Вопросы разрешимости и получения оптимизационных систем в вариационных задачах, описываемых двумерными уравнениями параболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

большое число теорем о сходимости устойчивости и точности модифицированных методов. Эти параметры модифицированных методов были установлены в результате широкого вы-

числительного эксперимента, проведенного в ходе разработки новой электрофизической аппаратуры для задач ускорения и фокусировки пучков заряженных частиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубов, Н.В. Автоматизация проектирования устойчивости и надежности колебательных систем [Текст] / Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова. — СПб.: Мобильность-плюс, 2010. — 355 с.

2. Зубов, А.В. Математические методы безопасности управляемых систем и методы анализа неста-

ционарных систем управления [Текст] / А.В. Зубов, Н.В. Зубов, Н.И. Зубов. — СПб.: Мобильность-плюс, 2010. - 319 с.

3. Стрекопытова, М.В. Исследование равновесных движений [Текст] / М.В. Стрекопытова. — СПб.: СПбГУ, 2007. — 95 с.

УДК 517.97

В.П. Первадчук, Д.Б. Шумкова, Д.Н. Дектярев

ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ И ПОЛУЧЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДВУМЕРНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Теория оптимального управления распределенными системами, в том числе и системами, описывающими процессы тепломассопе-реноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В связи с этим важными и актуальными являются вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности в своих сильных формах.

Основными целями исследования явились построение обобщенного решения, получение условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой двумерным уравнением теплопроводности с граничным управлением. Изучена задача, линейная относительно функции управления, с распределенным наблюдением и компромиссным управлением, а также интегральным видом целевого функционала.

Рассмотрим задачу оптимального управления системой, описываемой эволюционным уравнением теплопроводности [1]:

^z) = 1 r у

8t r 8r l 8r I

| dL dT(t, r, z)

8z l 8z

(1)

где Т,г, z) — температура; t—время; к, Ср, X — плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность материала соответственно, г, z—простран-ственные переменные. Время t е [0; т], переменные г е [гх; г2 ], z е [0; z1 ].

Введем обозначения (см. рисунок):

[0; т]х[/1; Г2]х[0; ^] = Ц;

об об

= Гt = Г1 ^Г2 ^Г3 ^Г4 ; = Щ .

Уравнение (1) дополним начальным и граничными условиями вида

/

>г

Пространственно-временная область решения

-X

дТ

дг

= *{т 4-#(,, 2))-

+ ах (Т-То(,2));

Т

дг

= Шг);

= и(,, 2);

Т 2=0 = ЗДг); Т1=0 = То(г. 2).

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

I (Т(,, Г, 2),и(,, 2))= | [Т(,, Г, 2) -Тй (,, Г, 2)]2 X

(7)

X гйгй 2й, + а-|\и(,, 2)11

•тТ,

где Тй (, ,г, 2) — функция, определенная до решения задачи.

В качестве пространства управлений рассмотрим пространство

и = L1((0; х)х(0; 2)),

а в качестве пространства решений — пространство

© =

L2 ((0;т);Н1 ((г2 )х( 0; ^))).

Задача управления (1)—(7) является задачей с граничным управлением и распределенным наблюдением, целевой функционал которой явно зависит от функции управления (компромиссное управление).

Нетрудно заметить, что состояние распределенной системы (1)—(6), функция Т(,, г, 2), линейно зависит от функции управления и(,, 2). Таким образом, определен линейный оператор Ли(,, 2) = Т(,, г, 2), который ставит в соответствие каждой функции управления и(,, 2) е и единственное значение функции Т(,, г, 2) е © . Таким образом, целевая функция (7) принимает следующий вид:

I (Т (,,Г, 2),и(, 2))= | [Ли(,, 2) -Тй {г,Г, 2)]2 X

2

х гйгй2йг + а • | и(г, 2) • гйг3

(8)

•тТ.

Функция оптимального управления и(,, 2), имеющая смысл мощности теплового источника (граница Г3), должна быть найдена как функция, доставляющая минимум функционалу интегрального вида при условии малости параметра а (цены управления):

2

Дадим определение обобщенного решения задачи (1)—(6) [2, 3].

Определение. Обобщенным решением задачи (1)—(5) называется функция ф(,,г, 2) е ©, удовлетворяющая следующему интегральному соотношению:

IТ• С -ф|ХйП- | Т.А(С -Ф)йЦ =

О 0 Ц

= 1 т ~ '

а, дг

г хЯ*

дг I г

Л *-р (Пй г' 1,

Зф

.фйг, + Г Т йЦ -

; 0г л д21 д2 1

- Г^.ТйГ, + Г^.фйГ,.

