Влияние выбора материалов и структуры конструкции на пластическое деформирование и разрушение слоистых стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Влияние выбора материалов и структуры конструкции на пластическое деформирование и разрушение слоистых стержневых систем

Ю.В. Немировский, А.В. Мищенко

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Исследуется стержневые элементы, состоящие из нескольких однородных слоев, при учете физической нелинейности в виде линейного упрочнения материала. Обсуждается влияние физических и геометрических параметров, структуры слоистых стержней и параметров внешних нагрузок на напряженное состояние и несущую способность стержней, на возникновение и характер развития пластических зон в слоях.

The effect of materials and structure type on plastic deformation and

fracture of layered bars

Yu.V. Nemirovskii and A.V. Mischenko

Bar elements consisting of several homogeneous layers are studied taking into physical nonlinearity as material linear hardening. The effect of physical and geometrical parameters, structures of layered bars and parameters of external loadings on the stress state and strength of bars, on appearance and character of plastic zone development in layers is discussed.

В последнее время во многих отраслях техники широкое распространение получили конструкции из разнородных материалов — слоистые конструкции. Среди них известны полиметаллические, металло-бетонные, дерево-пластмассовые, металло-керамические и другие системы. Основной причиной их успешного применения является возможность более выгодной и полной реализации физических и иных свойств материалов и, как следствие, создание существенно более эффективных сооружений в целом по сравнению с однородными.

Данная работа, являясь продолжением исследований методов расчета слоистых конструкций [1-4], посвящена вопросу рационализации выбора материалов слоев, структуры слоистого пакета, а также его деформационно-прочностным свойствам с учетом развития пластических деформаций.

Прямолинейный стержневой элемент имеет многослойную структуру с ^ слоями из однородных материалов, обладающих нелинейно-упругими свойствами. Условия контакта слоев считаются совершенными при отсутствии взаимных смещений. Размеры сечений слоев заданы в функциональном виде Ьк = Ьк (х, у), ^ = = hk(х, у) ^ = 1, ..., В виду неоднородности стержня и изменения размеров сечений понятие физического

центра для слоистого сечения не используется. Отсчет-ная плоскость у = 0 имеет некоторую произвольную геометрическую привязку к слоистому пакету. Плоскость ух является плоскостью симметрии схемы по физико-геометрическим параметрам и компонентам внешнего температурно-силового воздействия.

Будем полагать, что полные деформации, состоящие из механической и температурной компонент, следуют закону плоских сечений. Тогда механические деформации могут быть представлены как

e(У) = £о -ку - aAt,

(1)

где е0, к — продольная деформация и кривизна отсчет-ной поверхности; a, At(x, y, z) = const — коэффициент температурного расширения и изменение температуры однородного поля.

Для простоты и удобства используем билинейную диаграмму ак -е для материала k-го слоя в виде

a k =

EE;

k 0,

е<е k

[(Еко - Ек1 )П и еъ + еЕк1, е > еъ, (2) Ли = ^п(е)-В ней используются параметры: Ек 0, Еи — модуль упругости и модуль упрочнения; е ъ, е ы — деформа-

© Немировский Ю.В., Мищенко A.B., 2004

ции, соответствующие пределам текучести аь и прочности а кы •

С учетом (1), (2) условия связи обобщенных интегральных усилий N М и деформаций г0, к примут вид

(3)

1е о Da -kDs = N - Nt - Щ, {-е0DS + kDi = M -Mt -Mj,

Da (x) = X(Ek0 Ak о + Ek1 Akl)'

k

Ds (x) = X (Ek о Sko + Ek1Sk1), k

DI(x) = X( Ek 0 Ik 0 + Ek1 Ik1)' k

Nt (x) = -At Xa k (Ek о Ak о + Ew Аи), k

Mt (x) = -At Xa k(Ek о Sk о + E^X

k

N1(x) = X nk1eks (Ekо - Ek1) Ak1' k

M 1(x) = -Xnk1eks(em - Ek1)Sk1-

Здесь БА , ^^, ^ — жесткостные характеристики слоистого упругопластического сечения; N, М1 — добавочные температурные усилия; Ы1, М1 — добавочные усилия, связанные с пластическим деформированием слоев. Геометрические характеристики слоев ^к е (Ак, Sk, 1к) определяются выражениями

