Влияние переменной вязкости на ламинарные и турбулентные слоистые течения многофазных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546+532.55

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТИ НА ЛАМИНАРНЫЕ И ТУРБУЛЕНТНЫЕ СТОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД

Л.Э. МЕЛАМЕД, А.И. ТРОПКИНА, Л.Н. ФАЛЬКОВСКИЙ

ЗАО «Атомэнергомаш» г. Москва

Представлены точные решения уравнений Навье-Стокса для двух- и многофазных слоистых течений в каналах при ламинарном режиме. При рассмотрении турбулентного режима введено понятие «множителя турбулентности» и предложена гипотеза о неизменности этого множителя для одно- и многофазных потоков. На основе этой гипотезы предложен метод анализа влияния переменной вязкости на поле скоростей многофазных течений при турбулентном режиме.

Ключевые слова: гидродинамика, ламинарные и турбулентные течения, многофазные потоки, переменная вязкость.

Введение

Течение жидкостей с переменной вязкостью остается до настоящего времени мало проработанной областью гидродинамики, хотя движение двух- и многофазных потоков используется в таких важных отраслях техники, как энергетика, химическая и нефтяная промышленность. Среди таких потоков особое место занимают потоки, в которых фазы движутся без пересечения, так называемые слоистые потоки. Это лишь часть возможных течений, но среди этой части есть и весьма важные, например, кольцевые течения при парообразовании в трубах. В настоящее время возможен численный расчет конкретных гидродинамических задач для таких потоков с использованием современных программных комплексов. Однако такие расчеты не дают возможности наглядно оценить и проанализировать взаимовлияние различных параметров, что обеспечивается лишь аналитическим рассмотрением проблемы. Кроме того, в инженерной практике существует потребность в использовании некоторых средних, эффективных параметров, которые позволяют заменить расчет многофазного течения расчетом однофазного. Такие эффективные параметры можно получить только с помощью аналитического решения. До настоящего времени в научной литературе нет достаточно простых соотношений, на которые можно было бы опираться, хотя бы в идеализированных случаях, для анализа таких потоков. В подтверждение необходимости таких решений можно сослаться на работу [1], в которой применительно к смесям отмечается, что «существуют различные эмпирические формулы для расчета вязкости смеси», но «какого-либо теоретического или надежного экспериментального обоснования эти формулы не имеют».

Данная работа посвящена, прежде всего, течениям в каналах. Рассматриваются течения, в которых вязкость меняется поперек потока. Эта переменность может быть как непрерывной, так и скачкообразной. В последнем случае можно говорить о слоистости течения.

Ламинарный режим

А) Исходные уравнения

В научной литературе, например в монографиях [2,3], переменность вязкости среды связывается, чаще всего, с зависимостью вязкости от температуры и, в меньшей степени, от давления. Эта зависимость, в свою очередь, приводит к переменности вязкости по пространству, отраженной в стационарных уравнениях Навье-Стокса для

© Л.Э. Меламед, А.И. Тропкина, Л.Н. Фальковский Проблемы энергетики, 2013, № 1-2

несжимаемой жидкости следующим образом (принято суммирование по повторяющимся индексам):

Ои/ /■ Ф О /ди1 Ои] .. л п.-. /1Ч

= Р-£' "л ^+ * )], '¿=1,2,3. (!)

^ ОХ} дх/ ОХ} ОХ} дх/

Здесь х, - прямоугольные координаты, м; и, - скорости по осям координат, м/с; р - плотность, кг/м ; ц - динамическая вязкость, Па-с; р - давление, Па; - объемные силы, Н/м3.

