода-номера N(m, Л, -9)j = N(m,Л,&)*:
9 5
BE, 2005, 1 4
Z-1 0(?g) g+1mz ... ...
N(m,Л,S)j = Z Z ZZa (r(^ . -r(j
J g=o 4=1 z=i i=i izj 1“1’zj ‘>zj
N(m.
П V(sf, ©(§g)).
^=z+1 ’
Z-1 0(^g) g+1l
(2)
Л, S)j = £ Z ZZ a ‘.(г®. - r(j X
g=0 4=1 z=1i=1 izj 1 1,zj i,zj
Z
X П ©(§g)) (3)
6=z+1
или
Z-1 = z 0(V z §Z N(3z?), ©(?g))
g=0 4=1 z=1
Z П V(3®, ©Kg))-
ф=z+1
Z-1 = z L J сто §Z N(3®, ©(?g))*
g=0 4=1 z=1
Z x П V(3 °~Q сто
ф=z+1
y+1 ’
Z
П V(3<p, ©(§g))-
ф=у+2
+... + ^N(dZ^1, ©(?g)) -N(3(4, ©(?g))* x V(sZ?), ©(?g)) +
+f n(Q(7^), ©(^g)) _N(Q(7^), ©(^g))*
или
N(3®, ©(?g)) -N(3®, ©(?g))•
Z
X П V(3®, ©Kg)) =
ф=у+1
Z-1 z ^ rr z 11 N(3®, ©(§g)) -N(3®, ©(§g))* j x
g=0 4=1 V v
x П V(3®, CTO +
ф=у+2
+. .. + [ N(3 ■Z\, ©(?g)) -N(3(4, ©(?g))* 1 X
(4)
x V(3((P, ©(?g)) +
+fN(3(4 ©^g)) -N(3(Z^, ©ftg))*
(6)
(5)
Поскольку по предположению неравенство (1) не выполняется, то без потери общности можно допустить, что будет верно неравенство a j > a * . , где v
a7j ayj '
- наименьший индекс зоны, для которого aj Ф aay j. Тогда в соответствии с выбранным лексикографическим правилом [4] для у -й зоны будет выполняться
неравенство N(3!p, ©(^g)) > N(3!p, ©(^g))*. Вычитая из правой и левой частей выражения (4) соответственно левую и правую части соотношения (5), получаем
Z, 0(4g)
o =Z Z (( N(3$P, ©(?g)) -N(3(R ©Kg))Ox
g=0 4=1 xV 2
x П V(3®, ©(§g)) +
ф=у+1
+ f N(3®, ©(§g)) -N(3®, ©(§g))
Поскольку N(3®, ©(^g)) > N(3®, ©(^g))*, то для левой части равенства (6) выполняется условие
N(3®, ©(?g)) -N(3®, ©(?g))*
X П V(3®,©(§g))> П V(3^,©(§g)) = V(©(§g))y.
ф=у+1 ф=у+1
С другой стороны, в соответствии со свойствами двоичных полиадических чисел с ограниченным числом серий единиц правая часть выражения (6) будет
меньше величины V( © (^g)) . Отсюда следует, что соотношение (6) не выполняется. Следовательно,
N(3®, ©(?g)) = N(3®, ©(?g))*.
Докажем теперь, что из равенства кодов-номеров N(3!p, ©(^g)) = N(3!p, ©(^g))* вытекает равенство их элементов aiуj = a*уj , где i = 1,my. Для этого распишем значения кодов-номеров N(3z?), ©(?g)) и N(3®, ©(^g))* для z -х допустимых зон, содержащих число серий единиц, равное :
N^, ©(§g)) = Zzaizj (r® , - r(j =
i=1 izj i-1,zj i,zj
= a1 .(г® -r®)+a2 .(г® -r® )+... +
1zj 0,zj 1,zj 2zj 1,zj 2,zj
+a j (r® - r® ) +... + a j (r® - r® ) .(7)
a zj a-1,zj a ,zj mzj m-1,zj m,zj ’X '
N^, ©(?g))* = $>* (r(?)* -r(?)*) = i=1 izj i-1,zj i,zj
= a• (r®*-r®*)+a• (r®*-r®*)+... +
1z j 0,zj 1,z j 2zj 1, z j 2,zj
+a• (r(§)# _r©* )+... + a• (r®‘ -r®* ) (8)
a zj a-1,zj a ,zj mzj m-1,zj m,zj 'v z
9 6
BE, 2005, 1 4
Предположим противное. Тогда найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство
ai у j ^ ai у j • Пусть а - наименьший индекс двоичного элемента, для которого a ау j > a * . . Величины
# ' J а / j
r©. и r©. зависят от числа серий единиц 9® и от
i,zj i,zj r z
значений предыдущих элементов. Поскольку
ai У j = ai у j для i = 1, а-1, а величины &Z^ по
(?) (?)* ---------
условию теоремы равные, то г. , = г. для і = 1, а.
