CC BY
12
М.А. Mintairov |et al.| 11 Proc. of the 25ltl EPSEC.-Valencia, 2010,- P. 1DV.2.33.
12. Galiana, B. Explanation for the dark 1—V curve of ill—V concentrator solar cells [Text] / B. Galiana, C. Algora, 1. Rey-Stolle // Progress in Photovoltaics: Research and application.— 2008,— Vol. 16,— N° 4,— P. 331-338.
13. Минтаиров, М.А. Особенности фотоволь-таических характеристик и эквивалентные схемы многопереходных наногетероструктурных InGaP/GaAs/Ge монолитных солнечных элементов [Текст] / М.А. Минтаиров, В.В. Евстропов, Н.А. Калюжный [и др.| // Тез. докл. 2-го между-
народного конкурса научных работ молодых ученых в области нанотехнологий,— Москва, 2009,- С. 86.
14. Емельянов, В.М. Внешний квантовый выход фотоответа каскадных солнечных элементов [Текст] / В.М. Емельянов, С.А. Минтаиров, Н.А. Калюжный, В.М. Лантратов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки,- 2009,- № 1 (77).- С. 14-23.
15. Bett, A.W. Highest efficiency multi-junction solar cell for terrestrial and space applications |Text| / A.W. Bett, F. Dimroth, W. Guter |et al.| // Proc. 24ltl EPSEC.- Hamburg, 2009,- P. 1AP.1.1.
УДК 538.945
М.А. Зеликман, К.А. Поцелуев
ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОГО ФАКТОРА НА МЕЙССНЕРОВСКОЕ СОСТОЯНИЕ В ТРЕХМЕРНОЙ УПОРЯДОЧЕННОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ
Эффект Мейсснера, т. е. выталкивание магнитного поля из объема сверхпроводника, имеет место как в обычных, так и в высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП). Для обычных сверхпроводников физика этого эффекта понятна, и его теория, базирующаяся на уравнениях Гинзбурга — Ландау построена еще до создания теории БКШ. В керамических ВТСП теоретическое описание эффекта Мейсснера сталкивается с некоторыми трудностями, которые вызваны гранулированностью образцов. В первую очередь эти трудности связаны с ячеистой структурой среды, когда между соприкасающимися сверхпроводящими гранулами находятся диэлектрические области. В местах соприкосновения гранул друг с другом образуются джозефсоновские контакты, количество которых так велико, что такие среды иногда называют джозефсоновски-ми. Указанные контакты являются нелинейными элементами, что сильно усложняет анализ таких сред. Токовые состояния — как экранирующие, так и вихревые, отличаются по своей структуре от существующих в обычных сверхпроводниках. Уравнения Гинзбурга — Ландау неприменимы в этой ситуации, и нужно искать другую основу для математического описания гранулированных сверхпроводников.
В работе [1] предложена модель гранулированного ВТСП, в которой в качестве математической основы описания используется система уравнений квантования флюксоида в ячейках. Эта модель представляет собой кубическую решетку состоящую из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт. Как показали расчеты, такой модели (ее принято называть трехмерной упорядоченной джозефсоновской средой) присущи все свойства, характерные для сверхпроводников во внешнем магнитном поле: мейсснеровские экранирующие токи, взаимодействующие друг с другом вихри, набор характерных полей и т. п., причем даже количественные соотношения аналогичны имеющим место в обычных и высокотемпературных сверхпроводниках. При этом математическое описание, основанное на уравнениях квантования флюксоида в ячейках, позволяет исследовать все детали токовых конфигураций. Поэтому использование этого подхода целесообразно при анализе процессов, происходящих в реальных ВТСП.
Система уравнений, выведенных в работе [ 1], содержит два безразмерных параметра I и 6, смысл которых будет понятен из дальнейшего
изложения. Анализ токовых конфигураций в указанной работе и в дальнейших исследованиях [2, 3 и др.] проводился только для отдельных частных случаев. В статье [1] рассматривались только малые магнитные поля, что позволяло подтвердить применимость предлагаемого математического подхода, но не давало возможности исследовать предельные значения поля, при котором возможно мейсснеровское состояние. В работе [2] анализировался только случай 1 << 1, в [3] — только ситуации с Ь = 0.
