CC BY
24
УДК 539.374
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛОСКОСТИ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ, ПОДКРЕПЛЕННЫМ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, ПРИ ДВУОСНОМ
РАСТЯЖЕНИИ
© 2009 П.Н. Кузнецов1
В работе исследуется двуосное упругопластическое напряженное состояние неоднородной плоскости, ослабленной круговым отверстием, усиленной эксцентрическим эллиптическим включением. Рассматривается случай плоской деформации. Определяются граница упругопластической зоны, а также влияние неоднородного включения на напряженное состояние плоскости.
Ключевые слова: плоская деформация, тензор напряжений, пластичность, упругость, упругопластическая граница, неоднородность.
Отметим, что вопросам теории пластичности неоднородных сред посвящен ряд работ, среди которых отметим [1,4-6].
Рассмотрим плоскость с эллиптическим включением, которое ослаблено круговым отверстием радиуса К, центры окружности и эллипса смещены на величину с (рис. 1). Предел текучести материала включения равен кі, предел текучести материала плоскости - к2. Центр начала координат х, у совпадает с центром окружности. Пластина находится в состоянии двуосного растяжения под действием усилий на бесконечности р\, р2 (рис. 1).
Уравнение эллиптического контура отверстия запишем в виде
(х^ + у2 = 1 (1)
а2 + Ь2 ' (1)
где а и Ь - полуоси эллипса, с - величина расстояния между центром окружности и центром эллипса.
Решение будем искать в приближенном виде аналогично [2-5]. Уравнение упругопластической границы запишем в виде
1Кузнецов Павел Николаевич (kuznetsov_pn@mail.ru), кафедра математического ана-
лиза Чувашского государственного педагогического университета, 428000, Россия, г. Чебоксары, ул. Карла Маркса, 38.
r = + ôrsl,
где ô - малый безразмерный параметр.
В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, отнесем к (0) тэ
величине Тз . Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесем к пределу текучести &!, обозначим к2/к\ = %. Примем р = т^тЗ°\ р =
= тз\!т(0). Величины сIтЗ\ (а — Ъ)^2т(0), (р\ — р2)/2к\ будем считать достаточно малыми, порядка 5 и обозначим
с s (a — b) (pi — p2)
“ТТл = ôl, -----ТТГч = 02, -----г.------- = 03.
rS0)
2r.
(0)
2ki
Далее примем
(3)
ôi = dlô, ô2 = d2ô, ô3 = d3ô, di — const, 0 ^ di ^ 1. (4)
В исходном нулевом приближении при ô = 0 имеем плоскость с круго-
вым включением, ослабленным отверстием, равномерно растягиваемым на бесконечности усилиями p = (pi + P2)/2kl (рис. 2).
Радиус отверстия в безразмерном виде обозначим а = R jrS\ радиус
включения - в = (a + b) j2rS0. Будем считать, что 3 < 1.
Компоненты напряжения запишем в полярной системе координат р, в : Up, а$, Тр$. Решение будем искать в виде
ац = аУ> + 5а'гз. (5)
Припишем компонентам напряжения в зоне включения индекс ”1” внизу, компонентам напряжения вне включения - индекс ”2” внизу. Компо-
нентам напряжения в пластической зоне припишем индекс р наверху, в упругой зоне - индекс ”е” наверху.
Рассмотрим напряженное состояние в исходном нулевом приближении. Исходное напряженное состояние является осесимметричным
т (0) = 0 т (0) = 0 Трвг = 0, Трв2 = °
В зоне 1, в зоне включения, условие пластичности примет вид
(6)
а(о)р______а(о')Р = _2 а(о')Р > а(0)р
аР1 ав1 = 2, ав1 > аР1 ■
(7)
Вне зоны включения, в зоне 2, условие пластичности запишется в виде
арО) — а£> = —2Х.
Уравнение равновесия имеет вид
(1а,
йр
(°) аР°) - а(о)
р + аР ав = °
р
Из (7)-(9) имеем
а(0)р = 21пр + С\, а(о)р = 2 + 21пр + Сь
Р1 ' 1 01 ' 1’
а(0)р = 2х 1п р + С2, а(0)р = 2Х + 2Х 1п р + С2,
где С1, С2 - постоянные.
Из условия а^Р
Получим
= 0 определим постоянную
р=а
С1 = —2 1п а.