Вычтем из правых частей выражений (7) и (8) слагаемые с равными двоичными элементами и обозначим соответственно через величины Qа и суммы оставшихся слагаемых:
Q«= aezj (г® ■-r® ) + ae+i ^ (r® j -r© ) +
аzj a-1,zj a,zj zj a,zj a+1,zj
+ ••• + amzj(r©, zj -r©zj). (9)
mzj m—1,zj m,zj ’
Q* = a* (r© - r© )+a* (r© - r© ) +
а a zj a-1,zj a,zj a+1, zj a,zj a+1,zj
+...+a * ,(r(?)i , - r©J. (10)
mzj m-1,zj m,zj 4 '
Поскольку предполагается, что для двоичных элементов выполняется неравенство aayj > a^j , то aayj =1, а a^j = 0 . Тогда соотношения (9) и (10)
примут вид
1(r© - r© a—1,zj а ,z )+a - (r© - j a+1,zj a,zj ,r(l) a+1
+... + a . (r© - r© )
mzj m- 1,zj m,z j
Q ‘а • = a (r© - ■r© ) + . . . +
^ а a+1, z j a,zj a+1,zj
+a * (r©* ^ -r©* )
mzj m-1,zj m,zj
(11)
(12)
Покажем, что остаточное значение кода-номера Q^ для (m - а +1) -го элемента ограничено сверху величиной r© (a* = 0), в предположении, что
a,zj a zj
a* = 0:
a zj
Q*a < r®,(a* , = 0) - 1
a a,zj a zj
Для этого преобразуем формулу (12) к виду:
(13)
Q* = a • (r© - r©* )+...+a * (r©* - r©* ) =
a a+1, zj a,zj a+1,zj mzj m-1,zj m,zj
z
• a r© - a * r©* +a* r(§)*
a+1, zj a,zj a+1, zj a+1,zj a+2, zj a+1,zj
• a r© +...+a • 1 P • r(§)*
a+2, zj a+2,zj mzj m-1,zj mzj mzj
_ a • r© - (a * - a * )r©
a+1, zj a,zj a+1, zj a+2, zj a+1,zj
- (a * - a * )r© -... -
a+2, zj a+3, zj a+2,zj
- (a * - a * )r© a * r©,
m-1, zj mzj m-1,zj mzj mzj
(14)
Из анализа выражения (14) следует, что величина Q^ будет принимать максимальное значение в случае, когда все элементы aj , i = а +1, m будут равны 1:
Q* = r© - r© < r© (a* = 0) (15'
a a,zj mzj a,zj a zj ’ v '
причем знак равенства в формуле (15) будет тогда
(£)
когда rvs; . =1. Неравенство (13) доказано.
mz j
Физический смысл неравенства (13) состоит в том, что
величина r© (a* = 0), равная количеству дво-
a,zj azj
ичных комбинаций, составленных из (m-a +1) элементов при условии a * = 0 и числе серий, равном
a zj
Р©, будет больше, чем значение кода-номера Q^ двоичной последовательности с такими же параметрами.
