CC BY
10
Б01 10.36622/У8Ти.2023.19.4.012 УДК 621.391.82
ВЛИЯНИЕ ШУМА НА ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ ПО ДИСКРЕТНЫМ ОТСЧЕТАМ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА МЕТОДОМ МОМЕНТОВ
М.А. Альрубеи, А.Д. Поздняков
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых,
г. Владимир, Россия
Аннотация: известны алгоритмы измерения отклонения частоты гармонических сигналов, основанные на использовании массива дискретных отсчетов, быстрого преобразования Фурье (БПФ) и интерполяции. Метод моментов позволяет получить средневзвешенную оценку положения на оси частот пика энергетического спектра, принимаемого за результат измерения. Рассмотрены возможности применения метода моментов, ограниченные методической погрешностью, которая обусловлена влиянием шага частотной сетки БПФ, видом используемой оконной функции, числом учитываемых спектральных линий, длительностью интервала дискретизации сигнала. В основе экспериментального исследования применен метод полунатурного моделирования в среде Матлаб 2016 с компьютерным формированием выбранного числа отсчетов испытательного гармонического или полигармонического сигнала при реальной обработке полученных данных при наличии и отсутствии шума. Приведены результаты исследования влияния числа отсчетов, числа учитываемых спектральных линий, отношения сигнал/шум для окон Наттолла, Чебышева, Блэкмана, Кайзера, Ханна, Треугольное, Плоская вершина, Парзена, Блекмана-Харриса. Даны рекомендации с целью оптимизации параметров контроля частоты. Сравнение погрешностей для разных оконных функций при отношении сигнал/шум 60 дБ показывает, что при 16 отсчетах и учете трех спектральных линий лучшим является Треугольное окно с погрешностью около 1Е-03, худшим - окно Наттолла с погрешностью 1Е-02. При 2048 отсчетах и учете семи спектральных линий лучшим является окно Наттолла с погрешностью 1Е-09, худшим - Треугольное окно с погрешностью 1Е-06. Анализ данных моделирования показал, что при использовании метода моментов вначале необходимо оценить, какой максимальный объем отсчетов можно получить и какое число спектральных линий использовать в расчетах, и только после этого выбирать подходящее окно. Корректный выбор вида оконной функции позволяет уменьшить погрешность на порядок
Ключевые слова: метод моментов, частота, гармонический сигнал, отсчет, погрешность, временное окно
Введение
Измерение, контроль и мониторинг частоты периодического сигнала реализуется в различных системах передачи информации с помощью электромагнитных колебаний, таких как радиосвязь, радионавигация, радиолокация, радиообнаружение, радиотелеметрия, а также в других сферах жизнедеятельности человека: в медицине, в научных исследованиях, в промышленности. Широкий спектр разнообразных применений [1-11] определил большое разнообразие требований и средств измерения частоты электромагнитных колебаний во временной и в частотной области представления сигнала. Известны вычислительные алгоритмы измерения частоты гармонического сигнала путем дискретизации и решении системы уравнений, применения интерполяционных алгоритмов, спектрального анализа и дискретного счета.
В данной работе рассматриваются возможности метода моментов, в котором частота периодического сигнала оценивается [12-15] по положению компонент спектра, полученного в
результате применения преобразования Фурье к ограниченному числу дискретных отсчетов. Метод моментов позволяет получить средневзвешенную оценку положения пика энергетического спектра с учетом его растекания, находится абсцисса «центра тяжести», которая для дискретной функции может быть представлена в виде формулы [4]:
хср
Е хг/гр(х)
М_
Е /,р(х) '
где хI - дискретное значение аргумента, центр которого определяется;
/(х) - значение дискретной функции; р - порядок, определяющий физический смысл «центра тяжести» (р=1 - по площади; р=2 - по энергии);
1 - значение номера учитываемой спектральной составляющей, расположенной в зоне растекания.