Аналитическое решение данной системы в общем виде в настоящее время невозможно. Кроме того, нашей задачей является рассмотрение течения в каналах, что существенно упрощает исходную постановку. От индексных обозначений перейдем к буквенным с осями координат х,у,г и скоростями иу,м>. Итак, рассмотрим стационарное течение в канале без объемных сил вдоль оси г с условиями: и=у=0, ™=™(х,у), ц= ц(х,у). Тогда первые два уравнения системы (1) (/=1,2) сводятся к соотношениям

Ор = др = 0,

дх ду

а третье уравнение приходит к виду

д < < , д дм др

— (ц(х,У)—) + — (ц(х,у)—)= — = Р . (2)

дх дх ду ду дх

Таким образом, система уравнений (1) сводится к одному уравнению (2). Поскольку левая часть уравнения (2) зависит только от х и у, а правая от них не

зависит, справедлив вывод о том, что Р=сош1. Это уравнение является также уравнением стационарной теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности и заданным стоком тепла Р. В этом качестве оно многократно рассматривалось, например, как часть задачи о термоупругости тел неоднородной структуры [4].

Объединяя цилиндрический (при отсутствии влияния угла) и плоский случаи, можно написать

^[гтц(г)£]= Р , (3)

гт ёг ёг

что при т=0 будет уравнением для плоского, а при т = 1 - для цилиндрического канала. Здесь г - радиус (в цилиндрическом случае) или расстояние от средней линии (в плоском).

Дальнейшее рассмотрение будет посвящено решению уравнения (3). Б) Общее решение для плоского и цилиндрического каналов

Рассмотрим общее решение уравнения (3) для произвольной переменной вязкости ц(г). Граничные условия таковы:

-= 0 при г=0,

ёг

™=0 при г=Я. (4)

Первое условие связано с симметрией течения, второе является условием «прилипания» жидкости к стенке.

Первое интегрирование уравнения (3) дает

т ( ) ргт+1 _

гтц(г)— = Р-- + С1,

аг т +1

где С\ - произвольная постоянная. Первое граничное условие из (4) дает С\ =0. Повторное интегрирование (от 0 до г ) дает

Чг) =-- ^ +

т +10 ц(£)

(£ - текущая переменная интегрирования), что, с учетом второго граничного условия из (4), приводит к выражению

Я

Чг) = - ^ . (5)

т +1 ц(с)

т + Н ц(£)

г

Назовем базисным решение ф(Я, г) задачи для течения в канале размером 2Я потока с постоянной вязкостью ц0 , имеющее вид

ф(Я, г) =--Р-(Я2 - г2).

2(т + 1)^о

Тогда решение общей задачи (при переменной вязкости и том же градиенте давления) может быть представлено через базисное решение в виде

Я

м'(г) = -|"^7ТФ'(Я,гМг . (6)

г Ц(г)

Если в качестве базисного решения ф(Я,г) взять другое, приближенное решение, то м>(г) также будет приближенным решением задачи.

Таким образом, мы получили аналитические решения задачи о течении в канале (плоском и цилиндрическом) при произвольном законе изменения вязкости поперек потока в двух формах: первая форма (выражение (5)) не предполагает наличия каких-

либо предварительных сведений, вторая - (выражение (6)) использует решение для постоянной вязкости. Это последнее соотношение допускает дальнейшее обобщение (которое будет приведено ниже), позволяющее получить решение для поля скоростей при одной переменной вязкости на основе известного решения для другой переменной вязкости.

В) Решения для конкретных законов изменения вязкости

Рассмотрим некоторые законы изменения вязкости по поперечному сечению канала. При линейном изменении вязкости ц = а ± кг решение уравнения (5) имеет вид

^(г) = - Р

к 2(т +1)

а 1п а±к- ± к (Я - г)

а ± кЯ

Однако наибольший интерес представляет скачкообразное изменение вязкости, имеющее место в слоистых течениях. Пример такого изменения вязкости (при трех слоях) представлен на рисунке.

Ступенчатую вязкость при п ступеньках можно представить следующим образом:

п-1

ц(г) = X +1- ц )^(г - а)' Цо = ао = ^

г=0

где ^(г - аI) - единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда), равная нулю при г < а, и единице при г > аг

Н-3

Н-2

И-1

Л

г

а0 а1 Я

Рис. Схема распределения вязкости трехфазного потока

Предварительно найдем величину, обратную вязкости, а именно

1 и-1

= ЕР\(г - а) ,

—(г) г=0

где Р0= —, Р; = —---—, г=1,..,п-1.

