Волноводные свойства открытых планарных связанных нерегулярных композиционных структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

Волноводные свойства открытых планарных связанных нерегулярных композиционных структур

А.И. Киреева, И.П. Руденок Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

Аннотация: Рассмотрено взаимодействие собственных и несобственных поверхностных волн нерегулярной планарной композиционной системы, состоящей из связанных анизотропно- градиентных плёнок с диэлектрическим покрытием и подложкой. Получена система связанных интегроквазидифференциальных уравнений относительно амплитудных коэффициентов волн дискретного и непрерывного спектра. Найдены их решения, позволяющие оценить влияние параметров и характеристик сложной среды на особенности и условия преобразования волн различной поляризации.

Ключевые слова: связанные нерегулярные композиционные системы, анизотропноградиентные структуры, системы связанных интегро-дифференциальных уравнений, поверхностные волны дискретного и непрерывного спектра, параметры градиентности элементов тензора диэлектрической проницаемости.

В настоящее время на основе связанных волноведущих структур проектируется широкий круг интегральнооптических элементов и узлов (лазеры с распределённой обратной связью, сверхрешётки и т.д.), в котором доминирующим свойством является управление волноведущими режимами структур, входящих в связанную систему [1-3].

Новые достижения и технологии в создании сложных сред усиливают интерес к этой области, как это уже неоднократно происходило и ранее. Весьма актуальным для будущих приложений и теоретических изысканий с точки зрения роста разнообразия физических эффектов является анализ связанных (несвязанных) структур, имеющих одновременно градиентные, анизотропные и нелинейные среды при изменении их границ по вполне определённому закону [4-6]. Здесь ещё остаются не разрешёнными до конца следующие моменты, касающиеся механизма связи мод смешанного волнового спектра системы, в которой, с одной стороны, происходит обмен энергией между модами дискретного и непрерывного спектра каждого из

волноводов, а с другой стороны, процессы взаимодействия и перекачки мод волноводов связанных между собой [4,7-10].

Как правило, анализ таких структур проводится методом связанных волн или численными методами на основе вариационных и проекционных при наличии нерегулярностей одного типа, например, анизотропии материальных характеристик [11,12]. Учёт нескольких типов нерегулярностей, например, композиции анизотропии, градиентности, нелинейности и изменении границ волноведущих структур, в том числе и периодического, многопериодического, почти периодического порождает значительные математические трудности. В первую очередь они связаны с выбором базисов с локальными носителями в специальных конечномерных подпространствах функций или базисов без локальных носителей для лучшей аппроксимации сингулярной части волновых решений поставленной краевой задачи [13-15].

Поэтому представляет интерес изучение пространственно-временных эффектов в таких связанных волноведущих системах указанными методами анализа, включая и отдельно входящих в них нерегулярных композиционных структур и сравнение полученных результатов с регулярными однородными структурами.

Рассмотрим плёночную композиционную систему (рис.1), которая состоит из двух нерегулярных анизотропноградиентных плёнок толщиной, соответственно , 2/2. Они разделены однородной диэлектрической плёнкой или подложкой толщиной /о. Внешние бесконечные окружающие слои или покрытие имеют одинаковые материальные характеристики. Покрытие имеет диэлектрическую проницаемость £в, а подложка характеризуется материальными характеристиками £п, ¡¡п, причём ¡¡п = ¡1В.

Ось Ох направлена перпендикулярно поверхности слоёв. Распространение волн происходит в направлении оси Ох. В рассматриваемой геометрии главные оптические оси тензора диэлектрической проницаемости повёрнуты вокруг оси Оу, что позволяет разделять электрические и магнитные волны дискретного и непрерывного спектров двух изолированных волноведущих структур.

z

> z

Рис.1. - Геометрия связанных анизотропноградиентных волноведущих структур. Волноведущие слои имеют тензоры диэлектрической проницаемости вида:

'еп ( Ч^-^ Чп, х) 0 ^з (qo, Ч^-^ Чп, х)'