© Альрубеи М.А., Поздняков А.Д., 2023
Метод моментов
В методе моментов считается, что искомое значение частоты сигнала совпадает с максимумом огибающей спектральной функции. Методическая составляющая погрешности зависит от степени близости истинного значения частоты и положения энергетического центра оконной функции. При этом основными факторами влияния становятся вид используемой оконной функции, число отсчетов и число учитываемых в расчетах спектральных линий сигнала. Решить аналитически, какая оконная функция наилучшим образом соответствует искомой частоте сигнала очень сложно, поэтому был выбран метод полунатурного моделирования с имитацией массива дискретных отсчетов сигнала с шумами и реальной обработкой с оценкой частоты и погрешности [16-19].
Когда в окно выборки отсчетов попадает нецелое число периодов сигнала, на границах окна образуются разрывы, приводящие к появлению дополнительных спектральных компонент в частотной области. Для уменьшения влияния спектральной утечки применяется предварительное сглаживание временной последовательности, что достигается умножением всех отсчетов сигнала на весовые коэффициенты специальной оконной функции. Известно, что наличие разнообразных окон, отличающихся по степени сглаживания, разрешающей способности и т.д., затрудняет выбор окна для конкретной цели, заключающейся в минимизации отклонения положения на оси частот энергетического максимума спектра сигнала от истинного значения частоты этого сигнала [20-22].
Во встроенных системах контроля применяют методы спектрального анализа с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ). Определяется максимальная спектральная составляющая с последующим уточнением положения максимума путем математических преобразований, интерполяции и внесением поправок.
^т+й 2
& К • ум] \ • I • ум
1=т-й
Гс
^т+й 2
• /д /М]\2
1=т-й
где т - номер спектральной компоненты максимального уровня;
амплитуды спектральных компонент;
й - число дополнительных линий спектра близких к m сверху и снизу.
Применительно к задаче оценки частоты сигнала, спектр которого занимает несколько линеек сетки быстрого преобразования Фурье (БПФ), «центр тяжести» находится в ограниченной зоне растекания т+й, которая определяется выбранным окном, шумами и требуемой точностью. Программа моделирования измерения частоты гармонического сигнала с оценкой погрешности в условиях воздействия аддитивного шума создана в среде МАТЛАБ 2016. Алгоритм работы включает следующие шаги:
1. Для заданного диапазона рабочих частот сигнала выбирается частота дискретизации /д, временное окно, объем N дискретных отсчетов сигнала, число учитываемых компонент спектра.
2. Выбирается распределение шума и формируется массив цифровых отсчетов с заданным отношением сигнал-шум.
3. На полученный массив накладывается временное окно.
4. Вычисляется комплексный спектр S[ifд/N].
5. В комплексном спектре определяется номер компоненты т, амплитуда которой максимальна.
6. Оценивается уровень компонент т+й, ближайших к максимальной составляющей, выбирается алгоритм взвешивания, оценивается положение центра спектра и частота сигнала.
7. Вычисляется методическая погрешность, составляется таблица и строится график.
Результаты моделирования
Алгоритм оценки частоты
В [13] приведен алгоритм оценки частоты, когда спектральные линии исследуемого сигнала по уровню выделяются на фоне шума. При вычислении частоты сигнала учитываются только основные спектральные компоненты, расположенные вблизи от максимума:
Результаты компьютерного моделирования представлены в виде графиков и таблиц. На рис. 1 приведены графики погрешностей для 6 видов окон при наличии шума с изменением отношения сигнал/шум от нуля до 70 дБ с шагом 10 дБ. Графики, построенные по 16 отсчетам и трем спектральным линиям, показывают, что вид оконной функции и уровень шума существенно влияют на точность определения частоты. Лучшим является
окно Треугольное, худшим - окно Наттолла. Увеличение числа учитываемых спектральных линий и количества отсчетов уменьшает методическую погрешность определения частоты для всех окон, однако степень уменьшения разная, поэтому худшее окно - может стать лучшим, а лучшее -худшим, как в приведенном ниже примере.
