CC BY
74Внутренняя логика универсальной логики1
В. Л. Васюков
abstract. Early in [1] some categorical constructions were introduced which describe the inner structure of the category of logical systems. Since this structure both the topos and complemented topos were featured by, then following Benabou-MitcheH's approach the inner language is introduced which is not a standard topos language but an extended one rendering the construction of the language for so-called TI-B-logic whose algebraic models are semi-Boolean algebras. McLarty's sequential version of topos logic is extended to the case of the category of logical systems and the final inner logic formulation is based on the sequential formulation of TI-B-logic.
Ключевые слова: внутренний язык топоса, дуальный внутренний язык, логика топоса, категрия логических систем, П-В-логика.
1 Введение
Как известно, универсальная логика представляет собой общую теорию логик, рассматриваемых как особая разновидность математических структур, по аналогии с тем, как универсальная алгебра рассматривает конкретные алгебраические системы (см. [4, с. 6]). Теоретико-категорпый подход, когда логические системы объединяются в категорию специального вида, снабжает пас некоторым фундаментом для исследования универсума универсальной логики. В рамках этого подхода удается ввести категорттые конструкции, которые наряду с копроизведеттиями, лежащими в основе расслоения логик, описывают внутреннюю структуру категории логических систем. Как оказалось, подобный универсум универсальной логики обладает структурой как топоса, так pi паранепротиворечивого дополняющего топоса, что было продемонстрировано в работах [2, 9|.
'Исследование выполнено при финансовой подаержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ .V8 06-()3-()0195а «Структура универсально! й логики».
Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что для структуры универсума универсальной логики характерно наличие и интуиционистской и парапепротиворечивой (брауэровой) структуры. «Внутренняя логика» топоса, как известно, является интуиционистской логикой, что же касается внутренней логики дополняющего топоса, то здесь, по-видимому, следует ожидать наличие аптиитттуициопистской (брауэровой) логики. Подобные металогические системы могут послужить удобным средством для получения утверждений о логических системах pi их переводах. Сама по себе система универсальной логики представляет, по сути дела, систему универсальной металогики — логики логических систем pi pix переводов.
В настоящей работе предпринимается попытка точного описания этой внутренней логики универсальной логики. Показано, что она основывается па секвенциальной формулировке Н-В-
логр1к.
В общем виде сами теоретико-категорпые конструкции, отш-сыватопще структуру универсума универсальной логики, можно охарактеризовать следующим образом. Категорию сигнатур Sig, над которой надстраивается категория логических систем Log, можно определить следующим образом:
• Объекты: функции £ ^ N ГДе £ интуитивно понимается как множество связок, а функции — как ассоциирующие со связкой ее арность;
• Морфизмы: морфизм £ ^ £' представляет собой гомоморфизм между абсолютно свободными алгебрами над £ и £'соответственно. Иначе их можно описать как отображения £ ^ F(£') , сопоставляющие примтивной п-арной связке возможную производную п-арную связку.
Кратко категория Log логических систем, которая будет использоваться в качестве основного инструмента исследования, описывается во втором параграфе.
В третьем параграфе рассматривается внутренний язык категории Log. Вначале строрттся обычный впутрптшй язык топоса (поскольку Log обладает структурой топоса), затем стро-рттся дуальный ему внутренний язык (поскольку Log обладает
структурой и дополтштощего топоса) pi, наконец, формулируется внутренний язык, основывающийся па конструкции языка для так называемой Н-В-логики, чьими алгебраическими моделями являются полубулевы алгебры.
В четвертом параграфе описывается внутренняя логика категории Log, дается секвенциальная формулировка внутренней логики Log. Эта формулировка является, с одной стороны, расширением секвенциальной формулировки внутреннего языка топоса (в версрш Маклэрти), а сдругой стороны, основывается па секвенциальной формулировке Н-В-логики, предложенной Ц. Рауптер.
2 Категория логических систем Log
Приведем краткое описание формализма, служащего фундаментом построения категории логичесих систем. Как pi в [1, с. 109-114] будем иметь дело с логическим языком, который свободно порожден некоторой сигнатурой, включающей в себя, как это обычно делается, конструкторы различной местности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Сигнатура представляет собой индексированное множество Е = {Еп }n^N, где каждое Еп является и-арпым конструктором.
Будем считать, что множество пропозициональных переменных включено в Е0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Язык над данной сигнатурой Е, который будет обозначаться Ls, строится индуктивно обычным способом:
• Е0 С Ls;
• есл и и £ N ■ ■ ■ £ Ls и c £ Еn, то c(<pi,..., <£n) £ Ls-
Будем называть Е-формулами элементы Ls, или просто форЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Логическая система является парой L = (Е, h^, где Е есть сигнатура, а Ь представляет собой оператор
Ls
т. е. Ь: ^ является функцией, обладающей следующими свойствами для каждых Г, Ф С Ь£ :
• Экстенсивность: Г С Г";
• Монотонность: если Г С Ф, то Г" С Ф";
• Идемпотентность: (Г")" С Г".
