CC BY
43
2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4
МЕХАНИКА
УДК 533.5
ВЛИЯНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ФОРМИРОВАНИЕ ПОТОКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В КАНАЛЕ*
0. А. Аксенова1, В. И. Свиридович2, И. А. Халидов3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, доцент, olga.a.aksenova@gmail.com
2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, ansys2@mail.ru
3. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., khalidov@ih6208.spb.edu
Введение. При описании течений разреженного газа в каналах и соплах определяющую роль играют модели взаимодействия частиц газа с поверхностью [1]. Влияние шероховатости на свободномолекулярное течение газа в канале рассматривалось вслед за Р. Г. Баранцевым [1] и Р. Н. Мирошиным [2-3] в работах [4-5]. Следуя подходу, разработанному в лаборатории аэродинамики Санкт-Петербургского государственного университета [1-3], мы моделируем форму шероховатости стенок гауссов-ским однородным изотропным случайным полем, которое характеризуется основным параметром <1, представляющим собой среднее квадратичное отклонение тангенса угла наклона шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня [2]. Данный подход позволяет вводить поправки на шероховатость, вводя интегралы по множеству реализаций случайного поля (так называемые континуальные интегралы), определяемые исключительно геометрической формой течения и шероховатой поверхности, т. е. минимально используя зависимость от физических параметров течения [3, 5].
Постановка задачи о численном моделировании течения газа в каналах и соплах на основе статистического подхода и методика ее решения были подробно изложены в предыдущей работе [6]. Представленная работа отличается моделью взаимодействия
*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.
© О.А.Аксенова, В. И. Свиридович, И. А. Халидов, 2012
частиц газа с поверхностью (за основу взята диффузная схема отражения на шероховатой поверхности), подходом к вычислению промежуточных данных (расчет производится на основании теории локального взаимодействия [5], которая точна в сво-бодномолекулярном режиме и хорошо аппроксимирует экспериментальные данные в переходном режиме между свободномолекулярным течением и сплошной средой), а также геометрией стенок канала.
Цель настоящей работы — определение вероятности прохождения канала и распределения частиц по скоростям во всем канале как функций параметра шероховатости <71 и степени кривизны стенок. Сужение канала в середине и расширения к концам задают его геометрическую форму с параметром Ь, определяющим степень сужения.
1. Учет влияния шероховатости на течение газа в канале. Траектории атомов газа рассчитываются методом Монте-Карло на базе усовершенствованного алгоритма моделирования скоростей отраженных атомов газа [5, 6]. При этом считаем, что течение газа свободномолекулярное. В данном случае количества падающих на поверхность и отраженных от неё атомов газа совпадают, а течение полностью определяется взаимодействием с поверхностью. Закон отражения определяется [1] функцией рассеяния V(и, ~п , и{), аргументами которой являются скорость Ц атома после отражения, внешняя нормаль п к площадке поверхности около точки удара и скорость налетающего атома и.
В отличие от работы [6] для описания течения применяется диффузная «в малом» (т.е. на микроуровне) модель взаимодействия частиц газа с шероховатой поверхностью. Отметим, что по сравнению с работами других авторов (например, [7]), в которых изучалась диффузная «в малом» модель рассеяния, рассматриваемая нами модель шероховатости ближе к реальности [5]. Как показано в [5], для индикатриссы рассеяния (плотности вероятности распределения по направлениям вылета) в этом случае получается тригонометрическая аппроксимация на шероховатой поверхности:
V = а1 + а2 вт(01) + а3 ео8(01).
Коэффициенты а1 , а2,аз являются функциями параметров режима (чисел Кнудсе-на, Маха, температурного фактора, шероховатости и так далее). Нелинейная зависимость коэффициентов режима от параметра шероховатости <1 представлена в [5]. Зависимостью этих величин от модуля скорости на данном этапе пренебрегаем, полагая, что распределение по модулю скорости вылета не зависит от распределения по направлениям. Для расчета зависимости а1,а2,аз от статистических характеристик шероховатости, в частности, от < 1 , эти коэффициенты представлены в виде континуальных интегралов по множеству реализаций моделирующего шероховатость случайного поля. Полученные континуальные интегралы определены при расчете согласно предложенному ранее разложению оператора шероховатости [5] и найдены численно аналогично интегралам, вычисленным ранее в задачах внешнего обтекания [3].
Для расчета вероятности прохождения молекул без столкновения с поверхностью ^о, общей вероятности прохождения Шп, а также для получения данных о распределении частиц по скоростям во всем канале реализован метод пробных частиц Монте-Карло.
Для простоты расчета была выбрана эллиптическая форма стенок и произведена нормировка относительно ширины вк выходного сечения. Кривизна стенок опре-
делилась параметрами эллипса: для произвольного сечения ХОУ нижняя стенка у = Ъ\/1 — (х — а)'2/а'2, верхняя стенка у = 1 — Ь\/1 — (х — а)2/а2 (аналогично [6]).
