CC BY
50
МЕХАНИКА
УДК 534.1
Ю. М. Степанчук, В. А. Кожевникова
ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ И ВНЕШНЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА ЗАТУХАЮЩИЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА ПРИ ЕГО РЕМОНТЕ
Рассмотрены малые колебания модели трубопровода при капитальном ремонте. Определены частоты затухающих колебаний при учете влияния внутреннего трения в металле труб, а также внешнего сопротивления в подземных участках газопровода. Проведен анализ зависимости значений частот от длин подземных участков и жесткости грунтов.
E-mail: rgd-info@bk.ru; ver@mail.ru
Ключевые слова: трубопровод, поперечные колебания, трение, сопротивление.
Капитальный ремонт газопроводов предусматривает применение комплексных механизированных колонн (рис. 1). Очистка труб от старой изоляции проводится резцами очистной машины, при этом вся колонна перемещается по трубе синхронно. Во время работы колонны возникают колебания всего ремонтируемого участка газопровода, удерживаемого в заданном пространственном положении упругой троллейной подвеской трубоукладчиков. Эти колебания вызывают до-
Рис. 1. Технологическая схема капитального ремонта газопровода в траншее:
1 — бульдозер; 2 — вскрышной экскаватор; 3 — подкапывающая машина; 4 — трубопровод; 5 — трубоукладчик; 6 — машина предварительной очистки; 7 — электростанция; 8 — пост отбраковки труб; 9 — сварочный пост; 10 — лаборатория контроля качества сварных соединений; 11 — машина окончательной очистки; 12 — изоляционная машина; 13 — лаборатория контроля качества изоляционного покрытия; 14 — экскаватор засыпки
полнительные динамические нагрузки на трубы, особенно на резонансных режимах, что при последующей эксплуатации приводит к ускорению развития имеющихся на трубах некритических дефектов. Выбор наиболее эффективных режимов при ремонте трубопроводов можно осуществить на основе математической модели, адекватно описывающей вынужденные колебания ремонтируемого участка трубопровода. Такая модель для расчета частот и форм собственных колебаний участка газопровода приведена в работе [1]. В настоящей работе указанная модель распространена на случай учета влияния внутреннего трения в металле труб, а также внешнего сопротивления в примыкающих к границам ремонтируемого газопровода его подземных участков.
Постановка задачи. В качестве модели газопровода рассматривается однородный стержень (рис. 2) с заделанными концами, примыкающие к ним участки стержня полагаются лежащими на упругих основаниях. Точечные массы представляются навешенными на газопровод машины предварительной и окончательной очистки и изоляционную установку. Пружины — троллейная подвеска трубоукладчиков. Упругие подушки имитируют сопротивление грунта в примыкающих подземных участках. Все элементы колонны полагаются неподвижными, так как в реальных условиях колонна перемещается по трубе синхронно, т.е. расстояния между элементами колонны не изменяются. Изменяются только длины двух участков, примыкающих к подземным, но поскольку скорость перемещения колонны мала, на значения частот затухающих колебаний это изменение существенного влияния не оказывает, что будет показано ниже.
В порядке упрощения будем рассматривать такие движения стержня, когда его ось остается в вертикальной плоскости. При ремонте трубопровода горизонтальные колебания не допускаются, так как они приводят к опрокидыванию трубоукладчиков, и когда они возникают, работу колонны прекращают.
Рассмотрим изгибные колебания стержня в вертикальной плоскости. Разобьем его на десять однородных участков, границами которых являются упругие или массовые элементы (см. рис. 2).
Рис. 2. Расчетная схема модели
Примем следующие значения параметров. Длины подземных участков /п0дз = 11 = 110 = 50(30) м и наземных 12 = 30 м, " = 10 м (] =3... 8), 19 = 20 м. Коэффициенты упругости пружин е" = 2 х х 106 Н/м (] = 2, 4, 6, 8). Массовые элементы Ш1=2500 кг, т2=2500 кг, т3 = 2900кг и погонная масса д = 300кг/м (] = 1... 10). Из-гибная жесткость стержня на каждом участке Е] = 2,4 • 109 Н-м2 (] = 1... 10) и жесткость грунта А* = кю = 3,5 • 105(3,5 • 103) Н/м2.