Здесь Г1" есть множество следствий Г. Для сохранения общности не будем требовать здесь и в дальнейшем, чтобы оператор присоединения следствий был финитным, и тем более структурным.
Поскольку нам потребуется принимать во внимание выразительную силу данной логической системы, нам придется ссылаться па ее логические связки (примитивные или производные). Будем считать раз и навсегда зафиксированным множество 2 = {£г метапеременных. Для данной сигнатуры £ и к € N будем рассматривать множество определенным индуктивно:
• }С Ь|;
• £0 С Ь|;
• если п € N ф1, - - - ,фп € Ь| и с € £п, то с(ф1,..., фп) € Ь|.
Очевидным образом Ь^ = Ь^. Для данного фп € будем записывать как ф(£Дфь - - - ,£к\фк) формулу, получаемую из ф одновременной заменой каждого вхождения £1 в ф на фг для каждого г < к.
Производная связка местности к € N является А-термом d = А£1,..., £к-ф, где ф € Ь|. Обозначим через БО^ множество всех производных к-местных связок над £. Отметим, что если с € £п является примитивной связкой, то она также может рассматриваться как производная связка с = А£1, - - -, £к-с(£ь - - -, £к)■ Для данной производной связки d = А£1, - - - ,£к-ф будем писать d(фl, - - - ,фп) вместо ф(£Дфъ - - -,£к\фк )■
Различные языки, порожденные различными сигнатурами, могут переводиться друг в друга с помощью понятия морфиз-ма, когда примитивные связки одной сигнатуры отображаются
в производные связки другой сигнатуры с сохранением соответствующей местности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Для данных сигнатур Е1 и Е2 морфизм сигнатур Н : Е1 — Е2 является М-индексированным семейством функций Н = {Нп : Е™ — ООП2 }пен-
Для данного морфизма сигнатур Н : Е1 — Е2 определяем его
-к
с раиширсиии н : — —г -
образом:
свободные расширения Н : — ■ — —■ для к € N следующим
• ) = если £ € Е;
• Н(с) = Н0(е), если с € Е^;
• Н(с(у1,..., уп)) = Н0(с)(Н(у{),..., Н(уп)), если с € Е™.
Н
требованиям, будем называть унифицированной.
Сигнатуры и их морфизмы образуют категорию Sig с тождествами id■■ : Е1 — Е2, такими, что id■(c) = ..., £к-с(^1, ■ ■ ■ ,£к) для каждого п € N и с € Еп, а композиция мор-физмов сигнатур / : Е1 — Е2 и д : Е2 — Е3 будет определяться как д о / : Е1 — Е3, такая, что (д о /)п(с) = £1,... ,£п.д(у), полагая, что /п(с) = ..., £п.у.
Удобство использования унифицированных переводов сказывается при формулировке понятия морфизма между логическими системами. Для данной функции Н : — ■ — — е2 с Ф С мы будем рассматривать множество Н[Ф] = {Н(у) : у € Ф}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть С = (Еь Ь) и £2 = (Е2, Ь) будут логическими системами. Морфизм логических систем Н : £1 — £2 представляет собой морфизм сигнатур Н : Е1 — Е2, такой, что Н[ФН1 ] С Н[Ф]~2 для каждого Ф С
Логические системы и их морфизмы образуют конкретную категорию над
Теорией логической системы £ = (Е, Ь) является, как обычно, множество Ф С такое, что Ф1" = Ф. Обозначим как ТН(£) множество всех теорий С. Хорошо известно, что множество ТН(£), упорядоченное по отношению включения, всегда является полной решеткой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Пространство теорий есть полная решетка 1вр = {ТН, <\ т. е. частичный порядок < на множестве ТН, такой, что каждое Т С ТН имеет наименьшую верхнюю грань Т
В частности, для данной логической системы С = {£, Ь) структура 1врс = {ТН(С), С) всегда будет пространством теорий (см., напр., [о]). Более того, переводы языков, ассоциированные с мор-физмами логических систем, всегда действуют па операторы присоединения следствий таким образом, что в соответствующих пространствах теорий сохраняются пересечения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть г$р1 = {ТЬь <1) и гвр2 = {ТЬ2,<2)
будут пространствами теорий. Морфизм пространств теорий Н : 1вр1 ^ 1вр2 предсравляет собой функцию Н : ТН1 ^ ТН2 такую, что Н(\/ 1Т) = \/2 Н[Т] для каждого Т С ТН.
