Волновое обоснование геометрической оптики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.31

КОНОНОВ Борис Павлович, старший преподаватель кафедры теоретической физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 6 научных публикаций, в т.ч. двух учебно-методических пособий

ВОЛНОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

В статье отмечена недостаточность внимания, которое уделяется вопросу волнового обоснования геометрической оптики в учебных курсах общей физики, и в связи с этим рассматриваются эйконал, уравнение эйконала, оптико-механическая аналогия, принцип Ферма. В качестве примера дано решение задачи о распространении света в плоско-слоистой среде на основе уравнения эйконала и принципа Ферма.

Геометрическая оптика, эйконал, уравнение эйконала, принцип Ферма, законы геометрической оптики

Введение. Вопросам волнового обоснования геометрической оптики (ГО) в курсах общей физики не уделяется достаточного внимания. В пользу включения этих и связанных с ними вопросов в курс общей физики можно привести следующие доводы.

В целом речь идет о повышении научного уровня при изложении данного раздела. Это достигается более глубоким и детальным рассмотрением условий применимости понятия луча в оптике неоднородных сред и введением понятия эйконала. Использование эйконала позволяет повысить аналитический уровень геометрической оптики, позволяет получить законы ГО и расширить круг задач, традиционно решаемых в ГО, включением задач о распространении света в неоднородной среде. Понятие эйконала тесно связано с принципом Ферма. Полезно показать эту связь и продемонстрировать применение принципа для решения конкретных задач.

В современной прикладной оптике (волноводы, распространение света в неоднородных и

дисперсных средах) широко используют геометрическую волновую оптику, основой которой является теория эйконала, но кроме того производится расчет и интенсивности.

Обсуждаемые вопросы интересны и в историческом плане. Метод эйконала был разработан в начале XIX века Гамильтоном для решения задач оптики. Гамильтон отметил аналогию между уравнениями оптики и механики и перенес разработанный им метод в механику. Так в физике появилось понятие «оптико-механическая аналогия», которая через сто лет сыграла эвристическую роль при создании квантовой механики. Указанная аналогия, конечно, важна и сама по себе.

Целью статьи является изложение очерченных выше вопросов в форме, позволяющей включить их в курс общей физики. В статье кратко излагается теория эйконала и связанные с ней вопросы. Предложена подборка тематически связанных задач, которые решаются разными методами, в т.ч. и на основе уравнения эйконала.

1. Условия применимости ГО. Уравнение эйконала. В ГО волновая природа света игнорируется. Полагают, что энергия света распространяется вдоль лучей. Понятие луча естественно появляется в теории плоских или сферических волн в однородной среде. В этом случае лучи - прямые линии, направление^кото-рых определяется волновым вектором к, совпадающим с направлением распространения энергии. Лучи и волновые поверхности взаимно ортогональны.

Для ГО существенно рассмотрение распространения волн в неоднородной среде. Исследуем условие применимости здесь понятия луча [2].

Будем исходить из волнового уравнения

= о.

(1.1)

где п = п(х, у, г).

Напряженность электрического поля (световой вектор) есть действительная компонента комплексной величины А.

Исключим временную зависимость величины А с помощью подстановки:

А {г, Г) = А (г )еш. (1.2)

Получим уравнение Гельмгольца:

АА + к2п2А = 0, (1-3)

где

к =

ю

В однородной среде его решением будет А р ) = , (1.4)

здесь пкг — к'г - фаза волны у,

к' - волновое число в среде.

В случае, когда показатель преломления зависит от координат, решение будем искать в виде

л (г):

■ ае

гкЪп

(1.5)

где Цг) =

оптическии путь, или «эйконал».