-1 —г +1 -г

Это выражение подставим в формулу (5). Для интегралов, содержащих функцию Хевисайда, для любой функции х(г) при условии 0 < а < Я справедливо

выражение

Я

| т(г)\(г - а)йг =Т(Я) - Т(а) - \(г - а)[Т(г) - Т(а)],

где Т(г) — первообразная функции т(г).

Используя вышеизложенное, получим следующее решение задачи (3,4) при п -ступенчатой вязкости:

и-1

м>(г) = --

р

—(Я2 - г2) + ХР

(Я2 - а2) - (г2 - а2)\(г - а;)

(7)

2(т +1) 1 . =

Таким образом, получено решение для скорости многофазного слоистого течения в плоском или круглом канале при вязкостях фаз, различающихся между собою, но постоянных в пределах фазы.

Г) Пример: трехфазный поток

Рассмотрим полученное для и - фазного потока решение (7) при трехфазном потоке, когда поток состоит из трех частей с различными вязкостями (см. рисунок), в соответствии с выражением

—(г) = —1 + (—2 - —1)\(г - а1) + —3\(г - а2) .

Общее решение для скорости (для всех трех фаз) имеет вид р

*>(г ) = НА + + А)}

2(т +1)

Здесь:

А=—(Я2 - г2), —1

О = 01 О =Р2

(Я2 - а2) -(г2 - а2)"л(г -а!) (Я2 -а|) -(г2 -а|)Л(г -а2)

Скорости по фазам при нумерации от оси имеют следующий вид:

а) во внешней (третьей) фазе (прилегающей к стенке канала,

а2 < г < Я Ц = Ц3 ),

где

м>з(г) = -:

Р

-(Я2 - г2).

(8)

2(т + 1)цз

Эта зависимость ничем не отличается от зависимости, описывающей течение однородного потока с той же вязкостью ц3 в канале радиуса Я. Однако она «действует» только до радиуса а2 .

Ь) В средней (второй) фазе, где а < г < а2, ц = Ц2,

М>2 (г) =--Р-

2 2(т +1)

Видно, что

Р

^2 =

— («2 -г2) + —(Я2 -а2) Ц2 Ц3

(а2 - г2) + ^3(а2):

2(т + 1)Ц2

где wз (а2) - скорость третьей, внешней фазы в месте контакта средней и внешней фаз. с) Во внутренней (первой) фазе, включающей ось канала (0 < г < а, ц = Ц1),

м>1( г) = -

Р

2(т +1)

_1(а2 -г2) + —(а| - а?) + —(Я2 -а|)

Ц1 Ц 2 Ц3

Р

2(т + 1)ц1

(а2 - г2) + а1),

где м?2(а[) - скорость второй фазы в месте контакта внутренней и средней фаз.

В цилиндрическом случае (т=1) скорости фаз можно представить в следующей форме, явно включающей частичную или полную площадь текущих потоков: Р^3(г )

^3(г) = --

4лц3

^2(г) = --Р 2 4л

н1(г) = -р 4л

$2(г) + 53.

Ц2 51(г) Ц1

Ц3

$2 53 + —+ —

Ц2 Ц3

Здесь 5(г) = л(а2 - г2Х 5 = л(а2 - <¿1), а3 = Я.

Таким образом, представлены аналитические выражения для поля скоростей п-фазного (в частности, трехфазного) потоков при переменной, скачкообразной вязкости. Используя эти выражения, можно рассчитывать другие аналогичные потоки, а также получать информацию об их свойствах.