Пространства теорий и их морфизмы образуют категорию Тер с обычными тождествами и композицией функций. Более того, определение пространства теорий, индуцированного логической системой, может быть расширено па случай функтора.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Отображения
• Th(h : Li ^ £2) : tspi ^ tsp2, с Th(h)^) = h^]1"2 в £2 = (Е2, Ь2) для каждого Ф Е Th(£1),
образуют функтор Th :Log^Tsp.
Th
функтор, но более интересно для нас понятие эквиполлентно-Th
сать «сходство» логических систем. Но вначале напомним характеристику изоморфизма в категориях сигнатур Sig pi Log.
УТВЕРЖДЕНИЕ 9. Две сигнатуры £1 и Х2 изоморфны тогда и только тогда, когда существует семейство биекций h = {h,n : Е1 ^ Sn}raeN-
УТВЕРЖДЕНИЕ 10. Две логические системы £1 = (Е1, h1) и £2 = (Е2, Ь2) изоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм сигнатур h : Е1 ^ Е2 такой, что Л[Ф"1] = h^]"2 для каждого Ф С
Наконец, с помоптыо следующего определения можно ввести понятие эквиполлентности:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Две логические системы £1 = (Е1; Ь1) и £2 = (Е2, Ь2) эквиполлентны, если существуют Log-мopфизмы Н : £1 — £2 и д : £2 — £1 такие, что ТН(Н) и ТН(д) устанавливают изоморфизм между 1врс1 и 1врс2 в случае ТН(Н) = ТН(д)-1.
Фактически изоморфизмы в Ьс^ образуют специальный случай эквиполлентности и эквиполлептпые логические системы всегда требуются для определения изоморфпости логических пространств. Более того, можно дать альтернативную характеристику эквиполлентности в терминах внутреннего понятия
£=
(Е, Ь) следующим образом. Говорят, что две формулы у,ф € —■ логически эквивалентны в £ у =с ф, если одновременно имеет место у € {ф}" ъ ф € {у}", или, что равносильно, если {у} = {ф}". Следующа лемма из [5, р. 108] показывает, что тео-£
эквивалептпых формул, от способа их представления.
ЛЕММА 12. Пусть Ф, Г С —■.Тогда Ф" = Г" всякий раз, когда выполняются следующие два условия:
• для каждой у € Ф существует у € Г такая, что у =с у';
• для каж дой ф € Г существу ет ф' € Ф такая, ч то ф =с ф'.
Альтернативная характеристика понятия эквиполлентности может быть дана с помощью следующего определения [о, р. 108].
УТВЕРЖДЕНИЕ 13. Пусть £1 = (Еь Ь) и £2 = (Е2, Ь) яв-
£1 £2
ны тогда и только тогда, когда существуют Ьод-морфизмы Н : £1 — £2 и д : £2 — £1 такие, что выполняются следующие два условия:
• у =с1 д(Н(у)) для каждой у €
• ф =£2 Н(д(ф)) для каждой ф € —■2.
Как показано в [1], в категории Ьс^ существуют копроизведе-ттия, которые можно охарактеризовать с помощью следующего определения:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Пусть £1 = (£1, Ь) и £2 = (£2, h) будут логическими системами. Тогда их коироизведеттием является логическая система (£1,1-1) ф (£2, ^2) = (£1 Ф £2, ^192), где 1~1ф2 есть оператор присоединения следствии 2Lii(Ei)ui2(E2) такой, что
• Г hi ф влечет Г Ь1ф2 ф для всех Г U {ф} Е L^ (i = 1, 2)
и i1,i2 являются инъекциями копроизведения £1 ф £2.