Ь =

0

Ь31 ( Чи-^ Чп, х )

Ь22 (Яo, Чи-^ Чп, х ) 0

0

Ьзз (Чo, Чl,■, Чп, х)

(1)

Ь2 =

~11 (( ё^-- ёп, х) 0 ~13 (ё0, ё^-- ёп, х)

0 ~22 ( gl,■, ёп, х) 0

~31(ё0, ё1, — , ёп,х) 0 ~33 (ё0, ё1, — , ёп,х)

(2)

еп(4l,■••,4п,*)=£п,шI1 -40 -4хх-42х2 -4зх -44х4 -45х5 -4вх6 -■••), (3)

В которых элементы зависят от поперечной координаты по обобщённым пространственным распределениям. Например

2 3...

40 - 41 х - 42х - 43х - 44 х - 45 х - 46х а 40, 41, ■, 4п; g0, g1, ■.., gn - параметры градиентности среды.

Для анализа волноводных взаимодействий анизотропноградиентных плёнок будут использованы связанные волны, которые ранее в простейших модификациях применялись в волноведущих структурах с однородными материальными характеристиками. Будем считать, что взаимное влияние основных волноведущих слоёв осуществляется через промежуточный слой с диэлектрической проницаемостью £п. Иными словами учитываем две

несимметричные композиционные структуры сравнения. Возмущение в представленной волноведущей системе определяется близостью открытых структур, изменением их границ по определённым законам и композицией градиентности и анизотропии материальной среды. Результирующий профиль диэлектрической проницаемости получаем в виде: еР г )=£п + Fl(4о, 4l,■••, 4п, x, *)+ ^2 (gо, gn, x, г), (4)

а функция возмущения (д0,4Ь-.,4п,х,г) для /1 (*){( (*)}>0 равна нулю при х>/1 + /1 (*),-/1 + ( (*)<х</1 и х<-/1; ±5ё1 (40,41,—,4п,х), когда /1 < х < /1 + /1 (г), - /1 < х < -/1 + ((г).

Функция возмущения ^ (g0,g1,■..,gn,х,г) для /2 (г){(2 (г)}< 0 равна

нулю при /2 < х, - /2 < х < /2 + /2 (г) и х < -/2 + (2 (г);

±ё (gо, gn, x), если 12 + /2 (г)< х < /2, - 12 +(2 (г)< х < -/2 ,

где

ё (4о, 4l,■, 4п, х )=ё1 (4о, 4l,■, 4п, х)-ёп,

ё (g 0, gn , х )ё2 (g 0, gn, х)-ёп

Получим обобщённые связанные интегроквазидифференциальные уравнения модовых преобразований в волноведущей системе, схематично изображённой на рис. 1. Произвольное распределение электрического и магнитного полей в ней можно представить совокупностью собственных волн смешанного спектра планарных структур сравнения:

Еу = 2 Ст ' Е<у!т ((0 , Чп ,жт,х, 2) +

т

+ 2 В- ■ Е (у,1 ( ё^--^ ён ,а— х г) +

V

да

+ 21 А(а) ■ Е у1 (ч0, ч1,..., чн ,а, х, г )с!а +

0

да

+ 2| В(р)■ Е У (ё 0, ё1,., ён , Р, х, 2 2)йр,

(5)

где знак суммы распространяется на прямые и обратные моды дискретного и непрерывного спектра; а„ р - внешние поперечные волновые числа мод непрерывного спектра. Подставим выражение (5) в приведённое волновое уравнение и получим:

2

д Ст 2 ]Гт + Ст (ёo, ё^-- ён , ^ 2)

дг2

дг

Е<у^т (Чo, Чl,•■•, Чп ,®m, х) +

+ 2!

0

д А(а) - 2 jr(a}дA() + А(а (ёo, ёl, ., ёп , X, 2)

дг2 7 дг

Еу1 (, Ч1,., Чп ,а, х ) +

(6)

+

+

2

V

да

2!

