CC BY
14УДК 621.396
О ВЫБОРЕ ОКОННОЙ ФУНКЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА МЕТОДОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Руфов Александр Андреевич
аспирант ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» E-mail: a.a.rufov@list.ru.
Поздняков Александр Дмитриевич
доктор технических наук, профессор кафедры радиотехники и радиосистем
ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет
имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
E-mail: 11alexpozd@mail.ru.
Адрес: 600000, г. Владимир, ул. Горького, 87.
Аннотация: В работе рассмотрено применение сглаживающих оконных функций для уменьшения методической погрешности измерения среднеквадратического значения гармонического сигнала для различных временных интервалов интегрирования. Определены максимальные значения погрешности для различных окон: прямоугольного, синусоидального, Ханна, Хэмминга, Блэкмана и Наталла. Результаты приведены в виде графиков и таблиц. Даны рекомендации по выбору окна для различных интервалов интегрирования исследуемого гармонического колебания.
Ключевые слова: гармонический сигнал, метод интегрирования, методическая погрешность, оконная функция, среднеквадратическое значение.
Одной из наиболее важных задач, возникающих при измерении и анализе радиосигнала, является оценка его среднеквадратического значения (СКЗ). В частности, задачи измерения СКЗ квазипериодических сигналов различной протяженности решаются при цифровой обработке в радиотехнических системах, в цифровой осциллографии (ЦО), звуковой и радиолокации, телеметрии и навигации, мониторинге и испытаниях электронных средств [1,2].
В работе [3] рассмотрены предельные границы методической погрешности измерения СКЗ без использования сглаживающего окна. Установлено, что если интервал интегрирования т не равен целому числу, кратному полупериоду сигнала, то полученное значение СКЗ может значительно отличаться от истинного значения, т.е. появляется погрешность, величина которой определяется длительностью интервала измерений и начальной фазой сигнала. Причем для получения методической погрешности на уровне десятых долей процента требуется длительность сигнала до нескольких десятков периодов.
В данной статье показано, что необходимую длительность сигнала и величину методической погрешности можно существенно уменьшить вплоть до десятитысячных долей процента, если наложить на измеряемый сигнал оконную функцию и ввести поправочный коэффициент, учитывающий спад к краям окна, который можно оценить экспериментально путём интегрирования большого числа периодов известного, например единичного сигнала.
Каждое сглаживающее окно снижает уровень погрешности по-разному и имеет свой оптимальный диапазон интервалов интегрирования и предел длительности сигнала, выше которого значение погрешности минимально по сравнению с другими окнами.
Для оценки методической погрешности при использовании различных видов окон в рамках поставленной задачи была создана программа в среде Delphi7, с помощью которой осуществлено компьютерное моделирование измерения СКЗ гармонического сигнала методом интегрирования на ограниченном временном интервале.
Методическую погрешность ARMS , определяющую в процентах величину отклонения оценки СКЗ сигнала USRMS от истинного СКЗ UIST , можно записать в виде выражения:
U - U
Arms = USRUS UlST "100%.
UIST
Для сигнала единичной амплитуды истинная величина СКЗ будет составлять
Uist = №
Тогда формула для вычисления погрешности Arms будет иметь вид:
a RMS = ( kw • US .RMS -V2 -1)-100%,
Здесь t0 и t0 + т - соответственно, верхняя и нижняя границы интервала вычисления СКЗ; m (t) = 5 (t) • wf (t) - формула исходного сигнала
5 (t) с наложенной оконной функцией wf (t) ; s(t) =sin( 2nt+?}) + ^2sin( 4nt)+ ^jsin( 6nt) -исходный сигнал; kw - весовой коэффициент, учитывающий спад уровня сигнала к краям окна.
Ниже приведены материалы оценки границ целесообразного применения базового прямо-
где US
110+т
- [ m2 (t)dt . т J
W Л
С -4
4 5 6 Число периодов
угольного окна и некоторых широко используемых окон: синусоидального, Ханна, Хэммин-га, Блэкмана и Наталла [4].
Прямоугольная оконная функция.
