CC BY
11
УДК 539.374
ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ СДВИГОВ НА ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
THE INFLUENCE OF LONGITUDINAL SHIFTS ON BIAXIAL STRETCHING OF THE PLATE WITH THE ELLIPTICAL OPENING
Т. А. Кульпина T. A. Kulpina
ГОУ ВПО « Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары
Аннотация. В настоящей работе исследуется напряженное состояние упругопластической пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов при двуосном растяжении под действием внутреннего нормального давления.
Abstract. The exert condition of elastoplastic plate with the elliptical opening taking into account longitudinal shifts on biaxial stretchins under the influence of the inward normal pressure is considered in this article.
Ключевые слова: упругость, пластичность, пластина, деформация, напряжение.
Keywords: elasticity, plasticity, plate, deformation, effort.
Актуальность исследуемой проблемы. Определение напряженного и деформированного упругопластического состояния тел вблизи отверстий, полостей и других концентраторов напряжений принадлежит к числу актуальных вопросов в машиностроении, строительной механике, горном деле, расчете элементов конструкций, работающих в условиях предельных нагрузок.
Материал и методика исследований. В работе использованы фундаментальный материал по теории идеальной пластичности и метод малого параметра.
Результаты исследований и их обсуждение. Известно [2], что границей пластической области является эллипс, уравнение которого в обозначениях можно записать в виде
2 2
^ . + TZ^ = i, d = hZfiL, (1)
(1 + d)2 (1 -d)2 2
где p1, p2 - усилия на бесконечности, направленные вдоль осей x, y .
Во всей работе величины, имеющие размерность напряжений, отнесем к величине k (пределу текучести на сдвиг), а величины, имеющие размерность длины, - к величине
r0 (радиусу пластической зоны при равномерном растяжении d = 0).
Переходя к полярным координатам рв по формулам x = р cos О , y = р sin О , рассматривая величину d в качестве малого параметра, из (1) получим:
ps = 1 + dcos20- 3 d2 (1 - cos40)+..., (2)
где ps = rjr° , rs - радиус пластической зоны.
Разложение (2) до четвертого приближения было получено непосредственно методом малого параметра [1].
Пусть дана цилиндрическая система координат p6Z . Рассмотрим в ней упругопластическое состояние бесконечной пластины с эллиптическим отверстием. Направление оси Z возьмем перпендикулярно плоскости пластины. В плоскости рО пластина растягивается на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями p1 и p2 (p1 > p2), причем на контуре отверстия действует нормальное давление p0.
Для безразмерных величин сохраним обозначения:
S =svlk, po = poolk, q = q/k, G = G/k, e = eJr<0, u = u/r0, v = w = w/r°, a = alr°,
где s - компоненты тензора напряжений, eу - компоненты скоростей деформации, u, v, w - компоненты скоростей перемещения вдоль осей р, О, z соответственно.
Решение задачи в упругой и пластической зонах определяется в виде разложения
S.j = + Ss<VI) + ) + ) + ..., d = Pl 2 p 2 , Pl, p 2 = C°nst . (3)
На контуре отверстия имеет место условие
Spp = -p0 при p = a, p0 - const. (4)
Предположим, что на контуре отверстия действует касательное усилие Ф 0, то-
гда в нулевом приближении будем иметь
^ Ф 0, to =О = 0. (5)
Определим решения в пластической зоне.
С учетом (5) уравнения равновесия примут вид
S S'» -р ■+-р--------— = 0,
др р
1 = о (6)
р дв ’
+т^=о
др р '
Допустим,
О = 2 (о-р+Св)- (7)
Тогда условие пластичности с учетом (7), (5) запишется в виде:
(<Ур-°в)2 + = 4£', (8)
откуда получим
sp p -af>p = 2ЛIк2 -t
■2ylk2 -tp2. (9)
Из третьего уравнения системы (6) получим
*%)p =р =—■ (10)
p
Решение первого уравнения системы (6) согласно (9), (10) и граничному условию (4) в пластической области имеет вид
а
2у]к2 р2 - С:
Р
■ + к 1п
д/к2р2 - С2 - кр
-у/к2р2 - С2 + кр
- 2 л/к2 - Т02 - к 1п
л/к2 - Т02 - к
л/к2 - Т02 + к
Р 0 ,
а#0) р = к 1п
у/к2р2 - С2 - кр
д/к2р2 - С2 + кр
- к 1п
л/к2 - Т02 - к
л/к2 - Т02 + к
- 2 л/к2 - Т02 - рс
а
(0)р
+ к 1п
Ук2р2 - С: р
- 2 л/к2 - Т02 - р0
-у/к2р2 - С2 - кр
-у/к2р2 - С2 + кр
- к 1п
л/к2 - Т02 - к
л/к2 - Т02 + к
(11)
где С = Т а.
