Влияние структуры границ двойника на зарождение трещин в его вершине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.21

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ ГРАНИЦ ДВОЙНИКА НА ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИН В ЕГО ВЕРШИНЕ © В.А. Куранова, С.Н. Плужников, Ю.И. Тялин, В.А. Федоров

Kuranova V.A., Pluzhnikov S.N., Tyalin Y.I., Fedorov V.A. The influence of a double’s boundary structure on crack initiation in its peak. The article discusses tlie conditions in which micro-cracks are initiated in the peaks and on the boundaries of doubles. It is shown that the consideration of a double’s real dislocation structure has great influence on the activation parameters of destruction initiation.

В [1, 2] было показано, что учет реальной структуры дислокационных скоплений может существенно изменить условия зарождения в них микротрещин. С этой точки зрения особый интерес представляют двойники и двойниковые іраницьі, в которых каждая из двойникующих дислокаций движется в своей плоскости скольжения. Дефекты такого рода моделируются обычно ступенчатыми скоплениями дислокаций [3], причем в двойнике дислокации располагаются попарно и симметрично относительно плоскости двойникования, проходящей через вершину двойника. Понятно, что в общем случае границы двойника не обязательно должны содержать одинаковое число дислокаций. В настоящей работе на примере кальцита рассмотрен именно такой случай асимметричного двойника с различным числом дислокаций в его границах. Формально это означает, что каждую из границ следует рассматривать отдельно и для каждой из них записывать свои уравнения равновесного распределения дислокаций.

Пусть гршшцы содержат разное количество п\ и п2 дислокаций. Головная дислокация «заперта» в точке с координатами х = у = 0 и принадлежи!' одновременно верхней и нижней границам. Скопление дислокаций поджимается к головной внешними напряжениями Т. Для верхней границы с числом дислокаций п\ уравнения равновесия будут иметь следующий вид

(*, -Xj)2 -(Уі -У})2

J=1, [(.Xf-Xj) у j)-1

(1)

7=2 \(Xi-Xj)- + (yi+yJУ ]

- — =0, йЬ

/ = 2, 3,..., п,

где х, и у, - координата /-й дислокации; £)=в/2я(1-У); С - модуль сдвига (3,2-И)10 Н/м2); V - коэффициент Пуассона (V = 0,3); Ь - вектор Бюр-герса двойникующих дислокаций (1,269-КГ10 м); И -межплоскостное расстояние (3,82-К)-10 м).

Здесь первое слагаемое описывает взаимодействие

|-й дислокации с дислокациями верхней границы, второе - с дислокациями нижней границы.

Аналогично записываются уравнения для дислокаций в нижней границе:

а , _ , <х,-х1р-(у,-у1р

/=!,», ‘ [(х,-х,)г +(У, -у,)2]2

Лъ-х,) ^-У2-^+^2 и

Р2 ' ,'[(х,-х/)г+(у1+у,)1р

—— = 0, / =2,3,...,л. оь

Таким образом, мы получаем систему нелинейных уравнений (1) и (2) с общим числом неизвестных #1|+/|2— 1.

Системы уравнений (1) и (2) решали численно методом последовательных приближений [4]. В последнем (к+ 1)-е приближение для координат дислокаций

4-1

х находили в результате последовательного решения /'-го уравнения системы для / = 2, 3,.., п при фиксированных значениях остальных неизвестных. В качестве начального приближения .V0 использовали координаты дислокаций плоского скопления, поджимаемого приложенным напряжением к неподвижной дислокации в точке (х = у = 0). Известно, что в этом случае положение дислокаций определяется нулями полинома

Даггера /Л,-|(2тос/А), где А = ОЬ . Причем нет необходимости находить точные значения корней полинома О п-1, а можно воспользоваться их асимптотикой. В нашем случае использовалось следующее приближенное выражение для координат дислокаций

х,- = 2¡~А /пт .

Процесс итерационного уточнения корней прекра-

1к +1 к I

X, — X,- <£ ,

(/ = 2, 3, ...., и); е - заданная точность. Величина е выбиралась такой, чтобы в состоянии равновесия максимальное напряжение, действующее на дислокации скопления, не превышало 10~5т.