д2я ~ дв 2 ( )

-г^--2jYv~: + ш МЕ1 (Чo,Чl,.,Чп,x,г) дг дг

ЕУ- (ёo, ёl,., ёп,а— х) +

д 2 Вр>)-2 jy(р)дBрР- + В(р)ш2М (40, Ч1,., Чп, х, г)

дг 2 дг ■ Е<у] (ё 0, ёl,., ё„, р, х )р = 0.

Проинтегрируем уравнения (6) по всему поперечному сечению, используя соотношение ортогональности, и получим:

т

да

д2С, ^ дС/ ^^ { ч

2]Г1— + 2 Ст Ф т/ (4о, g 0 , ^ 4п , gn г) +

т т/

дг дг

+ 2| А( g о, ■ • •, 4п, gn г)) (4о, g о, ■ ■ ^ 4п, gn г )а +

0

+ 2 АЛ/ (4о, g о, ■ • ^ 4п, gn г) +

да

+ 2| в(р)г/ (4о, g о, ■ • ^ 4п, gn ^ г )р 0.

0

д ^а ) - +2 Ст y(4о, 4^ ■ • •, 4п ^ а ', г) +

дг дг т

да

0,4Х,—, 4п ,а,а'' , г )я?а +

о

+ 2 dvrv(4о, g о, ■ • ^ 4п , gn ^у,а ' , г ) +

V

да

+ 2| в(P)Q(4о, g о, ■ • ^ 4п, gn ^1,а \ г )р 0.

д2А „ дD,

+ 2 АЯ/( 0, gl,■••, Яп ,Sl,Жv, г) +

дг2 дг

да V

+ 2| в(Р^1о, £п ,~l, г )р

0

+ 2 СтПт1 (0 , 0 , 4п , <§п , ^ ,Ж1 , г)

т

да

(7)

+ 2| А(а)к1 (4о, я о, ■ • ^ 4п, Яп г Уа = 0.

0

^вг^ - 2. /гР)^+2 Ау lv(g о, а,-, яп ,8у, р',-)+

дг дг у

да

+ 2| вр)м (я 0 , gl,■, Яп , P, Р\ г )ф + 2 Стn (4о, я 0 , ■ *', 4п , яп Р', 2) +

0 т

да

+ 2|А(а)-1 ^о" Я о, ■ • ■, 4п, Яп,а, Р^ г )^а = 0.

Представим в качестве примера некоторые коэффициенты в уравнениях (7):

Ф ml (Чo, ё 0 ,'" ', Чп , ёп ^^ г )=Г1Ш \М ! Еу}* (Чo, Чl,••■, Чп х

2ш|Р -да

■ Е2 (ё 0, ё^-^ ёп , X, г )ЕУ1т (Чo, Чl,., Чп х

у ,

, 2 +да

\Т1 (Чo,ё0, ■ ■ ■,Чп,ёпР,гЬ^Ш ^р^ !ЕУ1)Г(Чo,Чl,.,Чпх>

\ 2ш|Р -дау ,

■ Е1 ( Чl,., чп , X, г )) (ё 0, ёl,., ёп , Р, х )

( л 2 +да

^т ( чl,чп г) = 2Ш Р1 ^ ! ЕУГ (чo, чl,., чп ,а х ^

I1 —да

■ е1 (чo, ч^чп, x, г ))У1т (чo, чl,., чп х )х

( '\ 2 +да

О/ (Чo,ёo,Чп,ёп,аР,2)=Г а Ш р 1 !Е(уГ(Чo,Чl,Чпх) (8)