Целью настоящей работы является анализ мейсснеровского состояния на базе того же математического подхода во всем возможном диапазоне полей и значений параметров / и Ь •
Основные уравнения
Рассмотрим модель, представляющую собой простую кубическую решетку с постоянной решетки а, состоящую из сверхпроводящих проводов, каждая связь которой содержит один джо-зефсоновский контакт, причем все контакты
имеют малые размеры (т. е. джозефсоновские вихри в них отсутствуют) и обладают одной и той же величиной критического тока ,/.,. Токовое распределение имеет слоистую структуру, т. е. во всех параллельных плоскостях, перпендикулярных внешнему полю и расположенных на расстоянии а друг от друга, токи распределены идентично.
Пусть образец, имеющий форму толстой пластины, бесконечной в двух направлениях, помещен во внешнее магнитное поле Не, параллельное плоскости пластины. В образце возникнут экранирующие токи, текущие вдоль его поверхности и замыкающиеся на бесконечности, как это показано на рис. 1. Обозначим величину силы тока, текущего в граничном слое, через /0. По мере углубления в образец имеем токи , /2 и т. д. В глубине образца токи равны нулю, что является одним из граничных условий.
Найдем поле этой токовой структуры в точке /1, находящейся в одном из слоев. Поместим начало координат в точку А, ось х направим из
Рис. 1. Распределение экранирующих токов в образце: а — в плоскости внешнего магнитного поля Не; б — в плоскости, перпендикулярной Не
Точки и крестики в кружках обозначают направление тока в соответствующем проводе; буквы в кружках соответствуют номерам ячеек, используемых при расчетах
образца наружу Тогда поле, создаваемое в этой точке Л линейным бесконечным током J¡, удаленным от слоя точки А на расстояние па, будет равно
HUx) =
J,
2л^х2 +{па)2
(1)
HnJ,y(X) = HnJCOSan =
J;X
2л(х2 + п1а1)
Результирующая горизонтальная составля-ющаяполя Н1х = ^ ИП1х в точке, принадле-
п=-<ю
жащей одному из слоев, равна нулю, таккактоки расположенные симметрично по обе стороны от этого слоя, вносят вклады в х., равные по величине, но противоположные по знаку В вертикальную же составляющую эти вклады входят с одним знаком, т. е.
да
Н1,у = НиУ + 2^Нп,иу = п=1
J. J. œ ' . + —L
2я я ^2+Л2) Согласно справочнику [4]
(2)
х2 + п2а2) 2 h
я
cth---
я
Тогда
Jj кх Ht =—cth—. 2 а а
(3)
(4)
Hi(x) =
¿L
2 а
1 + cth
'ях { а
(5)
что ближе к поверхности, дают вклад = / а. Учитывая все токи , получим для поля в т-й ячейке axa, находящейся между токами Jm и Jm+i (номера ячеек указаны в кружках на рис. 1, б):
m-1 ! !
/=0 а 2 h
1 + cth— | +
а )
J ,i
1 — cth
к(а-х)
(6)
где х — расстояние вдоль оси х от точки А до тока Jm.
В каждой из ячеек выполняется условие квантования флюксоида, согласно которому сумма скачков фазы по замкнутому контуру с джозеф-соновскими контактами должна равняться нормированному магнитному потоку через контур. Для рассматриваемой мейсснеровской конфигурации оно примет вид
2яФт/Ф0+фт-фт+1=0, (7)
где Ф0 — квант магнитного потока; Фт — полный магнитный поток через т-ю ячейку; ф;. — разность фаз на /-м контакте , так что
J¡ = ^smw¡. (8)
Ф
а-8
Фт=ц0(а-25) | Н{х)(1х =
= ^0(а-25)
m J fo
\k=\
a a
, (9)
Учитывая по формуле (4) вклад в поле и от левых частей токов Jj, протекающих с другой стороны образца, при х >> а , получим:
где
Из этой формулы следует, что в ячейках, не граничащих с токами J¡ (т. е. при |х| > а ), поле можно рассчитывать как поле соленоида, т. е. токи, текущие ближе к центру, не дают вклада в поле, так как при х<-а, а те,
1 , 1-ехр(-2тс(1-5/а))
Ь =-1п-—---ппч
2тс(1- 2Ы а) 1-ехр(-2те5/о) '
Безразмерный параметр 6, который мы будем называть структурным фактором, связан с неоднородностью поля в ячейках из-за дискретности распределения токов вдоль оси у. Если бы поле было однородным, то параметр Ь равнялся бы нулю. Такая ситуация реализуется в искусственной структуре , созданной из сверхпроводящих нитей, склеенных между собой по всей длине, так что джозефсоновскими контактами
являются поверхности соединения нитей, а внешнее поле направлено вдоль нитей. В рассматриваемой же нами геометрии b никогда не обращается в нуль. На рис. 2, а приведен график зависимости параметра Ьот: Ъ/а.