На рис. 2 приведены графики погрешностей для 5 видов окон при отсутствии и нали-
чии шума с изменением отношения сигнал/шум от нуля до 60 дБ с шагом 10 дБ. Графики, построенные по 2048 отсчетам и семи спектральным линиям, показывают, что лучшим является окно Наттолла, худшим - Треугольное окно. Таким образом, при увеличении выборки с 16 до 2048 отсчетов худшее окно стало лучшим, а лучшее - худшим.
Рис. 1. Графики погрешности для 16 отсчетов и 6 видов оконной функции:1 - Наттолла; 2 - Чебышева; 3 - Блэкмана;
4 - Кайзера (В=8); 5 - Ханна; 6 - Треугольное
Рис. 2. Графики погрешности для 2048 отсчетов и 5 видов оконной функции: 1- Треугольное; 2 - Ханна;
3 - Плоская вершина; 4 - Парзена; 5 - Наттолла
Таблица 2
Таблица 1
Максимальная погрешность для 3-х компонент спектра
Окно N Максимальная погрешность для трех компонент при отношении сигнал-шум (дБ) Без шума
0 10 20 30 40 50 60
Треугольное 8 5.0Е-1 3.5Е-1 2.2Е-1 8^-2 7.2^2 6^-2 6^-2 6^-2
16 1.8Е-1 1.2Е-1 3.9Е-2 1.7Б-2 9^-3 7^-3 6^-3 6^-3
32 3.9Е-2 1.9Е-2 6.2Е-3 2^-3 1^-3 9^-4 8^-4 7^-4
Ханна 8 3.7Е-1 2.9Е-1 2.7Е-1 2.2Е-1 2.0Е-1 1.9Е-1 1.9Е-1 1.9Е-1
16 1.8Е-1 1.6Е-1 6.0Е-2 3.0Е-2 2.1Е-2 1.8Е-2 1.8Е-2 1.8Е-2
32 3.9Е-2 2.5Е-2 8.7Е-3 4.7Е-3 3.7Е-3 3.4Е-3 3.3Е-3 3.2Е-3
Чебышева 8 4.2Е-1 3.0Е-1 2.5Е-1 2.0Е-1 1.8Е-1 1.7Е-1 1.7Е-1 1. 7E-1
16 1.3Е-1 1.2Е-1 7.4Е-2 6.3Е-2 5.7Е-2 5.6Е-2 5.5Е-2 5.5Е-2
32 6.2Е-2 4.1Е-2 2.1Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2 1.2Е-2
Максимальная погрешность для 5 компонент спектра
Окно N Максимальная погрешность для пяти компонент при отношении сигнал-шум (дБ) Без шума
0 10 20 30 40 50 60
Треугольное 16 2.3Е-1 1.6Е-1 4.5Е-2 1.6Е-2 9.5Е-3 7.2Е-3 6.3Е-3 6.0Е-3
32 5.1Е-2 4.0Е-2 1.0Е-2 3.7Е-3 1.2Е-3 5.6Е-4 3.6Е-4 3.2Е-4
64 1.5Е-2 1.1Е-2 3.2Е-3 1.2Е-3 4.6Е-4 2.4Е-4 1.7Е-4 1.5Е-4
Ханна 16 2.7Е-1 2.0Е-1 4.4Е-2 1.5Е-2 5.5Е-3 1.7Е-3 8.9Е-4 5.4Е-4
32 6.4Е-2 5.2Е-2 1.4Е-2 3.8Е-3 1.3Е-3 5.6Е-4 2.7Е-4 1.7Е-4
64 1.8Е-2 1.4Е-2 3.8Е-3 1.1Е-3 4.7Е-4 1.Ш-4 9^-5 7.Ш-5
Чебышева 16 2.4Е-1 2.1Е-1 8.3Е-2 2.6Е-2 1.5Е-2 1.4Е-2 1.0Е-2 9.9Е-3
32 6.3Е-2 5.4Е-2 1.9Е-2 6.6Е-3 2.1Е-3 1.0Е-3 7.5Е-4 6.4Е-4
64 2.4Е-2 1.6Е-2 6.3Е-3 1.8Е-3 7.4Е-4 4.2Е-4 3.4Е-4 3.0Е-4
В табл. 1 приведены в формате чисел с плавающей точкой максимальные погрешности при изменении отношения сигнал/шум от нуля до 60 дБ с шагом 10 дБ. Если для каждого окна сравнить результаты измерения частоты без шума и при отношении С/Ш равным 30 дБ и выше до 60, можно сделать вывод, что они одного уровня. Заметное влияние шума начинается с отношения 40 дБ и меньше. При числе отсчетов 8 погрешность ниже 7 % обеспечивает только треугольное окно.
