Сопоставление фрактальной и статистической моделей шероховатости поверхности в задаче о рассеянии атомов разреженного газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 533.6.011

О. А. Аксенова

СОПОСТАВЛЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЕЙ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ В ЗАДАЧЕ О РАССЕЯНИИ АТОМОВ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

Задача численного моделирования шероховатой поверхности возникает в самых разнообразных областях механики. В частности, учет шероховатости особенно важен в задачах аэродинамики разреженных газов и механики трения и разрушения, поскольку от шероховатости сильно зависят многие используемые на практике характеристики: коэффициенты обмена импульсом и энергией на поверхности тела в потоке газа, аэродинамические коэффициенты сопротивления и подъемной силы и др.

Методика учета статистической шероховатости в аэродинамическом расчете течений разреженного газа, разработанная в Ленинградском — Санкт-Петербургском университете в работах Р. Г. Баранцева, Р. Н. Мирошина и их учеников, изложена в монографиях [1], [2]. Однако использование этих результатов показало, что статистический подход обладает рядом недостатков. В их числе — большая сложность расчетов в связи с необходимостью вычисления так называемых континуальных интегралов, которые аппроксимируются интегралами высокой кратности (до 200). Кроме того, достаточно велики трудности учета мелкомасштабной шероховатости, которая тем не менее, как показал Р. Н.Мирошин [2], может вносить значительный вклад в характеристики, определяющие влияние шероховатости на взаимодействие газа с поверхностью.

Указанные недостатки могут быть устранены с помощью фрактальных моделей шероховатой поверхности. В частности, возникающая в задачах механики вероятность отсутствия пересечений уровня с поверхностью в случае моделирования поверхности гауссовским случайным полем может быть найдена лишь путем аппроксимации интегралами высокой кратности. Например, для достижения точности 10~2, как показано в работах М. В. Анолика и Р. Н. Мирошина [2], требуемая кратность — не менее 200. В то же время для фрактальных моделей та же вероятность выражается интегралами кратности 5 для первых соударений атомов газа с поверхностью и кратности 8 — для вторых соударений. Столь же простые представления дают лишь простые детерминированные модели в виде систем плоских элементов, зубцов или синусоид. Но и перед ними фрактальные модели имеют преимущество, поскольку позволяют учитывать шероховатость более мелкого масштаба.

© О. А. Аксенова, 2004

В настоящей работе продолжены исследования проблемы применения фрактальных моделей в механике, прежде всего в аэродинамике разреженного газа, начатые в [3]—[4]. Произведено сопоставление основных характеристик числа пересечений уровня, используемых в задачах механики, для двух моделей поверхности, принадлежащих к упомянутым типам моделей пространственной шероховатости.

Во-первых, это фрактальная модель, полученная нами ранее [3] на основе обобщения подхода Д. Блэкмора и Дж. Чжоу [5].

Во-вторых, — модель однородного изотропного гауссовского случайного поля, применявшаяся в работах Р. Г. Баранцева и Р. Н. Мирошина [1], [2], [6], которая служит основой при расчете взаимодействия разреженных газов с поверхностью.

Основные характеристики числа пересечений уровня, рассматриваемые в настоящей работе, — это:

1) среднее значение МБ, дисперсия ВБ и функция распределения меры Б (и) множества точек поверхности, в которых превышен заданный уровень и (в пределах единичной площадки А в плоскости (х,у) среднего уровня шероховатости); подобные характеристики применяются прежде всего в задачах механики трения и разрушения (см., например, [7]);

2) Р(в,хо,хх,ху) — вероятность отсутствия пересечений поверхности с известным наклонным уровнем и(х) = хо + (х — xo)ctgв, имитирующим траекторию падающего на поверхность или вылетающего с нее атома газа. Здесь в — угол наклона уровня относительно оси х, а параметры хо, хх, ху — значения задающей поверхность функции Z(х,у) и ее производных дZ/дx и дZ/дy в точке хо, уо (рис. 1). Строго говоря, для фрактальных моделей эти производные не определены, так как реализации, обладающие свойством фрактальности, как известно, не дифференцируемы [8]. Но определить величины дZ/дx и дZ/дy, как мы покажем ниже, можно и в этом случае, если расширить понятие фрактальности.

через функцию распределения Г (и) высоты поверхности Z (х,у).

Остальные две величины представляют собой интегралы по множеству реализаций случайного поля и определяются выражениями

п

1

и(х)

23

У*

Рис. 1. Взаимодействие атома газа с шероховатой поверхностью.

Первая из перечисленных характеристик МБ выражается формулой

МБ(и) = 1 — Г (и)

(1)

А

А

и

и

Р (в,г0,гх,Ху) = п1ііп /" йюі [ ... [ р(го, го + Н\і,...