Подставив выражения (8) и (10) в формулу (9), получим уравнение
т
2nh-I^sin ф(- ~(blsinwm + wm)+
1=0
+ {blsii^m+, + = 0 , (11)
где I = 2л|0 (a- 25)2 /с / аФ0 — параметрпиннин-га; h = Не / Н0 — нормированная напряженность внешнего магнитного поля; Я0 =Ф0 / — значение внешнего поля, при котором через каждую ячейку площадью S = (a-28)2 проходит один квант магнитного потока Ф0.
Вычтем из уравнения (11) аналогичное уравнение для (т— 1 )-й ячейки; тогда получим систему
(Ы sin фт+, + фт+, )-2(Ы sin фт + ф J +
+ (Wsinwm_, (12)
где т>1.
Граничным условием к системе (12) является условие (11) при т = 0:
2rc/z-/sinw0 --(6/sinw0 +w0) + (6/sin9, + ф,) = 0 . (13)
Анализ решений системы (12) иусловия (13) в работе [3] проводился только для случая 6 = 0. Мы же будем искать решение во всем диапазоне значений параметра Ь.
Случай малых скачков фазы. Рассмотрим ситуацию, в которой скачки фазы на всех контактах, кроме ближайших к границе, малы, т. е. когда sin ф;. « ф,- для i > 0. Тогда система уравнений (12) принимает вид
Фт+, _(2 + £)Фт+Фт_1 =0, т>2\ (14)
где
g = I/(Ib + l) = l/(b + l/J). (16)
Величина g представляет собой «эффективное» значение параметра пиннинга. График за-
о)
Ь, о.е.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 S/a, о.е.
Si о.е.
Рис. 2. Зависимости параметра b от величины S/а (а) и параметра g от величины b (б); I — параметр пиннинга
висимости параметра g от величины Ь приведен на рис. 2, б. При изменении параметра / гиперболу надо передвигать горизонтально, такчтобы график пересекал ось g в точке I.
Система разностных уравнений с постоянными коэффициентами (14) имеет решение вида
Фт =Сут~1 + С{у\1~{ где т> 1; у, У[ — корни характеристического уравнения
у2-(2 + £)У + 1 = 0; (18)
У = £/2 + 1-^/2)2+Я; (19)
у, =8/2 + 1 + ^(8/2)2 + 8.
Поскольку £ > 0, оба корня положительны, но у< 1, а у, > 1. С увеличением номера т второй
член в выражении (17) будет неограниченно возрастать, что противоречит условию отсутствия токов внутри образца. Поэтому Ц = 0 и решение имеет вид
Фт = Сут->, т>1,
(20)
а ф0 — корень уравнения
2яй-ф0(1-у)
81Пф0 =-
У(1 + 6(1-у))
(22)
л
Фо «-г +
1
2 У(6 + 1/( 1-у))
Amx=0,25(l-y) +
(24)
| У(1 + 6(1-у)) ,
2я
(1-у)
4лУ(1 + 6(1-у))
(25)
2nh = У sin w + Фо _ Wi •
(27)
т. е. глубина проникновения может быть определена как У = -1/1пу.
Величины С=ф| и ф0 найдем из уравнений (13) и (15):
Ф^УФо-У^Фо-япфо), (21)
Получим дифференциальное уравнение, заменяющее систему (26). Для этого рассмотрим функцию ф(х) (координата р измеряется в единицах а и отсчитывается от границы внутрь образца), разложим ее в степенной ряд и запишем значения фт+, и фтв виде
1
1
ш
1
.IV
фт±1=фт±фт +Т Фт±ТФт + ТГ Фт +
(28)
Максимальное значение А, т. е. граница мейс-снеровской области, находится из условия дИ/дф0 =0:
cos % =----. (23)
0 y(^va-t)
При У >> 1 получим выражения
Из анализа рис. 2, а можно заключить, что практически значимые величины структурного фактора 6, соответствующие области 0,1<5/а<0,5, находятся в диапазоне от 0,150 до 0,045. Поэтому при У>3 значение параметра £ = 1/(й + 1/У) больше2, а соответствующее значение у меньше 2-V3 -0,27. Тогда из выражения (21) следует, что w <УФо <0>4 , т. е. условие sinw -Wi выполняетсяпри У>3.