а(о)р = 2 1п р, а(о)р = 2 + 21п р. Р1 а °1 а
(8)
(9)
(10)
Условие сопряжения компонент напряжений на границе эллиптического включения запишется в виде
а(0)р
Р1
Согласно (10)—(12), получим
р=в
= я(0)р
р=в
я(о)р=2х 1п в+21п а, я(0)р = 2х 1п в + 2 1п а +2х.
(12)
(13)
На границе р = в имеет место разрыв напряжений я^0)р:
я(0)р _ я(0)р = 2(х - 1). (14)
При р ^ ж имеет место я(0)е = я(0)е = р.
Решение в упругой области будем искать в виде:
Я0)е = р _ В, я(0)е = р + В, т(0)е = 0. (15)
р р2 6 р2 р° 1
Из условия сопряжения компонент напряжений на упругопластической
границе будем иметь:
' ' ' (16)
(17)
)Р ь = я^е 0) рр = я(0)е
Р2 р=і р р=і ’ 62 р=1 6 р=і
Из (13), (15), (16) имеем
р _ в = 21п а _ 2х 1п в, р + в = 21п а _ 2х 1п в + 2х-
1 а
Откуда
в
В = X, р = 21п---2х 1п в + 2х- (18)
Учитывая, что а = ^г(0) и в = (- + &)/2г(0), из (18) получим
&=ехР (£+(1 _ х) >п (а-+)+хіп й _1 )■ (19)
Уравнение эллипса (1) перепишем в виде
(х _51)2 + У2 = 1 (20)
(в + 52)2 (в _ 52)2 ( )
или
(х _ 5і)2 (в + 52)-2 + У2 (в _ 52)-2 _ 1 = 0.
Пренебрегая малыми высшего порядка, уравнение (20) запишем в виде
(х _5і)2 (в _2 Ю+у2 ( в?+2 ^ _1=°- (21
Перейдем к полярным координатам по формулам
x = р cos в, y = р sin в, в первом приближении будем иметь
9/"cos2 в Г cos2 в sin2 в Г sin2 в\ cos в\
р —- 282—^~ + ~^ + 282—^ - 2р ¿1 —— I - 1 = 0.
в2 Откуда
/3:
д
2
(22)
р = в + cos в + 52 cos 2в.
(23)
Контур кругового отверстия фиксирован, поэтому в зоне 1 величины
ор = о.
Граничные условия на контуре L (рис. 1) запишутся в виде [2]
о,
, d„(0)v ip + dg р i j
pi
dp
р
pQi
Tp— I oh" - о
(0)p о(°)Л p'
■ - opi в
0i
=о
p=e
p=e
J (0)p
Ф + dgP2
V2
dp
(0)p
Т^2 - [0df - 0p2 І в
где точка наверху означает дифференцирование по в. Из (24) следует
op2 \ =в = в (1 - Х) (di cos в + d2 cos 2в), = § (1 - Х) (d1 sin в + 2d2 sin 2в)
T iP
rp02
p=e
Согласно [2], из (25) получаем
p=e
(24)
(25)
opP2 = 2 (1 - Х) di cos в+
+2(1-х)d2 ([УЗsin (Vsine) + cos (УЗlnв)] cos (УЗlnр) + + [sin (Узіпв) - Vacos (Узіпв)] sin (Узіпр)) cos2в,
о,
о
ip
(26)
т%2 = р С1 _ X) di sin 0 + d2 (cos (\/3 ln ^ cos (\/3 ln p) +
+ sin (У3 ln ^) sin (^3ln p)) sin 20.
Условия сопряжения напряжений в пластической и упругой областях при p =1 имеют вид
ТФ \
p2 lp=1
т,є\ p lp=1,
T ip
V2
= T,
^ ^=1- (27)
Согласно (26), (27), компоненты напряжений при cos 9, sin 9 в упругой области имеют вид
о'е = 2(1 3х) cos в, оЄ = - 2(1Др3Х) cos в, т%e = 2(1 3Х) sin в.
вр
3
вр
3
вр
3
(28)
Компоненты напряжений при 008 20, 8ш20 на границе пластической зоны при р =1, согласно (26), имеют вид
а'р2 = 2(1 — x)d2 [л/3 si^ (л/3 ln3) + cos (л/3 ln3)] cos 29, fp fp
"б2 = "Р2 ,
т'рв2 = 4(1 — x)d2 cos (\/Э ln 3) sin 29.