Решение уравнений (1) и (2) дает равновесные ко-

Рис. 1. Взаимодействие дислокаций, движущихся в соседних плоскостях скольжения

ординаты X) дислокаций, зависящие от упругих констант С и Ь, числа дислокаций //, и п2 и величины внешнего напряжения Т. С точки зрения зарождения микротрещины, интерес представляет расстояние d между головными дислокациями, при слиянии которых и образуется зародыш трещины. В плоском скоплении слияние головных дислокаций происходит при их сближении до расстояния с\ = Ь [5].

В ступенчатом скоплении для слияния головных дислокаций достаточно сблизить их до расстояния с/ = 2,41/л При этом сила отталкивания второй дислокации со сторошл первой достигает максимума (рис. 1). Дальнейшее их сближение до слияния будет происходить без увеличения внешней нагрузки. Поэтому в качестве критических напряжений 1кр зарождения трещин

можно принять напряжения, необходимые для сближения головных дислокаций до критического расстояния с1 = 2,41/;. Будем называть этот критерий силовым.

При термоакгивированном зарождении предполагается не одновременное слияние головных дислокаций по всей дойне, а первоначально лишь на коротком отрезке в результате выбрасывания второй дислокацией скопления парного перегиба за счет термических флуктуаций. При этом образуется зародыш микротрещины длиной / при слиянии этого перегиба и первой дислокации, который затем расширяется по длине дислокации. В [6] было показано, что энергетический барьер зарождения трещины полностью определяется первой стадией процесса - образованием парного перегиба. Выражение для энергии IV образования парного перегиба приведено в [7|.

Для определения критических значений внешних напряжений ТКр рассчитывалась зависимость IV от Т и

находилось такое значение т, при котором IV совпадала с заданной величиной. В нашем случае эта энергия выбиралась равной 1 эВ, что сопоставимо с минимальной высотой потенциального бар|>ера образования парного перегиба и составляет величину порядка О/у [8|.

В расчетах анализировались: двойник с равным числом дислокаций в границах - «симметричный» двойник (СД); двойник с различным числом дислокаций в границах - «асимметричный» двойник (АД); и одиночная граница двойника (ГД). Рассматривались дефекты с различным суммарным числом дислокаций, а также различным соотношением чисел дислокаций //; и п2 в верхней и иижней границах АД.

В АД при п\ = п2 дислокации располагаются симметрично, как и в СД с п = п\ = п2. Этот результат по-

Рис. 2. Равновесные конфигурации дефектов: 1) АД; 2) ГД; 3) СД

Рнс. 3. Расположение дислокаций в вершине дефектов: 1) АД; 2) ГД; 3) СД

пятен и является следствием взаимодействия дислокаций, движущихся в параллельных плоскостях скольжения. Если считать одну из дислокаций неподвижной, то равновесному состоянию другой дислокации будут отвечать два положения - х = /; и х = 0, в которых сила их взаимодействия равна нулю, но устойчивым будет только одно из них - х = 0. При отклонении от него на движущуюся дислокацию будет действовать сила, возвращающая ее к положению рсШНОВеСИЯ.

При нарушении равенства числа дислокаций в 1ра-ницах симметричного двойника, т. е. при трансформации его в АД, расположение дислокаций существенно изменяется (рис. 2, 3). Впрочем, и в этом случае встречается попарное выстраивание дислокаций в границах АД, но число таких пар не превышает единиц процентов. В области, примыкающей к вершине АД, в сторону запертой дислокации сильнее смещается вторая дислокация границы с большим числом дислокаций. Причем различие в величине с1 обеих границ может отличаться в несколько раз при небольшой разнице п\ и п2. Например, для щ = 10 и п2 = 12 отношение с!\/с12~4. Помимо этого, наименьшее из и d2 оказывается гораздо меньше, чем величина d для СД. Это хорошо видно на рис. 3, где приведено расположение дислокаций непосредственно в вершинах дефектов. Если учесть, что именно величина d определяет напряжения зарождения трещин, следует ожидать изменения условий зарождения трещины в вершине АД.