Однако в Log единственность стрелок соответствующих диаграмм имеет место лить с точностью до отношения эквивалентности =, основанном на эквиполлентности логических систем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Тождество Log-морфизмов представляет собой наименьшее отношение эквивалентности = между мор-физмами, такое, что
• f = g тогда и только тогда, когда dom(f) эквиполлентна dom(g) и codom(f) эквиполлентна codom(g), т. е. £1 и £2 эквиполлентны, так же как и £'1эквиполлен тна £'2, для морфизмов логических систем f : £1 — £2, f' : £1 — £'2;
• gf = h влечет gf = h;
• f = f 'и g = g влече m gf = g'f';
• fidsi = f = idS2 f;
• (hg)f = h(gf)
для всех f,f' : £1 — £2,g,g' : £2 — £3,h : £3 — £4. £1 £2
ствуют Log-морфизмы h : £1 — £2 и g : £2 — £1, такие, что ф =ci g(h^)) для всякой ф Е Lsi и ф =с2 h(g(^)) для всякой ф Е L^2- Отсюда первое условие может быть переписано как f = g тогда и только тогда, когда имеются, во-первых, Log-морфизмы h : £1 — £1 и g : £1 — £1 такие,что ф =ci g(h(ф)) для любой ф Е Lsi и ф =с\ h(g(ф)) для любой ф Е L^v, и, во-вторых, Log-морфизмы h' : £2 — £1 и g' : £2 — £2 такие, что ф =с2 g(h(^>)) для любой ф Е Le2 и ф =с> h(g(ф)) для любой ф Е ls'2 ■
Отсюда определение 15 должно быть расширено следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Отношение эквивалентности = между Ьс^-морфизмами, рассмотренное выше, должно также удовлетворять следующим условиям:
• если [/,д] = Н, то [/,д] = Н, и т.д.;
• есл и / = / 'и д = д', то [д/] = [д'/'];
• [/,д]п = /, [/,g]i2 = д,и т.д. для всех /, /' : £1 — £2,д,д' : £2 — £3.
Конструкция амальгам в категории Ьс^ выглядит следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть £ = (Е, Ь), £1 = (Еь Ь) и £2 = (Е2, Ь2) будут логическими системами и /1 : Е — Е1, /2 : Е — Е2 будут иттъективттыми морфизмами сигнатур. Тогда их амальгамой является £1©2 = (Е1, Ь1) ф^^ (Е2, Ь2) = (Е1 ф^^ Е2, Ь(1©2)) = я((Е1, Ь1) Ф (Е2,1 2)); где
• морфизм сигнатур д : Е1 ф Е2 — Е1 ф^^ Е2 является коуравнителем i1 о /1 : Е — Е1 ф Е2 и i2 о /2 : Е — Е1 ф Е2;
• Ь1©2 Ь1©2:
2ЬЕиг1(Е1\/1(Е))иг2(Е2\/2(Я)) — 2ЬЕигДЕ1\/1(Е))иг2(Е2\/2(Е)) ;
• £1©2 является наименьшей системой для Ьвр£1в2 = (ТН(£1©2), С), в которой Г Ь^ у влечет Г Ь1©2 у для, каждого Г и {у} € ^ = 1, 2).
В Ьс^ существуют также произведения и обратные образы, конструкция которых дается следующими определениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Пусть £1 = (Еь Ь) и £2 = (Е2, Ь) - логические системы. Тогда их произведением является (Е1, Ь1) ® (Е2, Ь2) = (Е1 ® Е2, Ь102), где Ь102 есть оператор присоединения
СЛеДСТВИЙ Ь102: 2ЬРГ1(Е1®Е2)*РГ2(Е1®Е2) — 2ЬРГ1(Е1®Е2)*РГ2(Е1®Е2) та_
кой, что
• (Г1, Г2) Ь102 (у1,у2) влечет Г К у^ для каждого Г и {уг}€ ^ = 1, 2);
a pr1,pr2 являются проекциями произведения £1 ® £2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Пусть £1 = (£1, -1) и £2 = (£2, -2) будут
f1 : £1 — £, f2 : £2 — £
ективпыми морфртзмамрт сртгпатур. Тогда их обратным образом является
£102 = (£1, -1) ®fiSf2(£2, -2) = (£1 ®/iS/2 £2, -102) = q((£1, -1) ® (£2,1-2)), где
• q : £1 ®/iS/2 £2 — £1 ® £2 является уравнителем f1pr1 : £1 ® £2 — £ и f2'pr2 : £1 ® £2 — £;
• -102 есть оператор присоединения следствий -1©2:
2Lsi®^iE^2E2 — 2Lsi®fiEf2E2 ■
• £1©2есть наименьшая система для tspci&,=(Th(£1©2),C), в которой
(Г1, Г2) -1©2 (ф1,ф2) влечет Г —i ф.1 для каждого Г U ф}Е LSi(i = 1, 2).
При этом определение = в Log следует расширить следующим образом:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Отношение эквивалентности = между Log-морфизмами, определенное выше, должно также удовлетворять следующим условиям:
• если (f,g) = h, то (f,g) = h, и т.д.;
• есл и f = f 'и g = g', то (gf) = (g'f');
• pn(f,g) = f,pr2(f,g) = g, и т.д. для всех f,f' : £1 — £2,g,g' : £2 — £3.