Подстановка Ь[г| в уравнение Гельмголь-

ца дает

)2 = п2 + — АЪ. (1.6)

Допустим, что во всех точках пространства

АЬ

(1.7)

тогда (gradL)2 = п2 - это уравнение эйконала

- основное уравнение геометрической оптики. В развернутой форме оно записывается так:

дъ

\дх у

+

+

дъ

V& у

= п

(1.8)

КдУ )

Из него получаем

\gradL| = п. (1.9)

Разложим функцию £ (V ) в ряд в окрестности произвольной точки г0 по степеням [г - Г0 ^ ;

1 (г) =1 (го) + (г - го ^гасИ)_. (1.10)

Введем вектор к, совпадающий по модулю с числом к, а по направлению с (gradL)-. После подстановки формулы (1.10) в предполагаемое решение будем иметь

А = ае

гк[1 (г0 )+(?-г0 \gradL)-

1кгп ( г0)

Т.К.

(1.11)

^гайЬ )- = п (г0). (1.12)

Это выражение совпадает с уравнением плоской волны. Следовательно, в данном приближении можно ввести лучи, перпендикулярные поверхностям равной фазы, т.е. применима ГО.

Так как \gradL\ - п, то —т

п и

с12Ь dn

^ТТ~ , значит \АЦ • (1.7), получаем

Ап

Ах

, тогда, используя

1 Ап

к Ах

<< п

или

X Ап

2п Ах

<< п

(1.13)

Это будет выполняться, если X << Ах, то есть соотношения ГО справедливы, когда длина волны много меньше расстояний, на которых заметно изменяется показатель преломления. В частности, в случае кусочно-однородной среды длина волны должна быть много меньше размеров однородных областей: отдельных тел, отверстий и т.п. Заметим, что в этом случае на рассматриваемых расстояниях фаза и эйконал принимает большие значения.

По существу, законы ГО выполняются при предельном переходе Х^ 0.

2. Оптико-механическая аналогия. Вернемся к общему уравнению волны А = аеир, где Ф - фаза волны, пропорциональная эйконалу. Ее часто тоже называют эйконалом [1].В приближении ГО эйконал является большой величиной.

Разложим эйконал в ряд в малом участке пространства и времени, выбрав начало координат и начало отсчета времени в рассматриваемом участке:

- дт дт 9 = % + г^.

дг ох

(2.1)

В малой области можно считать плоской волну, фаза которой задается выражением

ф = кг - Ш + ф0. (2.2)

Сравнивая (2.1) и (2.2) получаем

£ = -^ = gradф и ю = . (2.3)

дг дt

В четырехмерной форме , дф к‘ = -*• (24)

Здесь

,■/ Л ,(а ГЛ х [сї, г кі —к

Vс )

Так как = 0 , то получаем др_ оу = 0

дх- дх1 ‘

Его явный вид

.Л2

дф

дх

+

ґдфл 2

V

ду

+

дф

дг

л2

.л2

ю

С ;

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Это уравнение эйконала, как и уравнение (1.8). Оба они аналогичны уравнению Гамильтона-Якоби для материальной точки. Уравнения (2.3) аналогичны уравнениям механики материальной точки, связывающим действие с импульсом и функцией Гамильтона

- дБ тт дБ

Р = —, Н ---------

дг ді '

(2.8)

Эта аналогия получила в физике название оптико-механической.

Аналогом действия в ГО является эйконал (фаза). Волновой вектор в ГО играет роль импульса материальной точки, а частота - роль функции Гамильтона. Величина к — <у/с, что аналогично соотношению между энергией и величиной импульса для частиц с нулевой массой: р — Щс. Для материальной точки выполняются уравнения Г амильтона

д дН д дН

Р =--------, г =-------

дг др

(2.9)

По аналогии для лучей получим уравнения

к -

да дг ’

г — ■

дсо дк '

(2.10)

3. Принцип Ферма. В механике материальной точки справедлив принцип наименьшего действия. В гамильтоновой форме он выражается формулой

ЬЖ = 0.

(3.1)

В ГО в такой форме его записать нельзя, т.к. распространение лучей аналогично распространению частиц с нулевой массой, и функция Лагранжа для них равна нулю.

