CC BY
31
УДК 539.3+519.6
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА ПО ДИАГРАММЕ
ЧИСТОГО ИЗГИБА
© 2008 В.В. Стружанов1
В работе рассмотрена обратная задача определения свойств материала балки прямоугольного сечения по приближенной зависимости крутящего момента от кривизны, полученной в эксперименте при чистом изгибе. Установлена некорректность задачи. Приведены методы регуляризации неустойчивого решения.
Работа поддержана грантом РФФИ (проект №07-01-96087)
Ключевые слова: балка, чистый изгиб, восстановление свойств материала, некорректная задача, регуляризация, саморегуляризация.
Введение
В механике деформируемого твердого тела существует проблема достоверного экспериментального определения свойств материала на всех стадиях его деформирования и особенно на закритической стадии. Непременное условие эксперимента состоит в сохранении образцом однородного напряженно-деформированного состояния, что не всегда удается осуществить. Например, при растяжении стандартного образца из пластичного материала появляется так называемая шейка, и напряженное состояние становится трехмерным.
Одним из возможных путей решения этой проблемы является проведение испытаний специальных конструктивных элементов по специальной программе с последующим пересчетом данных эксперимента на свойства материала.
Такие задачи определения количественных характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений представляют так называемые обратные задачи, часто возникающие в физике, технике и других
1 Стружанов Валерий Владимирович (stru@imach.uran.ru), Институт машиноведения УрО РАН, 620219, Россия, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34.
отраслях знаний. Как правило, они относятся к классу некорректных задач [1,2].
В данной работе рассматривается конструктивный элемент в виде балки прямоугольного сечения и решается задача о восстановлении диаграммы деформирования материала по зависимости изгибающего момента от кривизны, полученной в результате эксперимента при чистом изгибе балки.
1. Основные уравнения и постановка задачи
Рассмотрим чистый изгиб балки прямоугольного поперечного сечения с высотой к и шириной Ь. При этом в балке имеются только перпендикулярные к поперечным сечениям продольные напряжения о, а продольные деформации е линейно распределены по высоте балки. Полагаем, что зависимость напряжений от деформаций при сжатии симметрична относительно начала координат зависимости о(е) при растяжении. Тогда нейтральная плоскость, где е = 0, не меняет своего положения при изгибе и проходит по середине балки. Поэтому деформации наиболее растянутых и сжатых
кк
волокон соответственно равны ех = е = —, ег = —е, где к — кривизна балки.
Уравнение чистого изгиба, связывающее изгибающий момент М и кривизну к, имеет вид [3]
к/г 2
2Ь Г
— ео(е)с?е = М. (1)
к2 J
0
Если известна зависимость о(е), то подставляя ее в уравнение (1), находим зависимость М(к) (прямая задача).
Поставим обратную задачу, формулировка которой заключается в следующем: по известной зависимости М(к), полученной из эксперимента, требуется определить зависимость о(е), характеризующую свойства материала балки.
2. Сеточный аналог уравнения изгиба
Перейдем от уравнения (1) к системе линейных алгебраических уравнений. Перепишем уравнение (1) в виде
е
^ ео(е)йе = Ф(к), (2)
0
к2 А/(к) _
где Ф(к) = -. Введем на отрезке [0,ег] сетку узлов е,- = И, I = 1 ,п,
2Ь
п1 = ег. Здесь I — шаг разбиения, ег —предельная деформация наиболее растянутых волокон, полученная в опыте. Представим теперь уравнение (2)
в виде системы уравнении
е-
ео(е)с?е = Фу, ] = 1 ,п.
и
1=1 „
Отсюда находим, что
ео(е)^е = Ф- - Ф,_1. (3)
Здесь мы принимаем ео = 0, Фо = 0.
