CC BY
29
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539.3
ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЁТОВ СИЛОСОВ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫХ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ ЗЕРНА
FINAL ELEMENTS FOR SILO FOR GRAIN STORAGE STRENGTHENING ACCOUNTS MIXED METHOD APPLICATION
Д.П. Арьков, старший преподаватель
H.A. Гуреева, кандидат технических наук, доцент
ФГОУВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
D.P. Arkov, N.A. Gureeva
Volgograd state agricultural academy
В работе на основе метода конечных элементов (МКЭ) выполняется учёт упругопластического состояния материала в тонкостенных сельскохозяйственных конструкциях, предназначенных для хранения сыпучих материалов. Получен смешанный функционал на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил, пригодный для реализации в МКЭ.
On the basis of a final elements method (FEM) the account elastic-plastic condition of a material in thin-walled agricultural designs of the loose materials intended for storage is carried out in the work. Mixed functional on the basis of equality of possible and valid works of external and internal forces, suitable for realization in FEM was got.
Ключевые слова: бункер, силос, конечный элемент, перемещения, напряжения, функционал.
Key words: bunker, silo, final element, moving, pressure, functional.
Тонкостенные стальные конструкции - емкости для хранения сыпучих материалов (бункеры, силосы) - металлические резервуары водонапорных башен широко используются в сельском хозяйстве.
Снижение материалоемкости и стоимости проектирования, изготовления и ремонта является важной задачей АПК. Одним из главных способов снижения металлоёмкости тонкостенных конструкций является разработка методов их расчёта при учёте упругопластического состояния материала [5, 6].
В работе учёт упруго-пластического материала в тонкостенных сельскохозяйственных конструкциях выполняется на основе метода конечных элементов (МКЭ) [3].
Получен смешанный функционал на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил, пригодный для реализации в МКЭ.
В качестве конечного элемента принят шестигранный восьмиузловой конечный элемент [2], узловыми неизвестными которого являются приращения перемещений и приращения напряжений. Физическая нелинейность материла учитывается на основании деформационной теории пластичности.
1. Деформации оболочки вращения при произвольном нагружении. Точка М срединной поверхности оболочки вращения в декартовой системе координат Oxyz описывается радиус-вектором
Я=Х1 +г?,тв)+гсо?,вк , (1)
где / , ] , к - орты декартовой системы; X - координата точки М; Г - радиус вращения; в - угловая координата, отсчитываемая от вертикали против часовой стрелки.
Локальный базис точки М определяется векторами аг =7?,х = / +г,х + г,хсо&вк; а2 = К,в = гсо^в}-гыпвк ;
(2)
Производные базисных векторов точки М можно выразить через базисные векторы этой же точки
КЛ=Н{4
{а,в}=[п]{а}.
Положение точки М1, отстоящей на расстоянии I от срединной поверхности, определяется радиус-вектором
Я* =Я + 0 (з)
Векторы локального базиса {^1 §2 §3 }точки М1 определяются выражениями
^ = к,х = Я,хМа,х - ах(1 + Ш31) + а2^да32 + аШ33.
§2 = К ,в = К,вМа,в = а2{ 1 + 1п32) + Ы31ах + Ш33а . ^
£з =&п = а
Произвольная точка М при деформировании оболочки получает
перемещение V . Этот вектор можно представить компонентами в базисе соответствующей точки М срединной поверхности
V = Vх ах +у2а2 + мъаъ = {а}Т {у}, (5)
Производные вектора (5) с учётом (4) запишутся в виде
^х = ^(у\х+^Щ1 +УтЪ1) + а2(у1т12 + у\х+у2тп22 + утп32) +
+ а3(у1т13 + V2/и23 + у,х+уш33) .
9
У,в=^\в+^п11 +г;2«21 +га31) +«2(^12 +г;2 ,0+^22 +™з2)+ ^
+ а(у1п13 +v2/^2з +у,в+уп33).
9
Уп = у1па1+у2па2+упа ^
Деформации в точке М1 определяются соотношениями [4]
е,=\^,У„+1У,Х (7)
которые с учётом (4), (6) могут быть представлены в матричном виде
И=ММ, (Ю
6x1 6x3 3x1
где = |гп е22 е33 2еи 2е13 2б23}- матрица строка деформаций в точке М*;
{у}г = {V1 V2 у}-матрица-строкаперемещений точки М*;
[/.] - матрица алгебраических и дифференциальных операторов.
При расчётах в геометрически линейной постановке соотношения между приращениями деформаций и приращениями перемещений на (]+1) - ом шаге нагружения имеют вид
{Лг} = НМ. (9)
где {Ду}Г = {Ду1 Ду2 Ду | - матрица - строка приращений перемещений на шаге нагружения.
2. Физические соотношения. Используется гипотеза о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений
3 Ае. ( \
~^сР = -—-4До-ц ~АсгсР) ;
I Д(Т,
As^-As =—-Асг ) 22 ср 2 Дет,. V 22 ср>
3 As,
где
As„-As =-— (Дсг„-Дсг ) ;
р 2 Дет,. р> (Ю)
л _____3 As. _3 As. _ 3 Ast
^■Sn ~ 0 . АсГ12 5 ^£13 — 0 . АсГ13 5 23 — 0 . Acr23!
2 Дст. 2 Дст. 2 Дст.
(Asn + As22 + As33) „
Ascp = ----------------------------—-— - приращение средней деформации;
(А<тп + Л<т22 + Ac,,)
A<7 =--------------------------приращение среднего напряжения;
ср 3
Aet, Act. - приращения интенсивностей деформаций и напряжений;
^g| = Е ~ касательный модуль диаграммы деформирования материала.