Для материальных точек с постоянной энергией эквивалентным принципу Гамильтона является принцип Мопертюи:

SS = S J ~pd l = 0 .

(3.2)

Интегрирование здесь производится по траектории частицы между двумя заданными ее положениями.

Аналогом частицы с постоянной энергией будет волна, которая характеризуется определенной постоянной частотой. Для такой волны эйконал равен

(р = -Ш + % (х, у, г), (3.3)

и уравнение эйконала принимает вид

(grad% )2 =

а

с

(о (3'4)

отсюда = — и gradq>0 = к ■ Волновые

поверхности являются поверхностями постоянного эйконала ф0 {х, у, z) = const. Направление лучей совпадает с направлением градиента эйконала. В каждой точке лучи перпендикулярны к соответствующей волновой поверхности.

Запишем для лучей принцип, аналогичный принципу Мопертюи, его называют принципом Ферма:

S(p = <5 J kdl = 0. (3.5)

Произведем простые преобразования:

7 ,t 2п и — , 2п „

kdl - — п vdt — — ndl.Поэтомуприн-л0 и л0

цип Ферма можно записать в таком виде

SL = 5 J ndl.

(3.6)

Так как ndl = nvdt = cdt, то получаем еще одно выражение принципа Ферма:

St = 8 J dt.

(3.7)

Формулировка принципа Ферма: из всех путей, соединяющих две заданные точки, свет «выбирает» такой, для которого время (оптический путь) экстремальны.

Справедливость принципа Ферма никоим образом не связана с тем, что свет избирает для себя самый удобный, требующий минимального времени путь. Из требования минимальности оптического пути (времени) легко получить закон прямолинейного распространения света, законы отражения и преломления света. Но при отражении от достаточно искривленной поверхности речь идет уже о максимальности этих величин. С другой стороны, образование изображений при преломлении лучей (параксиальных) на сферической поверхности и в тонкой линзе объясняют одинаковостью оптических путей всех лучей.

Справедливость принципа связана с волновыми свойствами света. Он есть следствие того, что распространение света - это распространение волн, в которых электрическое и магнитное поля очень быстро (1015 раз в секунду) меняют свое направление. Если рассмотреть два пути, соединяющие две точки, то при разности оптических путей, не превышающей А/2 , световые волны, накладываясь в конечной точке, будут усиливать друг друга. В реальных ситуациях речь идет о световых пучках, имеющих поперечные размеры, и о бесконечном количестве лучей, идущих по близким путям. При этом все соответствующие волны взаимно усиливают друг друга.

4. Световые лучи в плоско-слоистой среде. Плоско-слоистой средой называют среду, в которой показатель преломления изменяется в поперечном к слоям направлении. Определим формы световых лучей в такой среде путем решения уравнения эйконала. Для упрощения рассмотрим двумерный случай. Пусть свет распространяется в плоскости (х, у), которая перпендикулярна слоям. Ось у ориентирована перпендикулярно слою. Показатель преломления зависит только от у: п = п (у) .

Уравнение эйконала имеет вид

/яг Л2 (dL\2

дъ

\дх j

+

ду

=П2(у).

(4.1)

Так как п зависит только от у ,то решение уравнения имеет вид

Ь = ах + / (у). (4.2)

Подстановка этого решения в уравнение эйконала дает для функции / выражение

/ = ±Уп2 (у)~а2ф. (4.3)

Тогда эйконал выразится формулой

Ь = ах± 2 (у)-а2ёу . (4.4)

Дифференцируя I по й, получим уравнение луча

X = о ±

ь ±|-

а

У)

?4у

-а

(4.5)

Конкретный вид луча определяется начальными условиями: точкой выхода и направлением, и зависимостью п(у). Знак «+» соответствует распространению луча по направлению оси х , знак «-» - против. Луч может испытывать поворот. Для луча точка поворота определяется условием у'х = 0. Производная

У, =±

\1п 2 (у)

- а

а

(4.6)

Отсюда следует, что а = п(уг ) = п1, где уг -координата у точки поворота, п1 - показатель преломления в точке поворота. Вторая производная

Ух=-

dn dy dy dx

«Vп {у)

-а

— ^ п ЛУ п

При ф > < и точка поворота будет

„ *п < 0 ф > о

на нисходящеи траектории, при "> и

dx

dn

на восходящей. Если ^ < 0 в первом случае

и

^ > о

dy

во втором, то точек поворота не бу-

дет. Возможные формы лучей представлены на рис. 1 [4].