Данное окно не вносит изменений в сигнал, поскольку сглаживания оно не обеспечивает.
Согласно результатам, изложенным в [3] и проверенным авторами данного исследования, погрешность A.RMS может быть представлена семейством кривых, каждая из которых соответствует определённому значению начальной
фазы сигнала ^е[0;360]0, как показано на
рис. 1 в логарифмическом масштабе.
В локальных минимумах (узлах) длительность сигнала равна целому числу полупериодов т = (1,2,...,т)• Т/2, где т - целое число,
обозначающее число исследуемых периодов сигнала. Между узлами расположены пучности (локальные максимумы). Для диапазона интервалов [0,5;4]Т, локальные максимумы модуля погрешности уменьшаются плавно от 11 до 2%, что для многих задач оценки СКЗ недостаточно. Чтобы получить погрешность меньше 0,3% потребуется проинтегрировать более 25 периодов сигнала, а для погрешности 0,1% -более 80 периодов.
Если выбрать время интегрирования кратным половине периода нельзя, то величина методической погрешности оценки СКЗ гармонического сигнала на коротких интервалах (т=1,2...,5) достигает единиц процентов.
Синусоидальная оконная функция сглаживания
Максимальная погрешность оценки СКЗ сигнала с наложением данного
Рис. 1. Погрешность оценки СКЗ сигнала для прямоугольного окна
окна гораздо быстрее убывает с ростом интервала интегрирования по сравнению с прямоугольной оконной функцией. Это хорошо видно на рис. 2, приведённом в логарифмическом масштабе для большей наглядности.
Данная оконная функция работает в достаточно широком диапазоне, обеспечивая приемлемый уровень погрешности. Например, в диапазоне интервалов [1;1,5]T, наложение синус-окна позволяет уменьшить величину ARMS более чем в шесть раз.
Оконная функция Хэмминга
Рабочая зона окна начинается от 1,5 Т и, вплоть до значения 4,5Т. По сравнению с синусоидальным окном, граница максимальной погрешности оказывается ниже (см. рис. 3).
Несмотря на это, величину погрешности можно уменьшить, например, почти в два раза до значения ±0,23% в диапазоне интервалов [1,5;2]T (±0,41% при синус-окне). Это хорошо видно на рис. 4, на котором вдоль оси числа периодов, более темным фоном, изображены границы погрешности для окна Хэмминга.
1Е+1 1Е+0-
•-S
°о- 1Е-1
Р
о
0
э 1Е-2
О) ^
1_
о
с 1Е-3-1Е-4-1Е-5-
ЩМАШл iiiftililiA
ШСижШИИ
: ■ "У .р..: *v 1 i ; j
.....1........r-rrtff : : ' < ' ♦ : t •.
3 4 5 6 Число периодов_
Рис. 2. Погрешности оценки СКЗ сигнала для прямоугольного окна (1)
и синус-окна (2)
• I ; I 'i .~ j I ■. г ' * • у' у
3 4 5 6 _Число периодов
Рис. 3. Погрешности оценки СКЗ сигнала для окон: прямоугольного (1), синусоидального (2) и Хэмминга (3)
Рис. 4. Погрешности оценки СКЗ сигнала для синусоидального окна (1)
и окна Хэмминга (2)
Рис. 5. Погрешности оценки СКЗ сигнала для окон: прямоугольного (1), Хэмминга (2) и Ханна (3)
4 5 6 Число периодов
10
Рис. 6. Погрешности оценки СКЗ сигнала для прямоугольного окна (1) и
окна Блэкмана (2)
4 5 Число периодов
Рис. 7. Погрешности оценки СКЗ сигнала для окон: прямоугольного (1), Наталла (3) и окна Блэкмана (2)
Оконная функция Ханна
Рабочая зона окна, как и окна Хэмминга, начинается от значения 1,5 Т. Погрешности с наложением функций Хэмминга и Ханна практически идентичны по уровню, однако в диапазоне средних и больших интервалов
оценки СКЗ гораздо лучше работает последнее (см. рис. 5).
