CC BY
17МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ
ВОПРОСЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНЫХ ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ НА ГАЗОТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЕ
А.К. Черных, доктор технических наук, доцент; Д.С. Буданов.
Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России
Представлен математический аппарат, позволяющий реализовать эффективный подход к оптимизации применения пожарно-спасательных подразделений на газотранспортной системе, базирующийся на основе задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России, для обеспечения ликвидации последствий чрезвычайной ситуации регионального масштаба на газотранспортной системе в условиях дефицита указанных сил и средств. Проведена декомпозиция указанной задачи на ряд математических моделей, реализующих оптимальное распределение сил и средств МЧС России между объектами газотранспортной системы, пострадавшими в результате чрезвычайной ситуации регионального масштаба.
Ключевые слова: задача распределения сил и средств МЧС России между объектами газотранспортной системы, пострадавшими в результате чрезвычайной ситуации регионального масштаба, постановки математических моделей, оптимальное решение задачи распределения сил и средств МЧС России между объектами газотранспортной системы, пострадавшими в результате чрезвычайной ситуации регионального масштаба
OPTIMISATION PROBLEMS OF APLICATION OF FIRE-RESCUE UNITS FOR GAS-TRANSPORT SYSTEMS
A.K. Chernykh; D.S. Budanov.
Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia
The article tells about mathematical apparatus that allows to implement an effective approach to optimizing the use of fire-rescue unit on the gas-transport system, which is based on the principle of the optimal distribution of forces and means of EMERCOM of Russia for the elimination of consequences of emergency of a regional scale on the gas-transport system in the conditions of shortage of these forces and capabilities. Moreover there was conducted the decomposition of this problem for a number of mathematical models, realizing the optimal distribution of forces and means of EMERCOM of Russia between the objects of gas-transport system, affected by the emergency of a regional scale.
Keywords: the problem of distribution of forces and means of EMERCOM of Russia between the objects of gas-transport system, affected by the emergency of a regional scale, posing mathematical models, the optimal solution of the problem of distribution of forces and means
of EMERCOM of Russia between the objects of gas-transport system, affected by the emergency of a regional scale
В повседневном режиме использование сил и средств МЧС России происходит по разработанным оптимальным (рациональным) планам, которые, как правило, не нуждаются в существенной корректировке. Однако в случаях резкого изменения обстановки, например, в условиях возникновения чрезвычайной ситуации (ЧС) природного или техногенного характера, возможен дефицит сил и средств МЧС России, в условиях которого нахождение оптимальных (рациональных) вариантов их применения представляет актуальную математическую задачу, решение которой необходимо осуществлять на основе математического моделирования.
Приведённые обстоятельства делают весьма актуальным рассмотрение математической задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами газотранспортной системы (ГТС), пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, для случая, когда имеет место дефицит сил и средств МЧС России.
Отметим, что указанная задача относится к классу задач распределения неоднородных ресурсов, а также тот факт, что решения подобных задач существенно зависят от предметной области, в рамках которой они реализуются, и, как правило, имеют достаточно сложные выражения, причём не всегда аналитического вида [1-5], которые требуют для своего осмысления наличия фундаментальной математической подготовки.
Поэтому в статье предложен альтернативный, более простой подход к решению задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, основанный на декомпозиции этой задачи распределения неоднородных ресурсов на три достаточно простые модели, которые, реализуя этот подход, могут быть использованы как в рамках параллельного, так и в рамках последовательного метода управления силами и средствами.
В качестве постановок этих моделей, конструктивное описание которых будет дано далее по тексту, приведём:
- постановку математической модели оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба (модель № 1);
- постановку сетевой модели, в рамках которой осуществляется реализация ограничений по возможностям использования имеющихся сил и средств МЧС России для выполнения задач, возникающих при ЧС регионального масштаба (модель № 2) [6-10];
- постановку математической модели, реализующей назначение оптимальным образом имеющихся сил и средств МЧС России для выполнения поставленных задач (модель № 3) [11].
Следует отметить, что факторами, сопутствующими проведению предложенной декомпозиции задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, явились существование компьютерных приложений Mathcad и Excel, которые предоставляют эффективные способы реализации моделей № 2, 3.