Поворот луча подобен полному внутреннему отражению света. Подобный ход световых лучей объясняет такие наблюдаемые в природе явления, как рефракция и миражи. Этот ход лучей имеет место в световых волноводах, которые используются в волоконной оптике.

Используя полученное выражение для производной (4.6), можно получить законы геомет-

Рис. 1. Возможные формы лучей в плоско-слоистой среде; лучи выходят из начала координат. Слева: показатель преломления в направлении снизу вверх уменьшается; в центре: показатель преломления в направлении снизу вверх увеличивается; справа: показатель преломления в направлении снизу вверх сначала уменьшается, а затем растет.

рической оптики. Производная у'х равна ctg s, где £ - угол падения луча.

Vй 2 (у )~а2

ctgs = ------------.

а

Отсюда получим, что п sin s = а = const -закон преломления. Если п = const, то sin s = const. Это закон прямолинейного распространения света. Если формально приписать второй среде показатель преломления П2 = —П1, то получим закон отражения света: £2 = —£1.

5. Некоторые особенности распространения света в волноводах. Рассмотрим рефракционный волновод, показатель преломления в котором убывает от оси к краям. Уравнение луча (4.5) можно применить в этом случае, если рассматривать распространение света в осевом

сечении волновода. Профиль п{у) показан на рис. 2а, поведение лучей света, когда источник находится на оси волновода, - на рис. 26.

Волноводный луч в волноводе сп = п{у) имеет бесконечное число точек поворота, соответствующих ymin и Утг_х. Шаг луча определяется формулой h = 2 [х (j;min)- х (ymsK)]. В точках поворота и (ymin ) = п (утах ) = п1, на оси -

п0.Аппроксимируем функцию п{у) вблизиточ-

2

2 / \ 2 У

ки поворота параболой п ) « п0------у.

Из уравнения луча (4.5) получим для шага к = 2ппха. У этих лучей угол падения пример-

п

но Из выражения для шага следует, что он

для приосевых лучей примерно одинаков. В результате такие лучи периодически фокусируются на оси.

6. Рефракция и миражи. Площадь земной атмосферы уменьшается с увеличением высоты над Землей. Поэтому в соответствии с изложенным выше световые лучи, идущие от звезд, искривляются, обращаясь выпуклостью вверх. Это проявляется в наибольшей степени для звезд, расположенных низко над горизонтом. В результате видимое положение звезды выше истинного (рис. 3). Рефракция солнечных лучей обуславливает явление утренних и вечерних сумерек.

Искривление хода лучей в атмосфере приводит к явлению миражей. Различают верхние (рис. 4а) и нижние (рис. 46) миражи.

7. Применение принципа Ферма. Рассмотрим снова распространение света в плоско-

а б

Рис. 2. Ход изменения показателя преломления вещества волновода в его поперечном сечении: на оси волновода показатель преломления максимален и уменьшается при удалении от нее одинаково по всем направлениям (а); форма лучей в волноводе. Лучи выходят из точки на оси волновода под разными углами к ней и распространяются вдоль волновода, испытывая многократные повороты. Для приосевых лучей шаг траектории примерно одинаков (б)

5'

Рис. 3. Рефракция света в атмосфере Земли а

Рис 4. Верхний мираж: возникает, если показатель преломления воздуха уменьшается при удалении от поверхности Земли (а); нижний мираж: возникает, если показатель преломления воздуха возрастает при удалении от поверхности Земли (б). Часто картина миража приводит к иллюзии отражения предметов в воде

сти х, у. Показатель преломления зависит только от координаты у , то есть п = п{у). Надо определить уравнение луча.