В табл. 2 приведены значения погрешности для тех же окон, изменилось только число учитываемых спектральных линий - вместо 3-х учтено
5 компонент. Только при 16 отсчетах методическая погрешность может быть менее 1%. Увеличение отсчетов до 32 и 5 линеек спектра уменьшает погрешность почти на порядок. Еще меньшая погрешность достигается при 64 отсчетах.
В табл. 3 приведены значения методической погрешности в широком диапазоне выборок от 32 до 8192 при отсутствии шума, а также при отношении сигнал/шум равном 60 дБ. При максимальных объемах выборки погрешность для всех окон уменьшилась более, чем в 1000 раз. Для окна Чебышева она снизилась до 1.0Е-9, что позволяет создавать виртуальные частотомеры.
Таблица 3
N Максимальная погрешность для окон
Треугольное Ханна Чебышева
Без шума С/Ш 60 дБ Без шума С/Ш 60 дБ Без шума С/Ш 60 дБ
32 1.Ш-4 2^-4 3^-5 1^-4 2.1E-6 1^-4
64 4^-5 7.Ш-5 1.Ш-5 4.2E-5 6.9E-7 6.7E-5
128 2^-5 3^-5 5.Ш-6 1.5E-5 2^-7 2.4E-5
256 1.Ш-5 1^-5 2^-6 6^-6 8.3E-8 7.4E-6
512 5^-6 6^-6 1^-6 2.5E-6 3.1E-8 2.6E-6
1024 2^-6 3^-6 5^-7 9.9E-7 1.3E-8 9^-7
2048 1^-6 1^-6 2.8E-7 4.3E-7 5.4E-9 3.2E-7
4096 6^-7 6^-7 1.4E-7 2.0E-7 2^-9 1.2E-7
8192 3^-7 3^-7 7.1E-8 9.Ш-8 1.0E-9 4.0E-8
На рис. 3, рис. 4 и рис. 5 приведены графики максимальной погрешности для 3-х окон при работе с 7 компонентами спектра и разными объемами отсчетов: 16, 256 и 8192. При 16 отсчетах наилучшим стало окно Ханна, создающее погрешности ниже 0,001 % в диапазоне отношения сигнал/шум от 30 дБ. При 256 отсчетах
окно Ханна снижает погрешность до 0,0001 %, дальнейшего снижения при увеличении отсчетов до 8192 не наблюдается. Однако окна Блэк-мана и Блэкмана-Харриса при увеличении числа отсчетов продолжают снижать погрешность ниже уровня 0,00001 % или в относительных единицах 1Е-7.
Рис. 3. Графики погрешности для 16 отсчетов и 7 компонент спектра
10*
-2
¡210 о
0
1
и
0 С
к
1 ЛА-4
1 .......
1<Г
10
10
1-6
Рис. 4. Графики погрешности для 256 отсчетов и 7 компонент спектра
Зависимость максимальной погрешности от отношения сигнала/шум
V
Ч (у;.......
>г>ч
&..........
^......
.......
ЗЕ
ч
"»1
ч,
132
Ханна -11- Блэкмана-Харриса *-Блэкмана
...............