Наконец, в Log существуют экспоненциалы pi коэкспопетщиа-лы, определеяемые следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Пусть £1 = (£1,-1) и £2 = (£2, -2) будут
£2 £1
стема L2£1 = (£1, -1^2), где ^^означает -1^2: 2Lei — 2Lei, такое, что
• Г -1^2 ф тогда и только тогда, когда g^] -2 g(ф) для всех Log-морфизмое g : £1 — £2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Пусть Li = (Ei, hi) и L = (E2, ) будут логическими системами. Тогда экспоненциалом L2 в Li является система Lf2 = (E 1, b2^i), где Ь2^10значает h2^i: 2Lei ^ 2Lei такой, что
• Г h2^i у, если и только если существуют Log-морфизмы h : L2 ^ Li and g : Li ^ L2 такие, чmo h(g[r]) hi h(g(y)).
Очевидным образом, если Li и L2 аксиоматизируемы (т. е. существуют такие Г и Г 2 соответственно, что для любых у Е L^! ,ф Е и А С L^i , Ф С мы имеем, что если у Е (А)1"1,ф Е (Ф)1"2 и у Е (ri)hl,ф Е (Г2)^2), то в определении выше Г h2^i у всякий раз, когда h(g(y)) Е (Г^1"1.
Все рассмотренные конструкции позволяют получить доказательство следующего утверждения:
УТВЕРЖДЕНИЕ 23. Log является топосом и дополняющим топосом.
При этом в качестве терминального объекта выступает логическая система LT = (ET, Ьт), где = {Т}, и E^ = {Тк} для k > 0, вде Тк есть k-местпая постоянная функция (т. е. бинарная, тернарная и т.д.), a Ьт является максимальным оператором присоединения следствий (позволяющим вывести все
LT
с точностью до эквивалентности. В качестве начального объекта можно использовать логическую систему L± = (E^, Ь^), где E0 = {±}, и Ek = {±к} для k > 0 вде -Lk есть k-местная постоянная функция (т. е. бинарная, тернарная и т.д.), а Ь^ является максимальным оператором присоединения следствий (позволяющим вывести все что угодно). Что же касается классифицирующего объекта, то определяем его как Q = (En, Ьп), вде EQ = {Т, ±}, Ek = {Тк, ±к} дл я k > 0 и Ьпявляется одновременно Т
ляющим вывести все что угодно из Т и Тк) и максимальным отпоптеттием присоединения следствий (позволяющим вывести все что угодно из ^ и .Lk). В качестве классификатора подобъек-тов true мы имеем true(ET) = ET С Eq и true(hT) =ЬтСЬп, т. е. true сохраняет Т-максимальность. Для дополняющего классификатора объектов false мы имеем false(ET) = E^ С Eq и
false(-j) =-±С-П; т. е. false преобразует максимальное Т-от-ношение присоединения следствий в максимальное ^-отношение присоединения следствий.
3 Внутренний язык Log
Как известно, каждому топосу можно сопоставить язык, который можно использовать как удобное средство для построения высказывании об объектах pi морфртзмах данного топоса pi.ttpi даже доказательства теорем о тшх (см. [3, с. 172]). Воспользуемся версргей построетшя внутреннего языка, пррпгадлежащей К. Маклэртрт [6, р. 126], для опртсатшя внутреннего языка Log как топоса.
Впутрептшй язык тртртзртровап, в качестве тртпов пррпшматот-ся объекты Log2. Термы pi pix тртпы определяются ртдуктртвпо:
£
менных Ж1, Ж2, хз,... Каждая переменная над £ является £
Для каждого морфизма f : £1 — £2 и терм a s тип а £1 fs £2
c : Т — £ с Т в качестве области определения сам является ££ Пусть ! означает константу тождественного морфизма для Т
s1 £1 s2 £2
(s1, s2) типа £1 0 £2.
Для каждого терма s типа £2 и переменной y типа £1 имеется терм (Ay)s типa d^,1 ■
Переменная х свободна, если только она не связана лямбда-оператором (Аж). Будем писать (Аж.£1), чтобы отметить тип переменной. Терм без свободных переменных является замкнутым. Переменные па самом деле представляют собой не что £
2Маклэрти рассматривает не типы, а сорта, но мы, следуя обычной практике, будем говорить о типах.
Для данной переменной X и терма V того же самого типа будем обозначать s(x/v) терм, возникающий в результате подстановки V вместо каждого свободного вхождения мs. Если ни одна из свободных переменных V не становится связанной в s(x/v), то будем говорить, что V свободна для мs.
Предположим, что терм и имеет тип С и все его свободные переменные находятся в списке у\,... ,ук, где в се у-ки являются переменными над С\,..., Ск соответственно. Тогда s соответствует морфизм И : С\ ® ■ ■ ■ ® Ск — С, который мы будем называть интерпретацией и. Интуитивно это означает, что приписывание значения каждой переменной, дающее каждой у г значение в Сг, определяет значение и. Поскольку морфизм |и| действительно зависит от списка соответствующих переменных, следует указывать список в записи.