I д2 г >д2 г 1, 1,

Докажем, что задача минимизации (1)-(6), (8) имеет решение. Для этого проверим условия следующей теоремы.

Теорема 1 [5]. Пусть и—рефлексивное банахово пространство, ий — непустое замкнутое выпуклое подмножество и. Функционал I(и): ий ^ Я удовлетворяет условиям:

1) 1(и) — выпуклый;

2) 1( и)—полунепрерывный снизу на множестве Щ

3) 1(и) — коэрцитивный.

дТ

0

г=г

2=2

г=г

2

2

Тогда существует элемент и0 <^ий, такой, что I(и0) = шГ I(и).

Доказательство. Приведем функционал (8) к виду, удобному для проверки условий теоремы 1:

I{Т(,,г,z),u(t,z))= \ [Лu(t,z)frdrdzdt-

Qt

— 21 [Ли(,, z) -Тё ] ММzdt +

а,

+ | \Тй ]2ММzdt + а | u(t, z)2 • ММzdt,

а, Гз

где | [Ли(,, z)]2rdrdzdt + а | u(t, z)2 • ММzdt —

ц Гз

квадратичная функция по u(t,z) , | [Лu(t,z)-Тй]• ММzdt линейная форма по

о,

и(,,г, z); | Т ]2ММzdt — не зависит от функции управления и(,,z),т. е. является по отношению к управлению постоянной величиной.

Функционал (8) непрерывен на и, а значит, полунепрерывен снизу на множестве и, выпуклый в силу линейности оператора Л [3, 4], а наличие второго слагаемого обеспечивает его коэрцитивность. Согласно теореме 1, существует единственный элемент и0 , минимизирующий I (и): I (и0 ) = тТ I (и).

иеП

Теорема доказана.

Рассмотрим далее вопросы, связанные с получением системы оптимальности для задачи (1)-(6), (8).

Согласно критерию оптимальности [5], имеем:

5!(и0) = 21 [Т(,,г,z)-Тё\Т(t,г,z)х

о,

х ММzdt + 2а | и0 • 5и • rdГt = 0,

(9)

кС,

дТЦ,г, z) 1 д

д,

г дг

г X

дТ (, ,г, z)

дг

8_

( • \ дТ^^г^

(10)

дг

--4иТ3 Т +а1 -Т, Т

= 0;

дг

= 5и(,, z); Т

- 0, Т

:=0

- 0.

,=0

Умножим правую и левую части уравнения задачи (10) на произвольную функцию р (,, г, z) е © и проинтегрируем по области Ц :

дТ

1 д

1 р * Г , и/

г X

аг

Зг

pd Ц +

-1 &

о,

V

pd Ц.

Воспользуемся формулой Грина в левой части один раз, а в правой — два раза, тогда получим:

|Т• кСр .р|xdТ(кСр .р)/о, =

о,

ОТ

-/(г ^ 1-тг I" I d * ■ р г, -

^ ^ дг ) дг ^ г) р дг

% d Ц + . pd Г,;

Х дz дz • дz

|Т■ кСр ■ р\тdQ- | Т•—(кСр ■ р=

= | ТЛ[г*Л(*Ц</о,-I ТгХ-Т{^]</Г, +

иг I иг \ г **

дг I г

где 5I — первая вариация функционала (8); 5и — вариация управления; Т (,,г, z) — производная функции состояния системы Т(,,г, z) по управлению и^), вычисленная на минимизирующем элементе и0.

Проварьируем исходную задачу, т. е. запишем дифференциальную задачу (1)—(6) для функции Т(,, г, z):

pd Г, + | Т £ № ] Ц -

(11)

Ж г, + Г^-. рй г,.

Л Ят , J Ят ,

д21 йг

дГ

5г

5г

Потребуем, чтобы произвольная до сих пор функция р(,, г, z) удовлетворяла дифференциальной задаче, обратной по времени:

г=

г=г

0

д, 'Р ^ + (ГХдг ( г )) + & (Т ~Тй) г;

р(т, г, 2) = 0;

А Г Р 1-( 4стТ3 +И1 ).р)

— Г хдр .ТЛТ + Г рйг,.

г V 82 г г Jг & г

Г2 иГ4 Г2 иГ4

С учетом условия из уравнений (10), (12), равенство (11) перепишется в виде

8Т

(12)

= 0;

иг А( р )+х?г+^(Хр)

I дгI г) д2 д2У '

= 0; г Г2,Г4 = 0.