Изгибные колебания каждого ] -го однородного участка стержня описываются дифференциальным уравнением. Пусть Xj — горизонтальная координата ^'-го участка стержня, а Uj (xj, ¿) — вертикальный прогиб на этом участке. Согласно [2] принимаем, что при изгибных колебаниях перемещения трубы на всех участках трубопровода и (xj, ¿) малы.
Системы уравнений для участков трубопровода и соотношения на стыках. Имеется десять участков, два из которых подземные. Из-гибные колебания стержня с учетом гипотезы упруговязкого внутреннего неупругого сопротивления [3] описываются дифференциальным уравнением
д2п1 (xj ,t)
д4П (xj,t) , V д5П (xj,t)
+ —
dx4 ш dtdx
4
+
дП (x-j,t)
+ а"" + kj и(х" ,^)=0, (1)
где Uj (х" , ¿) — прогиб; д — погонная масса; Е] — изгибная жесткость рассматриваемого участка стержня; а" — коэффициент внешнего со-
V" 5"
противления в подземных участках;--внутреннее трение, V" = —,
ш п
а 5" — логарифмический декремент колебаний; к" — обобщенный коэффициент упругости подземных участков трубопровода, вычисляемый по формуле
к" = еу0^к,
где Бн — наружный диаметр трубы (в дальнейших расчетах полагаем Дн = 1020 мм); еу0 — коэффициент нормального сопротивления грунта, вычисляемый по формуле [4]
0,12ЕгрПгр ,л - §0
еу0 = Тл-2Г/гТг(1 - е ),
(1 - 1о^н
где Егр — модуль деформации грунта ненарушенной структуры, МПа; Пгр — коэффициент снижения модуля деформации грунта засыпки по сравнению с грунтом ненарушенной структуры; дгр — коэффициент Пуассона грунта; 10 = 1 м — единичная длина трубопровода; Н0 — расстояние от верха засыпки до оси трубы, м.
Отметим, что коэффициент к3- отличен от нуля только на подземных участках (при ] = 1 и ] = 10).
Введем безразмерную координату ^ = х3-/3, где 3 — длина участка, тогда уравнение (1) примет вид
д4Уз & ,*) + д 5Уз & ,*) + 3 д 2Уз ,*) +
de
ш
EJ,
dt2
+
а &/4 dyj (e, ,t) k 1
EJ,
iJWi dt
+ Jy, (Zj ,t)= 0, (2)
'3 ^ где из (хз ^ = Уз
При изгибных колебаниях состояние сечения стержня характеризуется четырьмя параметрами — прогибом у3 (£3-, £), углом поворота
Ф,,t) =
dyAjt)
, изгибающим моментом, который при учете вну-
треннего трения определяется как [5]
M, (e, ,t) = EJj
/2
d 2y, л + Vd 3 у, (ез,t)
2 + ■3
de
ш
dtde
и поперечной силой
(e3 ,t) /3
d3y, (Zj ,t) + v, d4y, (& ,t)
de3 + ш dtde3
С учетом этого уравнение (2) приводится к эквивалентной системе уравнений
дУз ^
de,
=, ф, ,t);
дФ, ,t) + д2ф, ,t)
дм, (e, ,t)
de, dQ, (e, ,t) de,
ш
dtde,
EJ,
M (e, ,t);
(3)
— Z,Q, (ej,t);
= - j- ОД^^ - k,y,(e,,t).
dt2
dt
Для нахождения решения системы (3) воспользуемся методом комплексных амплитуд. Решение ищется в виде
iwi.
y, (eJ >t) — Reyj (eJ >t); yj (eJ >t) — [yi, (6) +г У2, (ej)]e
Ф,(ej>t) — Re£j>t); Ф,(ej>t) — [Ф,(ej) + г Ф2,(ej)]e
M, (e, ,t) — ReM, (e,, t); M, (e, ,t) — [Mii (e,) + ^ (e, )]e
q,(e,,t) — ReQQ,(e,,t); q, (e,,t) — [Qi,(e,) + ^(e,)]e
¿Wt.
iwi.