5± Г ^к+1

^ ко = | к, ^ к1 = | к + | ^ к,

Г ^к 5± (4)

¿Ак = Ъ^у, dSk = &к = ЬкУ2 Здесь ^ к о, ^ к1 — характеристики частей £-го слоя, находящихся в упругой и пластической стадиях соответственно. Согласно физическому закону (2), в каждом слое возможно появление до трех областей деформирования: одной упругой и двух пластических с разными знаками деформаций. Границы их определяются координатами границ £-го слоя ук, ук+1 и промежуточными ординатами, соответствующими предельным деформациям ±е:"

ks

Если одна или обе координаты £ [ук, ук+1], то число областей в слое сокращается до двух или одной.

Таким образом, система (3) является нелинейной в силу зависимости коэффициентов D и свободных членов с индексами t и 1 от деформаций г0, к. Решение ее целесообразно выполнять итерационным способом с корректировкой границ упругой и пластической зон в продольном и поперечном направлениях слоистого стержня.

Остальные уравнения не зависят от структуры слоистого стержня и записываются в традиционной форме. Условия равновесия прямого стрежня

dN

dQ

dx ^' dx

dM _

q7 = Q + «

(6)

с граничными условиями N(х01) = N0, Q(х02) = Q0, М (х03) = М0 и условиями сопряжения при наличии нескольких различных по состоянию участков в пределах стержня. Функции продольных и(х), поперечных у(х) перемещений и углов поворота 0(х) определяем решением краевой задачи

du dv d0

— = е о, — = 0, — = к, dx dx dx

(7)

£±=3^, ^ [7k, 7k+1].

(5)

ы (X04 ) = ы0? Чх05 ) = у0'

х06 ) = 00 или V(х06 ) = ^0 с добавлением условий сопряжения участков по перемещениям. Здесь г0, к — обобщенные деформации, входящие в физически нелинейную систему (3). Полученные равенства (3), (6), (7) образуют замкнутую систему для решения поставленной задачи.

В качестве примера рассмотрим некоторые расчетные ситуации, специфичные для механики слоистых стержней. Пусть задан трехслойный стержень (рис. 1) с характеристиками материалов, указанными в таблице 1. Исследуем напряженно-деформированное состояние стержня при варьировании структуры слоистого пакета, толщины слоев и параметров внешних сил при I = = 1 м, Ы = 0, К1 = 40 мм, Ък = 10 мм ^ = 1, 2, 3).

1. Растяжение стержня при ^ = 1, fу = gу = 0, ^ = = hз 20 мм. При нагружении стержня выявлялись два

_qy = Pgy_

ЧГ лг лт лг + + лт

Fy = Pfy А

0

е(у)

=К

Sks

=£ hi

i:ks'

Рис. 1. Схема слоистого стержня (а); полигон предельных деформаций в сечении (б)

Таблица 1

Характеристики материалов [5]

№ Марка E0, ГПа Eu, МПа МПа ou, МПа £s, % £u, %

1 Д16 70 904 290 440 0.414 17

2 10Г2С 210 768 320 480 0.152 21

3 ВТ1 112 569 470 610 0.419 25

4 20Х 210 1403 650 800 0.310 11

Таблица 2

Предельные нагрузки и деформации

Материалы слоев Po Pu 8 ,,% 8 u,%

1-1-1 1.000 1.519 0.414 17

2-1-2 0.734 1.534 0.152 17

3-1-3 1.300 1.733 0.414 17

4-1-4 1.497 2.046 0.310 11

предельных состояния. Первое — предельное упругое состояние с нагрузкой = max P(е0) при выполнении первого из приведенных ниже условий

е(j) < еks (y), е(y) < еku (y) (k = 1, 2, 3). (8)

Второе — предельное пластическое состояние с нагрузкой Pu = max P(е0) при выполнении второго неравенства (8). В силу симметрии пакета и нагрузки кривизна к(х) = 0. Результаты расчета нагрузок и соответствующих им деформаций еs, еu приведены в таблице 2 при различных способах усиления внутреннего слоя из алюминиевого сплава Д16 наружными слоями из материалов 1-4 типов (табл. 1). Для введения безразмерного параметра P = Р/Рд16 использована нагрузка РД16 =

= a S®6) b (h + h2 + h3).