я ( г \ Т •( 4стГ3 +а, )

-I Т Хг АI Р ] й г, + ^—^ • рй г,-

-X

Тй г, + \х—• рй г, =

11 11

= /^ ("Т £ ( 7 )"(4°Т3 )-р )

I Т) й г,+|(т ^12=0;^) й,

Г1 82 0

На части границы Г3:

-I Т Хг | (I ] й г, + . рй г, —

Г3 +

- [ X—-Т^Г, + [ Х^--рйГ, = [ 5и• рйГ, ■'82 • 82 *

8Т

1 Т И- I (Т ы)й г,

+\(т \р\: ^) й,.

На частях границы Г2 и Г4 :

_ Г тХг-Гр IйГ, + [ к--рйГ, -

г2 ¿г4 дг У г ) г2 ¿г4 дг

8Т

| Т(,, г, 2) • (Т(,, г, 2) - Тй (,, г, 2)) • гйЦ

о,

+ | 5и • р(,, 2)йГ, = 0.

(13)

В силу справедливости соотношений (12), а также начального и граничных условий из (10), интегральноее соотношение (11) может быть существенно упрощено, однако отдельного рассмотрения здесь требуют интегралы по границе, так как на разных ее частях заданы условия разных видов. Далее распишем отдельно интегралы по границе из интегрального тождества (11) для каждой части границы области решения задачи О.. Для части границы Г1 имеем:

Заметим, что первое слагаемое левой части равенства (13) совпадает с интегралом первого слагаемого левой части соотношения (9). С учетом этого совпадения равенство (9) может быть переписано в виде

| 5и-(-р(,,2) + а-и0(,,2)• г)йГ, = 0.

Поскольку вариация Ьи ф 0 ,

(-р(,, 2) + а- и0(,, 2) • г )| = 0.

/1Г3

Отсюда следует функциональная зависимость для определения значения функции оптимального управления и0 (,, 2) через значение сопряженной функциир(,, г, 2):

«0(,, 2) = —

1 ( р(,, 2)

а

(14)

Таким образом, получена система оптимальности в своей сильной форме, т. е. в форме системы краевых задач для исходной функции Т (,, г, 2) и сопряженной функции р(,, г, 2) следующего вида:

ш —=1.4 г х—|,

8, г 8г I 8г ) 821 82

8Т

Т\<-0 = Т0(г,2), "^Т

,=0

4

= а

(Т4(,, 2)-Т4(,,2)) + +«1 .(Т(,, 2)-Т)(,, 2)),

Т|Г2 = Тг(1,г), Х^-

2 дг

= Т4(, ,г);

р(,, 2)

а- г

Т =

1г

(15)

3

3

3

dt

(kCp ■ p)-

8r

r P

8r l r

T = 0,

lt=x

f f JP И 4°T3 )>

(15)

x p-X———(Xp ) dz dzy '

= 0,

Г1

p| Г.

= 0,

xr Af P V^P+±(xp)

8r l r I dz dz

= 0, p|r = 0.

Таким образом, нами доказана следующая теорема

Теорема 2. Пара (Т(7,г,z),u(t,z))образует решение задачи оптимального управления (1)-(6) тогда и только тогда, когда существует функция р(г,z,t)е©, такая что функции Т(7,г,z), р (7, г, z) являются решением системы дифференциальных уравнений (15), при этом функция оп-

тимального управления и = и0 (7, z) имеет явное выражение вида (14).

Заметим, что система (15) имеет ряд особенностей, связанных в первую очередь с тем, что задача для сопряженной функции р (7, г, z) является обратной по времени. Также отметим сильную нелинейность в граничных условиях системы (15).

В заключение отметим, что в работе применена методика, позволяющая изучать вопросы разрешимости и получения явного решения в некоторых классах краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, функция управления в которую входит линейно, а целевой функционал обладает свойством коэрцитивности. В работе дано теоретическое обоснование разрешимости и получения системы оптимальности. Предложенные в работе модели могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов и требуют дальнейшей численной реализации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными [Текст] / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. - 412 с.

2. Первадчук, В.П. Оптимальное управление подвижным тепловым источником [Текст] / В.П. Первадчук, Д.Б. Шумкова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — № 2. — С. 37—44.

3. Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения

[Текст] / А.В. Фурсиков. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 350 с.

4. Шумкова, Д.Б. Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками [Текст]: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защ. 21 декабря 2006 г.: утв. 12.10.2007 / Шумкова Дарья Борисовна. — Пермь, 2006. — 111 с. —Библиогр.: с. 108—110.

5. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы [Текст] / И. Экланд, Р. Темам. — М.: Мир, 1979. — 325 с.

3