' —да

■ Е2 (ё 0 , ё^-^ ё„ , X, г ^ (ё 0 , ё^-^ ёп , Р, х

2ш|р

■ (чo, чl,., чп, x, г )Е(у1 (чo, чl,., чпа х )х

+да

(чo,ё0,■ • •,чп,ёп^/аг)= 2ш пр !ЕУ2Г(ё0,ё^-^ёп^/,х>

' —да

2 +да

М(ё0,ё1,•••,ёп,Р,Р,г)= рп 1 !(ё0,ё1,-,ёп,Р,х)■

2юиР —

' —да

■ Е2 (ё 0 , ё^- , ёп , X, г )Е^2) (ё 0 , ё^ - , ёп , Р, х )^х

Отметим, что в системе уравнений (7) выделены только частные производные по продольной координате г. Однако, амплитудные коэффициенты разложения полей в этих уравнениях зависят ещё от поперечной координаты х и параметров градиентности Ч0,Ч1,-,Чп,ё0,ё1,-,ёп через зависимость от них функций поперечного сечения волноводов и возмущённых их взаимным присутствием

диэлектрических проницаемостей. Выпишем несколько решений для коэффициентов разложения полей системы уравнений (7):

С/(4о, § о^--, 4п, §п, x, 2 ) = ¿1 (4о, § о,■••, 4п, §п, х) + + ¿2 ( § о, ■ • •, 4п , §п, х) ^Р^т-) +

2у1

|2 СтФт1 (4о, § 0 , ■ • • , 4п , §п/ +

0 т

V

+ 2ЦА(а)^/(4о, § о, ■ • •, 4п, §п +

о о

-

+ |2 АУ V (4о, § о, ■ • •, 4п , §п ,Жу,®1,£) +

0 у

г да

+ 2Нв(р)т/ (4о, § о, ■ • •, 4п, §п Р^Р^

о о

, ^Р(2/у/2)

2/у/

| exp(- 2/У^2 Ст Фт/ (4о, § 0,■ , 4п , §п +

(9)

* ^ V

+ 2|exP(-А(а))(4о,§о,■••,4п,§п,&1,а,^)с1а ^ +

00

-

+ | exp(- 2 А ру/(4о, § о---, 4п, §п ,~у,ъх,£)<1£ +

0у - да

+ 2} ^Р(- в(р)т/ (4 0, § о^--, 4п, §п Р^МР^

в (4о, § 0,■••, 4п , §п, р^ x, 2 )=01 ^ § 0,■, 4п , §п, х )+0 2 ^ § 0,■, 4п , §п, х )х

X

exp(2jy(p')z ) + 2|

/

2~(р')

^ V

}2 А ¿у(§ о, §l,—, §п ^ р',£) +

0 у

+

2}} в(р)и (§0, я,:., §п, р, р', ^

+

о о

+ |2 CmNm (4о, 4l,:, 4п ,^m, Р', ^ +

0 т

т

+ 2||А(а]/ (Чo, ё 0, • • ■, Чп, ёп а, р'^Уа^

0 0

+

+

+

exV(2jУ(Р' )г )

2jf Р)

* V

!exP(— 2 jЯр'Ю2Ь-(Чo,ё0,-,Чп,ёп,~v,Р^+

2 !exp(— 2У/(Р'))]Б(Р)М(Ч0, ё0, -, Чп, ёи, Р, Р, Й—р ^^

+

(10)

+

+

| exP(— 2 Уг(р']Й2 Ст^т (Чo, ё 0, - , Чп , ёп ,^m, Р ,

+

2 ! ^Р(— 2 ^ (Р'Ю] А(а— (Ч0, ё o, -, Чп, ёп, а,

с1р'.

0 0

Порождающее уравнение относительно поперечной составляющей магнитного поля собственных ТМ волн смешанного спектра одного из системы невозмущённых изолированных волноводов сравнения имеет вид:

д2Н

Р( Чl,., Ч„, x)■HЧo, Чl,., Ч„, х)—г + TЧo, Чl,., Ч„, х)

дх2

[plз(Чo, Чl,., Ч„, x) + Рзl(Чo, Чl,., Ч„, х)]

дх дг

т(Чo, Чl,., Чп, х—( Чl,., Ч„, x) + Рзl(Чo, Чl,., Ч„, х)]

д2Н

(11)

+

+

/ \dp11(ч0, Ч1,—, Чп, х) / \

^ Чl,., Чп, х) 1 0 1-— — Рll(Чo, Чl,., Чп, х)

