CC BY
874
О.М. Булгаков,
доктор технических наук, доцент
И.В. Лазарев,
кандидат технических наук, доцент
ВЛИЯНИЕ ШУМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ВЕЛИЧИНУ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ В УСТРОЙСТВАХ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАНТУЕМОГО СИГНАЛА
THE INFLUENCE OF TRANSFORMATION NOISES UPON THE VALUE OF SIGNAL/NOISE RATIO IN DIGITAL INFORMATION PROCESSING DEVICES UNDER THE CONDITIONS OF RANDOM QUANTIZED SIGNAL DISTRIBUTION
В условиях ограниченного представления выборок входного сигнала получены аналитические выражения для отношения сигнал/шум на выходе аналого-цифрового преобразователя в случае равномерного квантования с учётом произвольного распределения квантуемого сигнала. Произведена оценка шумов квантования и ограничения в зависимости от уровня входного сигнала и параметров закона распределения сигнала.
In the conditions of the limited representation of input signal samples, analytical expressions for output signal-noise relation of the analogue-digital converter in case of uniform quantization tak ing into account random quantized signal distribution are obtained. The estimation of quantization and restriction noises depending on the level of input signal and pa-rametres of the law of signal distribution is carried out.
Реализация алгоритма цифровой обработки сигнала предполагает наличие аналого-цифрового преобразователя (АЦП) с величиной раскрыва характеристики преобразования, равной Umm. Следует отметить, что величина входного сигнала может изменяться в широком динамическом диапазоне. Поэтому в зависимости от соотношения амплитуды входного сигнала (U^ и Umm возможны на выходе АЦП как шумы квантования, так и шумы ограничения, которые существенно влияют на помехоустойчивость устройств цифровой обработки, обусловленной, в частности, изменением величины отношения сигнал/шум.
В случае воздействия внутренних и внешних источников аддитивного шума с учетом независимой природы шумов квантования и ограничения отношение сигнал/шум на выходе АЦП без учета мощности входного шума можно представить в виде [1]
_2
q=’ (1)
s + s
кв огр
2 2 2 где sc — мощность полезного сигнала; sm — мощность шумов квантования; sozp —
мощность шумов ограничения.
В случае равномерного квантования входного сигнала мощность шумов квантования [2]:
s =£, (2)
где Ах — шаг квантования.
При преобразовании однополярного сигнала величина сг2кв применительно к способу округления, принятого в АЦП, может быть оценена [2], как
и,
г 2 mm
(3)
12(2” -1)2 где ” — число разрядов АЦП.
Когда ивх > итт , возрастает Согр .
При анализе шумов ограничения используют метод, который базируется на предположении известной плотности распределения мгновенных значений квантуемого сигнала и ограничении, заключающемся в том, что величина раскрыва характеристики АЦП соответствует математическому ожиданию плотности распределения сигнала. В [1] получено аналитическое выражение для отношения сигнал/шум на выходе АЦП и произведена оценка шумов квантования и ограничения в зависимости от уровня входного сигнала.
Данный метод не позволяет оценивать величины шумов ограничения при произвольных законах распределения сигнала и проводить анализ шумов в зависимости от параметров закона распределения сигнала.
Для оценки мощности шумов ограничения воспользуемся подходом, изложен-
ным в [3]. Запишем выражение для мощности этих шумов в виде
где хогр = j *Кгр (х¥х ,
Х1р = j Х ^огр (х¥х .
(4)
(5)
(6)
Здесь W (х) — плотность вероятности шума ограничения (пйб (t)).
Исходя из рис. 1, величину шума ограничения можно представить в виде
Погр (t) = 8огр (О - S (t)
или
0, S(t)< Umm,
пТаб (t ) = '
Umm - S(t), S(t)> Ur
(7)
>t
t
Рис.1. Временные диаграммы сигнала ( S (t)), ограниченного сигнала
( ^гр (t) ), шума ограничения (погр (t) )
Если W (х) — плотность вероятности сигнала, то с учетом (7) плотность вероятности шума ограничения:
Wffl6 (x) = 8(x) R{S(t)< Umm }+ W(Umm - X) (8)
Здесь величина д(х) — дельта-функция, а вероятность Р{} оценивается из выражения
г 1 Umm
^ < Umm }= J W(x)dx. (9)
Проведём анализ отношения сигнал/шум в зависимости от параметров закона распределения сигнала. Для примера рассмотрим случай, когда распределение амплитуд сигнала подчиняется закону Накагами [4]:
тХ
о„м 2т -1 ----
2т X О
Ж (х) =-----------------------------------------------------е О , х > 0 , (10)
От Г (м)
где т — параметр формы, а О — параметр масштаба.
Тогда с учётом (10) выражение (9) сводится к виду:
U _ mx2
г "I mm 2 mm ъх
p{s(t) < U }= j —^-------------------------2m-1" W
mm
mm 1 Wm Г (m)
Осуществив замену переменной интегрирования как y = x / sc, получим
О (™ т2 Л mU / s m 2 2
^{S(t) < Umm }=^~ I | mmj ‘e “ .У’-'dy .
Г ( m)
s 2
Введя обозначения —- = p , f5 = a /U2mm, получим, что вероятность E){} в этом
W с
случае
р{>'(0 £итт}= Г^)(тр)т I Гт-'е-та'Оу °Р(т,р,р). (11)
С учетом введенного обозначения выражение для плотности вероятности ошибок ограничения запишется следующим образом:
^аб (х) =5(х)0(т, Р,Р) +
-о
т 2
-О (итт - х) (12)
2тт(итт -х)2т -1
+—тт----------------е • "(и--х).