(4)
4
Здесь
Уз(Сз^ = ReУз(Сз= Re[(yij(Сз) + гУ2з(Сз))(coswt + i sinwt)] = = Re[yij (Сз) cos wt — у2з- (Сз) sin wt + i (уз (Сз) sin wt + у2з- (Сз) cos wt)] =
= Уз (Сз) cos wt — У2з (Сз) sin wt. Аналогично определяются выражения и для оставшихся функций, в результате получим:
( Уз (Сз ,t) \ ( У1з (Сз) \ ( У2з (Сз) \
ФзИз^
Mj (3 ,t)
V Qj &,¿) J
Фз ) Mj & )
V Qij &) у
cos wt —
Ф2з )
My (6)
V Q2j &) J
sin wt
(в дальнейшем индекс участка ] будет опущен).
После подстановки решения (4) в (3) и разделения переменных получим систему дифференциальных уравнений
dyifé)
de
d?i(e) =_
de EJ (1 + v2)
dMi(e)
= Me); i
Mi(e) +
iv
EJ (1 + v2)
M2(0;
de dQi(e)
de dy2(e) de dy2(e) de
dM2(e)
de dQ2(e) de
= iQi(e);
= - k)yi(e) + ia^wy2(e);
= Me);
iv
EJ (1 + v2)
= iQ2(e);
Mi(e) +
i
EJ (1 + v2)
M2(e);
= -ia^wyi(e) + - k)y2(e).
Введем вектор состояния сечения в виде
XX(e) = Me)^i(e),Mi(e),Qi(e)Me)Me),M2(e),Q2(e))T. (5)
В новых обозначениях система (5) запишется как
dxX(e)
de
= ax (e),
(6)
где
A =
( о
О
о
Zai О
о о
У —la2
l О О О О О О \
О lbi ООО lb2 О
О О l О О О О
О О О la2 О О О
О О О О z о о
О — Zb2 О О О lbi О
О О
О О
О О О О Z О lai О О О
где ai = ^ш2 — k; a2 = a^-ш; bi =
1
b2 =
v
£7(1 + V2)' 2 £7(1 + V2)' Выпишем соотношения, соответствующие стыкам участков. В рассматриваемой модели три типа стыков участков — с пружиной, с сосредоточенной массой, с упругой подушкой.
Для стыка с упругим элементом формулу перехода от вектора состояния сечения в конце ]-го участка X, (1) к вектору состояния в начале + 1)-го участка (0) запишем в виде
Х,+1(0) = В1, X (1),
где
B 1j =
( 1 О О О О О О О
О 1 О О О О О О
О О 1 О О О О О
-j О О 1 О О О О
О О О О 1 О О О
О О О О О 1 О О
О О О О О О 1 О
\ О О О О —cj О О 1
— матрица перехода рассматриваемого стыка; с, — коэффициент упругости пружин (троллейных подвесок трубоукладчиков).
Для стыка с сосредоточенной массой т, формула перехода имеет
следующий вид: Х,+1(0) = В2,X,(1),
где
B 2j =
/ 1 О О О О О О О
О 1 О О О О О О
О О 1 О О О О О
mj ш2 О О 1 О О О О
О О О О 1 О О О
О О О О О 1 О О
О О О О О О 1 О
V О О О О mj ш2 О О 1
ш — частота затухающих колебаний.
Для стыка с упругой подушкой формула перехода имеет вид
Х"+1(0) = В" X" (1),
где В" — единичная матрица размера 8х8.