дх дг

dTЧo, Чl,., Ч„, х—

dx

/ \dp31(ч0, Ч1,—, Чп, х) / \

тЧo, Чl,., Ч„, х) 3 0 1-— — Рзl(Чo, Чl,., Ч„, х)

dx

dTЧo, Чl,., Ч„, х)

дН

дх дН

дг

/ Лии' Л'' ' -I г I ' / /

^х ^х

+ ш ^т^ Чl,., Чп, х)Му = 0

Отметим, что дисперсионное соотношение несимметричных анизотропно-градиентных структур, которое связывает поперечные внешние и внутренние волновые числа и постоянную распространения с приведёнными поперечными размерами, параметрами градиентности

V

т

(12)

элементов тензора диэлектрической проницаемости, например, для магнитных волн, удобно записать в виде:

Н1, X (0 , gn ^ 0 , gl,^^^, gn ^^ +

Н1, х (0 , gn ,®,1)+вН1 (g о , gn ,Ж,1)

Н 2, X (0 , gl,-, gn ,^,1)+ХН 2 (g 0 , gl,^^^, gn ^^ = 0 Н2, X (gо, gl,-, gn ,^,1)+вН2 (gо, gl,-, gn ,Ж,1) '

где Нх(, gl, —,gn ,®,1) и Н2 ^0, gl,—, gn ,®,1) - специальные функции [8], а связь между волновыми числами трёх слоёв определена соотношениями:

ß2 = п2~2

ж

.2-2-

f vA f v ^

£ = 1 -£1 1 -£3

V / V У

£1 =

~'22,m

£3 =

£

X

22,m

v v v

(1 -8x)ß2 + Ж2(^з -£)

v

1 -£

'3

V

У

где X - приведённый поперечный размер слоёв; X, в - поперечные волновые числа однородных диэлектрических слоёв.

Дисперсионное уравнение для электрических волн, а также уравнение Френеля мы здесь не приводим из-за громоздкости.

2

v

v

Литература

1. Волноводная оптоэлектроника / Т. Тамир, Х. Когельник, У. Бернс [и др.]; под ред. Т. Тамира; пер. с англ. А. П. Горобца [и др.]; под ред. В. И. Аникина. - М.: Мир, 1991 . - 574 с.

2. Акопов А. А., Лерер А.М. Сравнение параметров Рамановского усиления в фотонных кристаллах разной конфигурации // Инженерный вестник Дона, 2014, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2543.

3. Иващенко С. Н. Моделирование энергетического спектра в полупроводниковых наноструктурах // Инженерный вестник Дона, 2008, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2008/66.

4. Иванов О.В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных и бианизотропных структурах. Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 262 с.

5. Заславский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах. - М.: Наука, 1986. - 177 с.

6. Рыбков, В. С. Зависимость собственных электродинамических параметров прямоугольного резонатора, частично заполненного диэлектрическим материалом, от относительной диэлектрической проницаемости образца / В. С. Рыбков, П. В. Замоторин, В. С. Ремнев // Радиотехника и связь : материалы Третьей междунар. науч.-техн. конф., 2729 июня 2006 г. / СГТУ. - Саратов, 2006. - С. 215-224.

7. Киреева А.И., Руденок И.П., Филичёва Т.В. Поверхностные волны вдоль слоёв градиентности в периодических композиционных структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2012. - Т. 15, № 4. - С. 41-47.

8. Руденок И.П., Филичёва Т.В. О волновых свойствах открытых волоконных композиционных периодических структур // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2009. - Т. 12. №1. - С. 99-104.

9. Atkinson R., Lissberger D.H. Correct formulation of first order magneto-optical effects in multilayer thin films in terms of characteristic matrices and derivation of a related superposition principe // J. Magn. and Magn. Mat., 1993. -V. 118. № 1-2. - pp. 271-277.