20
40
60
ОСШ (дБ)
80
100
120
Рис. 5. Графики погрешности для 8192 отсчетов и 7 компонент спектра
Заключение
Частоту периодического сигнала можно оценить методом моментов, позволяющего получить средневзвешенную оценку положения пика энергетического спектра с учетом его рас-
текания. Погрешность определяется шагом частотной сетки, уровнем шума, видом используемой оконной функции, числом учитываемых спектральных линий, длительностью интервала дискретизации сигнала.
Сравнение погрешностей для разных оконных функций (Наттолла, Чебышева, Блэкмана, Кайзера, Ханна, Треугольное, Плоская вершина, Парзена, Блекмана-Харриса) при отношении сигнал / шум 60 дБ показывает:
- при 16 отсчетах и учете трех спектральных линий лучшим является Треугольное окно с погрешностью около 1Е-03, худшим - окно Наттолла с погрешностью 1Е-02;
- при 2048 отсчетах и учете семи спектральных линий лучшим является окно Наттол-ла с погрешностью 1Е-09, худшим - Треугольное окно с погрешностью 1Е-06.
Увеличение числа учитываемых спектральных линий и количества отсчетов уменьшает методическую погрешность определения частоты для всех окон, однако степень уменьшения разная и худшее окно - может стать лучшим, а лучшее - худшим.
Приведенные данные показывают, что при использовании метода моментов необходимо, прежде всего, оценить, с каким максимальным объемом отсчетов можно работать и какое число спектральных линий использовать в расчетах и только после этого выбирать подходящее окно. Корректный выбор вида оконной функции позволяет уменьшить погрешность более чем в 10 раз.
Литература
1. Терешкин Д.О., Семибаламут В.М. Современные методы измерения частоты и фазы в реальном времени // Автоматика и программная инженерия. 2018. № 2 (24). С. 117-130.
2. Вайс С.Н., Репина М.В. Использование методов+ интерполяции при разработке тестовых радиолокационных сигналов // Труды МАИ. 2014. № 74.
3. Использование технологии виртуальных приборов для определения частотных характеристик элементов и устройств систем управления / С.Ю. Байдаров [и др.] // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2012. № 1. С. 105-115.
4. Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем. М.: Советское радио, 1975. 304 с.
5. Harris Fredrick J. Using Windows for Discrete Fourier Transform Harmonic Analysis // IEEE, 1978. Vol. 66. No. 1.
6. Серов А.Н., Шатохин А.А. Применение преобразователей частоты дискретизации для измерения спектра сигнала с помощью быстрого преобразования Фурье // Вопросы применения цифровой обработки сигналов. 2018. Т. 8. № 4. С. 79-84.
7. Eric Jacobsen, Peter Kootsookos. Fast, Accurate Frequency Estimators // IEEE Signal Processing Magazine, 2007. Vol. 24. Is. 3. Pp. 123-125.
8. Гнездилов Д.С., Матвеев Б.В. Сравнительный анализ цифровых интерполяционных алгоритмов оценки частоты радиосигнала // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 2. С. 37-39.
9. Каюков И.В., Манелис В.Б. Сравнительный анализ различных методов оценки частоты сигнала // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2006. № 7. С. 42-55.
10. Bernard Bischl, Uwe Ligges, Klaus Weichs. Frequency Estimation by DFT Interpolation: A Comparison of Methods // Journal of Signal Processing, May 2009.
11 . Gasior M., Gonzalez J. L. Improving the resolution of FFT frequency measurements with parabolic and Gaussian interpolation, November 2004.
12. Цифровой алгоритм высокоточной оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссов-ского шума / Гнездилов Д.С. [и др.] // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 3-1. С. 124-126.
13. Chang-Gui Xie. Frequency Estimation of Weighted Signals Based On DFT Interpolation Algorithm // 3rd International Conference on Wireless Communication and Sensor Networks (WCSN 2016).