Определение частот затухающих колебаний. Воспользуемся методом начальных параметров [5]. Формула перехода от вектора состояния X" (0) в начале участка к вектору X" (1) в конце участка имеет вид X"(1) = А" X"(0), где А" — матрица перехода участка. Таким образом, вектор состояния на левом конце связан с вектором на правом конце соотношением
^^^ (1) = А1* Вы-1АМ-1 • • • А2В2А11^^1(0).
Здесь А11, А1^ — матрицы переходов подземных участков; А" — матрицы переходов участков ] = 2,..., 9 и В" — матрицы переходов стыков; N =10 — число участков.
Запишем граничные условия для стержня с заделанными концами:
»(0,0=0; Е]ММ=0
дх1
— на левом конце;
УN(Ь, ¿) = 0; Е]^^^-=0
дх N
— на правом конце.
Тогда в соответствии с формулой (6) вектор состояния сечения на левом конце стержня определяется как
—* т
Х1(0)= [0 0 М1(0) д1(0) 0 0 М2(0) ^2(0)]т.
Для исключения из расчета неизвестных параметров М1(0), М2 (0) и ^1(0),^2(0) вектор X(0) представим в виде
(0) = С^ 11 + 12 + С3Х13 + 14,
где X11, X12, X13 и X14 — векторы, удовлетворяющие граничным условиям. Например, возьмем такие векторы:
тт Хц =[0 0 1 0 0 0 0 0]т; ^^ 12 =[0 0 0 1 0 0 0 0];
тт X13 =[0 0 0 0 0 0 1 0]т; Х14 =[0 0 0 0 0 0 0 1]т,
тогда С1 = М1(0), С = ф^) и С3 = М2(0), С4 = ф2(0).
Для определения этих констант необходимо выполнить четыре расчета, в которых векторы Хп(0), Х12(0), Х13(0) и Х14(0) по отдельности умножаются последовательно на матрицы перехода участков и
стыков и тем самым определяются четыре вектора состояния на правом конце. Схематично это можно записать так:
X* 1(1) = А1* В*-1 • • • А2В2А11Х ц(0); ХХ^2(1) = Л1* В*-1 • • • А2В2А11Х 12(0);
(7)
X N з(1) = В*-1 • • • А2В2А11Х^1э(0);
ХЖ(1) = -1^-1 • • • ^А^Х^).
Алгоритм решения системы матричных уравнений (7) следующий. Матрицы А, и ¿1, в явном виде не определяются, а при помощи математического пакета МаНаЪ интегрируются системы дифференциальных уравнений (6) для каждого участка. При этом значения параметров состояния сечения (5) в конце предыдущего участка, умноженные на матрицу перехода соответствующего стыка, являются начальными условиями для системы дифференциальных уравнений на последующем участке.
В соответствии с методом начальных параметров в концевом сечении стержня вектору X (0) соответствует вектор
X* (1) = С^ 1(1) + С2ХХ*2(1) + С3ХN з(1) + С4ХМ4(1).
Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом конце стержня. Таким образом, для стержня с заделанными концами 1-, 2-, 5- и 6-я компоненты этого вектора приравниваются к нулю. Это дает возможность определить константы С1, С2, С3 и С4 как решение системы четырех алгебраических уравнений.
После вычисления констант формируется вектор начальных условий:
X 1(0) =[0 0 С1 С 0 0 Сз С4] т,
и в соответствии с алгоритмом метода последовательно определяются параметры состояния сечений стержня на границах участков.
В таблице приведены рассчитанные значения частот затухающих колебаний трех низших тонов при различных длинах участков, примыкающих к подземным.
Из таблицы видно, что значения частот при разных положениях колонны на трубе отличаются незначительно, особенно если колонна удалена от подземных участков. Таким образом, допустимо моделировать участок трубопровода при его ремонте стержнем с навешенными на него неподвижными грузами и пружинами (см. рис. 2).