/і—» 0

..., го + иЪ'\\, го, «1,«2,. ..,Уп, гх, ху )3ми, (3)

где г і = (хі,уі), Г2 = (х2, у 2) — радиус-векторы двух точек в плоскости (х,у), V = Z(хі,уі) и V = Z(х2, У2) — аппликаты поверхности в этих точках, р(гі, Г2,у,и>)

— плотность распределения случайного поля Z(х,у), моделирующего поверхность, \і

— орт оси х, над которой располагается исходящий из точки (хо, уо, го) наклонный уровень и(х), принимающий в точках хь = хо + кН значения иь(х) = хо + к(х — xо)ctgв. Подынтегральная функция

р(го, Го + Н\і, Го + 2Н\і,..., Го + Н\і, Хо, V1,V2, ...^п, Хх, г у) (4)

— совместная плотность распределения высот поверхности хо, V1, V2, ..., vn в точках над осью х с координатами хо, хо + Н, ... , хо + пН и частных производных по координатам хх = дZ/дх и ху = дZ/ду в точке (хо, уо).

Методика расчета данных характеристик анализируется для двух моделей шероховатости.

Для сопоставимости результатов необходимо следить за тем, чтобы сохраняли значения основные параметры случайного поля Z(х,у): среднее значение MZ, среднее квадратичное отклонение поля сто и его производных сті.

Модель гауссовского однородного изотропного случайного поля наиболее изучена и апробирована в аэродинамических расчетах в разреженном газе. Для данной модели при вычислении величин ОБ и Р(в, хо, хх, ху) метод статистического моделирования Монте-Карло наиболее трудоемок, поэтому используется, как правило, иной подход, основанный на преобразовании матрицы плотности гауссовского распределения к диагональному виду с помощью треугольной матрицы перехода Т [2]. В результате вместо прямого имитирования формы поверхности решается задача непосредственного вычисления величин (2)—(3) как интегралов по гауссовской мере. Расчет тех же характеристик (ОБ и Р(в, хо, хх, ху)) на базе данного подхода выполняется по-прежнему методом Монте-Карло, но прямое статистическое моделирование заменяется приведением (линейным преобразованием с матрицей Т) системы п независимых гауссовских случайных величин к системе случайных величин с плотностью (4), стоящей под интегралом в (3).

Фрактальную модель шероховатости [4] зададим в полярной системе координат (г, V) функцией

Z(г, V) = а°-і^2 в(а-2)пФ(впг + ЧпШ , (5)

п=і

совпадающей при фиксированном значении полярного угла V с двумерной моделью, предложенной в работе [6]. Здесь, как и в [6], а и в — постоянные параметры, ф — 2^-периодическая функция, Z — высота поверхности относительно среднего уровня некоторой площадки на поверхности .

В отличие от предложенной в [5] модели, введена цилиндрическая система координат (г, V, х) с осью х, направленной вдоль нормали п, и осуществлен сдвиг аргумента функции ф на величину 7п (V), зависящую от полярного угла V. Функция Z(г, V), также как и модель из работы [5], при ограничениях на параметры задачи а > 0, в > 1,

1 < в < 2, обладает следующим свойством фрактальности:

2(!3г^)= в2-ё2(г,ф),

где 3 — фрактальная размерность графика функции [8]. По сравнению с работой [4] вносим уточнение: область значений параметра в измененяем таким образом, чтобы полученная поверхность была дифференцируемой. Появляется возможность производить расчет аэродинамических характеристик взаимодействия разреженного газа с поверхностью без использования искусственного доопределения вектора локальной нормали к поверхности, хотя понятие фрактальности видоизменяется. Это выражается в том, что свойством (6) будет обладать не функция 2(г, у>), а ее производная.

Произведем сопоставление результатов по обеим моделям.

На рис. 2-4 приведены результаты расчетов указанных выше характеристик (ОБ на рис. 2 и Р(в, хо,хх,ху) на рис. 3 и 4) в зависимости от высоты уровня для различных значений угла в при значении параметра шероховатости о\ = 0, 5. Рис. 3 отвечает статистической модели поверхности, а рис. 4 — фрактальной.

0(и)

-1,0 -0,5 0 0,5 1,0 и

Рис. 2. Дисперсия меры множества точек превышения уровня.

1,0 -0,5 О 0,5 1,0 *0 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0

Рис. 3—4. Вероятность отсутствия пересечений соответственно статистической и фрактальной поверхности с наклонным уровнем.

Результаты расчетов показывают, что при одинаковых значениях основных параметров распределения высоты Z (х,у) в точке — математического ожидания MZ и дисперсии DZ — обе (фрактальная и статистическая) модели дают близкие значения рассматриваемых характеристик, тогда как детерминированные — заметно отличающиеся. Различие вызвано тем, что детерминированные модели не в состоянии учесть

вклад микрошероховатости (неровностей меньшего масштаба), который играет важную роль прежде всего в аэродинамике разреженных газов, где определяющим параметром является среднее квадратическое отклонение а\ тангенса угла наклона шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня (см. [1]). Выявлено явное преимущество фрактальной модели (5) в скорости расчета за счет возможности аналитического определения точки пересечения уровня (например, траектории атома газа) с поверхностью.