Сначала рассмотрим математическую модель оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба. Вербальную постановку указанной модели можно сформулировать следующим образом: распределить имеющиеся силы и средства МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, таким образом, чтобы минимизировать степень «недовыполнения» задач на наиболее приоритетных объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба.
В качестве математической постановки модели предлагается постановка, основанная на известной модели нелинейного математического программирования, которая имеет вид [12, 13]:
" d
т т X Cl — (1)
к } г=1 x г
при ограничениях:
= о; (2)
г=1
Ъi < < dI, (I = 1п); (3)
X - целые, (г = 1,п), (4)
где Х1 - ресурс сил и средств МЧС России, выделяемый для ликвидации ЧС на г объекте ГТС, пострадавшем в результате ЧС регионального масштаба, подразделений МЧС России; С1 - показатель важности (вес) г объекта ГТС, пострадавшего в результате ЧС
регионального масштаба, число (если С г > С, то г объект ГТС является более приоритетным
по сравнению с ]); О - общий ресурс сил и средств МЧС России, выделяемый для распределения между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, подразделений МЧС России; di - максимальный ресурс сил и средств МЧС России, который требуется для ликвидации ЧС на г объекте ГТС, пострадавшем в результате ЧС регионального масштаба, подразделений МЧС России; Ъ1 - минимальный ресурс сил
и средств МЧС России, который требуется для ликвидации ЧС на г объекте ГТС, пострадавшем в результате ЧС регионального масштаба, подразделений МЧС России; п - количество объектов ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба, ликвидации ЧС, задачи на которых необходимо выполнить одновременно в заданный промежуток времени, шт.
Следует подчеркнуть, что в данной модели предполагается однородность распределяемого ресурса, что позволяет не усложнять эту модель дополнительным определением эффективности решения поставленных задач на г объекте ГТС каждым из выделенных подразделений МЧС России, а гораздо проще реализовать это в рамках третьей предлагаемой модели.
Необходимо отметить, что в приведённой модели предполагается, что имеет место
п
соотношение X di > О. Кроме того, заметим, что модель (1-4) можно упростить за счёт
г=1
замены ограничения (3) ограничением 0 < Х1 < аг, где Щ - ресурс сил и средств МЧС
России, который требуется для ликвидации ЧС на г объекте ГТС, пострадавшем в результате ЧС регионального масштаба (подразделений МЧС России).
Предлагаемая математическая модель (1-4) относится к классу моделей целочисленного, нелинейного программирования. В настоящее время для моделей такого класса не существует универсальных алгоритмов их решения.
Известно, что наиболее употребительными методами, используемыми при этом, являются различные комбинаторные методы, основанные на упорядоченном переборе допустимых решений с последующим выбором оптимального из них - метод отсекающих плоскостей, ветвей и границ, динамического и нелинейного программирования и т.д. [13-18]. Рассмотренная задача относится к классу ЖР-сложных задач [19-22].
Существует эффективный алгоритм решения математической модели (1-4), разработанный авторами.
Результатом реализации модели является распределение оптимальным образом сил и средств МЧС России, которые в первой модели были определены как однородные, между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба.
В целях мотивированного перехода к описанию предназначения модели № 2, напомним, что алгоритм реализации модели № 1, осуществляя распределение сил и средств МЧС России, которые в первой модели были определены как однородные, между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, не учитывает специфику их применения на этих объектах, которая характеризуется отличием степеней эффективности применения указанных сил и средств на пострадавших объектах. Кроме того, подчеркнём, что алгоритм реализации модели № 1, распределяя силы и средства МЧС России, не учитывает возможность их прибытия к указанным объектам ГТС, обусловленную в первую очередь сложной транспортной обстановкой, которая может возникнуть на сети автомобильных дорог региона в результате ЧС регионального масштаба. Указанное обстоятельство предопределило необходимость использовать в рамках моделирования задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, транспортную модель (транспортную задачу) в традиционной или сетевой постановке [11], причём, в определённых условиях, в ней необходимо учитывать пропускные способности некоторых автомобильных дорог, которые являются элементами транспортной модели в сетевой постановке [11, 19].