Результаты расчета частот затухающих колебаний двух низших тонов в зависимости от декремента колебаний V для различных сочетаний параметров системы приведены на рис. 3. Как видно, при увеличении декремента колебаний, учитывающего внутреннее трение, до
Значения частот затухающих колебаний трех первых тонов в зависимости от длин участков, примыкающих к подземным при с =2 • 106 Н/м; к = 3,5 • 103 Н/м2; V = 0,0001
Частота, c 1 Длина участка, примыкающего к подземному, м
12 = 10, lg = 40 I2 = 15, ig = 35 I2 = 20, lg = 30 I2 = 30, lg = 20 I2 = 35, lg = 15 I2 = 40, lg = 10
13,0471 15,9783 20,2589 14,3251 16,1051 20,2535 15,1511 16,4616 20,3255 15,2544 16,3222 20,3244 14,4112 15,9854 20,2473 13,0831 15,9378 20,2401
О)
1
10 -
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 v а
О) 20
15 10 5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 v б
О)
15 10 5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 v в
О)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 V
г
Рис.3. Графики зависимости собственных частот ш 1 (1) и ш2 (2) от декремента колебаний V при 1подз = 50 м (а, б) и 30 м (в, г):
коэффициент жесткости грунта к1 = к10 = 3,5 • 105 Н/м2 (а, в) и 3,5 х 103 Н/м2 (б, г)
значения V = 0,7 частоты собственных колебаний возрастают при учитываемой длине подземных участков /подз = 50 м. Однако это увеличение для "жестких" (к! = к!0 = 3,5 • 105 Н/м2) грунтов составляет около 80%, в то время как для "мягких" (к! = кю = 3,5 • 103 Н/м2) грунтов
частоты увеличиваются более чем в 2 раза. При учитываемой длине подземных участков /подз = 30 м для "жестких" грунтов частоты затухающих колебаний возрастают до значения v = 0,5, а затем начинают уменьшаться. Для "мягких" грунтов частоты, как и ранее, увеличиваются более чем в 2 раза. Таким образом, для "мягких" грунтов высокочастотные колебания затухают быстрее, чем низкочастотные при любой учитываемой длине подземных участков. Для "жестких" грунтов при расчетах частот с учетом внутреннего трения нужно полагать длину подземных участков /подз ^ 50 м. Внешнее сопротивление на подземных участках даже при увеличении коэффициента сопротивления в 100 раз (с а1 = «10 = 0,001 до а1 = аю = 0,1) заметного влияния на частоты затухающих колебаний системы не оказывает.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Степанчук Ю. М. Математическая модель расчета частот собственных колебаний линейной части магистрального газопровода при капитальном ремонте // Изв. вузов. Машиностроение. - 2008. - № 11. - C. 31-44.
2. И л ь и н М. М., Колесников К. С., Саратов Ю. С. Теория колебаний. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 272 с.
3. ПановкоЯ. Г. Механика деформируемого твердого тела: Современные концепции, ошибки и парадоксы. - М.: Наука, 1985. - 288 с.
4. Айнбиндер А. Б., Камерштейн А. Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. - M.: Недра, 1982. - 341 с.
5. Б и д е р м а н В. Л. Прикладная теория механических колебаний. - M.: Высш. шк., 1972.-416 с.
Статья поступила в редакцию 25.09.2009
Юрий Михайлович Степанчук родился в 1947 г., в 1970 г. окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Теоретическая механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области анализа динамических процессов в сложных механических системах и организации работ по комплексной диагностике состояния трубопроводов при их капитальном ремонте.
Yu.M. Stepanchuk (b. 1947) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1970. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Theoretical Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications in the field of analysis of dynamical processes in complex mechanical systems and organization of works on comprehensive diagnostics of pipelines state during their capital repairs.
Вера Александровна Кожевникова родилась в 1981г., в 2003 г. окончила МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Теоретическая механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор пяти научных работ в области топологической структуры многообразия уровней линейных интегралов механических систем и влияния внешнего периодического воздействия на изгибные колебания газопровода при капитальном ремонте.
V.A. Kozhevnikova (b. 1981) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 2003. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Theoretical Mechanics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 5 publications in the field of topological structure of variety of levels of mechanical systems' linear integrals and influence of external periodic action on pipeline's bending vibration during capital repairs.
