CC BY
43
УДК 539.3:519.6
В.В. Стружанов, Г.Л. Крахмальник
Институт машиноведения УрО РАН
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА ПО ДИАГРАММЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА БАЛКИ
Abstract
It is shown thaï inverse problem on computation of deforming diagram based on experimental data from test of the beem with rectangle cross-section on right bend is reduced to Г1 type Volterra intégral équation and it is ill-posed problem. Regularizing solution algorithm by selection method is developed
Введение
В механике деформируемого твердого тела существует проблема достоверного экспериментального определения свойств материала на всех стадиях его деформирования и особенно на закритической стадии. Непременное условие эксперимента состоит в сохранении образцом однородного напряженно-деформированного состояния, что не всегда удается осуществить. Например, при растяжении стандартного образца из пластичного материала появляется так называемая шейка, и напряженное состояние становится трехмерным.
Одним из возможных путей решения этой проблемы является проведение испытаний специальных конструктивных элементов по специальной программе с последующим пересчетом данных эксперимента на свойства материала.
Такие задачи определения количественных характеристик явления по результатам измерений их косвенных проявлений представляют так называемые обратные задачи, часто возникающие в физике, технике и других отраслях знаний. Как правило, они относятся к классу некорректных задач [1,2].
В данной работе рассматривается конструктивный элемент в виде балки прямоугольного сечения и решается обратная задача определения свойств материала по экспериментальным результатам, полученным при чистом изгибе.
Некорректная задача и метод регуляризации [1]
Пусть изучаемый объект характеризуется элементом zT, принадлежащим множеству F, Часто zT недоступен для прямого изучения, и исследуется некоторое его проявление AzT ~uT(ure. AF, где AF - образ множества F при отображении, осуществляемом оператором А). Очевидно, что уравнение
Az-u (1)
имеет решение на F только для таких элементов и, которые принадлежат множеству AF . Элемент и обычно получается путем измерений и потому известен приближенно.
Пусть иА - приближенное значение. В этих случаях речь может идти лишь о нахождении приближенного к гт решения уравнения
Аг = мд (2)
При этом иА, вообще говоря, не принадлежит множеству АР. Оператор А во
многих случаях таков, что обратный ему оператор А~' не является непрерывным. Например, оператор А представляет собой интегральный оператор. В этих условиях нельзя в качестве приближенного решения брать точное решение уравнения (1) с приближенной правой частью, то есть нельзя в качестве приближенного решения брать элемент г = А~1иА, так как, во-первых, такого решения может не существовать на множестве Г, поскольку иА может не принадлежать множеству АЕ (не выполняется первое условие корректности по Адамару), во-вторых, такое решение, даже если оно существует, не будет обладать свойством устойчивости, поскольку обратный оператор не является непрерывным (не выполняется третье условие корректности).
Возможность определения приближенных решений некорректно поставленных задач, устойчивых к малым изменениям исходных данных, основывается на использовании дополнительной информации относительно решения. Широко распространенным в вычислительной практике способом приближенного решения уравнения (2) является метод подбора. Он состоит в том, что для элементов 2 некоторого заранее заданного подкласса возможных решений ^cF вычисляется оператор Аг, то есть решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент 20 е В , на котором невязка р(Аг0,иА) достигает минимума, т.е.
р(Аг0,иА) = 1пГ р(Лг,и&)-
геВ
Здесь р(Аг0,ид) - расстояние между элементами Аг0 и иА в некоторой метрике.
Уравнение чистого изгиба
Рассмотрим чистый изгиб балки прямоугольного поперечного сечения, имеющего высоту к и ширину Ь .
м
/
м
Рис. 1. Распределение деформаций
В этом случае единственной ненулевой компонентой тензора напряжений будет продольное напряжение ах=а, а продольная деформация £х-£ линейно распределена по высоте балки (рис.1). Полагаем, что зависимость напряжений от деформаций а{е) одинакова для растяжения и сжатия. Тогда нейтральная линия не меняет своего положения при изгибе и проходит посередине балки, совпадая с осью Ох (рис.1). Отсюда £\=кН!2, е1=~ккИ> где к - кривизна балки, гх, е2 ~ деформации наиболее растянутых и сжатых волокон.
Уравнение чистого изгиба, связывающее изгибающий момент М и кривизну балки, имеет вид [3]
л*/2
2Ь J
о
~^<y(e)d£ = Щк). (3)
к*
Если известна зависимость а(е), то выражение (3) определяет зависимость М(/с) (прямая задача). Когда по известной функции М{к) необходимо найти функцию а(е) (обратная задача), то уравнение (3) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода.
Алгоритм решения обратной задачи
Пусть зависимость М{к) получена в эксперименте. Это может быть набор точек (Mk,JCk)> либо записанная с помощью какой-либо аппаратуры некоторая непрерывная кривая, которая, вообще говоря, может иметь и угловые точки. В любом случае в дальнейшем будем иметь дело с набором точек (Мк,кк), полученным с точностью, позволяемой экспериментальной аппаратурой.