Квазинепрерывный случай. При малых значениях параметра У (У << 1) величина lb становится малой, так что ситуация перестает зависеть от структурного фактора b (с точностью до первого порядка по lb). Тогда система дискретных уравнений (12), (13) примет вид
Ф/и+1 -2Фт + Фт-1 =^Шфт, т> 1; (26)
2 6 '24
где верхние индексы обозначают порядок производной, взятой по координате р , а нижний индекс — точку в которой эти производные вычислены.
Подставив ряд (28) в систему (26), получим
II 1 IV 1 VI I ■ /тп\
Фт+^Фт +-=^1Пф (29)
Переходя к переменной ' = рЛ и опуская индекс, получим уравнения
а2Ф у д4ф у2 д6ф д' +п д' + збо д'
+ ... = апф.
(30)
Из этой системы видно, что с точностью до первого порядка по У система (26) может быть заменена дифференциальным уравнением
d2w
d\
j = sinw,
(31)
решение которого при граничном условии ф(0) = ф0 имеет вид [5]:
Ф = 4arctg
tg^exp(-' 4
(32)
Универсальная кривая, изображающая это
ф
ф
нужно просто разместить границу в том месте кривой, где ф = ф0 •
Значение нормированной напряженности магнитного поля находится из граничного условия (27), которое принимает вид
2яй = -фо -фо/2-фд||/б-... + У8тф0 • (33) Подставляя в это выражение формулы ф = = -2У0'5зт(ф0/2) ^'^тф ф"1 =фдУсо8ф0 =
= -21х'5 cos ф0 sin( w / 2)
ренциального уравнения (31) и его решения (32), найдем следующую связь между h и ф0:
2л/г = 2/0'5 sin(w0/2) + 0,5/ sin w +
+ 2/1'5 cosw0 sin(w0/2) + .... (34)
Будем искать максимальное значение h и соответствующее значение ф^ методом последовательных приближений. В первом приближении считаем
2к/г = 2/0'5 sin(w0/2), тогда 2л^ах = 2/0'5 при ф = к.
Во втором приближении считаем ф0 = я - а и 2к/г = 2/0'5 sin(w0 /2) + 0,5/sinw0 = = 2/°'5(1-а2/8) + 0,5/а.
Максимальное значение напряженности поля, при котором существует мейсснеровское
решение, достигается при а = V7, т. е. при
Фо=к-л/7, (35)
и соответствует значению
(36)
Точное решение. Найдем точное решение системы (12). Введем новую переменную
Хт = Ы япфт+фт. (37)
Тогда систему (12) можно записать в рекуррентном виде
Х«+1=2Хт - 1т-i + (38)
Для численного решения системы (38) вначале берем произвольное значение ф0 и пробное значение ф:, меньшее ф0. Затем по формулам (37) считаем для этих ф0, ф: значения переменных p0, pj и подставляем их в уравнение (38) для т= 1. В результате получаем значение p2, для которого также должна выполняться формула (37). Решая трансцендентное уравнение (37) при этом значении p2, находим значение ф2.
Если оно меньше чем ф: в согласии с условием ф
ровском случае , то его можно использовать для
Ф, рад.
Рис. 3. Универсальная кривая зависимости скачка фазы на контакте от нормированного расстояния от границы в глубь образца
нахождения ф3, подставляя на этот раз значения pj и p2 в уравнение (38) при и = 2ит.д. Если же на каком-то этапе вычисленное значение фт не удовлетворяет требованию фт <qm_i, то необходимо изменить пробное значение ф: и повторить процедуру. Таким образом, задаваясь разными значениями ф0, находим соответствующие им возможные значения wj, при которых существует решение в виде комбинации ф
ограниченном росте т. Далее из соотношения (13)
Ii, o.e.
Рис. 4. Зависимости нормированного внешнего магнитного поля от скачка фазы на границе образца при варьировании параметров /, Ь: / = 1,5(7,2); 0,5 (3,4); Ь = 0,049 (1,3); 0,454 (2,4)
вычисляем соответствующее полученному решению значение нормированной напряженности внешнего магнитного поля А.