Оконная функция Блэкмана
В отличие от всех предыдущих, окно начинает работать в диапазоне больших интервалов, а именно от значения т > 2,5 Т. Здесь наблюдается резкое снижение погрешности оценки СКЗ гармонического сигнала (рис. 6).
Оконная функция Наталла
Е' целесообразно применять, если СКЗ исследуемого сигнала следует оценить за 3,5 периода или больше.
Сопоставим получившиеся результаты. В таблице 1 для каждого интервала (т) с шагом 0,5Т жирным шрифтом выделены значения минимальной погрешности для данного окна по сравнению с
Таблица 1. Методические погрешности в рабочих интервалах оконных функций
Интервал, m Верхняя граница методической погрешности (в %) для оконной функции
Прямоугольной Синусоидальной Ханна Хэмминга Блэкмана Наталла
[0,5;1]T 11,47 >29,30 >42,04 >38,22 >50,10 >57,40
[1;1,5]T 6,63 1,34 >8,71 >6,73 >17,28 >24,71
[1,5;2]T 4,67 0,23 0,42 0,18 >3,34 >8,07
[2;2,5]T 3,61 0,19 0,050 0,06 >0,26 >1,61
[2,5;3]T 2,95 0,10 0,016 0,04 2,5Е-3 >0,17
[3;3,5]T 2,48 0,06 6,4Е-3 0,033 6,0Е-4 7,8Е-3
[3,5;4]T 2,15 0,039 3,0Е-3 0,030 2,9Е-4 3,5Е-5
[4;4,5]T 1,89 0,026 1,6Е-3 0,027 1,7Е-4 4,8Е-6
[4,5;5]T 1,70 0,019 8,7Е-4 0,024 1,0Е-4 1,7Е-6
[5;5,5]T 1,53 0,014 5,3Е-4 0,022 6,5Е-5 8,2Е-7
[5,5;6]T 1,39 0,011 3,3Е-4 0,021 4,3Е-5 4,8Е-7
[6;6,5]T 1,28 8,2Е-3 2,2Е-4 0,019 2,9Е-5 3,1Е-7
[6,5;7]T 1,18 6,5Е-3 1,4Е-4 0,018 2,0Е-5 2,2Е-7
[7;7,5]T 1,10 5,3Е-3 1,0Е-4 0,017 1,4Е-5 1,6Е-7
[7,5;8]T 1,03 4,3Е-3 7,3Е-5 0,016 1,0Е-5 1,2Е-7
[8;8,5]T 0,97 3,6Е-3 5,3Е-5 0,015 7,7Е-6 1,0Е-7
[8,5;9]T 0,92 3,0Е-3 4,0Е-5 0,014 5,8Е-6 7,5Е-8
[9;9,5]T 0,86 2,5Е-3 3,0Е-5 0,013 4,4Е-6 6,0Е-8
[9,5;10]T 0,82 2,0Е-3 2,3Е-5 0,013 3,4Е-6 5,8Е-8
другими окнами. Например, прямоугольное окно работает в интервале интегрирования, начиная с 0,5Г при погрешности 11,47%, окно синусоидальное - начиная с 1Г при погрешности 1,34%, и так далее. Окно Наталла вносит наименьшую методическую погрешность по сравнению с другими окнами в широком диапазоне интервалов от 3,5 до 10Т!
Рекомендации по выбору оконной функции
Нельзя назвать окно, которое было бы лучше других во всех случаях, каждое окно имеет свои недостатки и достоинства.
1. Прямоугольное окно следует использовать, если известна частота сигнала, и можно выбрать время интегрирования кратное половине периода. Стоит отметить, что ни одна другая оконная функция не работает при длительности интегрирования равной Т/2.
2. Синусоидальное окно обеспечивает приемлемые значения методической погрешности
в диапазоне коротких и средних интервалов [1;2,5]T.
3. Окно Хемминга следует использовать в диапазоне средних интервалов [1;2,5]T.
4. Окно Блэкмана является наиболее оптимальным при значениях [2,5;3,5]T.
5. При интервалах оценки m>3,5T следует выбирать окно Наталла, методическая погрешность которого может быть снижена до 5,8Е-8%.