Будем использовать X для сокращенного обозначения списка XI,..., хп. В этом случае С\,..., Сп будет представлять собой список типов переменных того же самого порядка. Переменная
С
С
списке. Для терма и тип а С и списка X, включающего в себя все свободные переменные из и, будем писать |и|х : С1 ® ■ ■ ■ ® Ск — С' для интерпретации относительно списка X. Мы всегда будем предполагать, что ттапти списки переменных включают в себя все те переменные, которые свободны в термах, к которым мы их применяем. Если и не содержит свободных переменных, то X может представлять собой пустой список переменных, и, конечно, произведение пустого списка типов есть Т.
Определим теперь индуктивно интерпретацию относительно списков:
Для любого списка X и перемениых XI из списка ^^х будет
представлять собой проекцию С1 ® ■ ■ ■ ® Сп — Сг.
Для любого морфизма / : С — С'',если и является термом
типа С', то |/и|х будет С1 ■ С -— С'. Для любой
константы с интерпретацией |с|х будет С1 ■ ^®Сп — Т —
С''
Для любых термов И1 таи а С' и таи а С' | (и 1, И2)|х пред-
ставляет собой морфизм пары в £' ® £'', индуцированный |«1|й и \в2\х-
Для любого терма в таи а £'', если перемен ной у над £ нет в списке х, то \(\у)в\х является транспозицией \8\хуУ : £1 ® ■ ■ ■ ® £п ® £' — £", т. е. морфизмом \в\хуУ : £1 ® ■ ■ ■ ® £п —
£''2 . Если же связанная перемеппая у имеется в списке ж,
у
(Ау)в какой-нибудь переменной над £', не содержащейся ни в в, ни в списке ж.
Согласно (ЬТ2) для любых термов д таи а £21 и в таи а £1 имеется терм еь((д,в)), который будем записывать сокращенно д(в)
тор, записывая {х.£1 : в} вместо (Ах.£1)в, когда в имеет тип О. Для терма Р тип а ®21 будем писать х € Р вместо еу((Р,х)), а
/(ж, у)
/((ж, у))
Формулы будут представлять собой термы типа О. Согласно (ЬТ2) для любых формул у и ф существуют фор мулы Л(у, ф) и — (у, ф). Будем записывать э то как у Л ф и у — ф. Имеются также формулы А, —у.
Для любой формулы у и переменной у над объектом £1 мы определяем формулу (Уу.£{)у как сокращение для Ус1 {у-£ : у} откуда (Уу.£1 )у является утверждением, что само множе-{у.£1 : у} £1
ДЕШНОИ формулы для списка переменных х следует определению, т. е. представляет
собой £1 ® ■ ■ ■ ® £п О 2 — О, если переменная у не появляется в списке х. Если же она есть в этом списке, то вначале она заменяется па какую-нибудь новую переменную. Заметам, что у связана в (^у.£\)у.
Для любых а1 термов и а2 тип а £1 стрелк а 5с1 : £1 ® £1 — О дает терм §£1 (а1, а2), который сокращенно записываем как а1 = а2- Отсюда следует, что \а1 = а2\х является классифицирующей стрелкой уравнителя \а1\х и \а2\х-
Наконец, для любых мономорфизмов i : £ ^ £1 и г : £'' ^ £1 ® £2 будем
3 ЗЛ и сыв элгь формулы £' (в) и £'в1 в2 как сокращения для Хг(в) и Хг(в1, в2), где в и в1 являются любыми термами £1 в2 £2
Однако наше построение языка Log па этом не закапчивается, поскольку Log является не только топосом, по pi дополняющим топосом. Мы пополняем спргсок определений типов pi термов следующими пунктами:
Для каждого морфизма f : Li ^ L2 и котерма s типа Li выражение (fs)° = fos является котермом типа Li. Каждый морфизм c : L ^^ с ± в качестве области зна-
L
коконстантой типа L). Пусть ? означает коконстанту тождественного морфизма для
Для каждого котерма si тип a Li и s2 тип a L2 имеется котерм [si, S2] типa Li ф L2.
Для каждого котерма s тап a L2 и перемен пой y тап a Li имеется котерм s (Ay) типа Ll L2.
Для котерма s таи a L' и спис ка ж, включающего в себя все сво-s писс1ть || s || x : £' -»■ £ i ф • • • ф Lk
для коинтерпретации относительно списка ж. Определение ин-терпретацрш относительно спртсков пополняется теперь следуто-ПЩМР1 пунктам»! кортптерпретацрш:
Для любого списка x и перемениых Xi из списка ||xi||x будет представлять собой инъекцию Li ^ Li ф • • • ф Ln.