Возьмем две точки, расположенные рядом (М. ,**,), (М/+] ,/г/+] ). Используя формулу (3), находим
\ж ¿1 KMhn Kihn ^+1^/2
Ммк1+] _
2 Ъ
j£(T(£)d£- ( ео(e)d£+ jea(£)d£,
О К ¡h / 2
МЖ;
K,h! 2
L-і- = jea(£)d£ .
2b
о
Вычитая из первого выражения второе, получаем равенство
кмИП
Т-Шм^м - м^?) = ¡£<т(£)с1£ (4)
2Ь кМ
Полагаем, что зависимость а(£) на отрезке [к^/2,кмк12\ линейна с углом наклона
а1, а именно, а = + tg а, (е - £г), где tg а7 = Е?, е,- = А / 2. Здесь Ер - касательный
модуль, который на стадии упругости равен модулю Юнга £\ Подставляя данное выражение для о в правую часть формулы (4) и производя необходимые действия и преобразования, находим
г7р , - М,к*) - <Г'(к?+1 - <)
2(4, -з*, **, + *?) и
Затем получаем
а = <У; + Е?(?сшИ12-к{ И!2), (6)
где кммг = емл к.НИ-е^
Начиная процесс вычислений с первой точки, где М] =0, аг, = 0, сг, =0, по формулам (5), (6) последовательно рассчитываем значения <71 и е], по которым восстанавливаем диаграмму деформирования материала а(е),
Пример
Решим сначала прямую задачу для балки высотой И - 2 мм и шириной Ь = 1 мм Свойства материала пусть заданы зависимостью (вставка на рис.2)
Ее> 0 <£<0,003;
Оу(Е) = ]б0 + Е[(е-0,003), 0,003<£<0,006;
90 + (£ - 0,006), 006 < є < 0,009;
где £ = 2 ■ 104 кг/мм2, ^ = 1 -104 кг / мм2, = -3 ■ 104 кг /мм2.
По формуле (3) вычисляем
Мт( к) =
— ■ 104к, 3
0 < к < 0,003;
30 + —♦ 104 к-9 • Ї0~5 к“2, 0,003 < к <0,006;
, , , 0,006 < к < 0,009;
270-2-10 к-297 -10 к %
Зависимость Мт(к) изображена на рис.2, кривая 1.
(7)
Решим теперь обратную задачу, используя формулы (5), (6). Для этого из выражений (7) получим набор значений (М1, к1) с шагом по аг, равным 0,0001, Если
величины М{ брать с точностью до шести знаков, то из расчета по формулам (5), (6)
получаем практически точную диаграмму <у(е) = ат(е).
Пусть измерение зависимости М(к) осуществляется в эксперименте приближенно. Моделируя данную ситуацию, оставим в значениях Мг только один знак
после запятой. Пересчет приближенной функции Мд(/г) в диаграмму <у(е) дает характерную пилообразную кривую (см. рис.З). Таким образом, уравнение (3) с интегральным оператором Вольтерра является некорректным, и для нахождения приближенного решения следует применить какой-либо метод регуляризации.
Проведем через верхние и нижние точки пилообразной ломаной линии кривые 2 и 3 (см. рис.З). Используя их при расчете изгибающего момента, получим кривые 2 и 3 (см. рис.2), лежащие соответственно выше и ниже экспериментальной кривой Мд(г).
Для определения приближенной зависимости о{€) применим метод подбора. В данном случае подкласс возможных решений В составляют функции ск(£), графики которых расположены между кривыми 2 и 3 (см. рис.З). Решая прямую задачу для всевозможных таких функций, получаем зависимости Мк{е), графики которых лежат между кривыми 2 и 3 на рис.2. Тогда невязка
р(Мк,МА) = \Мк(Ю-М^4<31 где 3~ заданная малая величина, которая определяет кривую М*(/г) и, следовательно, приближенное решение о*(£) уравнения (3).
Рис. 3. Пилообразная ломаная при пересчете приближенной зависимости МА(к)
Построение приближенного решения можно осуществить, применяя следующий алгоритм подбора. Пусть до точки С приближенная диаграмма а{е) известна, и из этой точки выходит ломаная СЫ()К (рис.4).
Разбиваем отрезок N<2 точками а - и решаем прямую задачу для
диаграмм ОЬСа] (у -
достаточно большое число). Из полученного множества М¿(к)
выделяем элемент М*, удовлетворяющий при лг =
неравенству (ку )-Мд(^ )| < 6.
Этот элемент определяет точку а.* такую, при которой прямой расчет с использованием диаграммы ОЬСа* дает кривую, достаточно близко расположенную к кривой МА(к) (кривая 1, см. рис.2).. Далее процесс повторяем с изменением, при котором вместо точки С берется уже точка £2*. В результате проведенных вычислений получаем диаграмму, изображенную на рис.З (кривая 1), которая практически не отличается от диаграммы ат(е). В заключение отметим, что кривая 1 на рис.З расположена практически посередине между кривыми 2 и 3.
і
Рис. 4. Схема алгоритма подбора
Библиографический список
1. Тихонов А.Н., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.-288 с.
2. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. - 206 с.
3. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. - М.: Мир, 1976.-670 с.
Получено 20.06.2002
