CC BY
16
ВОПРОСЫ ИНТЕГРИРОВАННОМ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ
О.В. Лысенкова
Сегодня в новых условиях жизни на планете нужны новые кадры, способные решать в постоянно изменяющемся мире важные, подчас стратегические задачи. Бурными темпами развиваются исследования в области нанотехнологий, требующие всесторонней подготовки и широкого спектра знаний. Это означает, что образование становится мощной отраслью экономики. Необходимо растить новые кадры в разных областях жизнедеятельности: инженеров, конструкторов, физиков, специалистов в области информационных технологий.
Информационные технологии не решают всех проблем. Преобразование мира происходит не обязательно к лучшему. Процесс перехода к информационному обществу характеризуется интеграцией личности в мировые коммуникационные сети в ходе длительной эволюции от социального традиционализма к рационализму и от национальных государств к системе международных отношений и глобализации. Данный процесс всегда сопровождался определенными культурными издержками, включая известную эрозию моральных ценностей. В данном контексте образование как культурное явление способно проектировать возможности будущего общества, формировать новый менталитет, создавать предпосылки новых общественных отношений, порождать новые социальные механизмы. В настоящее время информатизация —
элемент государственной политики в области образования.
В школах оплотом и распространителем информатизации образовательной деятельности были и остаются учителя информатики. Согласно ГОС ВПО по специальности «Информатика» и «Информатика с дополнительной специальностью "Математика"» подготовка будущего учителя ведется как по информатике, так и по математике и физике. Учитель информатики получает всестороннюю фундаментальную подготовку. Это и обусловливает актуальность обсуждаемого вопроса.
Мы хотим затронуть некоторые аспекты подготовки учителя информатики, коснуться методики преподавания математики будущим учителям информатики, имеющей свои особенности. Наша методика основана на построении связей между математическими моделями и их компьютерной реализацией, построении на их 13 основе более сложных алгоритмов и их реализации с помощью изучаемых языков программирования или прикладного программного обеспечения.
Можно научиться работать с компьютерными приложениями, рисовать чертежи, строить графики, работать с видео- и аудиоприложениями, выучить основные команды и программировать красивые сайты, но только фундаментальная, всесторонняя подготовка, базирующаяся на математических знаниях, дает возможность учителю информатики расширить круг задач для изучения, повысить степень понимания принципов работы компь-
1 / 2008
Преподаватель XXI
ютерной техники. Математическая подготовка не менее важна для будущего учителя информатики, чем для учителя математики, она расширяет базу задач и алгоритмов, которые позволяют показать тесную взаимосвязь математики с различными науками, проиллюстрировать, что математика не является теоретической наукой, а способна решать задачи, имеющие подчас очень важное, иногда и стратегическое значение.
Базовые дисциплины математической подготовки (такие, как теория вероятностей, теория множеств, алгебра логики и пр.) позволяют овладеть аппаратом языка математики и, пропуская эти знания через призму информатики, привести к решению широкого спектра информационных задач.
Основной идеей формирования материалов курсов математической подготовки, по нашему мнению, должны стать их практическая и прикладная составляющие. Необходимо, чтобы изучение математики будущим учителем информатики происходило с помощью других, инновационных средств, основанных на информатизации. Студенты учатся не только решать математические задачи, но и отбирать технологические средства для их решения. Обучение будущего учителя информатики, по нашему мнению, должно строиться по следующей схеме:
Математическая задача
Компьютерная модель
Для формирования математической подготовки будущего учителя информатики важно не только умение изложить алгоритм решения задачи в виде программы или решить ее с по-
Преподаватель XXI
мощью прикладных программ, но и по предъявляемому алгоритму, в случае его некорректной работы, понять, где именно произошел сбой, вернуться от алгоритма программы к математическому алгоритму и исправить неточность. Важно выстроить двухсторонний анализ задачи для проверки корректности работы программы.
Таким образом, цель нашего исследования — выстроить методическую систему интегрированного преподавания математики и информатики для будущих учителей информатики, делая акценты на алгоритмические дискретные задачи, отрабатывая алгоритмы с помощью компьютера, не меняя содержания математического образования, утвержденного ГОС ВПО по специальностям «Информатика» и «Информатика с дополнительной специальностью "Математика"». Реализацию такого подхода мы предлагаем выстраивать с помощью проблемно-поисковых задач.
В качестве примера приведем алгоритмические задачи в курсе «Теория чисел», входящем в математическую подготовку будущего учителя информатики. Классический курс теории чисел выбран потому, что он содержит наибольшее количество тем и теорем, поддающихся алгоритмизации, а также служит базой для последующего изучения ряда дисциплин, таких как «Криптография», «Компьютерная безопасность».
1) Теорема о делении с остатком. Отношение делимости. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Взаимно-простые числа.
2) Простые числа. Теорема Евклида. Основная теорема арифметики. Роль простых чисел в криптографии. Распознавание простоты числа.