Покажем, что для значения кода-номера Q а двоичной последовательности из (m-а +1) элементов с начальным элементом, равным aауj =1, и числом серий р© выполняется неравенство
Qa ^ r® ■ (a* j = 0) (16)
a,z j a zj У У
Действительно, неравенство (16) выполняется. Это следует из того, что в силу лексикографического
правила [3] при равных (m-a +1) и р© наибольший
код-номер соответствует последовательности, у которой а -й двоичный элемент равен 1. Значит, минимальное значение кода-номера двоичной последовательности с aауj =1 будет равно максимальному, увеличенному на единицу значению кода-номера с начальным элементов, равным 0. Такой величиной в соответствии со своим физическим смыслом является r© (a* = 0). Неравенство (16) доказано.
a,zj azj
На основе доказанных неравенств (13) и (16) следует, что Qa > Q*a . Это противоречит выдвинутому предположению. Следовательно, из равенства кодов-номеров N(S©, ©(^g)) = N(S©, ©(^g))* следует равенство их элементов ai у j = ai у j , где i = 1,my. Аналогичным образом доказывается единственность кодов-номеров N(^z^), ©^g^) для остальных допустимых зон.
Теорема о взаимооднозначности представления двоичных полиадических чисел с ограниченным количеством серий единиц доказана.
9 7
BE, 2005, 1 4
Доказанная теорема показывает, что существует обратное преобразование , на основе которого мож-
но восстановить исходные двоичные полиадические числа с ограниченным количеством серий единиц без внесения погрешности.
Рассмотрим восстановление двоичных данных. Для этого необходимо доказать теорему.
Теорема о поэлементном восстановлении двоичных полиадических чисел с ограниченным количеством серий единиц. Исходный массив двоичных
данных = {а- } —, представляющий собой
1 lzJ
двоичное полиадическое число с ограниченным числом серий единиц, можно восстановить без внесения погрешности на основе значений кода-номера
N(m, Л, S)j , ограничений на позиции единиц
Л= { Х4=1^ и на количество серий единиц § по
системе выражений:
aizj = s1gn(1+s1gn(Gi_1,ZJ -
v (<;=z-1)
£ f!zj)); (17)
4=1
f(4) =_
izj
(mz - i+1)!
( Pizj)! (mz -1+1“Pi^i)! ф=z+1
(4)
Z
П V(S
(§) @(^?))
(18)
V(S
Й)
Ф
©(??))
________(m ф+1)!_______
(2S<4)! (mф+1 -23® )! , (19)
где c, - количество зон на z -м шаге обработки, совпадающих с соответствующими зонами обрабатываемой последовательности, т.е. выполняется
условие a£° = Aj, где а = 1, q. При этом на z -м
шаге восстановления q = z -1; v (q = z -1) - количество векторов @(§), удовлетворяющих условиям допустимости, для которых выполняется равенство A^-* = aJ, где а = 1, q ; aizj - ij -й элемент z -й допустимой зоны обрабатываемой последовательности; р(4)
zj
рекуррентный параметр, равный:
- количеству двоичных перепадов (переходов между «0» и «1») для последовательности, состоящей из (mz - i+1) необработанных элементов, если a-z j = 0;
- уменьшенному на 1 количеству двоичных перепадов для последовательности, состоящей из (mz -i+1) необработанных элементов для aizj =1:
Р
й)
i—1, z j
d«) Pi-1, zj
ai—1, zj aizj + (ai—1, z j aizj ) ;
a
= 0.
0 jz
(20)
P0z j - начальное значение параметра P-z j , равное p0z*j = 24?); G-zj - остаточное значение кода-
номера N (m, Л, 4j на i -м шаге обработки для z -й зоны J -й двоичной последовательности 9 8
Gizj _Gi-1,zj ai
izJ
v (?=z _1) (£* Z f(§) 4=1
izj >
G0, z+1,j _Gmizj; G0zj _ N(m,S*j ; (21)
G0zj, G0, z+1,j - начальные значения остаточных кодов-номеров соответственно для z -й и (z +1) -й зон; fz J - количество двоичных последовательностей, у которых i -й элемент равен нулю aizj = 0;
V(44 ©й? *) - количество двоичных подпоследовательностей, полученных для z -й допустимой зоны
по количеству серий единиц, равных 4^ для вектора @(^q*; N(44 ©(^? *) - количество комбинаций длиной mz элементов с числом серий единиц 4^
для вектора © *= , предшествующих z -й зоне обрабатываемой последовательности.
Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся неравенствами (13) и (16). Из них вытекает, что:
- если восстанавливаемый i -й элемент равен единице aizj =1, то величина risi, вычисленная в предположении, что a*zj = 0 , не будет превышать остаточного значения Qi—1,zj кода-номера N(44 ©(^g)) на (i -1) -м шаге восстановления:
Qi_1,zj > 44a* i = 0).
izj izj
(22)
- если восстанавливаемый элемент равен нулю aiz j = 0 , то величина ris; , равная количеству двоичных последовательностей, у которых первые (i -1) элементы совпадают с элементами исходной последовательности, а i -й элемент равен нулю, будет не меньше, чем остаточное значение кода-номера
N(44 )), т.е.
Qi 1, z j
< r® (a• izJ izj
0) - 1
(23)
Отсюда следует, что если на i -м шаге восстановления выполняется неравенство (22), то восстанавливаемый элемент равен 1, т.е. aizj =1. Наоборот, в случае выполнения неравенства (23) восстанавливаемый элемент равен нулю, aizj = 0 . Значит, для взаимооднозначного восстановления исходных элементов необ-
г(4)
ходимо на каждом шаге вычислять величину I-zi, • izJ предполагая, что a -z j = 0 , и сравнивать ее значение с
остаточным значением Qi-1,zj кода-номера N(44 ©(^? *). Поскольку операция сравнения является операцией не арифметического типа, то на ее выполнение требуется затратить несколько арифметических операций. В связи с этим для уменьшения количества машинных операций предлагается разложить операцию сравнения на две операции проверки
BE, 2005, 1 4
знака разности между величинами Qi-1,zj и r(?) (а• = 0).
Izj izj
aizj = sign(1+slgn(Qi_i j - r(?). (a* . = 0)). (24)
1 = 1> mz .
Исходя из своего физического смысла, величина
r(^) (а* = 0) находится по формуле
izj izj
r® (а*
izj izj
0) =
(mz -i +1) !
( P(zj)!(mz -i +1 -P(§)!’ (25)
где piz j - рекуррентный параметр, равный количеству двоичных перепадов (переходов между «0» и «1») для последовательности, состоящей из (mz - i +1) необработанных элементов в предположении, что aizj =0 . С учетом этого величина p(|j на i -м шаге восстановления равна
0«) - в(4) .
Рizj - Pi-1, zj
ai_i z j _ a • ■
i 1,zj izj
= P(-lzj -ai-1, zj , (26)
где Pi_1 zj - величина, равная количеству двоичных перепадов для последовательности, состоящей из (mz - i + 2) необработанных элементов, вычисленной с учетом восстановленных (i -1) элементов.
(£)
Для получения величины Pi_1 zj используется рекуррентное выражение
Pi-1, zj Pi-2, zj I ai-2, zj ai-1
-R©
zJ
(27)
На основе (26) и (27) осуществляется рекуррентное
определение величины Pi
(4)
zJ •
Полученное выражение (24) напрямую нельзя использовать для восстановления элементов aizj. Это обусловлено тем, что по условию теоремы заданным является значение кода-номера N(m, Л, О). всего двоичного полиадического числа с ограниченным количеством серий единиц, а не значение кода-номера
N($z^, ©(^?)), вычисленное для отдельной допустимой зоны только по количеству серий единиц. Поэтому необходимо преобразовать соотношение (24) относительно остаточного значения Gi_1, zj кода-номера N(m, Л, Q)j. Для этого представим остаточное значение Gi_1, zj в виде выражения, состоящего из двух слагаемых:
Gi-1, zj
v (q=z-1)
E Qi-1, zj
4=1
Z
П V(sjP, ©(^)) +
ф=z+1
Z
+ e
a=z + 1
v (q=a-1)
e
N(S®, ©(??)