10. Евсейкин, А. А. Электродинамические параметры квазистационарных волноводов с частичным диэлектрическим заполнением / А. А. Евсейкин, О. В. Дрогайцева, В. А. Коломейцев // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24 : сб. тр. XXIV междунар. науч. конф., г. Пенза, 20-22 сент. 2011 г.: в 10 т. - Пенза, 2011. - Т. 10. - С. 90-92.

11. Depine R.A. Magnetic effect on the reflection of electromagnetic waves at isotopic uniaxial interface // J. Opt. Soc. Am.A, 1994. - V. 11. № 2. - pp. 745-753.

12. Gu Claire, Yeh P. Dynamic equation for the polarization state in inhomogeneous anisotropic media // Appl. Opt., 1994. - V. 33, № 1. - pp. 60-63.

13. Боголюбов А.Н., Делицын А. Л. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. МГУ: сер. физика, астрономия. 1996. - Т.37, № 1. - С. 9-13.

14. Koshiba M., Maruyama S., Hirayama K. A vector finite element method with the high-order mixed interpolation type triangular elements for optical waveguiding problems // Journal of light wave Technology, 1994. - V. 12. № 3. -pp. 499-502.

15. Юнаковский А. Д. Начала вычислительных методов для физиков. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2007. -220с.

References

1. Volnovodnaja optojelektronika [The waveguide optoelectronics]. T. Tamir, H. Kogel'nik, U. Berns [i dr.]; pod red. T. Tamira; per. s angl. A. P. Gorobca [i dr.]; pod red. V. I. Anikina. M.: Mir, 1991. 574 p.

2. Akopov A.A., Lerer A.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2543.

3. Ivashhenko S. N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2008, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2008/66.

4. Ivanov O.V. Rasprostranenie jelektromagnitnyh voln v anizotropnyh i bianizotropnyh strukturah [Distribution of electromagnetic waves in anisotropic and bianizotropic structures]. Ul'janovsk: UlGTU, 2010. 262 p.

5. Zaslavskij G.M., Mejtlis V.P., Filonenko N.N. Vzaimodejstvie voln v neodnorodnyh sredah [Interaction of waves in non-uniform environments]. M.: Nauka, 1986. 177 p.

6. Rybkov V. S., Zamotorin P. V., Remnev V. S. Radiotehnika i svjaz': materialy Tret'ej mezhdunarodnoi nauchno-tehnicheskoi konferentsiyi. Saratov: SGTU, 2006. pp. 215-224.

7. Kireeva A.I., Rudenok I.P., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2012. V. 15, № 4. pp. 41-47.

8. Rudenok I.P., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2009. V. 12. №1. pp. 99-104.

9. Atkinson R., Lissberger D.H. Correct formulation of first order magneto-optical effects in multilayer thin films in terms of characteristic matrices and derivation of a related superposition principe. J. Magn. and Magn. Mat., 1993. V. 118. № 1-2. pp. 271-277.

10. Evsejkin, A. A., Drogajceva O. V., Kolomejcev V. A. Matematicheskie metody v tehnike i tehnologijah: sbornic trudov XXIV mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsiyi. Penza, 2011. V. 10. pp. 90-92.

11. Depine R.A. Magnetic effect on the reflection of electromagnetic waves at isotopic uniaxial interface. J. Opt. Soc. Am.A, 1994. V. 11. № 2. pp. 745-753.

12. Gu Claire, Yeh P. Dynamic equation for the polarization state in inhomogeneous anisotropic media. Appl. Opt., 1994. - V. 33, № 1. pp. 60-63.

13. Bogoljubov A.N., Delicyn A.L. Vestnik MGU: seriya fizika, astronomija, 1996. V.37, № 1. pp. 9-13.

14. Koshiba M., Maruyama S., Hirayama K. A vector finite element method with the high-order mixed interpolation type triangular elements for optical waveguiding problems. Journal of light wave Technology, 1994. V. 12. № 3. pp. 499-502.

15. Junakovskij A.D. Nachala vychislitel'nyh metodov dlja fizikov [Bases of computing methods for physicists]. Nizhnij Novgorod: IPF RAN, 2007. 220 p.