Уравнения равновесия в первом приближении имеют вид [2]
1 дтр
Эа?)
+ -
Эр р Э#
а'р7) -а;#7)
- + -р--------— = 0,
р
Эт
(7 )
- + -
1 Эа#) 2т
(7 )
Эр р Э#
- + -
= 0,
р
Эр р Э# р
Так как т# фиксировано на границе, то
г(«)
= 0.
(12)
(13)
Линеаризированное условие пластичности с учетом (5), (7) в первом приближении примет вид
(<’-С> О >-о» >)+ 4Г«.Г« = 0, (14)
откуда из (9), (10) получим
2С (п (15)
а(7 ) -а() =-° р 0 #
■у/к2р2 - С2
г( 1) р •
С учетом (13) третье уравнение системы (12) примет вид
т_
Эр
+
Т1) р р
= 0,
откуда получим
С
Трр = —, С1 - соті.
р
(16)
Постоянную С1 определим из граничных условий (11), зная, что р1 = со8 2в, имеем
т(1) = р
Т 008 2# р
Запишем условие (15) с учетом (17)
а(1) -а(1) -и р и #
2СТ
рк2р2 - С2
008 2в.
Система (12) примет вид
Эа(р)
1 Эт(1) р Э#
а(1) -а{ 1) р# + а р а# = 0
р
др р дв р
Уравнениям равновесия (19) удовлетворим, полагая
а) = 1 дф( 1) + д 2ф( 1)
0 р др + р2 дв2
а#1) =
р эр
Э 2ф( 1) Эр2 :
т(1) -1 р# ~
Э
1 Эф
др ^р дв где ф' - функция напряжения.
Подставляя (20) в уравнение (18), получим
Э 2ф(1) 1 Эф
(1)
______________________1_ д 2ф
др2 р др р2 дв2
Используя известное разложение в ряд
(1 ± X ) 2 = 1 + — X +
2 2 • 4
уравнение (21) примет вид
д 2ф(') 1 дф(1) 1 д 2ф(')
рк2р2 - С
г 008 2#.
р эр р
» 5^ 0
Э#2
2СТ 0 008 2# С 3Т0 008 2# —:-----------------------------1-:-:-+
3С ЪТ0 008 2# 5 С 7Т
+-------;-------;----1---
к р 1 ^ 0 008 2#
р
4к5 ра 8 к7 р1
Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (22):
Л2Т(') 1 -,т(') 1 -,2Т(')
д2 ф 1 дф 1 д 2ф = о
др2 р др р2 дв2
Будем искать решение (23) в виде
ф ) = Я(р)со%(пв\
Из (23) следует, что функция К(р) удовлетворяет уравнению
2 д 2 К д К 2
р2 —— - р^+ п 2 К = 0 ’ др 2 др
(11)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
+
2
2
откуда
К = С 00 + С 01р2 при п = 0,
К =р(С11 + С121П р) при п = 1,
К = р
Сп1 008 (л/ П 2 - 11п р )+ 1п 2 8Ш (л/П 2 - 1 1п р )
при п > 0,
(С00, С01,..., СП1, Сп2 ° СОП^ )•
Будем искать решение уравнения (22) как сумму решений уравнений:
2 д 2 К дК1 2С1 - 2
1) р 2 -р^-^ + 4К1 =-----р 008 2в,
4) р
Решая (25), получим
др2 д2 К2 др2 д2 К3 др2 д2 К
2СТ(
-р
р
др
дК
к
С 3Т0
р
др
дК
др
дК
2 + 4 К2 = —
3 + 4 К3 =
к3 3С 5Тс
др 2 др
4 + 4 КА =
4 к5 5С1Г0 8к7
р 4 008 2в,
р 6 008 2в,
р 8 008 2в
СТ
К1 =---------р-2 008 2в,
1 6К
7"т0
К3 =--------- р“6 008 2в,
3 208К5
Суммируя (26), получим решение (22)
СТ0
С 3т 0
К =----------г р~4 008 2в,
К4 =
28К3
5С 7Тс
6К
3С 5Т0
р 2 008 2в +
672К7
С 3Т0
р 8 008 2в.