4=1
Z
) П V(S® ©(^))
ф=а+1
(28)
яв-
v(q =z-1) Z (?) (, )
Слагаемое E Qi—1, zj П V(^ , ® ? )
§=1 ф=z+1
ляется количеством двоичных последовательностей, предшествующих восстанавливаемой последовательности, у которых с исходной последовательностью совпадают соответствующие первые (z -1) зоны и первые (i -1) двоичные элементы z -й зоны. Второе слагаемое
Е Е N(0®, ©(^)) п V(of, ©(^))
a=z + 1 4=1 ф=а+1
численно равно количеству двоичных последовательностей, у которых первые z зоны совпадают с исходной последовательностью. Чтобы на основе остаточного значения Gi_1, zj восстановить исходный элемент aizj, необходимо установить пороговую величину КПОр . В этом случае значение элемента aizj будет определяться по результату сравнения величин Gi-1, zj и Кпор . Для этого умножим величины Qi_1,zj
и r® (a* = 0) на весовой коэффициент
izJ izj
п V(d®^), ©(^))
ф=z+1
и просуммируем их для различ-
«с )
ных векторов ©'Л‘’; , составленных из величин ^z^) , сумма которых равна 9 . Тогда величинам Qi—1, z j и
r«).. ... .
т соответствовать следующие
ris;. (a- . = 0) буду izj izj vyuy
izJ izj выражения:
v (q=z-1) Z (t )
EQi-1,zj П V(sjP, ©(^)).
4=1 ф=z+1
(29)
v (q=z-1)
£ J'izj -0)+<y>. (30) Подставив в формулу (30) выражение (25) для вели-
чины r®. (a* = 0), получим
izJ izj
(mz - i+1)!
Z
П V(sR ©(§?))
v (q=z-1)
E —
4=1 ( Pizj )! (mz -i+1-p(zz)j)! Ф=z+1
(31)
По условию теоремы данное выражение определяет
v (q=z-1)
(£)
величину E f. . . При этом выполняемые пре-
4=1 izj
образования не влияют на результат сравнения величин Qi-1 z j и r®. (a* = 0). Отсюда, следует, что izj izj
если неравенство (22) будет выполняться для величин
Qi-1 z j и r® (a* = 0), то будет выполняться нера-
’ izj izj
венство между величинами
v(q=z-1) Z (f) (? ) v(q=z-1)
E Qi-1, zj П V(0®, ©(^)) и E
4=1 ф=z+1 4=1 izj ’
9 9
BE, 2005, 1 4
v(q=z-1) Z ,,, ) v(q=z-1)
Z Qi-i, zj П V(3®, ©(^)) > E f®
4=1 ф=z+1 * 4=1 izj '
(32)
С другой стороны, согласно формуле (28) верно неравенство
v(q=z-1) z (f) (? )
Gi-1,zj * Z Qi-1,zj П М0, ©(^)).(33) 4=1 Ф=z+1
Тогда с учетом соотношений (22), (32) и (33) в случае равенства aizj=1 между величинами Gi-1, zj и
V fG)
^^1 izj выполняется неравенство
v (? = z-1)
,zj ^ Е fizj . (34)
Z
Gi-1, zj
E f®
(35)
i'v (q=a-1) Z (£ ) ^
Z П V(sjp,©(^)) -1
4=1 Ф=z+1
(36)
(v(q=a-1) Z (f) (£ )
Z П V(sf, © ^))
4=1 ф=z+1
-1
4=1
тель
Z
П V(S®,©(^)),
b=z+1
получим
v(q=z-1) (f) Z (f) (? )
< Z rG)(a* , = 0) П V(3G), ©(§?))
4=1 izj izj ф=z+1 Ф •
Следовательно, если значение восстанавливаемого элемента равно 0, т.е. aizj = 0, то выполняется неравенство (34), и наоборот. Поэтому величина
v (?=z _1) (4)
Z f ■ может быть использована как пороговое
4=1 izj
значение K Пор для взаимооднозначного восстановления исходной последовательности
G , > У
Ui-1,zj - Z. 1izj .
4=1 izj
Покажем теперь, что из выполнения (23) вытекает неравенство
v (<;=z-1)
v (q=z-1)
aizj = 0, если Gi-1, zj < Z
4=1
v (<;=z-1)
aizj = 1, если Gi-1, zj — E f
4=1
f (4)
izj
(4)
izj
(39)
4=1 izj •
Для его доказательства сравним выражения (28) и (31). На основе соотношений (23) и (24) выполняется неравенство
v(с=а-1) Z ,r ч Z ,г ,
Е Z N(3G),®(§?)) П V(^G^),©(^)<
4=1 a=z+1 ф=а+1
Преобразовав выражение (24) в соответствии с системой формул (39), получим искомые соотношения (27) - (29).