Результаты расчетов, их интерпретация и анализ
На рис. 4 приведены графики численно рас-
ф
значений / и Ь. Начальный участок зависимос-
ти до максимума соответствует мейсснеровско-му режиму. Максимально возможное значение Атах соответствует величине магнитного поля Н5, выше которой мейсснеровское решение отсутствует.
На рис. 5 приведены графики зависимостей фф
личных значений структурного фактора 6, а также теоретических зависимостей (35) и (36), апп-
о)
9о> 91 .рад-
б)
//шах, о. е. 1,0-1
3,0 1, о. е.
0,8
0,6
0,4
0,2
-1-1-1-1-1-1-
0 1 2 3 Л о. е.
Рис. 5. Графики зависимостей величин ф0 (1—3), % (/', 2) (а)
и /гтах (б) от параметра пиннинга / для различных
''
Для сравнения приведены теоретические зависимости 9^ = п-\П (3) и ктях =-Л/ п (4) (см. формулы (35), (36))
роксимирующих их при малых значениях параметра /.
При одних и тех же значениях / величина /Цлзх тем больше, чем больше Ь. Значения ф0, хотя и в меньшей степени зависят от 6, но демонстрируют снижение ф0 с увеличением Ь.
Зависимость ф[(У) показывает, что для любых реальных b при / > 2 условие sin ф « ф^ выполняется, т. е. справедливо приближение малых скачков фазы.
Кривые, рассчитанные по формуле (25) при соответствующих значениях параметров / и 6, практически совпадают с кривыми 1 и 2 на рис. 5, б поэтому они на нем не представлены. На рис. 6 приведены относительные отклонения
S/z = |^,ax ~^геор|/^тах
ного расчета от теоретических зависимостей (25) и (36). Максимальные отклонения в несколько процентов наблюдаются при значениях / порядка единицы, но в грубом приближении можно утверждать, что при / < 0,5 точная зависимость довольно хорошо описывается формулой (36), а при />0,5 — формулой (25).
Итак, получена система разностных уравнений, описывающих токовые конфигурации в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, основанная на условиях квантования флюксоида в ячейках. Показано, что эта система характеризуется двумя безразмерными параметрами: /и Ь.
Предложен метод точного решения системы в случае мейсснеровской конфигурации при любых значениях параметров. Рассчитаны токовые конфигурации для мейсснеровского режи-
8А, о
о,зо-
0,250,200,150,100,05-
0,0 0,5 1,0 До. е.
Рис. 6. Относительные отклонения результатов компьютерного расчета от теоретических зависимостей (25) (кривые I, 2) и (36) (кривые 3, 4) как функции параметра пиннинга при различных значениях ¿>: 0,049 (1,4); 0,454 (2,3)
ма, а также значения критических полей, выше которых мейсснеровская конфигурация не существует. Увеличение структурного фактора Ь ведет к росту критических полей.
Получены приближенные аналитические решения системы разностных уравнений для случаев малых / и малых значений скачков фазы, хорошо описывающие точное решение на большей части диапазона изменения параметров.
Таким образом, показано, что математический подход, основанный на условиях квантования флюксоида, является эффективным инструментом для решения задач, касающихся процессов, происходящих в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде, что делает его полезным и для анализа проблем гранулированных втсп.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zelikman, M.A. Vortex states and screening currents in a 3D Josephson medium [Text j/ M.A. Zelikman // Superconductor Science & Technology.— 1997,- Vol. 10,- No. 7,- P. 469-474.
2. Zelikman, M.A. Vortex states and screening currents in a 3D Josephson medium with small loop inductance [Text] / M.A. Zelikman // Superconductor Science & Technology.— 1997,— Vol. 10.— No. 11.— P. 795-800.
3. Зеликман, M.A. Пиннинг вихрей и проникновение магнитного поля в длинный периодиче-
ски модулированный джозефсоновский контакт |Текст] / М.А. Зеликман //ЖТФ,- 2007,- Т. 77,-№ 10,- С. 68-74.
4. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений |Текст|: Справочник/ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик,— М.: Наука, 1971.— 1100 с.
5. Кулик И.О. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах [Текст|: И.О. Кулик, И.К Янсон,— М.: Наука, 1970. — 272 с.