28К3
р 4 008 2в +
+ -
5С 7Т0
р ~6 008 2в +----------- р “8 008 2в.
(24)
(25)
(26)
(27)
208К5 672К7
Из (20) и (27) получим решения в пластической зоне в первом приближении
о
(') р = р
СТ0 -4
“Г"р +
2С3Т0 6 15С5Т0
р +
7 к
104 к
о
(') р = в ~
СТ 0 4
^—р +
5С ЪТ0 6 63С 5Т0
р +
104 к -
45С7Т0
р
008 2в,
008 2в,
о
(') р _
3С 3Т0 6 23 С 5Т0
р +
14к
г(')р = рв =
СТ 0 4
—т~ р +
26 к'
5С 3Т0
75С7 Т0 332 к7
р
21С 5Т0
008 2в,
15 С7 Т0
008 2в,
г(')р = ' р
-008 2в.
р
г
В упругой зоне решение первого уравнения (6) определяется из закона Гука и граничного условия
(29)
а также из условий
и имеет вид
а(р >е - Ч при р — ¥,
ор — ар)е при р—1,
а(°)р — а(#)е при р — 1,
а<р)е — Ч +
а<#0)е — Ч -
а(?е — Ч,
л/к2 - С2 р2 л/к2 - С2 р2
(30)
(31)
а величина г:! определяется из трансцендентного уравнения
Ч
— 4к
2 - С2 + к 1п
л/к2 - С2 - к
л/к^-С2 + к
к 1п
лік2 - Т02 - к
л/к2 - Т02 + к
-2л/ к2 - Т02 - р0. (32)
Определим компоненты напряженного состояния в упругой области.
Согласно (5), (11), (31), а также учитывая то, что на границе пластической зоны
) р =о^)е,
р = р, ПРИ р =1
из условий сопряжения получим
726 СТ0 к6 + 208 С 3Т 0к4 + 105 С 5Т 0к2 + 3630 С 7Т0
008 2#,
(1 )е 40166 СТ0к6 + 14560 СТ0к4 + 82325Т0к2 + 5460 СТ0 .
т#)е —___________________________________„------------------------8іп 2#,
а#1 )е — а#1) р +
40166 к 1
Эа#0) р Эа(#0)е
ръ пРи р — 1.
Эр Эр
На бесконечности линеаризированные граничные условия имеют вид
\ар)е — - 008 2#, I тр#е — 8Іп 2#.
при р р
Граничные условия (33), (35) определяют решение в упругой зоне
(33)
(34)
оо
где
о
(I )е _
М +
/
V
2______2_
4 2
р р
N -
008 2в,
о
(I )е _
—М -— N +
44
р4 р 4
3
(I )е _
о
,(I )е = 1 рв ~
М -\ N + — 2 2 2 р2 р 2 р 2
г
1 + ■
V р
2
008 2в,
008 2в,
1 _2
2 4
р 2 р4
л
м +
р4 V
N +1 +
2 3
2 4
р 2 р 4
8Ш 2в,
М = -
40766СТи к6 + 14560С 3Ти к 4 + 8232С 3Ти к2 + 5460С Т
40766к7
-008 2в,
лг 726СТ0 к6 + 208С 3Т0 к 4 + 105С 5Т0 к2 + 3630С 7Т0 N =-------------------------- --------------------008 2в.
Из (34), (36) имеем ръ =-
л/к2 - С2
726к'
2СТ° 8СТ° 45С 5Т° 4935С1Т0
- + -
7к3
+
52к -
1176к7
-4
0082в.
(36)
(37)
Резюме. Решена задача о двуосном растяжении пластины с эллиптическим отверстием с учетом продольных сдвигов, определена граница упругопластической зоны в первом приближении.
ЛИТЕРАТУРА
4
к
1. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - Воронеж : Колос, 2005. - 205 с.
2. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. -М. : Наука, 1978. - 208 с.
3. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. - М. : Физматлит, 2001. - С. 33-185.
4. Михайлова, М. В. О влиянии сдвигов на упругоидеальнопластическое состояние пластины с круговым отверстием при двуосном растяжении / М. В. Михайлова, Л. И. Афанасьева // Проблемы механики неупругих деформаций. - М. : Физматлит, 2001. - С. 211-228.