14. Xiao Yangcan, Ping Wei. Novel frequency estimation by interpolation using Fourier coefficients // 8th international Conference on Signal Processing, 2006. Vol. 1.
15. Алгоритмы цифровой интерполяции для оценки частоты гармонического сигнала. Сравнительный анализ / С.А. Антипов, Д.С. Гнездилов, В.А. Козьмин, В.М. Стоп-кин // Радиотехника. 2014. № 3. С. 42-46.
16. Peter R. Effective measurements using digital signal analysis // IEEE Spectrum, 1971. Vol. 8. Is. 4. Pp. 62-70.
17. Minda, A.A., Barbinita C.-I., Gillich G. R. A Review of Interpolation Methods Used for Frequency Estimation // Romanian Journal of Acoustics and Vibration 17.1 (2020). Pp. 21-26.
18. Поздняков А.Д., Поздняков В.А. Многоуровневая интерполяция в компьютерных измерителях частоты биомедицинских сигналов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2004. № 3. С. 41-45.
19. Альрубеи М.А., Поздняков А.Д., Сравнительный анализ влияния оконной функции на оценку частоты дис-кретизированного гармонического сигнала, международная научно-практическая конференция «Fundamental and applied approaches to solving scientific problems»: сборник статей. Уфа: НИЦ Вестник науки, 2023. С. 47.
20. Поздняков А.Д., Поздняков В.А. Автоматизация экспериментальных исследований, испытаний и мониторинга радиосистем. М.: Радиотехника, 2004. 207 с.
21. Поздняков А.Д., Альрубеи М.А. Определение частоты дискретизированного гармонического сигнала по положению энергетического пика спектра // Проектирование и технология электронных средств. 2022. № 2. С. 30-34.
22. Монаков А.А. Алгоритм обнаружения треков на основе вычисления корреляции следов в аккумуляторе Хафа // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2023. Т. 26. № 2. С. 65-77.
23. Альрубеи М.А., Поздняков А.Д. Оценка частоты при симметричной и несимметричной структуре спектральных компонент дискретизированного гармонического сигнала // Труды МАИ. 2023. № 129.
Поступила 30.05.2023; принята к публикации 04.08.2023
Информация об авторах
Альрубеи Мохаммед Абдалаббас - аспирант кафедры радиотехники и радиосистем, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых (600000, Россия, г. Владимир, ул. Горького, 87), тел.: +7 (960) 723-17-28, e-mail: inj.moh3@atu.edu.iq ORCID: https://orcid.org/my-orcid?orcid=0000-0003-4434-0800
Поздняков Александр Дмитриевич - д-р техн. наук, профессор кафедры радиотехники и радиосистем, Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых (600000, Россия, г. Владимир, ул. Горького, 87), тел.: +7 (920) 628-53-81, e-mail: 11 alexpozd@mail.ru
INFLUENCE OF NOISE ON THE FREQUENCY MEASUREMENT ERRORS FROM DISCRETE SAMPLES OF A HARMONIC SIGNAL BY THE METHOD OF MOMENTS
M.A. Alrubei, A.D. Pozdnyakov Vladimir State University named after Alexander and Nikolai Stoletovs, Vladimir, Russia
Abstract: algorithms for measuring the deviation of the frequency of harmonic signals based on the use of an array of discrete samples, fast Fourier transform (FFT) and interpolation are known. The method of moments makes it possible to obtain a weighted average estimate of the position on the frequency axis of the energy spectrum peak taken as the measurement result. In this work, the determination of the limits of applicability of the method of moments is considered by estimating the methodological error due to the influence of the FFT frequency grid step, the type of window function used, the number of spectral lines taken into account, and the duration of the signal sampling interval. The experimental study is based on the method of semi-natural simulation in the Matlab 2016 environment with computer generation of a selected number of samples of a test harmonic or polyharmonic signal during real processing of the obtained data in the presence and absence of noise. The results of studying the influence of the number of samples, the number of spectral lines taken into account, the signal-to-noise ratio for the Nuttall, Chebyshev, and other windows