Физический смысл величины Gi _1 zj заключается в том, что она является количеством допустимых двоичных последовательностей, предшествующих обр а-батываемой последовательности и обладающих следующими характеристиками: первые (i-1) элементы совпадают с соответствующими исходными элементами a у zj, у = 1, i-1; количество двоичных перехо-
дов в z-й зоне равно
r(4) .
А • 5
У ,zj
количество серий единиц
в оставшихся зонах равны величинам
С учетом неравенства (3 6) верхней границей остаточного значения Gi_1, z j будет следующая величина:
Gi-1,zj z Е Qi-1,zj П V(s<p, ©^)) +
4=1 ф=z+l
(37)
Объединив в выражении (37) два слагаемых под знак
v (q = a-1)
суммы Е и вынеся за скобки общий сомножи-
(q = z + 1, Z), принадлежащим допустимым векторам
©(^).
Для определение величины Gi_1, zj на очередном (i + 1)-м шаге восстановления необходимо доказать
Z
равенство между (r® rG).) П V(S*p, ©(^g))
i“1’zj i’zj ф=z+1 Ф
и fi(z )j при условии, что на i -м шаге обработки восстановленный элемент равен единице. Для этого
докажем сначала равенство величин r® (a* ^ = 0) и
(£) (^) (^) izj izj р. . = (r. , . -.) при aizj = 1. Распишем форму-
i,zj i—1,z j i,z j J
лу для вычисления величины р i z j в соответствии с соотношением (16):
vG=z_1) Z (f) (t )
Gi-1, zj * Z (Qi-1, zj +1) П V(3®, ©(^)) -1
4=1 ф=z+l
(38)
Тогда поскольку в соответствии с неравенством (23)
Qi_1 z j Z rG) (a* . = 0) - 1 для aizj =0 , то izj izj
Gi-1,zj ^ z (Qi-1,zj +1) n v(s®, ©(^)) -1 <
4=1 ф=z+l
p® = izj
(mz -i + 2) !
( Pi-i, zj)! (mz - і - 2-Р&У)!
(mz -i + 1) !
( Pj (mz -i + 1 -Pizj)!'
(4)
(40)
Применим выражение (27) для i -го шага обработки и перепишем его для величины Р;_1 zj относительно величины P1(^,)j:
Pi E,zj=PiV |ai-1, zj - aizj
100
BE, 2005, 1 4
С учетом условия a;zj -1 последнее соотношение приметвид
R© _R© , |_ 1 _
Pi-1, zj _ Pi z j + I ai-1, z j 11 -
p(s+1>
если ai_i z j = 0;
PG),
pizj ’
если ai_i, zj =1.
Рассмотрим случай, когда ai-1, z j _ 0. Тогда согласно системе (41) величина будет равна
iz j
р®. =
(mz -i + 2) !
izj ( P(z)+1)! (mz -i + 1-P(!))!
(mz -i + 1) ! =
( pj (mz - і + 1 -pg)!"
(mz -i + 2)! - (mz -i +1) ! ( p(z)j +1) ( pj 1)! (mz - i + 1-p(z)j)!
(mz -i + 1) !
( pg+1)! (mz -i +1 -PI(z)j)!
((mz -i + 2) -
Получим выражение для величины р(^*. при
izj
ai-1, zj =1. В этом случае выражение (40) на основе системы (41) примет вид
рЙ) = (mz -1 + 2)!
izj ( Р(z))!(mz -i + 2-Р^)!
izj
(mz -i +1) !
( Р§)! (mz -i + 1-P|z])!
(mz -i + 1) !
( Pj (mz -i + 2-P§)!
((mz -i + 2) -
- (mz -i + 2-pg)) =
_______(mz - i + 1) !_
( pg-1)! (mz -i + 2 -Pdj)!-
пЙ) _ RЙ) , |„ я. .
pizj _ Pizj + I ai-1,zj aizj
ai-1, zj a:
izj
(£) I I
= Pizj + I ai-1, zj _ 1 _ ai-1, zj .
(44)
Тогда
n(§) — R Й) , |_ 1 _
Pizj _Pizj + |ai-1, zj 1 ai-1, zj -
BE, 2005, 1 4
p ^
если ai_1, zj = 0;
P- 1,
pizj
(45)
(41)
если ai_1, zj =1.