О тА(т)
Подставляя (12) в выражение (5) и учитывая фильтрующее свойство дельтафункции, представим величину бйб в виде
б 2тт и° (и )2т-1 -О(итт -х)2,
бйй = „тх, , 1 х(итт-х) е ° ёх . (13)
О А(т) -7
Выполнив замену переменной интегрирования у = (итт - х) / сс, получим
бТаб
2
А(т)
(тр) сс | Тр
= 2(рт)п
А(т)
1
у
2т-1 -рту у е г ■’
ёу :
(14)
где 1Лт,р,р) = |
А 1
2т -1 - рту2 - у • у е у 1
ёу.
Подставим (12) в выражение (6), тогда с учетом фильтрующего свойства дельта-функции, представим б21аб в виде
где
2
С
огр
А(т)
■у
^ 2 у2т - !е -рту
А(т)
(тр)т с2 • I2(m,р, р) ,
(15)
-^2 2
• у2т - 1 ,е-рту
7 ( 1
12(т,р,Р) = / - у
' ир
Тр '
Подставив выражение (14), (15) в соотношение (4), получим
2 Л 2 ,____\т Т /-_ „ гзч _2 4 (___ч2т лг,
с = с огр с А(т)
(тр) • 1^ (т р, р) -сй
А2(т)
(тр) • I1(m, Р, р).
(16)
Подставив формулы (3) и (16) в выражение (1) и выполнив преобразования, получим отношение сигнал/шум без учета входных шумов:
а =
2(рт)т
А(т)
■12(т,р,Р) -
2(рт)г
Л2
А(т)
I2 (т,р, р) +
(17)
4-1
12Р(2‘ -1)2
При значении параметра формы т = 2 плотность вероятности совпадает с нормальной, при т < 2 она имеет более плоскую вершину, чем нормальная плотность, а
1
2
1
при т > 2 плотность вероятности имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная.
Результаты расчётов отношения сигнал/шум в соответствии с полученным выражением для различных значений параметра формы приведены на рис. 2, 3, 4.
_ ^
_'''
' \ у V "ч
-25 -20 -15 -10 -5 р, дБ 0
Рис. 2. Результаты расчётов величины отношения сигнал/шум в зависимости от в и п при т=2
Рис. 3. Результаты расчётов величины отношения сигнал/шум
в зависимости от в и п при т=1,5
50 <Ъ дБ 40
30
20
10
-25 -20 -15 -10 -5 р, дБ 0
Рис. 4. Результаты расчётов величины отношения сигнал/шум в зависимости от в и п при т=4
Графические зависимости на рис. 2 построены при т = 2, на рис. 3 — при т = 1,5, а рис. 4 соответствует т = 4 для значений п = 4,..,8. При этом ^ = 0,5, а нижняя зависимость соответствует п = 4. Анализ проведенных расчётов (рис. 2, 3, 4) свидетельствует, что зависимость отношения сигнал/шум от параметра в характеризуется свойствами унимодальности и экстремальности.
Кроме того, из анализа графиков (рис. 2, 3, 4) следует:
величина отношения сигнал/шум зависит от погрешности преобразования и закона распределения квантуемого сигнала. При этом вклад погрешности преобразования на величину отношения сигнал/шум оценивается путём суммирования погрешности квантования и независимой от неё погрешности ограничения. При равномерном квантовании существует оптимальный уровень входного сигнала, при квантовании которого достигается максимальное значение отношения сигнал/шум для соответствующих параметров закона распределения квантуемого сигнала;
отклонение уровня входного сигнала от оптимального как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения приводит к снижению отношения сигнал/шум. При этом вклад шумов квантования и шумов ограничения осуществляется неравномерно. Например, при изменении величины / от оптимального шум ограничения растёт быстрее, чем шум квантования. Кроме того, при изменении / на величину, например, ±3 дБ от оптимального, для разрядности аналого-цифрового преобразователя п = 8, при распределении квантуемого сигнала, соответствующего т = 2, величина отношения сигнал/шум уменьшается на 3 дБ за счёт роста шумов квантования и на 18 дБ за счёт шумов ограничения, а для т = 1,5 величина отношения сигнал/шум уменьшается на 2,9 дБ за счёт роста шумов квантования и на 17,2 дБ за счёт шумов ограничения, при т = 4 величина отношения сигнал/шум уменьшается на 2,7 дБ за счёт роста шумов квантования и на 21 дБ за счёт шумов ограничения, соответственно;
по полученным графикам можно оценить диапазон изменения уровней сигнала, в пределах которых снижение отношения сигнал/шум окажется не ниже допустимого значения.
Таким образом, использование полученных выражений для отношения сигнал/шум в случае равномерного квантования позволит на практике предъявить требование к приёмному тракту обработки информации с целью оптимизации влияния составляющих шумов квантования и шумов ограничения на эффективность обработки в условиях ограниченного представления выборок входного сигнала, изменяющегося в широком динамическом диапазоне.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лазарев И. В. Анализ отношения сигнал/шум на выходе аналого-цифрового преобразователя при равномерном квантовании в микропроцессорных устройствах классификации с непосредственным преобразованием дальностных радиолокационных портретов // Вестник Воронежского института МВД России.—2008.—№3.— С. 85—89.
2. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций / А.И.Солонина, Д.А.Улахович, С.М. Арбузов, Е. Б.Соловьёва. — СПБ: БХВ — Петербург, 2005.
3. Лазарев И. В. К вопросу о методе оценивания погрешности преобразования сигнала в устройствах цифровой обработки // Обеспечение законности и правопорядка в странах СНГ: Международная научно-практическая конференция. Часть 2.— Воронеж: ВИ МВД России, 2009.— С.122—125.
4. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.