Решим эту задачу, применив принцип Ферма. Время распространения света между двумя точками вычисляется по формуле

=

? = — [ пйЬ

с * ’_________

| пйЬ = | п (_у )д/1 + у'2 dx.

(7.1)

Этот интеграл представляет собой функционал, принимающий в соответствии с принципом Ферма экстремальное значение. Для решения подобной задачи используют метод Эйлера.

Условие экстремума функционала приводит к уравнению Эйлера

Р'у(х, у, у')~ Р”(х, у, у’)- К' (х’ У’ у') у' ~ РуУ (х’ У’ у')у" = °- (7-2)

В нашем случае

^ = п (у ■ (7.3)

Функция Р не содержит х, поэтому в левой части (7.2) отсутствует второе слагаемое. После умножения обеих его частей ^а у' его можно переписать в виде ^ - Р'у,у= 0, откуда, интегрируя, получаем промежуточный интеграл уравнения Эйлера

р - К У' = с,.

(7.4)

В нашем случае будем иметь

п (у)

= с,

Отсюда

+ Г Схйу

I'

= dx

п (у)] - сі2

Интегрируя, получим

Лу

С, [

•I"м5

— х +

■с:

(7.5)

(7.6)

(7.7)

Получился тот же результат, что и в разделе 4.

Пусть зависимость показателя преломления от у имеет вид п - п0 - к у. После интегрирования и несложных преобразований придем к уравнению луча

к „ к —х+С ----------х+С

С1 еСі + е Сі

+ -

Постоянные С) и С определяются из начальных условий. Пусть при х = 0, у — к , п = п1, и при у — 0 п = п0. Отсюда получим Сх = пх. Для симметрии С = 0. Луч представ-

ляет собой «цепную линию» (график гиперболического косинуса). Условие у' = 0 определяет точку поворота луча при х — 0.

к

----X

пл е1 + ещ

к 2 к

Форму луча представим на рис. 5.

Заключение. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. Введено понятие эйконала. В физической литературе существуют определенные разночтения в определении эйконала: как фазы [1] или как оптического пути, например, в [2-5]. Большинство авторов и автор данной статьи отдают предпочтение второму подходу, как более удобному при математических выкладках;

2. Дано аналитическое обоснование принципа Ферма и его волновое истолкование;

3. На основе уравнения эйконала решена в общем плане задача о распространении света в плоскослоистой среде. Эта же задача решена с помощью принципа Ферма;

4. Показано, что законы геометрической оптики можно получить как следствие полученного решения;

5. Решение отмеченной выше задачи применено для объяснения распространения света в волноводах и явления миражей.

Рис. 5. Форма луча

Список литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля: Курс теоретической физики. Т. 2. М., 1967. С. 460.

2. МултановскийВ.В., Василевский А.С. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика. М., 1990. С. 272.

3. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М., 1967. С. 648.

4. КравцовЮ.А., ОрловЖМГеометрическая оптика неоднородных сред. М., 1980. С. 304.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М., 1973. С. 721.

6. БухголъцН.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. II. М., 1969. С. 328.

Kononov Boris

WAVE SUBSTANTIATION OF GEOMETRICAL OPTICS

The article points out the lack of attention to the issue of wave substantiation of geometrical optics in the general physics training programmes. Eikonal, eikonal equation, optomechanical analogy, Fermat principle are considered in this connection. The solution for the light propagation problem in the flat-layered medium on the basis of the eikonal equation and Fermat principle is given as an example.

Контактная информация: e-mail\ boris@gmail.com

Рецензент - Шестаков Л.Н., доктор физико-математических наук, профессор, начальник комитета по надзору в сфере образования по Архангельской области