Для любого морфизма f : L' ^ и s является котер-
мом типа L''j то Hf °s||x будет L'' L' Li ф • • • ф Ln.
Для любой коконстанты c коинтерпретацией ||c||x будет п с°
L ^ Li ф • • • ф Ln-
Для любых котермов si тап a L' и s^ тап a L'' ||[si,s2]||x представляет собой морфизм пары из L' ф L'', индуцированный ||si||х и ||s21|х-
s L'' y
L' нет в списке ж, то ||s(Ay)||x является котранспозици-ей ||s||x>y : L'' ^ Li ф • • • ф Ln ф L', т. е. морфизмом
[ИХ , У :2' £" — £1 ф ■ ■ ■ ф £п. Если же связанная переменная у имеется в списке х, то это нерелевантное совпадение. Тогда мы замещаем у в в(Ау) какой-нибудь переменной над £', не содержащейся ни в в, ни в списке х.
д 2 1 £2 в
£1 имеется котерм е-и°([д,в]), который будем записывать сокращенно как д°в. Будем также использовать коклассообразующий оператор, записывая {х.£1 : в}° вместо в(Ах.£1), когда в имеет тип О. Для тер ма Р таи а 21 ® будем пис ать х €° Р вместо еу°([Р, х]), а также часто будем опускать угловые скобки, записывая f°(х,у) вместо f°([х,у]).
О
но (ЕТ5) для любых формул у и ф существуют фор мулы У (у, ф) и ^ (у, ф). Будем записывать это как у У ф и у ^ ф. Имеются также формулы у,г у.
Обратим, однако, внимание на тот факт, что в случае Ьс^ и для термов и для котермов используются одни и те же переменные (т. е. теории), а также одни и те же категорттые конструкции (произведения, копроизведеттия). Это наводит па мысль переопределить (ЬТ7) и (18) следующим образом:
в £2 у £1
имеется терм в(Ау) таи а 21 £2-
Это следует понимать в том смысле, что
Для любого терма в тип а £", если перемен пой у над £' нет в списке х, то \в(Ау)\Х является дополняющей транспозицией ЦвЦх, у : п ф £, т. е. морфизмом
|в|Х)у : £1 ■ —2' £", таким, что f = ЦвЦ^о\в|Ху, где
f : £1 ■ — £1 ф- ■ ■ф£п. Если же связанная переменная у имеется в списке х, то это нерелевантное совпадение. Тогда мы замещаем у в в(Ау) какой-нибудь переменной над £', не содержащейся ни в в, ни в списке х.
В этом случае мы получаем внутренний язык Ьс^, в кото-
уф
мулы у Л ф,у — ф ,А, —у, у У ф,у ^ ф, т,г у. Подобный язык
представляет собой не что иное, как язык для так называемой Н-В-логики, чьей алгебраической моделью являются полу булевы алгебры (абстрактная алгебра (A, Л, V, —, ^, —,г ) называется полубулевой алгеброй,, если (A, Л, V, —) является алгеброй Рейтинга, a (A, Л, V, ) — брауэровой алгеброй [8, р. 8].
4 Внутренняя логика Log
Перейдем теперь к построению внутренней логики Log, используя вначале схему построттия логики топоса, рассмотренную К. Маклэрти. Экстенсионалом ф по списку X является подобъ-ект Li ® ■ ■ ■ ® Ln, классифицируемый \ф\х. Будем записывать этот экстенсионал как [X : ф] и читать эту запись как «все X, такие, что ф». Например, мы получаем
[X : Т] = Li ® ■ ■ ■ ® Ln [X : ф&ф] = [X : ф] П [X : ф] [X : ф — ф] = [X : ф] ^ [X : ф] [X : ф ^ ф] = [X : ф] ^ [X : ф]
и [X : (Уу)ф] представляет собой универсальную квантификацию [X,y : ф] по проекции, соответствующей у. Здесь ^ есть импликация, а ^ является коимпликацией (псевдоразностью или
импликацией Брауэра). ф
ляются в точности Li ® ■ ■ ■ ® Ln, когда X пробегает по всем свободным переменным ф, т. е. по всем теориям Li ® ■ ■ ■ ® Ln.
фф
ф
конечного множества формул Г будем записывать [X : Г] для пересечения экстенсионалов над X всех формул в Г. В частности, [X :] = Li ® ■ ■ ■ ® Ln для пустого множества формул. Будем говорить, что Г влечет ф тогда и только тогда, когда [X : Г] С [ X : ф] X Гф
Г : ф Г
ф
Г:ф
Гф
Г действительно влечет ф. В частности, секвенция : ф с пустой
левой частью истинна тогда и только тогда, когда [X : р\ состоит из всех x из С\ ® ■ ■ ■ ® Ln и таким образом тогда и только тогда, когда р истинна, Если нам известно, что секвенция Г : р истинна, то мы можем записать Г Ь р.