(29)
Соответствующее решение в упругой области следует искать в виде [2] а'р = j¡4 + р2^ а'2 cos 29 + ^р|г — р2!^ Ь'2'cos 29 + í1 — + р3) d3 cos 29,
g'q = /1a'2 cos 29 — р2т62 cos 29 + ^1 + p3 J d3 cos 29,
T'e = (—Д a2 sin29 + {jp — b'2 sin29 + ^1 + pT — p3^ d3 sin29.
Из (29), (30) получим
a'2 = 2 (1 — x) d1 (\/3sin (\/3ln 3) + cos (\/3ln 3)) , 62" = 4(1 — x) d1 cos (V3 ln 3) .
Из (28), (30) следует
(30)
(31)
cos 9 + ¿2 { (2 — Д) (^3 sin (^3 ln 3) + cos (^3 ln 3)) +
+ (^ — 2^ 2 cos (V3 ln 3) j cos 29 + (1 — 4r + p3) d3 cos 29,
"6e = — 2(1-зх) cos 9 + 2(1— x) d2 {^3 sin (V3 ln 3) — 3 cos (^3 ln 3)} cos 29+ + ^1 + d3 cos 29,
Tpe = sin 9 + 2(—*d2 { (1 — ^ (V3 sin (л/3 ln3) + cos (^3 ln 3)) +
+ (p| — 1)2
cos (л/3 ln 3)} sin 29 + ^1 + p2 — p|4 j d3 sin 29
Величину pS определим из условия сопряжения
f p + d"6!)p /' "62 + ~d^- ps
" + d"e)e = "6» +
P=1
dp
p=i
Из (13), (15), (26), (32), (33) следует
(32)
(33)
(x — 1) (d1 + i) cos 9 + (4(x — 1)d2 cos (\/3 ln3) + 2d3) cos 29
PS =------------------------------------------ít--------------------------------------------------. (34)
2x
Таким образом, уравнение упругопластической границы имеет вид
(х — 1) (di + I) cos в + (4(х — 1)d2 cos (^3 ln в) + 2d3) cos 20
P = 1 + S-------^-----1---------------------------------------------• (35)
В случае равномерного растяжения пластины в (35) следует положить d3 = 0. В случае отсутствия эксцентриситета у эллипса включения положить d2 = 0. В случае совпадения центров отверстия и эллипса включения положить di = 0. При d,2 = d,3 = 0 имеет место включение в виде круга, смещенного относительно центра отверстия. При di = 1, (I2 = d3 = 0 из (35) следует
P = 1 + КХ2Х^) 0 + ?)cos 0
Литература
[1] Ольшак, В. Теория пластичности неоднородных сред / В. Ольшак, Я. Рыхлевский, В. Урбановский. — М.: Мир, 1964. — 156 с.
[2] Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов. — М.: Наука, 1978.
[3] Роштова, А.Н. О предельных статически определимых услових отрыва для сжимаемого анизотропного материала / А.Н. Роштова // Вестник Самарского государственного университета. — 2007. — №6(56). — С. 5-12.
[4] Тихонов, С.В. Об упругопластическом состоянии толстостенной трубы из неоднородного материала под действием внутреннего давления / С.В. Тихонов // Вестник Самарского государственного университета. — 2007. — №6(56). — С. 13-21.
[5] Целистова, Е.А. Пространственное течение идеальнопластического слоя в случае неоднородных свойств материала / Е.А. Целистова // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. — 1999. — №7. — С. 45-47.
[6] Spenser, A.J.M. Perturbation methods in plasticity, I. Plane strain of nonhomogeneous plastic solids / A.J.M. Spenser // J. Mech. and Phys. Solids. — 1961. — №4.
Поступила в редакцию 4/77/2009; в окончательном варианте — 4/77/2009.
ELASTOPLASTIC CONDITION OF INHOMOGENEONS PLANE WITH CIRCULAR APERTURE SUPPORTED BY ECCENTRIC ELIPTICAL INTRUSION WITH BIAXIAL TENSION
© 2009 P.N. Kuznetsov2
In the paper biaxial elastoplastic strained condition of inhomogeneous plane weakened by circular aperture and supported by eccentric elliptical intrusion is investigated. The flat deformation is observed. The limit of elastoplastic zone, and influence of non-uniform intrusion on strained condition of a plane is defined.
Key words and phrases: plane deformation, stress tensor, plasticity, elasticity, elastoplastic limit, heterogeneity.
Paper received 4/77/2009. Paper accepted 4/77/2009.
2Kuznetsov Pavel Nikolaevich (kuznetsov_pn@mail.ru), Dept. of mathematic analysis, Chuvash State Teachers’ Training University, Cheboksary, 428000, Russia.