Отсюда согласно соотношению (45) величина rizj (a*izj = 0) для ai-1, zj = 0 и ai_1, zj =1 будет соот-
izj
ветственно равна
rG) (a* = 0) =
izj izj
(mz -i+1)!
( Pg + 1)! (mz -i + 1-p(zj)! если ai_1,zj = 0 ;
(mz -i+1)!
( pg - 1)! (mz -i +1-p§)!’ если ai_1,zj =1.
(46)
_ ( r (z) +1)) _--—iHU-----------
( Pizj )) ( Pgj+1)!(mz -i -P(z)))!- (42)
Сравнивая выражения (42), (43) и (46), полученные
p(^) (4) , •
соответственно для величин p■ _ j и r w (a = 0),
izj izj izj
приходим к выводу об их равенстве при условии aizj =1. Умножим теперь величины и
rizj (a izj = 0) на весовой коэффициент
Z
n v<sG), ©(§g))
(43)
Определим теперь величину r(^) (a* = 0) для слу-
izj izj
чаев ai-1, zj = 0 и ai_1, zj =1. Для этого на основе
формул (26) и (27) выразим величину pizj через рФ-
izj
и получим величины
ф=z+1
Z
(r(§) _r(§) ) ^ V(4(^) ©(^g)) (£) /-л
(ri-1,zj ri,zj) ф]]+1^Ф ’ 0 ) и Є Отсюда
приходим к выводу о равенстве этих величин для условия aizj =1. Поскольку на каждом шаге восстановления к количеству фиксированных элементов добавляется еще один элемент, то множества двоичных последовательностей, предшествующих исходной, являются взаимонезависимыми. Поэтому на основе выражения (28) значение кода-номера N(m, Л, Q)j можно выразить через сумму величин Gi-1,zj, i = 1, m. Представим выражение для кода-номера N(m, Л, Q)j как сумму слагаемых:
Z V(<;=z-1) (S) (, )
N(m,Л,3). = Z Z N(^4 ® q )х
z=1 4=1
Z
x п v<sg, ©(§?))=
ф=z+1
Z v(q=z-1) mz (?) (?)
= E E Eaizj(rg . -r.(j x
=1 i=1 izj i-1,z j i,zj
z=1 4=1
Z
П
i=z+1
Z
П v<sG), ©(§?)) =
v(q=0) m1
Z
. ,.)
p1j ф=2
Z
x za-,. (rG) -rG)) П V(Si?), ©(^)) +
^ i1j v i-1,1j i,1i f-A„ v Ф '
v (?=1) m2 (? )
+ £ ,?><г®2гj)3v<95^>,®<v>-
1 0 1
r(4)
- r®.)
v (q=z-1) mz
+... + ^ Z aizj(r-, ■ - ■
^_1 i_1 iZj i_1,ZJ i,ZJ
Z
x П V(s®, ©(§?))+
ф=z+1
+... + ?aiZj(r^ - r® )
i=1 iZj i-1,Zj i,Zj •
(47)
Заметим, что первое слагаемое в соотношении (47) можно записать как сумму:
v(<;=0) m1 2 2 ani(r
(4)
4=1 i=1 i1J i_1>1J i’1J ф=2
v (s=0) ... ... Z
-r.®.) П V(3®, ©(§?)) =
= a
11J
Z (r®- r®) П V(SjP, ©K?)) +
4=1
01 ■ 11 ■
h=2
v(q=0) m1
+ Z Z a (r® -r®) П V(S<jP, ©(§?))
4=1 y=2 ® y_1’1J y1J ф=2 ф .