- 1 / 2008
a. Решето Эратосфена.
b. Для фиксированного натурального n:
i. Отыскание делителей d\n, d{1,.., n};
ii. Отыскание простых делителей p\n, Цп < р;
iii. Критерии простоты.
3) Арифметические функции. Мультипликативные функции и их свойства. Функции (п), (п), и их обобщения. Совершенные и дружественные числа. Тест на дружественность. Функция Эйлера.
4) Теория сравнений:
a. Сравнения и их свойства. Теорема Ферма. Теорема Эйлера;
b. Решение сравнений I степени;
c. Решение сравнений по простому и составному модулю;
d. Решение сравнений по составному модулю;
e. Сравнения II степени по модулю р. Символ Лежандра. Тест Соловья;
f. Показатели. Тест Миллера-Раби-на;
g. Индексы;
h. Арифметические приложения теории сравнений:
i. Сложность арифметической операции;
ii. Возведение в степень;
iii. Дискретный логарифм; RSA-криптография.
5) Цепные дроби. Числа Фибоначчи. Теорема Ламэ.
Расширяя область знания алгоритмов теории чисел, мы решаем несколько задач: расширение библиотеки алгоритмов для программирования, реализация перехода от алгоритма к математической задаче, подготовка к пониманию и практическому применению криптографии, теории кодирования.
Для всех вышеперечисленных задач существует четко выстроенный математический алгоритм решения. Эти алгоритмы можно давать как в готовом для программирования виде, так и в виде программы, в алгоритме которой допущены некоторые значимые неточности, приводящие к неправильному ответу. Во втором случае задачей студента является оценка правильности работы программы и исправление алгоритма согласно математическому аналогу.
Рассмотрим предлагаемую методику на примере темы «Решето Эратосфена». При изучении теории простых чисел студентам предлагается изучить алгоритм решета Эратос-фена для произвольного n и на конкретном примере.
Познакомившись с теорией, студенты решают ряд практических задач, направленных на отработку теории. Среди них могут быть, например, следующие задачи.
Задача. Найдите все простые числа на отрезке от 80 до 110.
Для отработки навыков програм- 15 мирования студентам предлагается программа, написанная на языке C++, изучаемом в курсе программирования, позволяющая находить простые числа на интервале от 1 до n:
#include <stdafx.h> #include «eratosthenes.h» /"Процедура заполняет массив P простыми числами, меньшими n, элемент массива является последним, если следующий за ним элемент равен 0.**/
void eratosthenessieve(const int& n, ap::inte-
ger_1d_array& p) {
bool c; int i; int j; int k;
1 / 2008
Преподаватель XXI
int r;
double s; if( n>200 )
16
r = ap::trunc(n/(log(double(n))-2)+1);
{ }
else {
r = ap::trunc(1.6*n/log(double(n))+1); }
p.setbounds(1, r);
р(1) = 1; p(2) = 2; p(3) = 3; i = 4;
do {
p(i) = 0; i = i+1;
}
while(i<=r);
i = 3; k = 3;
do {
i = 2;
s = sqrt(double(k)); c = true;
do {
i = i+1;
if( P(i)>s ) {
P(i) = k; i = i+1; c = false;
}
}
while(ap::trunc(double(k)/double(p(i)))*p(i)!=k&&
c);
k = k+2;
}
while(k<=n);
}
Задания по предъявляемой программе и изученному алгоритму:
Задание 1. Напишите блок-схему, описывающую алгоритм решета Эратос-фена. При выполнении задания используйте математическую интерпретацию алгоритма.
Задание 2. Проверьте корректность работы программы с помощью тестирования, беря в качестве переменных различные натуральные п.
Задание 3. Найдите границы отрезка натурального ряда длины 18, свободного от простых чисел, и проверьте наличие в нем простых чисел с помощью протестированной и откорректированной программы.
Выстраивая таким образом материал по всем курсам математической подготовки будущих учителей информатики, мы решаем сразу несколько задач: обеспечение более детального понимания математического материала, развитие навыков программирования, основанного на традиционных алгоритмах дискретной области математики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов Э.И. Общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогическом институте: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. - М., 1990.
2. Рыжова Н.И. Развитие методической системы фундаментальной подготовки будущих учителей информатики в предметной области: Дис. ... д-ра пед. наук. - СПб., 2000.
3. Уваров А.Ю. Пространство задач информатизации школы // Информатика. - 2002. - № 23.
4. Фрумин И., Каннинг М., Васильев К. Политика информатизации и новая школа в России/ Пер. с англ. — М.: Всемирный банк, 2003. - С. 7.
5. Лысенкова О.В. Использование математической логики при работе с Access // Информатика и образование. -2001. - № 4.
6. Dickson L.E. History of Theory of Numbers. - New York: Dover, 2005. ■
Преподаватель^_
ВЕК
1 / 2008