are presented. Recommendations to optimize frequency control parameters are given. The influence of the number of samples, the number of spectral lines taken into account, the signal-to-noise ratio for the Nuttall, Chebyshev, Blackman, Kaiser, Hanna, Triangular, Planar vertex, Parsen, Blackman-Harris windows are presented. Recommendations in order to optimize the parameters of frequency control are given. A comparison of errors for different window functions with a signal-to-noise ratio of 60 dB shows that with 16 counts and taking into account three spectral lines, the Triangular window with an error of about 1E-03 is the best, and the Nuttall window with an error of 1E-02 is the worst. With 2048 counts and taking into account seven spectral lines, the best is the Nuttall window with an error of 1E-09, the worst is the Triangular window with an error of 1 E-06. Analysis of the simulation data showed that when using the method of moments, it is first necessary to estimate what maximum amount of samples can be obtained and what number of spectral lines to use in calculations, and only after that choose the appropriate window. The correct choice of the type of window function allows you to reduce the error by an order of magnitude
Key words: method of moments, frequency, harmonic signal, reading, error, time window
References
1. Tereshkin D.O., Semibalamut V.M. "Modern methods for measuring frequency and phase in real time", Automation and software engineering (Avtomatika iprogrammnaya inzheneriya), 2018, no. 2 (24), pp. 117-130.
2. Vais S.N., Repina M.V. "Using + Interpolation Methods in the Development of Test Radar Signals", Proc. of MAI (Trudy MAI), 2014, no. 74, available at: https://trudymai.ru/eng/published.php?ID=49333
3. Baidarov S.Yu. et al. "Using the technology of virtual instruments to determine the frequency characteristics of elements and devices of control systems", Proceedings of higher educational institutions. Volga region. Technical science (Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Povolzhskii region. Tekhnicheskie nauki), 2012, no. 1, pp. 105-115.
4. Rozenberg V.Ya. "Introduction to the theory of accuracy of measuring systems" ("Vvedenie v teoriyu tochnosti iz-meritel'nykh system"), Moscow, Sovetskoe radio, 1975, 304 p.
5. Harris Fredrick J. "Using Windows for Discrete Fourier Transform Harmonic Analysis", IEEE, 1978, vol. 66, no. 1. DOI: 10.1109/PR0C.1978.10837
6. Serov A.N., Shatokhin A.A. "Using sample rate converters to measure the spectrum of a signal using the fast Fourier transform", Digital Signal Processing Application Issues (Voprosy primeneniya tsifrovoi obrabotki signalov), 2018, vol. 8, no. 4, pp 7984.
7. Eric Jacobsen, Peter Kootsookos. "Fast, Accurate Frequency Estimators", IEEE Signal Processing Magazine, 2007, vol. 24, iss. 3, pp. 123-125. DOI: 10.1109/MSP.2007.361611
8. Gnezdilov D.S., Matveev B.V. "Comparative analysis of digital interpolation algorithms for estimating the frequency of a radio signal", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo uni-versiteta), 2013, vol. 9, no 2, pp. 37-39.
9. Kayukov I.V., Manelis V.B. "Comparative analysis of various methods for estimating the frequency of a signal", Proc. of Higher Educational Institutions. Radioelectronics (Izvestiya vuzov. Radioelektronika), 2006, no. 7, pp. 42-55.
10. Bischl B., Ligges U., Weichs K. "Frequency Estimation by DFT Interpolation: A Comparison of Methods", Journal of Signal Processing, 2009, May. DOI: 10.17877/DE290R-588
11. Gasior M., Gonzalez J.L. "Improving the resolution of FFT frequency measurements with parabolic and Gaussian interpolation", 2004, November. DOI: 10.1063/1.1831158
12. Gnezdilov D.S. et al. "Digital Algorithm for High Accurate Frequency Estimation of a Harmonic Signal Against the Background of Additive Gaussian Noise", The Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2013, vol. 9, no. 3-1, pp. 124-126.