При этом замечаем, что согласно соотношению (27) второе слагаемое правой части полученного выражения равно Guj . С учетом этого выражение (47) примет вид
N(m,Л,О)■ = a../ Z°} (r® -r®) П V(sR ©(§?)) =
V 'J 11J ^ 01J 11/ Д Ф
+ G11J. (48)
Продолжая преобразования в соотношении (48), получаем
v(S=0) Z
У і
4=1 '01J 1J ф=2
Z
N(m,Л,S)j = a11j ^ -r®) П V(S®, ©(^) +
+ a21j V Z0) (r® -r®.) П V(0®, ©(§?)) +
J 4=1 11j 21j ф=2 Ф
+...+ a ,/^0) (r® -r® ) П V(sR ©(??)) +
m11j /і. mi -1, 1j mi1j f ^ Ф
4=1 m1 -1’1J m11J ф=2
v (q=z-1)
+... + a
i-1, z, J
Z (r('
(4)
- r® .):
4=1
i - 2, z, J i-1, z, J
n v(s®, ©(§?))-
ф=z+1
v (q=z-1)
+ a. ■ Z
i, z, J
’ 4=1
(r
(4)
- r
i—1,z, J i, z, J
® ) n v(s®, ©^))+
ф=z+1
+ Gizj. (49)
Поскольку в соответствии с формулами (42), (43) и (46) для случая aizj =1 величины
Z
(r® _r® ) ^ V(S(p), ©^?)) и f® равнымеж-
i “1,zj .,zj ф=z+1 Ф izj
ду собой, а в случае aiz j - 0 различия между ними не
влияют на значение кода-номера N(m,Л,S)j , то соотношение (49) примет вид
v (S=0) v (?=0)
N(m, Л, О) J = a11J
^ f11J + a 21J ^ f 21J +
4=1 J J 4=1 J
+...+a
v (S=0)
у f
m11J m11J
+... +
< •Г) II N 1) < кГ) II N 1
у 1-1, z і 4=1 f. , . + a. . i-1, zj izj Z f- ■ + Gizj ^ iz і izj 4=1
(50)
v (q=0) v (q=0)
N(m, Л, &) j = a11j g f11j + a 21J Д f 21J +
v (q=0)
+ ... + am11j Z fm11j +...+
+a.
i-1, zJ
v (q=z-1)
Z f- і ■ + Gi_1 zj.
i-1, z і i 1, zJ 4=1
(51)
Сравнивая соотношения (50) и (51), получаем равен-
v (q=z-1)
ство Gi-1, zj = GizJ + aizj Z fizj, откуда по-
J 4=1 J
лучаем выражение (21) для рекуррентного нахождения величины G.zj . Теорема о поэлементном восстановление двоичных последовательностей доказана.
Следствие. Из доказанной теоремы вытекает, что если на i -м шаге восстановления z -й допустимой зоны остаточное значение равно 0, т.е. Gi_1, zj = 0 , то все не восстановленные элементы будут также равны нулю a у zj = 0, у = i,mz и a уа j = 0, а = z +1, Z у = 1, ma.
Выводы
Впервые разработано взаимооднозначное декодирование двоичных полиадических кодов с учетом ограниченного числа серий единиц без внесения погрешностей. Это декодирование обеспечивает восстановление исходных массивов двоичных данных в реальном времени. Практическое значение результатов исследования состоит в том, что данное декодирование проводится в реальном времени на универсальных средствах обработки.
Литература: 1. Ватолин В.И., Ратушняк А., СмирновМ., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. М.: ДИАЛОГ - МИФИ, 2002. 384 с. 2. Зубарев Ю.В., Дворкович В.П. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений. М.: Международный центр научной и технической информации, 1997. 212 с. 3. Баранник В.В. Метод двумерного структурного кодирования двоичных даннях // Радиоэлектроника и информатика. 2003. №1. С. 109 - 112. 4. Баранник В.В., Юдин А.К.. Двоичное полиадическое кодирование по числу серий единиц // Радиоэлектроника и информатика. 2005. №2. С. 56-63.
Поступила в редколлегию 22.06.2005
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Поляков П.Ф.
Баранник Владимир Викторович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник научно-исследовательского отдела Харьковского университета Воздушных Сил. Научные интересы: обработка и передача информации. Адрес: Украина, 61023, Харьков - 23, ул. Сумская, 77/79, тел. 704-96-71.
Юдин Александр Константинович, канд. техн. наук, доцент, заместитель директора института права и безопасности предприятия Европейского Университета. Заведующий кафедрой “Комплексные системы защиты информации”. Научные интересы: обработка и передача информации. Адрес: Украина, Киев, тел. 8-044-276-58-01.
102
BE, 2005, 1 4