В расположении дислокаций у вершины двойника обращает на себя внимание тот факт, что координаты дислокаций в границах АД имеют близкие значения с координатами дислокаций в одиночной границе с суммарным числом дислокаций п = п\ + п2 (рис. 3). Этот результат становится понятным, если вернуться к вы-

ражению для напряжений, действующих со стороны у'-й дислокации на /-ю

^ СЬ (xi -х))[(х? -х))-{у^ - у;)]

~ 2я(1-V) +

Для соседних дислокаций у{ - yJ = //, а л:, - х) сравнимо с И только для дислокаций, примыкающих к голове скопления (при слиянии лг2 — лг1 = 2,41//). Для остальных дислокаций с большими номерами xi - ху» //. Например, для // > 10 Ах/И > 10, т. е. в этом случае соседние дислокации, и тем более дислокации с большей разницей индексов, взаимодействуют так, как будто они расположены в одной плоскости. Действительно, в (3) в этом случае можно с хорошей точностью пренебречь слагаемыми (у, -V,)2, т. е. хвостовую часть дефектов можно заменить плоским скоплением, а форма вершины дефекта и условия слияния дислокаций будут определяться особенностью взаимодействия небольшого числа головных дислокаций, для которых

Ау = [у,, -у} | сравнимо с Ах = |х,- - |.

На рис. 4 приведены результаты, показывающие зависимость (1 от внешнего напряжения Т для трех типов дефектов - ГД, СД и АД. Видно, чго зависимости для ГД и АД расположены достаточно близко. Это является следствием отмеченного выше хорошего совпадения равновесных положений дислокаций в границах ГД и АД, т. е. ГД можно рассматривать как предельный случай АД, у КОТОРОГО //| » //2 (ИЛИ //2 » Н|).

Сравнивая значения Т для АД и СД (с равным суммарным числом дислокаций в их границах), при с/ = - 2,41// получаем, что зарождение микротрещии по силовому механизму в АД будет иметь место при значительно меньших напряжениях (примерно в 1,7 раза).

Выяснялось, зависят ли полученные результаты от числа дислокаций в рассматриваемых дефектах. Если перестроить зависимость с/ от т (или IV от т ) в относительных единицах т/О , то полученные точки, соответствующие различным // для одного и того же дефекта, с хорошей точностью ложатся на одну кривую. В качестве примера на рис. 5 приведен график такой зависимости для АД. Таким образом, результаты, приведенные на рис. 4, могут быть обобщены на случай других п простой перенормировкой критических напряжений.

т-ю’.н/м2

Рис 4. Зависимость расстояния между головными дислокациями от приложенного напряжения: 1) ГД; 2) СД; 3) АД

тп/И

Рис. 5. Зависимость расстояния между головными дислокациями от приложенного напряжения для АД: 1) п\ = 10, пг= 12; 2) п\ = 20, = 30

22] Ш*эВ

Результаты расчета энергии активации зарождения трещины приведены на рис. 6. Сравнивая данные с результатами на рис. 4, отмечаем, что термоакгивирован-ному зарождению соответствуют меньшие значения критических напряжений, но это различие не велико (~25 %). Сами значения энергии парного перегиба при выполнении силового критерия d = 2,41// равны -0,5 эВ.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Рыбин В.И.. Ханнанов Ш.К. Учет реальной структуры скопления дислокаций в задаче о термоактивированном зарождении трещины//ФТТ 1969. Т. 11. Вып. 4. С 1048-1051

2 Владимиров В.И., Ханнанов ШЛ' Образование трещин в затормо-

женной полосе скольжения//ФММ 1971 №31. С 838-842 3. Федоров В.А., Тялин Ю.И. О зарождении трещин на границах

двойников в кальците // Кристаллография. 1981 Т. 26. Вып 4 С 775-781 *

4 Ортега Дж.. Рейнболдт В Итерационные методы решения нели-

нейных систем уравнений со многими неизвестными М. Мир, 1975.

5. Stroh A.N. A theory of fracture of metals // Advences phys. 1957. V. 6. №24. P 418-428."

6. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов М.: Металлургия, 1984. 280 с.

7 Куранова В.А., Плужников C.H., Тялин Ю.И., Федоров В.А Зарождение микротрещин при двойникованни в ОЦК и ГЦК металлах // Вести ТГУ Сер Естеств и технич науки Тамбов, 2001 Т. 6 Вып. 3. С. 346-350

8 Орлов А.Н Введение в теорию дефектов в кристаллах М : Высш шк.. 1983. 144 с

Поступила в редакцию 24 августа 2001 г.

0.2

1,2 1.6 2,0 2.4 2,8 3.2 3.6

х-Ю7. Н/м2

Рис. 6. Зависимость энергии перегиба IV от внешнего напряжения X: 1) ГД; 2) СД; 3) АД