Применение более прочных материалов в наружных слоях не всегда сопровождается увеличением несущей способности сечения, которая определяется не только характеристиками прочности a s, au, но и соотношением модулей E материалов. Это видно по параметру P) в табл. 2 и при некоторых материалах может наблюдаться и для Pu.

В силу различия предельных деформаций е ь, е ku для используемых материалов характеристики прочнос-

ти не всегда реализуются в полной мере. Полнота использования прочностных свойств определяется близостью условий (8) к знаку равенства в слоях сечения.

2. Поперечный изгиб стержня при fx = 0, fy = 1, gy =-1.6, h1 = h3 = 20 мм. Для стержня с чередованием типов материалов 3-4-3 предельная упругая нагрузка составила P) = 178 кН. В этом состоянии пластичность начинается в крайних фибрах наружных слоев. Затем при P > P) пластические зоны, расширяясь, развиваются в продольном и поперечном направлениях, и в момент P = 1.29 P0 пластичность появляется во внутреннем слое. Это состояние отражено на рис. 2, а в виде эпюр деформаций е(у), напряжений a(y) в сечении с максимальным моментом M(x) при x = 0.6251 и границ (x) (5) пластических зон для верхней половины стержня.

Характер развития пластичности в существенной мере определяется геометрическими параметрами слоев. Так, если принять в рассмотренном примере h1 = h3 = 2 мм, то пластические деформации начинаются на внутренних границах при P0 = 65.5 кН и затем распространяются во внутреннем слое. Момент достижения пластичности на крайних фибрах внешних слоев при P = 1.18 P0 показан на рис. 2, б (верхняя половина стержня).

Анализ предельных деформированных состояний (8) может быть графически проиллюстрирован при помощи полигонов предельных деформаций ±£±5 (у) и ± £±u (у). В предельном состоянии линия деформаций e(y) должна касаться его минимум в одной точке. Можно ввести величину

ю = Е Це( У) -n^feu (У)| dy, П = sign(e),

k hj

отражающую степень неиспользования прочностных свойств слоистого пакета. Варьирование толщины слоев hk позволяет оптимизировать слоистое сечение по критерию ю ^ min, достигая касания линии деформаций предельного полигона в пределах каждого слоя [2, 3].

3. Продольно-поперечный изгиб при fx = 94, fy = 1, gy = -1.6, h1 = h3 = 20 мм. По сравнению с первым случаем наличие продольной нагрузки Fx существенно изменяет картину распределения пластических зон (рис. 2, в). Первоначально пластичность возникает во внутреннем слое и к моменту завершения упругой стадии в первом слое она охватывает около 35 % объема второго слоя, что также может быть объяснено с помощью полигонов предельных деформаций для сечений стержня.

Рассмотренные примеры наглядно иллюстрируют влияние толщины слоев, структуры слоистого пакета и

внешних воздействий на напряженно-деформированное состояние упруго-пластического слоистого стержня. Данные факторы необходимо дополнить параметрами внешнего температурного поля, асимметрией слоев, граничными условиями стержня и т.д. Очевидно, что достоверная оценка состояния слоистой конструкции может быть выполнена только при полном комплексном учете всех таких факторов, формирующих единую расчетную схему неоднородной системы. Приведенная здесь методика анализа слоистых стержней позволяет вырабатывать обоснованные рекомендации по назначению материалов и геометрических параметров слоев для достижения требуемого качества проектируемого стержня.

Литература

1. Немировский Ю.В. Равнопрочные слоистые упругие арки и балки // Изв. вузов. Строительство. - 1996. - № 8. - С. 20-25.

2. Немировский Ю.В. Мозаичное проектирование слоистых балок // Изв. вузов. Строительство. - 2002. - № 10. - С. 14-19.

3. Мищенко A.B., Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование равнопрочных слоистых рам // Изв. вузов. Строительство. -1998.- № 1. - С. 21-30.

4. Мищенко A.B., Немировский Ю.В. Проектирование и анализ эффек-

тивности равнопрочных слоистых рам различных типов // Изв. вузов. Строительство. - 1999. - № 9. - С. 12-20.

5. Писаренко Г. С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наукова думка, 1988. - 736 с.