CC BY
13
К теории электромагнитных волн в градиентных структурах
с киральной метасредой
1 2 И.П. Руденок , А.И. Киреева
1 Волгоградский государственный технический университет,
2 Волгоградский государственный медицинский университет.
Аннотация: Выполнено исследование процесса распространения волн в киральной метасреде с градиентными диэлектрической, магнитной и магнитоэлектрическими проницаемостями. Рассмотрено условие существования в ней неклассических электромагнитных волн. Получены зависимости поперечных и продольных компонент вектора распространения от параметров градиентности пространственных профилей материальных характеристик искусственной среды.
Ключевые слова: киральная метасреда, плоские электромагнитные волны, градиентные материальные характеристики, нормированный волновой вектор.
Введение
Одним из перспективных и интенсивно развивающихся направлений оптоэлектроники и интегральной оптики в последнее время является изучение волноводных свойств метасред и композиционных структур на их основе, материальные характеристики и параметры которых изменяются в пространстве и во времени. Линейно поляризованная мода в таких искусственных средах испытывает вращение плоскости поляризации, фарадеевское вращение, гиротропию, бианизотропию, киральность, биизотропию и т.д. [1, 2]. Бурное развитие метаматериальных технологий стимулирует исследования новых градиентных киральных метасред и волновых явлений в них [3,4]. Очень часто материальные уравнения градиентных бианизотропных метаматериалов моделируются выражением вида [5]:
3 = ё (х, у, 2 )Ё + а(х, у, г ) Н, (1)
В = ц(х, у, г )Н + в(х, у, г )Ё,
которое использовалось ранее для однородных структур.
При этом структура входящих в уравнение (1) тензоров определяется взаимностью и отсутствием или присутствием поглощения и т.д.
В настоящее время не возможно быть уверенным до конца, что материальные уравнения (1) являются истинной математической моделью метаматериалов. Эти высказывания основаны на том, что отсутствует строгое однозначное обоснование этих уравнений. Из-за этого существует несколько видов соотношений, считающихся материальными уравнениями композиционной среды, которые не являются полностью эквивалентными. До конца не ясен физический смысл магнитоэлектрических проницаемостей для большинства физико-математических моделей сложных сред, что определяет связь между ними и геометрическими характеристиками мета элементов или пространственной конфигурацией мета молекул, мета атомов. Материальные уравнения (1) не учитывают существенной периодичности расположения мета микроэлементов для описания пространственной дисперсии [6].
В рамках использования заданных материальных уравнений со скалярными диэлектрической, магнитной и магнитоэлектрических проницаемостей решён достаточно широкий круг электродинамических задач распространения волн в волноведущих структурах с простейшими искусственными заполнениями. Авторами были выяснены их основные электродинамические свойства. В частности, к ним можно отнести невозможность направления плоской электромагнитной волны с линейной поляризацией [7]. Здесь нормальными волнами являются гибридные моды, имеющие шесть компонент векторов Н и Е явление кросс-поляризации поля направляемой волны. Однако до сих пор небольшое внимание уделяется математическому моделированию волновых процессов в градиентных, бианизотропных, периодических композиционных структурах.
Волны дискретного спектра в градиентной искусственной среде
Изучим волновые свойства неклассических плоских электромагнитных волн. Запишем их электрический и магнитный векторы: Ё = Ё„ ехр[1 (кг -аг)]
-а
Н = Н„ ехр|/ \кг -а г
(2)
(3)
где ё„, Н„ - амплитуды электрического и магнитного векторов волны,
к = (кх,ку,кг} - волновой вектор, г - радиус-вектор, а- круговая частота
волны, г - текущее время.