ДСТ,
Зависимость приращения средней деформации от приращения среднего напряжения определяется следующим выражением _1—2//
ср £ ср- v !
Приращения деформаций из (10) с использованием (11) можно записать в матричном виде
{As}=[cff\A(7}. (12)
3. Матрица деформирования конечного элемента на шаге нагружения. В качестве конечного элемента разработан шестигранный восьмиузловой конечный элемент с узлами i, j, k, 1, m, n, p, h [1].
В качестве узловых неизвестных приняты приращения напряжений в узловых точках и перемещения узловых точек на шаге нагружения. Для выполнения численного интегрирования произвольный шестигранник отображается на куб, локальные координаты которого изменяются в пределах — 1 < Г), С, < 1. Для
численной реализации используется функционал Лагранжа, выражающий равенство на шаге нагружения возможных и действительных работ внешних и внутренних сил, возникающих в теле
| {сг}т + — {Асг}г ^ {Ау}т {р]+ — {Ар]ёБ. (13)
у\- 2 ] 5 |_ 2
Заменим действительную работу приращений внутренних сил на шаге нагружения разностью возможной и дополнительной работ внутренних сил на шаге нагружения
|{Ао-}г {Лгг}= {Ао-ПД^}-|{Ао-}[/)]{Ао-}.
(14)
С учётом матричных соотношений функционал на шаге нагружения запишется в виде
1x48 ^ 48x6 6x24 2Ы I 1х48 ^ 48x6 6x6 6x48 4&с1
-1К} | и7 К )71 и7 {р}<®+К )71 івт \а\с,у=°-
А ^ 24x3 3x1 1x24 5 24x3 3x1 1x24 у 24x6 6x24
Минимизируя функционал (15) по узловым неизвестным \асгу }г и {у }г, получим систему уравнений
дП
[я]{дСТ>И{». 1=0;
дПт
д{А*Уї
№{А-Л-{/Л-{А/Л+{/Л=0.
(16)
р ) к р ,
24x1 24x1 24x1
Система (16) может быть представлена в традиционной для метода конечных элементов форме
М Ы=М. (17)
12x12 72^1 12х\
'-И Ш
где [к] =
12x12
48*48 48*24
№ [о]
24*48 24*24.
кг нк! м\
1x72 I 1x48 1x24 J
- матрищ деформирования конечного элемента на шаге нагружения;
- вектор узловых неизвестных элемента;
- вектор узловых усилии конечного элемента;
1x72
1x64 1
1x8
= {/,, }“ {/„ } - невязка.
Пример расчёта. Рассмотрено напряжённо-деформированное состояние загруженной равномерным давлением интенсивности ц = 4.4 МПа (рис.1) цилиндрической оболочки закрепленной на конце (рис. 1). Были приняты следующие исходные данные: Ян =30 см, 1 = 20 см, 1=1 см. Упруго-пластические свойства материала цилиндрической оболочки описываются диаграммой деформирования с нелинейным упрочнением. Интенсивность напряжений, соответствующая пределу текучести, о;т =2000 даН/см2, гп=0,00267 - интенсивность деформации,
соответствующая пределу текучести. Нелинейное упрочнение
описывалось зависимостью о;= + кг 8;+ кз, где К1 = 789018,2861100
даН/см2; к2 =86782,0993830 даН/см2; к3 = 1819,7547393
даН/см2. Рассмотренная конструкция является моделью сооружения для хранения сыпучих материалов.
В таблице 1 для сравнения приведены результаты проверки условия равновесия по силам (Ех = 0). Как видно из таблицы, равновесия результатов, полученных с использованием изложенного алгоритма, выполняются точнее, чем равновесия результатов,
полученных с помощью программного комплекса АВА(Зи8.
г
Рисунок 1 - Цилиндрическая оболочка вращения, загруженная равномерным давлением
Таблица - Результаты проверки условия равновесия
При разбиении оболочки на 10 КЭ по толщине и 60 КЭ вдоль меридиана Ех=0, 6%
Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,21
Результат, полученный с использованием программного комплекса АВА()и8 4,18
При разбиении оболочки на 10 КЭ по толщине и 100 КЭ вдоль меридиана Ех=0, 6%
Результат, полученный на основе изложенного алгоритма 0,23
Результат, полученный с использованием программного комплекса АВА()и8 3,8
Рисунок 2 - Зоны распределения пластических деформаций в стенке цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения
На рис. 2 показано распределение зон пластических деформаций в стенки цилиндрической оболочки при различных шагах нагружения.
Полученные результаты доказывают, что изложенный алгоритм приемлем для учёта упруго-пластического состояния материала в расчётах тонкостенных конструкций АПК.
Библиографический список
1. Арьков, Д.П. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности [Текст] / Д.П. Арьков, Н.А. Гуреева // Известия ВолгГТУ. -2010. -№ 4. - С. 128-132.
2. Гуреева, Н.А. Восьмиугольный объёмный конечный элемент в смешанной формулировке на основе функционала Рейснера [Текст] /Н.А. Гуреева. // Известия вузов. -Машиностроение. - 2007. - № 5. - С. 21-26.
3. Гуреева, Н.А. Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК [Текст] / НА. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2009. - № 2 (14). - С. 123-129.
4. Демидов, С.П. Теория упругости [Текст] / С.П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979.-432 с.
5. Киселева, Р.З. Получение матрицы жесткости осесимметрично нагруженной оболочки вращения [Текст] / Р.З. Киселева // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2010. - № 1 (17). - С. 135-139.
6. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций [Текст] / В.А. Постнов, ИЯ. Хархурим. - JL: Судостроение, 1974. - 344 с.
E-mail: natalya-gureevaPvandex.ru