13. Chang-Gui Xie "Frequency Estimation of Weighted Signals Based On DFT Interpolation Algorithm", 3rd International Conference on Wireless Communication and Sensor Networks, 2016. DOI: 10.2991/icwcsn-16.2017.99
14. Xiao Yangcan, Ping Wei "Novel frequency estimation by interpolation using Fourier coefficients", 8th international Conference on Signal Processing, 2006, vol. 1. DOI: 10.1109/IC0SP.2006.344453
15. Antipov S.A., Gnezdilov D.S., Koz'min V.A., Stopkin V.M. "Digital interpolation algorithms for estimating the frequency of a harmonic signal. Comparative analysis", Radio Engineering (Radiotekhnika), 2014, no. 3, pp. 42-46.
16. Peter R. "Effective measurements using digital signal analysis", IEEE Spectrum, 1971, vol. 8, iss. 4, pp. 62-70. DOI: 10.1109/MSPEC .1971.5218046
17. Minda A.A., Barbinita C.-I., Gillich G.R. "A Review of Interpolation Methods Used for Frequency Estimation", Romanian Journal of Acoustics and Vibration, 2020, no. 17.1, pp. 21-26.
18. Pozdnyakov A.D., Pozdnyakov V.A. "Multilevel interpolation in computer frequency meters of biomedical signals", Biomedical technologies and radio electronics (Biomeditsinskie tekhnologii i radioelektronika), 2004, no. 3, pp. 41-45.
19. Alrubei M.A., Pozdnyakov A.D. "Comparative analysis of the influence of the window function on the estimate of the frequency of a sampled harmonic signal", International scientific-practical conference "Fundamental and applied approaches to solving scientific problems" (Mezhdunarodnaya nauchno-prakticheskaya konferentsiya "Fundamental and applied approaches to solving scientific problems", Ufa, Vestnik nauki, 2023, pp. 47.
20. Pozdnyakov A.D., Pozdnyakov V.A. "Automation of experimental research, testing and control of radio systems" ("Avtomatizatsiya eksperimental'nykh issledovanii, ispytanii i monitoringa radiosistem"), Moscow, Radiotekhnika, 2004, 207 p.
21. Pozdnyakov A.D., Alrubei M.A. "Determination of the frequency of a sampled harmonic signal by the position of the energy peak of the spectrum", Design and technology of electronic devises (Proyektirovaniye i tekhnologiya elektronnykh sredstv) 2022, no. 2, pp. 30-34.
22. Monakov A.A. "Algorithm for detecting tracks based on calculating the correlation of traces in the Hough accumulator", Proc. of Russian universities. Radioelectronics (Izv. vuzovRossii. Radioelektronika), 2023, vol. 26, no. 2, pp. 65-77.
23. Alrubei M.A., Pozdnyakov A.D. "Estimation of the frequency with symmetric and asymmetric structure of the spectral components of a discretized harmonic signal", Proc. of MAI (TrudyMAI), 2023, no. 129. DOI: 10.34759/trd-2023-129-15
Submitted 30.05.2023; revised 04.08.2023 Information about authors
Mohammed A. Alrubei - Postgraduate student, the Department of radio engineering and radio systems, Vladimir State University named after Alexander and Nikolai Stoletovs (87 Gorkogo srt., Vladimir 600000, Russia), tel. +79607231728, e-mail: inj.moh3@atu.edu.iq, ORCID: https://orcid.org/my-orcid?orcid=0000-0003-4434-0800
Alexander D. Pozdnyakov - Dr. Sc. (Technical), Professor of the Department of radio engineering and radio systems, Vladimir State University named after Alexander and Nikolai Stoletovs (87 Gorkogo srt., Vladimir 600000, Russia), tel. +79206285381, email: 11alexpozd@mail.ru