Материальные уравнения для метасреды имеют следующую форму:
3 = а (х)Ё + [а (х) + ]Р (х)]Н, В = ц(х )Н + [(х)-]у(х )]Ё
а а(х), ¡и(х) - относительная градиентная диэлектрическая и магнитная
проницаемости; а(х), в(х), у(х), у(х) - составляющие магнитоэлектрических
проницаемостей. Для определённости будем считать, что диэлектрическая и
магнитная проницаемости искусственной среды распределены по закону
вида [7, 8]:
8Ы= I (т0 Т2 , х )= /о - /
т0 ■ гИ
' х ^
V Т0 ■ Т2
1 + т0 ■ т ■ гИ
С х ^
VT0 ■ Т2 У
(4)
Здесь параметры т0,т1 удовлетворяют условию 0 <т0 ■т1<1. Тогда выражение (4) не имеет особенностей. Её схематичный график представлен на рисунке 1.
При этом:
/2 =8 (Д^) = /0 - /Т0 (1 + Т0 ■ Т )-2 ,
/з = ^(//Х-да) = /о -/т0(1 -то Т)-2.
2
Рис. 1. Распределение диэлектрической и магнитной проницаемости градиентной композиционной среды.
Магнитоэлектрические проницаемости а(х), в(х), у(х), у(х) распределены по обобщённым степенным законам[9]:
а (0 , ^ Ч4, х) = а (0)(^0 - 42х2 + 44х4), (5)
в(,410,х) = Д(0)) -дюх10), (6)
V (, «6, х) = V, (0)0 - «х6), (7)
Ъ2,х) = г,(0)(^0 -Ъ2х2), (8)
где 40,42,44, а0, а6, Ъ0, Ъ2 - параметры градиентности пространственных профилей.
С учётом материальных уравнений (3) и производных по времени получаем:
V, £] = ] ¡0 \/и(х)Н + а(х)Ё + j в(х)Ё],
V,Н]= Д [- гг(х)Ё - v(x)Н + jу(х)Н],
(9)
где ¡0 = —. Для плоской волны (2) справедливы равенства:
»0
С
V, ё]=[/7, Ё],
V, Н ]=[[, Н ].
С учётом (10) уравнения (9) можно представить:
(10)
l, E,
l, H ,
= j(x)H, +a(x )E, + j в(х )E,, = -s(x)E„ - v(x)H, - j y(x)H,
(11)
а l = —. Первое уравнение из (11) умножим векторно слева на вектор l и
получаем:
[/, [ l, E. ]]= j(x ) [/, H, ] + a(x) [ l, E, ]+ je(x ) [ l, E, ].
(12)
Подставим в уравнение (12) выражения (11) и после нескольких
математических преобразований находим, что
[/, [ /, Ё,]]= [/в(x)v(x)-^(x)e((x)-v(x)a(x)- /у(х)а(х)+у(х)р(х)]Ё, + + [х)+/>(х)+а(х)+/в(х¿7, Ё,].
(13)
0
Дисперсионные уравнения
Для последующих преобразований представим волновой вектор через его проекции на координатные оси:
l = lA + lA + lA. (14)
Запишем уравнение (13) в координатной форме. Результатами такого разложения будут являться следующие покомпонентные равенства:
- ( + l2z + То )+(lylx+T2lz ) y+(lJx - T2ly E = 0,
( - T23lz )x -((x2 + l2 + T0 ) + (( + T2lx ) = 0, (15)
((+T2ly )+(( - T2lx ) - ((x2 + ly + T0 ) = 0,
здесь введены следующие обозначения:
Т0 = -ДТ0 , Т т х)£(т0, г^ т х) - ^ х)а(40 , 42, 44, х) +
+ /в((0 , ^ хМ(0 , «И х) - />(Ъ0 , Ъ2 , х)а(40 , 42, 44, х) + КЪ0 , Ъ2 , х)в(0 , ^ х), (16) Т2 = К(0 , «И х) + /У(Ъ0 , Ъ2 , х) + а(40 , 42, 44, х) + /в((0 , ^ х).
Приведём систему уравнений к матричному виду:
Ь(т{),т1,т2, х)Ё, = 0, (17)
а
¿^ТТ х ) =
Ф0 (Т0,Т1,Т2, х) Ф1 (Т0,Т1,Т2, х) Ф2 (Т0,Т1,Т2, х) Ф3 (Т0,Т1,Т2, х) Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х) Ф 5 (Т0,Т1,Т2, х) Ф 6 (Т0,Т1,Т2, х) Ф 7 (Т0,Т1,Т2, х) Ф8 (Т0,Т1,Т2, х)
(18)
Ё.=
Ё Ё. Ё.