Логика топоса, как известно [6, р. 129], может быть сформулирована в виде списка правил вывода для подобных секвенций, т. е. с помощью правил, действующих таким образом, что применяя Pix к истинным секвенциям, мы получаем истинные секвенции. Однако в нашем случае, как это явствует из построенного нами ранее языка для Log, папта логика, полученная подобным способом, должна быть двойственной, отражая наличие двух алгебр в Log — алгебры Гейтиттга pi алгебры Брауэ-ра. Отсюда подходящей секвенциальной системой у пас может быть секвенциальная формулировка Н-В-логики, которую можно найти в [7, с. 25].
* * *
р : р : Т ±: р
(: ослабление) ——: ^ (ослабление :)
Г : Д, р ; Г,ф : р
— : А,р,р Г,ф,ф : р, .
———д-(: сокращение) — ^-(сокращение :)
в :— ,р,Ф, Д , — ,р,Ф, Д: в
-——ф-д(: перестановка) —ф-Д—в\пеРестановка ■)
— : В, р р, Д : £ , . (если каждая переменная, свободная в р,
(сечение)
Г, Д : В, £
свободна в Г или в р)
Г : р, Д , , (для любого терма в, свободного
Г(х/в) : р(x/s) Д(x/s) 1поДстановка) ,
L(x/e) : р(х/в), Д(х/в) по x во всех формулах)
Г : р , , Г : Ф , , в :Г,р,ф ,
(V) ^ ,Zj :V 2 ^ V3)
Г: р V ф' ' Г: р V фх' ' в : Г, р V ф
Г, р : Д Г, Ф : Д Г : Д, р Г : Д, Ф
-—-( V :) -—-—(: А)
Г, р V ф :Д 1 ) Г : Д, р Л ф К )
Г, р, ф : й Л р : Г , , ф : Г ,
Л:1) (Л :2) ( Л :3)
Г, р Л ф : в р Л ф : Г р Л ф : Г
Г, р : ф Г, Д : р ф, Г, Д : в
: —► ) -, .. .--- :)
Г: р — фк' ' р — ф, Г, Д: в
в : Г, Д,ф ф : Г, А
в : Г, Д,ф ^ ф (
I : —ф
Г,ф : А
Г : А,
^ :Г,ф (
; ф ^ ф : Г Г : Д,ф
ф
ф Г : А
: Г, ф
) -
—ф : Г
<—
Антецедент и сукцедеттт секвенций в вышеприведенных правилах тте могут быть одновременно более чем одноэлементными. Например, в правиле (V:), если А есть (непустое) множество формул, то Г пусто, а если Г есть (непустое) множество форА
если в Г и в А формулы в качестве главных связок содержат ^ и г (^ и ->), то сначала следует применять правила вывода к ГА
Таким образом, впутреппий язык категории логических систем Ьс^ представляет собой язык, позволяющий рассуждать как в стандартном категорпом (интуиционистском) ключе о различных построениях составных логических систем, так и в рамках паранепротиворечивой логики (логики Брауэра), когда секвенции можно рассматривать как доказательства альтернатив, исходя из какой-либо гипотезы.
Литература
[1] Васюкив Б.Л. Проблема контекста интерпретации в универсальной логике // Логические исследования. Вып. 11. М., 2007. С.105-130.
[2] Васюкив Б.Л. Металогика универсальной логики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы IX Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 22-2 1 июня 2006 г. Спб.ГУ, 2006. С. 345—347.
[3] Джинстин П.Т. Теория топосов. М.: Паука, 1986.
[1] Beziav; .J.-У. From Consequence Operator to Universal Logic: A Survey of General Abstract Logic // Logica Universalis / J.-Y. Beziau (ed.). Basel, 2005. P. 3-18.
[5] Culeiro C., Gougalves R. Equipollent Logical Systems // Logica Universalis / J.-Y. Beziau (ed.). Basel, 2005. P. 99-111.
[6] McLarty C. Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford: Clarendon Press, 1992.
[7] Ruuszer C. A Formalization of the Prepositional Calculus of TI-B-logic // Studia Logica. 1973. Vol. 33. №1. P. 23-31.
[8] Ruuszer C. An algebraic and Kripke-style appraoach to a certain extension of intuionistic logic // Dissertationes Mathematicae, CLXVTT. PWN, Warszawa, 1980.
[9] Vusyukov V.L. Structuring the Universe of Universal Logic // Logica Universalis. 2007. Vol. 1-2. P. 277-291. [10] Wdjcicki R. Theory of Logical Calculi // Synthese Library. Vol. 199. Dordrecht, 1988.