В целях снятия ограничительного условия, заключающегося в неучёте специфики применения сил и средств МЧС России для решения поставленных задач на объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба, применим указанную ранее сетевую модель (математическая постановка такой модели приведена, например, в работе [11]), реализующую ограничения по возможностям использования имеющихся сил и средств МЧС России для распределения между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба.
Указанную сетевую модель представим в виде неориентированного графа [9, 11], узлы которого идентифицируют объекты ГТС, пострадавшие в результате ЧС регионального масштаба и определённые в первой модели для ликвидации ЧС на них силы и средства МЧС России, а каждая дуга, соединяющая пару узлов, определяет возможность использования сил и средств МЧС России, идентифицированных в одном из узлов этой пары, для выполнения ликвидации ЧС на указанном объекте ГТС, идентифицированном во втором узле этой пары.
Указанное представление позволяет задать структуру сетевой модели в виде квадратной матрицы смежности графа (рис.), число как строк, так и столбцов которой равно числу узлов указанного графа, причём к^ = 1 (кг] = 0) свидетельствует о возможности
(невозможности) применения сил и средств МЧС России, идентифицируемых г строкой матрицы на объекте ГТС, идентифицируемом] столбцом матрицы К.
к12 • к1п к 22 • к 2 п
\ кп1 кп2 • кпп у
Рис. Матрица смежности графа с п узлами
В качестве замечания заметим, что при разработке компьютерного приложения для реализации этой сетевой модели представляется целесообразным уменьшить размерность
К =
к
11
к
21
матрицы смежности К, исключая её столбцы, идентифицирующие силы и средства МЧС России, а также строки, идентифицирующие объекты ГТС, пострадавшие в результате ЧС регионального масштаба, однако в статье на этом вопросе останавливаться не будем.
Таким образом, приведена содержательная характеристика сетевой модели, реализующей ограничения по возможностям использования имеющихся сил и средств МЧС России на объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба.
Математическая модель, которая реализует назначение оптимальным образом имеющихся сил и средств МЧС России для ликвидации ЧС (в работе [11] подобные модели называются моделями назначений), существенным образом базируется на матрицу К, задающую структуру сетевой модели. Для этой модели в матрице К множество её элементов
I] = 1I,] : к1} = 1| заменяется соответственно множеством элементов I * = , ] : к] = С] где с ^ - эффективность применения сил и средств МЧС России, идентифицируемых г
строкой матрицы К для ликвидации ЧС на объекте ГТС, идентифицируемом ] столбцом матрицы К. Следует особо подчеркнуть, что нулевые элементы матрицы К остаются без изменений.
Определив, таким образом, элементы матрицы К, приведём математическую постановку указанной модели:
п п
22с]Х] ^ тах (5)
1=1 ]=1
при ограничениях:
2X] = 1, (1 = 1,п); (6)
]=1
2X] = 1, (] = 1,п); (7)
=1
X ] = 0 или 1 для всех г и]. (8)
Сущность решения модели (5-8) заключается в нахождении оптимального, по критерию максимизации эффективности применения, назначения сил и средств МЧС России для распределения между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, при этом равенство единице переменной X^ свидетельствует
о назначении сил и средств, идентифицируемых строкой матрицы К для выполнения поставленных задач на объекте ГТС, пострадавшем в результате ЧС регионального масштаба, идентифицируемым ] столбцом матрицы К.
Таким образом, выполнена последняя часть декомпозиции указанной математической задачи - определено оптимальное назначение имеющихся сил и средств МЧС России для выполнения поставленных задач на объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба.
В качестве примечания следует отметить, что если показатели С] (1,] = 1,п) входят
в состав аддитивной свёртки экономического критерия - минимизации финансовых затрат [11, 21-25] при назначении сил и средств МЧС России для выполнения поставленных задач,
п п
то есть целевая функция модели (5-8) имеет вид 22СуХу ^ т1п, то полученная модель
г=1 ]=1
представляет стандартный вид модели назначений [11].