Ф0 (Т0,Т1,Т2, х) = 1У + + Т0 (Т0 , Т1, Т2, х),
Ф1 (Т0,Т1,Т2, х) = 1у1х + КТ2 (Т0 , Т1, Т2, хХ Ф2 (Т0,Т1,Т2, х) = 1А - 1уТ2 (Т0 , Т1, Т2, x), Ф 3 (Т0,Т1,Т2, х) = 1х1у - КТ2 (Т0 , Т1, Т2, х),
Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х) = Ч' - £ - Т0 (Т0,Т1,Т2, х), (19)
Ф5 (Т0 , Т1, Т2, х) = К1у + 1хТ2 (Т0 , Т1, Т2, х), Ф6 (Т0 , Т1, Т2, х) = К1х + 1уТ2 (Т0 , Т1, Т2, хX Ф7 (Т0,Т1,Т2, х) = 1уК - 1хТ2 (Т0 , Т1, Т2, 4 Ф8 (Т0,Т1,Т2, х) = - 11 - Т0 (Т0 , Т1, Т2, х).
Так как ранг матрицы равен количеству алгебраических уравнений, то необходимо приравнивать к нулю её главный:
det ¿(т0,т1,т2, х) = 0. (20)
Вычисляя определитель, после некоторых математических преобразований получаем:
Ф 0 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 8 (Т0,Т1,Т2, х )-
-Ф 0 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 7 (т0 ,Т1,/ Т 2 , х )Ф 5 (Т0,Т1,Т2, х )--Ф1 (Т0,Т1,Т2, х)Ф3 (Т0,Т1,Т2, х)Ф8 (Т0,Т1,Т2, х) + + Ф1 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 6 (Т0,Т1,Т2, х) + + Ф 2 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 3 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 7 (Т0,Т1,Т2, х )--Ф 2 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 6 (Т0,Т1,Т2, х )Ф 4 (т0 ,Т1'^ Т2 , х )= 0.
(21)
Из структуры элементов главного определителя матрицы l(t0,t1,t2,x) видно, что продольная составляющая lz нормированного волнового вектора l входит в равенство (21) в четвёртой степени. Это означает то, что как и для обычной киральной среды продольная компонента волнового вектора в градиентной метасреде будет иметь четыре значения. Делаем вывод о том, что в искусственной среде, как и в однородной, в общем случае могут распространяться четыре волны, свойства которых определяются параметрами градиентности материальных характеристик метасреды [10]. Аномальное распространение волн в такой среде, когда может быть больше или меньше двух встречных мод, порождает математические проблемы неопределённости или отсутствия решения (необычная комбинация знаков поперечных и продольной составляющей волнового вектора).
Представим условия существования плоских электромагнитных волн в некоторых частных случаях композиционной искусственной среды. Рассмотрим однородную изотропную киральную среду в СВЧ диапазоне на основе спиралей с правой закруткой. В материальных уравнениях (3) s = const, ¡и = const, a{x) = v{x) = 0, fi{x) = у(x) = в = const. Пусть в разложении волнового вектора l проекция ly равна нулю. Тогда в разложении (20) после
некоторых математических преобразований получаем дисперсионное уравнение в следующей форме:
Выражение (21) представляет собой биквадратичное алгебраическое уравнение, которое имеет четыре различных корня:
dxtz + d2l2z + d/z = 0,
(21)
а
d = в2 - sи, d2 = 2(в2 - su)(lx2 - 2в2),
d2 = (-su)[( -2в2)-4в242].
(22)
L =
i
- ¡11 2, lz 2 =Г((^-в)2 - l
¡3 =-
((¿ + в)2 - ¡1
, lz 4 =-
((¿-в - ¡2
(23)
которые характеризуются продольными составляющими волнового вектора, отличаются только направлением распространения. Это касается и волн, для которых справедливы второе и четвёртое уравнения, причём во всех четырёх выражениях наблюдается явная зависимость от материальных параметров искусственной среды.
