CC BY
38
№5 2007
539.3
ВОСЬМИУГОЛЬНЫЙ ОБЪЕМНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА
РЕЙССНЕРА
Канд. техн. наук, ст. препод. Н. А, ГУРЕЕЕА
Представлен обзор исследований в области профилирования и технологического сопровождения поршней двигателей внутреннего сгорания. Отмечены основные тенденции развития конструкций. Сделаны выводы, определившие круг задач, подлежащих решению для достижения цели снижения механических потерь путем профилирования и модификации боковой поверхности юбки поршня.
The review of researches in the field ofprofiling and technological support of pistons of explosion engines is presented. The basic tendencies of development of constructions are noted. The conclusions that define a spectrum of tasb to reaching the purpose of lowering mechanical losses by profiling and modifications in the lateral area of the piston skirt are drawn.
1. Основные соотношения трехмерной теории упругости. Деформации произвольно нагруженного тела в декартовой системе координат определяются зависимостями [1]
_ ди _ди dv
^ХХ ' Yxy -S *
дх ' ау дх
dv dv dw
__dw _Эи> ди
Ед—"Г , Yzr~~"5 ^ 5 az дх oz
где е^ е , е^ — линейные деформации; уд> — угловые деформации; w, v, w — составляющие вектора перемещения в направлении осей х,у, z соответственно.
Если ввести обозначения {e}r=:{ е^е еДДдЛ — вектор-строка деформации, {w}T= {uvw} —вектор-строка перемещении*, то (1) можно представить в матричном виде
{е} = [£]{*}г, (2)
6x1 6x3 3x1
где [I] — матрица дифференциальных операций.
С другой стороны, деформации являются функциями напряжений и определяются выражениями [2]
.V ■' = " «X/ Q
e„=-(c„-va -va=); yJr
К Г' Е
гдеа^, ст^ ст^— осевые нормальные напряжения; сг^ а^ — касательные напряжения; Е — модуль упругости; V — коэффициент Пуассона.
№5
2007
С использованием обозначения {сг}7" = {сг^, о^а^сг^ — вектор- строка напряжений, зависимости (3) можно представить в матричном виде
т
{8 }=[5]{а}\
1x6 6x6 6x1
(4)
где [5] — матрица податливости.
Смешанная формулировка метода конечных элементов (при выборе в качестве узловых неизвестных перемещений и напряжений) основывается на функционале Рейсснера, который для отдельного конечного элемента можно представить в виде [2]
п* = {
1
dV-\{q*}т{w}ds
(5)
где V— объем конечного элемента; {д*} — заданные поверхностные силы; {м^*} — заданные перемещения; ^ и — поверхности деформированного конечного элемента с заданными силами и перемещениями.
2. Матрица деформирования конечного элемента. Конечный элемент в декартовой системе координат х, у, 2 представляет собой произвольный восьмиугольник с узлами к, 1, т, п, р, к.
У
а)
б)
х
Рис. 1
Для выполнения численного интегрирования произвольный восьмиугольник отображается на куб с локальными координатами ^ г|, £ (рис. 1, 5), изменяющимися в пределах < ^ г], ^ < 1, трилинейными соотношениями
№5 2007
+iiilzJHzi Xj +
2 2 2 222 222
+i=il±nlz£ V + IziballSx- +l±iizni±i r + (6)
222 222 222
+ l±il±ni±iv + lZil+nl+£^sB{/Ä Q}r{X} 2 2 2 2 2 2 '
где (A, }r={X'XJXkXlXmXnXpXh} — вектор-строка узловых значений величины X. Под символом X понимаются глобальные координаты х, z.
Производные глобальных координат х, у, z в локальной системе координат т], ^ определяются дифференцированием (6)
4 = (7)
Производные локальных координат г|, £ в глобальной системе 2 определяются после дифференцирования соотношений (6) по глобальным координатам х, у9 z выражениями
р = ^с >4 ).
^ Д ' А
г JS).
W А 5
А
Р - ) . - _ Х'С ) . /оч
s>w — I ' Mjv - : > w
А А
W " д
А А
г 1
А
где А = (у^ у^ ) - х,л -z4 ^) + (у,, z>n -z^ у\л).
Компоненты вектора перемещения и, v5 w и компоненты тензора напряжений а^а^ ..., а аппроксимируются также трилинейными соотношениями через их узловые значения "
где {jij(}r = {д'ц'ц^М^Ц^М*} — вектор-строка узловых значений величины ц;
1x8
{q }Т = {g V^V^'V^'V) — вектор-строка узловых значении величины д.
1x8
Под символом \х понимаются компоненты вектора перемещений и, у, и>5 а под символом q — компоненты тензора напряжений а^ ст>ч, .,а .