Таким образом, в статье приведена декомпозиция задачи оптимального распределения сил и средств МЧС России между объектами ГТС, пострадавшими в результате ЧС регионального масштаба, в случае, когда имеет место дефицит указанных сил и средств, на три достаточно простые модели, две из которых являются оптимизационными и представляют самостоятельный научный интерес. Для первой из этих моделей разработан эффективный, с вычислительной точки зрения, алгоритм (на основе алгоритма разработана компьютерная программа), который, обладая свойством универсальности, может применяться для решения задач распределения ограниченного ресурса любой природы.
Так, например, используя предложенный в статье математический аппарат, а также имеющиеся в составе приложений Mathcad и Excel программы, несложно реализовать модель оптимального обеспечения сил и средств МЧС России материальными средствами со складов, а также задачу нахождения оптимальных маршрутов для выдвижения сил и средств МЧС России для решения поставленных задач на объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба
Использование экономического критерия - минимизации финансовых затрат, позволяет проводить экономические исследования, например, для оценки вариантов выдвижения сил и средств МЧС России к местам выполнения территориально-разнесённых, в рамках региона, поставленных задач на объектах ГТС, пострадавших в результате ЧС регионального масштаба.
Литература
1. Черных А.К. Теоретические положения моделирования распределения сил и средств внутренних войск по служебно-боевым задачам // Междисциплинарные исследования в сфере интеграции образования и науки: сб. науч. трудов науч.-пед. состава С.-Петерб. воен. ин-та внутр. войск МВД России. СПб., 2014. С. 151-155.
2. Берзин Е.А. Оптимальное распределение ресурсов и теория игр. М.: Радио и связь,
1983.
3. Кукса А.И., Михалевич В.С. Методы последовательной оптимизации в дискретных сетевых задачах распределения ресурсов. М.: Наука, 1983.
4. Гупал А.М., Михалевич В.С., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987.
5. Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Алгоритм оптимального распределения дискретных неоднородных ресурсов на сети // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т. 37. № 1. C. 54-60.
6. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.
7. Ермольев Ю.М. Экстремальные задачи на графах. Киев: Наукова думка, 1968.
8. Нечепуренко М.И., Попков В.К. Алгоритмы и решения задач на графах и сетях. М.: Наука, 1990.
9. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей / под ред. Б.Г. Сушкова. М.: Мир, 1984.
10. Таха Х. Введение в исследование операций. М.: Изд. дом «Вильямс», 2001.
11. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1972. Т. 1.
12. Михалевич В. С. Методы решения задач нелинейного и дискретного программирования. Киев: ИК АН УССР, 1984.
13. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1972. Т. 2.
14. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г. Алгоритм ветвей и границ для одного класса задач теории расписаний // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т. 32. № 12. С. 2000-2005.
15. Фёдоров А.В., Алешков А.М., Лебедева М.И. Повышение уровня пожаровзрывобезопасности потенциально опасных производств путём анализа и управления рисками // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. 2011. № 1. С. 21-28.
16. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г. Модификация метода решения одного класса задач целочисленного программирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т. 37. № 2. C. 179-183.
17. Алексеев О.Г., Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г. Применение двойственности для повышения эффективности метода ветвей и границ при решении задачи о ранце // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 11. С. 1666-1673.
18. Артамонов В.С., Черных А.К., Клыков П.Н. Подход к оценке эффективности систем управления организационными системами, функционирующими в реальном масштабе времени // Проблемы управления рисками в техносфере. 2014. № 4 (32). С. 60-68.
19. Применение цепей Маркова к оценке вычислительной сложности симплексного метода / А. О. Алексеев [и др.] // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 1988. № 3. С. 59-63.
20. Маслаков М.Д., Черных А.К. Об одном подходе к оценке эффективности математических моделей // Проблемы управления рисками в техносфере. 2013. № 3 (27). С. 67-73.
21. Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Алгоритм ресурсно-временной оптимизации выполнения комплекса взаимосвязанных работ // Вестник Российской таможенной академии.
2013. № 1. С. 80-87.
22. Оптимизационные модели и методы в управлении инновационными процессами /
B.Г. Анисимов [и др.]. М.: Изд-во РТА, 2006.
23. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г., Капитоненко В.В. Экономико-математические методы и модели в мирохозяйственных связях: учеб. М.: Изд-во Рос. таможенной акад., 2011.
24. Анисимов В.Г., Анисимов Е.Г., Ботвин Г.А. Инвестиционный анализ в условиях неопределенности. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2006.
25. Силкина Г.Ю., Юрьев В.Н. Экономико-математическое моделирование в принятии инновационных решений // Известия С.-Петерб. гос. экон. ун-та. 2014. № 3.
C. 43-53.
References
1. Chernyh A.K. Teoreticheskie polozhenija modelirovanija raspredelenija sil i sredstv vnutrennih vojsk po sluzhebno-boevym zadacham // V sbornike: Mezhdisciplinarnye issledovanija v sfere integracii obrazovanija i nauki. Sbornik nauchnyh trudov nauchno-pedagogicheskogo sostava Sankt-Peterburgskogo voennogo instituta vnutrennih vojsk MVD Rossii. Sankt-Peterburg,
2014. [Theoretical provisions of modeling the distribution of forces and means of internal troops for service and combat missions // In: Interdisciplinary research in the field of education and science integration. Collection of scientific works of scientific and pedagogical staff of the St.-Petersburg Military Institute of Internal Troops of Russia]. P. 151-155. (In Russ.).
2. Berzin E.A. Optimal'noe raspredelenie resursov i teorija igr. [The optimal allocation of resources and game theory]. M.: Radio i svjaz', 1983. (In Russ.).
3. Kuksa A.I., Mihalevich V.S. Metody posledovatel'noj optimizacii v diskretnyh setevyh zadachah raspredelenija resursov. [Metody posledovatel'noj optimizacii v diskretnyh setevyh zadachah raspredelenija resursov. M.: Nauka, 1983]. M.: Nauka, 1983. (In Russ.).
4. Gupal A.M., Mihalevich V.S., Norkin V.I. Metody nevypukloj optimizacii. [Methods of non-convex optimization]. M.: Nauka, 1987. (In Russ.).
5. Anisimov V.G., Anisimov E.G. Algoritm optimal'nogo raspredelenija diskretnyh neodnorodnyh resursov na seti. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1997. [The algorithm is the optimal allocation of resources to non-uniform discrete network. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1997]. T. 37. № 1. P. 54-60. (In Russ.).
6. Hu T. Celochislennoe programmirovanie i potoki v setjah. [An integer programming and network flows]. M.: Mir, 1974. (In Russ.).
7. Ermol'ev Ju.M. Jekstremal'nye zadachi na grafah. [Extreme problems on graphs]. Kiev: Naukova dumka, 1968. (In Russ.).
8. Nechepurenko M.I., Popkov V.K. Algoritmy i reshenija zadach na grafah i setjah / pod red. M. I. Nechepurenko. [Algorithms and solving of problems on graphs and networks / ed. M.I. Nechepurenko]. M.: Nauka, 1990. (In Russ.).
9. Fillips D., Garsia-Dias A. Metody analiza setej / pod red. B.G. Sushkova. [Methods of network analysis / ed. B.G. Sushkov]. M.: Mir, 1984. (In Russ.).
10. Taha H. Vvedenie v issledovanie operacij. [Introduction to operations research]. M.: Izd. dom «Vil'jams», 2001. (In Russ.).
11. Vagner G. Osnovy issledovanija operacij. [Fundamentals of operations research]. T. 1. M.: Mir, 1972. (In Russ.).
12. Mihalevich V.S. Metody reshenija zadach nelinejnogo i diskretnogo programmirovanija / V.S. Mihalevich (otv. red.). [Methods of solution of problems of nonlinear and discrete programming / V.S. Mikhalevich (editor)]. Kiev: IK AN USSR, 1984. (In Russ.).
13. Vagner G. Osnovy issledovanija operacij. [Fundamentals of operations research]. T. 2. M.: Mir, 1972. (In Russ.).
14. Anisimov V.G., Anisimov E.G. Algoritm vetvej i granic dlja odnogo klassa zadach teorii raspisanij. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1992. [The branch and bound algorithm for a one class of problems of scheduling theory. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1992]. T. 32. № 12. P. 2000-2005. (In Russ.).