Литература
1. Бакеева И.В. Наноструктуры: основные понятия, классификация, способы получения. - 2-е изд. М.: МИТХТ им. М. К. Ломоносова, 2008. 68 с.
2. Иванов О.В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных и бианизотропных слоистых структурах. Ульяновск: УлГТУ, 2010. 262 с.
3. Dmitry A. Yakovlev, Vladimir G. Chigrinov, Hoi-Sing Kwok. Modeling and Optimization of LCD Optical Performance. John Wiley & Sons, 2015. 584 p.
4. Rego G., Caldas P., Ivanov O.V., "Coupling to antisymmetric modes in long-period gratings", Livro das Actas da 16 Conferencia Nacional de Fisica, Portugal, Lisbon, Sept. 3 - 6, 2008, p. 212.
5. Руденок И.П., Киреева А.И., Филичева Т.В. Распространение волн в кристаллических структурах с искусственной композиционной средой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2011, Т 14, №2. С. 10-15.
6. Руденок И.П., Агишева Н.Н., Руденок А.И. О некоторых краевых задачах теории базовых композиционных волноведущих структур // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2003, Т.6, №4. С.5-12.
7. Руденок И.П., Киреева А. И., Филичева Т.В. Поверхностные волны вдоль слоев градиентности в периодических композиционных структурах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2012, Т15, №4. С. 41- 47.
8. Руденок И.П., Руденок А.И. К теории волн в открытых анизотропных нелинейных градиентных волноведущих структурах //Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2001, Т.4, №2. С. 10-15.
9. Киреева А.И., Руденок И.П., Поздняков А.П. К математической теории поверхностных волн в открытых композиционных нелинейных анизотропно-градиентных структурах // Инженерный вестник Дона, 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_112_Kireeva.pdf_44b312aaf3.pdf
10. Киреева А.И., Руденок И.П. Математическое моделирование взаимодействия поверхностных волн в открытых анизотропно-градиентных волноводах // Инженерный вестник Дона, 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_20_Kireeva.pdf_da760066f0.pdf
References
1. Bakeeva I.V. Nanostruktury: osnovnyeponjatija, klassifikacija, sposoby poluchenija [Nanostructures: basic concepts, classification, methods of preparation]. 2-e izd., M.: MITHT im. M. K. Lomonosova, 2008. 68 p.
2. Ivanov O.V. Rasprostranenie jelektromagnitnyh voln v anizotropnyh i bianizotropnyh strukturah [Distribution of electromagnetic waves in anisotropic and bianizotropic structures]. Ul'janovsk: UlGTU, 2010. 262 p.
3. Dmitry A. Yakovlev, Vladimir G. Chigrinov, Hoi-Sing Kwok. Modeling and Optimization of LCD Optical Performance. John Wiley & Sons, 2015. 584 p.
4. Rego G., Caldas P., Ivanov O.V., "Coupling to antisymmetric modes in long-period gratings", Livro das Actas da 16 Conferencia Nacional de Fisica, Portugal, Lisbon, Sept. 3 - 6, 2008, p. 212.
5. Rudenok I.P., Kireeva A.I., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2011. V.14, № 2. pp. 10-15.
6. Rudenok I.P., Agisheva N.N., Rudenok A.I. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2003. V.6, № 4. pp. 5-12.
7. Rudenok I.P., Kireeva A.I., Filichjova T.V. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2012. V. 15, № 4. pp. 41-47.
8. Rudenok I.P., Rudenok A.I. Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 2001. V.4, № 2. pp. 10-15.
9. Kireeva A.I., Rudenok I.P., Pozdnjakov A.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 4. URL:
ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_112_Kireeva.pdf_44b312aaf3.pdf
10. Kireeva A.I., Rudenok I.P. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_20_Kireeva.pdf_da760066f0.pdf