Введем для внутренней точки конечного элемента обозначения неизвестных величин
№5
2007
У 1x6
{IV} = {^ууу} . 1x3
(10)
С использованием аппроксимации (9) напряжения и перемещения внутренней точки конечного элемента выразим через узловые неизвестные в матричном виде
{о? =№{<*,}; (11)
бх! 6x48 48х1 3x1 3x24 24X1
где {а, }г = < {а , }г... {с^,}г > — матрица-строка узловых напряжении конечного элемен-
1x48 I 1X8 1X8 ]
та; {у ,}Т =иг/у}г {уу}Т {му}Т ? — матрица-строка узловых перемещений конечного эле-
I. 1x8 1x8 1x8 ]
мента; матрицы [(?] и [А] имеют структуру
[С]
6x48
ЮГ ЮГ ЮГ юг ЮГ
ЮГ л, 01г ЮГ ЮГ юг ЮГ
ЮГ ЮГ ЮГ юг ЮГ
ЮГ ЮГ ЮГ {/[£, л, 01т {ог ЮГ
ЮГ ЮГ юг ЮГ л,С)1г ЮГ
ЮГ юг юг юг ЮГ
(12)
1x8
1x8
1x8
1x8
1x8
1x8
[Л]'
бх 48
Л) 0)г ЮГ ЮГ
ЮГ Ш;,л,ОГ ЮГ
ЮГ ЮГ т л» 0}г
(13)
1x8
1x8
1x8
С учетом аппроксимирующих выражений (9) деформации (2) можно представить в
виде
{е} = [!]{*}' = =
1x6 6x3 3x1 6x3 3x24 24x1 6x24 24x1
(14)
где матрица [5] имеет вид
[В]
6x24
ют юг ЮГ
юг (Г,у ЮГ
юг юг С¿.Г
(Г,У (Г,У ЮГ
(¿V юг (Г,У
ЮГ {(,У (Пт
Входящие в матрицу (15) производные определяются выражениями
{/& л, }г = {/,, }г +{/„ +{/.; }Ч,х;
2007
{/(4, л, О,, }г = {/,,}%, +{/,„ }г л,,+{Д }Ч,,; {/& л. С)„ }г = {/,, +{/>, }Ч, +{/,с •
С учетом зависимостей (11) и (14) функционал Рейсснера (5) можно представить в матричном виде
1x48 у 48x6 6x24
24x1
(16)
1x48 у 4&хб 6x6 6x48 48x1
-{у,)Т¡[А? {Ч)<Ь.
1x24 , 24x3 3x1
Минимизируя функционал (16) по узловым неизвестным {а }ги {у }г, получим сис-
тему уравнении
ЭП
Э{с5у(}^ 4Ях24 24x1 48x48
ЭП
У 24x1
(17)
°\УуГ 24x48 48x1 48x1
где [0\=\{0}т[В]с1У< [Н)=\{0}Т[5][0)4Г; {// = \[А]Т {д}т Ж.
X О.^ А V А 0..г Л ,4 СЧ^Л О » ,« О -I л. .1 » П АЛ Т
48x24 у 48x6 6x24
48x48 у 48x6 6x6 6x48
24x1 ^ 24x3 3x1
Систему уравнений (17) можно представить в традиционной конечно-элементной формулировке
шп 7М
(18)
72x3
где [£] =
72x72
-[Я] [в]
48x48 48x24
[£]г [0] 24x48 24x24
та;^;]" ={{а/{у/
1x48 1x24
■Я 1x72
матрица деформирования восьмиугольного конечного элемен-
вектор-строка узловых неизвестных конечного элемента;
[/*] =л {/¿}Т\ — вектор-строка узловых усилий конечного элемента.
1x72 1x48 1x24
Матрица деформирования рассматриваемой конструкции формируется в соответствии с традиционной процедурой МКЭ [3].
Пример расчета. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние пластинки (рис. 2), защемленной на правом конце, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности ц, при следующих исходных данных: И = 0,04 м; Ь = 0,1 м; Ь = 0,5 м; V = 0,3; Е - 210 ГН/м2; ц = 10 даН/см2.
Численные значения напряжений в точках А, В, С и О и прогиб в начале координат приведены в таблице. Численное значение м'0 = 0,28 см, подсчитанное по формулам сопротивления материалов совпадает с результатом, полученным на основе разработан-
№5 2007
ного элемента. Напряжения в заделке, найденные по формулам сопротивления материалов, равны ам = 187,4 МН/м2. Как видим, в среднем совпадение численных результатов достаточно удовлетворительное.
Z
X
Рис.2
Кол-во эл-тов W0, см при у = 0 сг , МН/м2 УУ' т. А су , МН/м2 уг ' Т. В су , МН/м2 УУ т. С а , МН/м2 уу' T.D
12 0,26 -176,763 176,769 -175,863 175,899
40 0,27 -193,460 193,492 -189,301 189,366
80 0,28 -198,573 198,646 -184,901 185,059
160 0,28 —201,240 201,351 -180,076 180,303
Анализ результатов показывает, что разработанный элемент вполне приемлем для определения напряженно-деформированного состояния трехмерных тел.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. СамульВ.И. Основы теории упругости и пластичности. — М.: Высшая школа, 1970. — 288 с.
2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ.—М,: Мир, 1984.—428 с.
3. Постнов В.А.,Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. — Л.; Судостроение, 1974. — 344 с.