При отсутствии взаимных соударений частиц расчет потока сводится к последовательному прямому статистическому моделированию движения каждой отдельной частицы. Для этого сначала разыгрывается распределение частиц на входном сечении канала (предполагается, что исследуемый элемент присоединён к бесконечно большому объёму). Тогда, как следует из молекулярно-кинетической теории [8], молекулы, попадающие на входное сечение, равномерно распределены по площади сечения и имеют распределение Максвелла по скоростям, т. е. угловое распределение скорости согласно закону косинуса. Затем рассчитываются траектории частиц и находятся точки столкновения частиц с поверхностью канала. При этом часть частиц пересекает канал без столкновения с поверхностью, для них находится интересующая нас скорость вылета, и процедура расчёта заканчивается. Для остальных (оставшихся в канале) частиц разыгрываются соответствующие угол и модуль скорости вылета. В нашем случае угол вылета определяется как случайная величина с заданной переменной плотностью. Далее находятся точки следующих пересечений траекторий молекул газа с поверхностью. На этом шаге помимо вылета частиц «вперед» возможен случай вылета частиц через входное сечение; для таких молекул процедура расчёта также завершается. Вероятность прохождения молекулой от входного сечения до выходного Шп = Хп/Х находится как отношение количества частиц, которые прошли через канал Хп, т. е. оказались на выходном сечении, к общему числу разыгранных частиц X.
2. Результаты расчета. В процессе расчетов определялись вероятность прохождения канала и распределение частиц по скоростям во всем канале как функции коэффициента шероховатости и параметров кривизны стенок. Вычисления произведены для каналов длиной от Ь = 1 до Ь =10. Кривизна стенок определена параметром Ь, принимающим значения Ь = 0,1; 0, 2.
На рис. 1 представлена зависимость вероятности прохождения канала от параметра шероховатости а\.
Рис. 1. Вероятность вылета частиц «вперед» в зависимости от а 1.
На рис. 2 представлены распределения частиц по скоростям вылета (распределения углов вылета) в зависимости от параметра шероховатости и кривизны стенок для канала длины Ь = 10.
Рис. 2. Распределение вылетевших «вперед» при Ь = 0, 1 (а) и «назад» при Ь = 0, 2 (с) атомов в зависимости от а\ и распределение вылетевших «вперед» при а\ =0, 2 (Ь) и «назад» при а\ =0, 5 (ё) атомов в зависимости от характеризующей кривизну канала величины Ь.
На рис. 3 приведено распределение максимального расстояния пролета частиц вдоль оси канала длины Ь =10 в зависимости от параметра шероховатости <1 и от кривизны стенок.
На рис. 4 представлена зависимость количества прохождений атомов газа через различные сечения канала (Ь = 10), также в зависимости от <1 и от Ь.
Заключение. Следует отметить, что математические модели течения в цилиндрическом канале, а также в канале формы сопла Лаваля, сходны с моделью течения в плоском щелевом канале, анализ результатов для которой позволяет сделать следующие выводы:
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
^Р(х) —ь=о - - - Ь=0.1 .....Ь=0.2
1 ч. 1 '"'* - ->Ч1 ---- - ■■'■■■'■^о^сг
10Х
Рис. 3. Распределение максимального пролета атомов вдоль оси канала при Ь = 0, 2 в зависимости от параметра шероховатости о\ (а) и при о\ = 0, 5 в зависимости от величины Ь (Ъ).
Рис. 4. Количество всевозможных пересечений траекторий атомов газа с сечениями канала х = 0, х = Ь/4, х = Ь/2, х = 3Ь/4, х = Ь для разных о"х при Ь = 0, 2 (а) и для разных Ь при о"х = 0, 5 (Ъ).
1) влияние изменения кривизны стенок канала и коэффициента шероховатости сводится к смещению максимума потока отраженных частиц в обратном направлении, т. е. к увеличению трения на поверхности;
2) характер движения (направление скорости вылета) при фиксированной кривизне стенок напрямую зависит от коэффициента шероховатости о\; пики в распределении скоростей вылетающих атомов характеризуют направления скоростей атомов, вылетевших без столкновения со стенками;
3) использованное при расчете непосредственное моделирование скорости вылета атомов без использования аналитических формул для функции рассеяния обеспечило высокую скорость расчета, которая, тем не менее, зависит от значения коэффициента шероховатости о\ — скорость убывает с ростом шероховатости.
Литература
1. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М., 1975. 344 с.
2. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Изд-во Ленингр. унта, 1981. 212 с.
3. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
4. Борисов С. Ф., Власов А. С., Кулёв А. Н., Поликарпов Ф. Д., Сажин О. В. Роль структуры поверхностной фазы в формировании потока разреженного газа в канале. Научные труды Института теплофизики УРО РАН, 2001. 5(MS&PT) : 252.
5. Аксенова О. А., Халидов И. А. Шероховатость поверхности в аэродинамике разреженного газа: фрактальные и статистические модели. СПб.: Изд-во ВВМ, 2004. 120 с.
6. Свиридович В. И. Роль параметров диффузно-лучевого отражения в формировании потока разреженного газа в плоском щелевом канале // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 1 (№1). С. 138-143.
7. Sigiyama W., Savada K., Nakamori K. Rarefied gas flow between two-dimensional surface roughness // J. Vacuum. 1996. Vol.47 (6-8). P. 791-794.
8. Bird G. A. Molecular gas dynamics and direct simulation of gas flows. Oxford: University Press, 1996.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