Полагаем, что зависимость о(е) на отрезке [е,--1, е-] линеИна с углом наклона а,-, то есть о = о,- + а(--1(е-е—1), где е-1 ^ е ^ е-. Подставляя данное выражение для о в уравнение (3), после интегрирования и некоторых преобразовании получаем систему линейных алгебраических уравнении
1(аг_! - Е^.0(4 - е1х) + - е]_х) = Фг - Фг_ь
Здесь полагаем Е?_ 1 = а,-. Отсюда следует, что
*-9-
1
= 3[2(ФШ-Ф¡) - д(е?+1 - ф]
2е3+1 - Зе;е2+1 + е3 ( )
-+1 1 -+1 1
о1 = Е^еи (6)
о-+1 = Ере1 + ^ ЕРк(ек+1 - ек). (7)
к=1
Вычисления производим следующим образом. Сначала находим значе-кг
ния К; = —, где кг — предельная кривизна. Затем по диаграмме М(к) опре-п
деляем значения М-. Для точек (к-, М-) вычисляем величины Ф- и е-. По формулам (4) и (7) получаем Е^ и о1. Подставляя теперь значения Ф1, Ф2, е1, е2, о1 в формулу (5), находим величину Е^ и по формуле (7)—величину о2. И так далее. Наконец, по результатам вычислений восстанавливаем диаграмму деформирования о(е) материала.
3. Пример
Пусть известна точная зависимость о = оа(е):
оа(е) =
2 ■ 104е, (кГ/мм2), 0 < е < 0,003;
60 + 104(е - 0,003), (кГ/мм2), 0,003 < е < 0,006;
90 - 3 ■ 104(е - 0,006), (кГ/мм2), 0,006 < е < 0,009.
Для балки высотой 2мм и шириной Ь = 1мм по формуле (1) вычисляем точные значения изгибающего момента:
( 4
- • 104к, (кГмм), 0 ^ к ^ 0,003;
3 2 1
Ма(к) = I 30 + ^ • 104к - 9 • 10~5—, (кГмм), 0,003 < к < 0,006; (8) 3 к2 1
270 + 2-104к-297-10"5 — , (кГмм), 0,006 ^ к ^ 0,009.
к2
Решим теперь обратную задачу, применяя формулы (4)—(7). Для этого получим набор значений (к,-, М;) для некоторого шага разбиения по к. Сначала, используя выражение (8), находим М, = Ма, = Ма(к,), причем значения Ма, рассчитываем как можно более точно, оставляя большое количество значащих цифр после запятой (более шести). Тогда из расчетов по формулам (4)—(7), вне зависимости от шага разбиения, получим практически точную диаграмму о = оа(е).
Однако в эксперименте зависимость М(к) измеряется приближенно, то есть М(к) = Мд(к) ф Ма(к). Моделируя данную ситуацию, определим приближенные значения М, = Мд,, используя только целые числа в соответствующих значениях Ма, (отбрасываем все числа после запятой). Для иллюстрации качественного характера решения обратной задачи при неточном задании величин М,, проведены рассчеты для нескольких значений к, начиная с к = 0,003 и Мд = 40 с шагом по к, равным 10-4. Результаты вычислений показаны на рис. 1, где пилообразная ломаная, изображенная
а
60
'51.5
Ех10
30
31
32
33
34
35
Рис. 1. Пилообразная ломаная, полученная при расчете приближенной зависимости Мд(к)
пунктиром, есть результат решения обратной задачи (сплошная линия — точная зависимость напряжений от деформаций, числами обозначены величины напряжений). Очевидно, что полученная пилообразная ломаная не имеет ничего общего с зависимостью оа(е).
Причина появления данного решения при неточном задании исходных данных заключается в том, что уравнение (1) представляет собой инте-
гральное уравнение Вольтерра первого рода, которое является ярким примером некорректной задачи [4]. Для некорректных задач не выполняется третье условие корректности по Адамару, а именно, сколь угодно малым возмущениям исходных данных соответствуют большие изменения решения. Отсюда и возникают решения в виде пилообразных функций [1].
4. Регуляризация
Пусть функция оа(е) принадлежит некоторому множеству функций F. Диаграмма оа недоступна для прямого измерения и известно только ее проявление Аоа = Ма. Здесь А — интегральный оператор, стоящий в левой части уравнения (1), Ма е AF, где А¥ — образ множества F при отображении, осуществляемом данным оператором. Очевидно, что уравнение Ао = М имеет решение на F только для таким М, которые принадлежат множеству AF. Величина изгибаемого момента, измеряемая в опыте при чистом изгибе балки, известна приближенно. Пусть Мд — приближенное значение. Тогда речь может идти лишь о нахождении приближенного к оа решению уравнения
Ао = Мд. (9)
При этом Мд, вообще говоря, не принадлежит множеству AF.
Обратный к интегральному оператор не является непрерывным [1]. Поэтому в качестве приближенного решения нельзя брать функцию о = А-1 Мд, так как, во-первых, такого решения может не существовать на множестве F, поскольку Мд может не принадлежать множеству AF (не выполняется первое условие корректности по Адамару), во-вторых, такое решение, даже если оно существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратный оператор не является непрерывным (не выполняется третье условие корректности).
Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач основывается на дополнительной информации относительно решения. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (9) является метод подбора [1]. Он состоит в том, что для элементов о некоторого заранее заданного подкласса возможных решений В с F вычисляется оператор Aо, то есть решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент о0 е В, на котором невязка р^о, Мд) достигает минимума, то есть
р^о0, Мд) = М р^о, Мд).
оеВ
Здесь р^о0, Мд) расстояние между элементами Aоo и Мд в некоторой метрике.
Применим метод подбора для решения нашей задачи. Приближенное решение будем искать среди функций о^(е), графики которых расположены между верхними и нижними точками пилообразной ломаной. Решая
прямую задачу для всевозможных таких функции, получаем зависимости Мк(к). В качестве приближенного решения следует взять элемент о* такой, что отвечающее ему решение прямой задачи М*(к) для каждого к удовлетворяет неравенству
|М*(к) - Мд(к) < 6|, (10)
где 6 — наперед заданная малая величина.
Осуществим построение приближенного решения, применяя следующий алгоритм подбора. Пусть до точки С приближенная диаграмма о(е) известна и из этой точки выходит ломаная СИЬК, являющаяся частью оставшейся несглаженной пилообразной ломаной (рис. 2).
Разбиваем отрезок ИЬ точками с^ (] — достаточно большое число) и решаем прямую задачу для диаграмму ОРСс^. Из полученного множества зависимостей М^к) находим ту, которая удовлетворяет неравенству (10). Таким образом определяется точка с* (рис.2) такая, что прямой расчет с использованием диаграммы ОРСс* дает кривую, достаточно близко расположенную к кривой Мд(к). Далее процесс повторяем с тем изменением, что вместо точки С берем уже точку с*. Реализуя данный алгоритм при 6 = 0,1, получаем диаграмму о*(е), которая незначительно отличается от диаграммы оа(е).
5. Саморегуляризация
В теории уравнений Вольтерра первого рода хорошо известен стабилизирующий эффект процедуры дискретизации, который получил название саморегуляризирующего [4]. Он основан на том факте, что задача восстановления приближенного дискретизированного решения уравнения Вольтер-ра первого рода устойчива к возмущениям правой части и, следовательно,
существует такой шаг разбиения I, при котором получается достаточно хорошее приближение к искомому решению [4].
Для иллюстрации этого эффекта возьмем шаг по к равным 10-3. Результаты расчетов по формулам (4)—(7) приведены в таблице.
Таблица
Значения точной зависимости оа(е) и прибиженного решения о*(е) в узлах сетки разбиения е, = г • 10~3(г = 1,9)
е 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009
а, 19,5 39 61,9 68 78 92 58 29,5 1,5
Оа 20 40 60 70 80 90 60 30 0
из которой видно, что расхождения между точной зависимостью и приближенным решением составляет около 3%.
В заключение отметим, что метод подбора требует определенного навыка, как трудно формализуемый метод. Саморегуляризация, вообще говоря, свободна от этого недостатка [4]. При решении обратных задач механики материалов, аналогичных приведенной выше, целесообразно пользоваться методом саморегуляризации, создавая соответствующие алгоритмы определения оптимального шага разбиения.
Литература
[1] Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 288 с.
[2] Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П.Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.
[3] Тимошенко, С.П. Механика материалов / С.П.Тимошенко, Дж. Гере. -М.: Мир, 1976. - 670 с.
[4] Апарцин,А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / А.С. Апарцин. - Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 193 с.
Поступила в редакцию 06/Ц/2008; в окончательном варианте — 06/Ц/2008.
RECOVERY OF A MATERIAL DEFORMING DIAGRAM FROM PURE BENDING DIAGRAM
© 2008 V.V. Struzhanov?
In the paper an inverse problem to determine material properties of rectangular cross-section bar due to the rotation moment — curvature approximate dependency obtained in pure bending experiment is considered. Incorrectness of problem is proved. Regularization methods for the unstable solution are presented.
Keywords and phrases: bar, pure bending, restoration of material properties,
incorrect problem, regularization, self-regularization.
Paper received 06////2008;
Paper accepted — 06/II/2008.
2 Struzhanov Valeriy Vladimirovich (stru@imach.uran.ru), Institute of Engineering Science, Ural Branch of Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620219, Russia.