Результаты расчета коэффициентов обмена нормальным р и касательным т импульсами на шероховатой поверхности для простейших свободномолекулярных течений газа с использованием фрактальной модели при некоторых значениях параметров модели представлены на рис. 5-8. Расчет произведен методом статистического моделирования Монте-Карло с учетом однократных и двукратных столкновений атомов газа с поверхностью в предположении, что функция рассеяния на гладкой поверхности — зеркальная (графики на рис. 5 и 7) или диффузная (графики 6 и 8), а падающий 5-поток состоит из атомов газа, обладающих одинаковыми по модулю и направлению скоростями под углом в\ к вектору п нормали к площадке йБ поверхности. Формулы для компонент р и т векторного коэффициента обмена импульсом р вытекают из представления через функцию рассеяния [1]

Рис. 5-6. Коэффициенты обмена нормальным импульсом.

30 60 90 6>!

Рис. 7-8. Коэффициенты обмена касательным импульсом.

Штриховыми линиями обозначены результаты вычислений по статистической модели шероховатости в виде изотропного случайного поля [9], а штрихпунктирными — значения на гладкой поверхности.

Сопоставление с другими подходами [9]—[12] показывает заметное сокращение времени расчета, необходимого для достижения той же точности. Например, расчет коэффициентов обмена и аэродинамических коэффициентов сопротивления и подъемной силы про обтекании выпуклого тела (конуса, сферы или цилиндра) с точностью до двух знаков после запятой (т. е. до 10~2) с помощью модели (5) требует на порядок (в 10-20 раз) меньше времени, чем расчет континуальных интегралов в традиционном статистическом подходе, при котором поверхность моделируется гауссовским однородным изотропным случайным полем [1], [9], [10]. Еще больше выигрыш при решении таких задач, как численное исследование взаимодействия струи разреженного газа с преградой или расчет внутренних течений газов в каналах и сосудах. Здесь преимущество фрактальной модели заметно не только в скорости и точности вычислений коэффициентов обмена, но и в удобстве применения результатов для полного расчета течения.

Summary

Aksenova O. A. The comparison of fractal and statistical models of surface roughness in the problem of scattering rarefied gas atoms.

The problem of the application of fractal and statistical models of rough surface in mechanics and especially in rarefied gas dynamics is investigated. The construction of the spatial fractal model of roughness allows to take into account the small-scale roughness in aerodynamic calculation of rarefied gas flows, where as the statistical models more exactly approximate stochastic parameters of roughness. The comparison of the basic characteristics of level-crossings used in the problems of mechanics for these models is performed.

Литература

1. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М., 1975.

2. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л., 1981.

3. Аксенова О. А. Фрактальное моделирование шероховатой поверхности при аэродинамическом расчете в разреженном газе // Аэродинамика (под ред. Р. Н. Мирошина). СПб., 2000. С. 120-129.

4. Аксенова О. А. Фрактальная модель шероховатой поверхности при взаимодействии с разреженным газом // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №7. С. 99-103.

5. Blackmore D, Zhou J. A general fractal distribition function for rough surface profiles // SIAM J. Appl. Math. 1996. Vol. 56. №6. P. 1694-1719.

6. Мирошин Р.Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. Изд-во Ленингр. ун-та, 2002.

7. Оуслов А. Г. Качество поверхностного слоя деталей машин. М., Машиностроение, 2000.

8. Peitgen H.-O., Saupe D. The science of fractal images. N. Y., Springer-Verlag, 1988.

9. Анолик М. В., Балуева Н. Ф., Веснина А. Г., Халидов И. А., Эшов А. Т. Первые соударения атомов разреженного газа с шероховатой поверхностью Взаимодействие разреженных газов с поверхностями // Тр. VIII Всес. конф. по динамике разреж. газов, М., 1986. С. 55-59.

10. Anolik M. V., Khabalov V. D, Khalidov I. A. On normalization of scattering function on a rough surface // XXIth Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Marseille, 1998. Vol. 2. P. 71-73.

11. Aksenova O. A., Khalidov I. A. The diffusion process as a model of rarefied gas atom scattering from a surface // Proc. XIX Int.Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Oxford, 1995. Vol. 2. P. 1030-1036.

12. Аксенова О. А. Течения сильно разреженных газов в каналах с учетом шероховатости стенок // Динамика разреженных газов. Труды Х Всесоюз. Конф. М., 1991, C. 71-76.

Статья поступила в редакцию 19 июня 2003 г.