6. Окно Ханна хорошо работает в широком диапазоне интервалов интегрирования, начиная с 1,5 Т, поэтому может быть компромиссным выбором при решении многих задач.
Литература
1. Афонский А.А., Суханов Е.В. Интерполяция в цифровой осциллографии // Контрольно - измерительные приборы и системы. -2010. -№5. - С. 13-16.
2. Гублер Г.Б., Гутников В.С. Алгоритмы цифровой обработки сигналов многофункционального эталонного прибора для измерений электроэнергетических величин // Сб. докл. научн.-практ. конф. «Метрология электрических измерений в электроэнергетике». - М.: НЦ «ЭНАС», 2001. - С.68-71.
3. Попов А.Н. Методы и реализация автоматизированных измерений сигналов тональных рельсовых цепей: Автореф. дис. канд. техн. наук. - Санкт-Петербург, 2013. - 16 с.
Поступила 06 июня 2014 г.
4. Попов В.С. Измерение среднеквадратического значения напряжения - М.: Энергоатомиздат. -1987. - 120 с.
English
Selection of window function when measuring the root mean square value of a harmonic signal by the method of integration
Alexander Andreevich Rufov - Post-graduate student Federal state budgetary educational institution of higher professional education "Vladimir State University named after Alexander Grigo-ryevich and Nickolay Grigoryevich Stoletov".
E-mail: a.a.rufov@list.ru.
Alexander Dmitrievich Pozdnyakov - Doctor in Engineering, Professor Department of Radio electronics and Radio systems Federal state budgetary educational institution of higher professional education "Vladimir State University named after Alexander Grigoryevich and Nickolay Grigo-ryevich Stoletov".
E-mail: 11alexpozd@mail.ru.
Address: 600000, Vladimir, ulitsa Gorkogo, 87.
Abstract: One of the most relevant tasks when measuring and analyzing radio signal is the estimation of its root mean square (rms) value. In particular, tasks of measuring rms of quasiperiodic signals of different length are accomplished in digital processing in radio systems, in digital oscillography, in sonic and radiolocation, in telemetry and navigation, when monitoring and testing electronic devices. It is known that the methodical measuring error of rms without usage of a flattening window at an interval of integration not equal to a whole number, divisible by a half-cycle of a signal (T/2), is determined by duration of a measurement interval. The duration of a signal up to several tens of cycles is required for obtaining methodical inaccuracy at the level of tenths of one percent. The article shows that indispensable duration of a signal and the value of methodical inaccuracy can be significantly reduced up to ten-thousandths of one percent in case of superimposing a flattening window function on the measured signal and introducing a correction factor including slope in the direction of the window edges. The program in the environment of Delphi7 was developed to estimate methodical inaccuracy when using different kinds of windows within the limits of the given task. Computer simulation of measuring of rms value of a harmonic signal by the method of integration within the limited time period was performed with the help of this program. Peak values of inaccuracy are determined for different windows: rectangular, sinusoidal, Hanna, Hamming, Blackman and Natal. The results are given in the form of charts and tables. Each flattening window reduces the level of inaccuracy differently and has its optimal range of intervals of integration and the limit of signal duration, above which the value of inaccuracy is minimum in comparison with other windows. The conclusions and recommendations for window selection for limited intervals of integration of the investigated harmonic motion.
Key words: harmonic signal, method of integration, methodical inaccuracy, window function, root mean square value.
References
1. AfonskyA.A., Suhanov E.V. Interpolation in numeral oscillography. Kontrolno - izmeritelnye pribory i siste-my. 2010. №5. P.13-16.
2. Gubler G.B., Gutnikov V.S. Algorithms of digital signal processing of a multifunctional calibration instrument for measuring the electric power generating values. Work of Scipract. Conference "Metrology of electrical measuring in electric power industry". M.: NC "JeNAS", 2001. P. 68-71.
3. Popov A.N. Methods and implementation of computerized measuring signals of tonal track circuits: Autoref. dis. Cand.Tech.Sci. St.-Petersburg, 2013. 16 p.
4. Popov V.S. Measuring a root mean square value of stress. M.: Energoatomizdat. 1987. 120 p.