15. Fyodorov A. V., Aleshkov A.M., Lebedeva M.I. Povyshenie urovnya pozharovzryvobezopasnosti potencial'no opasnyx proizvodstv putyom analiza i upravleniya riskami // Pozhary i chrezvychajnye situacii: predotvrashhenie, likvidaciya. 2011. № 1. S. 21-28. (In Russ.).
16. Anisimov V.G., Anisimov E.G. Modifikacija metoda reshenija odnogo klassa zadach celochislennogo programmirovanija. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1997. [Modification of the method for solving one class of integer programming problems. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1997]. T. 37. № 2. P. 179-183. (In Russ.).
17. Alekseev O.G., Anisimov V.G., Anisimov E.G. Primenenie dvojstvennosti dlja povyshenija jeffektivnosti metoda vetvej i granic pri reshenii zadachi o rance. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 1985. [The use of duality to enhance the effectiveness of the branch-and-bound to solve the problem of the knapsack. Journal / of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1985]. T. 25. № 11. P. 1666-1673. (In Russ.).
18. Artamonov V.S., Chernyh A.K., Klykov P.N. Podhod k ocenke jeffektivnosti sistem upravlenija organizacionnymi sistemami, funkcionirujushhimi v real'nom masshtabe vremeni // Problemy upravlenija riskami v tehnosfere. [The approach to assessing the effectiveness of systems of control of organizational systems that operate in real time // Problems of risk management in the technosphere]. 2014. № 4 (32). P. 60-68. (In Russ.).
19. Alekseev A.O., Alekseev O.G., Anisimov V.G., Anisimov E.G., Jachkula N.I. Primenenie cepej Markova k ocenke vychislitel'noj slozhnosti simpleksnogo metoda // Izvestija Rossijskoj akademii nauk. Teorija i sistemy upravlenija. [Application of Markov chains to the evaluation of the computational complexity of the simplex method // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Theory and control systems.]. 1988. № 3. P. 59-63. (In Russ.).
20. Maslakov M.D., Chernyh A.K. Ob odnom podhode k ocenke jeffektivnosti matematicheskih modelej // Problemy upravlenija riskami v tehnosfere. [On one approach to evaluation of the effectiveness of mathematical models of risk management // Problems in the technosphere]. 2013. № 3 (27). P. 67-73. (In Russ.).
21. Anisimov V.G., Anisimov E.G. Algoritm resursno-vremennoj optimizacii vypolnenija kompleksa vzaimosvjazannyh rabot // Vestnik Rossijskoj tamozhennoj akademii. [Algorithm for Resource and time optimization of performance of a complex of interrelated activities // Herald of the Russian Customs Academy]. 2013. № 1. P. 80-87. (In Russ.).
22. Anisimov V.G., Anisimov E.G., Chernysh A.Ja., Chechevatov A.V. Optimizacionnye modeli i metody v upravlenii innovacionnymi processami. [Optimization models and methods in the management of innovation processes]. M.: Izd-vo RTA, 2006. (In Russ.).
23. Anisimov V.G., Anisimov E.G., Kapitonenko V.V. Jekonomiko-matematicheskie metody i modeli v mirohozjajstvennyh svjazjah: uchebnik. [Economic-mathematical methods and models in world economic relations: the textbook]. M.: Izd-vo Rossijskoj tamozhennoj akademii. 2011. (In Russ.).
24. Anisimov V.G., Anisimov E.G., Botvin G.A. Investicionnyj analiz v uslovijah neopredelennosti. [Investment analysis in conditions of uncertainty]. SPb.: Izd-vo SPbGPU, 2006. (In Russ.).
25. Silkina G.Ju., Jur'ev V.N. Jekonomiko-matematicheskoe modelirovanie v prinjatii innovacionnyh reshenij // Izvestija Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo jekonomicheskogo universiteta. [Economic-mathematical modeling in the adoption of innovative solutions // Bulletin of St.-Petersburg State University of Economics]. 2014. № 3. P. 43-53. (In Russ.).