Д) Общие свойства решений

Рассмотрение показывает, что каждая из фаз ведет себя как однородный поток в канале своего размера с внешней стенкой, движущейся со скоростью, заданной движением соседней внешней фазы. Для самой внешней фазы эта скорость - нулевая (скорость стенки). Видно, что общее решение для многофазного потока со ступенчатой вязкостью является линейной комбинацией «базисных» решений вида

2 2

ф(а, г) = а - г . При этом скорость каждого г-го потока является суммой его «собственной» параболической скорости и «несущей» скорости внешнего (по отношению к данному) потока, потока большего радиуса. Несущая скорость является скоростью соседнего внешнего потока на линии их соприкосновения. Это соответствует формуле (аг - внешний радиус г-го слоя)

Р 2 2

Щ (г) = -(аг - г ) + Щ+1 (аг),

2(т +1)—г-

справедливой при любом числе слоев. По такому закону ступенчатая вязкость «модифицирует» решение для постоянной вязкости. На основании представленных результатов можно утверждать, что в многофазном потоке имеет место свойство односторонней независимости фаз. Оно состоит в том, что на скорость каждого слоя (фазы) влияют все слои большего радиуса (расположенные ближе к стенке канала) и совершенно не влияют все слои меньшего радиуса (расположенные ближе к оси канала). В частности, на скорость пристенного слоя не влияет ничто (за исключением, разумеется, самой вязкости). Стоит отметить, что такая закономерность частично сохраняется и в турбулентном течении при некотором искусственном разделении потоков. Так, автор [5] пишет: «Течение в ядре потока остается турбулентным и может интерпретироваться как турбулентное течение в канале со стенками, расположенными на границе двумерного слоя и двигающимися с местной скоростью среднего течения».

Представленные решения могут служить основой для дальнейшего анализа — определения эффективной вязкости потоков, средних значений скоростей фаз, скоростей скольжения, углов наклона скоростей и т. д.

Турбулентный режим

А) Исходное уравнение и множитель турбулентности

Рассмотрение турбулентного режима течения даже для однофазного потока является чрезвычайно сложной задачей. Точного решения такой задачи до сих пор не найдено, имеются лишь эмпирические и полуэмпирические результаты. Тем не менее, можно получить (при определенных допущениях) некоторое представление о влиянии переменной вязкости на турбулентный поток.

Рассмотрим однофазный стабилизированный турбулентный поток в трубе радиуса Я. В таком потоке средние значения поперечных скоростей равны нулю, градиент давления постоянен по длине канала. Предположим, следуя [5], что турбулентный поток соответствует тому же дифференциальному уравнению (3), отличающемуся лишь добавочной, расчетной «турбулентной» вязкостью р, а именно уравнению

1й

г йг

йм>

г (—0 + —г )~г йг

= Р (9)

виде

Условия, наложенные на скорость, аналогичны (4).

В [7] показано, что «полная» вязкость —0Г = —0 + —г может быть представлена в

г

—0г = —0 + —г = —0

Я^ф'

й \

где ф и п - определенным образом обезразмеренные скорость и расстояние от стенки трубы. Таким образом, можно написать

—0 + — г =—0 ^ЯА г). (10)

Функцию т(Яе, г) назовем множителем турбулентности. Найдем множитель турбулентности в случае постоянной вязкости. Для этого предположим, что известно некоторое решение w=ф(Я,г) задачи (9). Оно может быть одним из известных приближенных решений. После подстановки (10) и этого решения в исходное уравнение (9) получим

1 й

гйг

^о^е г) йф

йг

=Р1..

=Р2

Интегрирование дает

Рг2

гц0т(Яе, г )ф'(Я, г) = + С.

Это выражение должно быть справедливым при г=0, откуда С=0, и множитель турбулентности, таким образом, найден и равен

х(Яе, г) =-Р-. (11)

2ц0ф'( Я г)

Рассмотренную задачу, задачу с постоянной физической вязкостью, назовем задачей А, а выбранное нами ее решение ф(Я,г) - базисным решением. Задачей В назовем задачу с переменной по радиусу физической вязкостью Ц0(г) и градиентом

давления Р2. Найдем связь решения задачи В, с решением задачи А. Предположим, что множитель турбулентности т(Яе, г) при переменной вязкости имеет тот же вид, что и при постоянной вязкости. Это предположение базируется на представлении о том, что степень турбулизации потока в любой точке зависит значительно больше от положения этой точки по отношению к стенке или оси потока, чем от вязкости.

Поскольку уравнение для цилиндрического потока с переменной по радиусу вязкостью

1 й

г йг

как показано выше, имеет решение (5), а в нашем случае вязкость имеет вид

Р-\г

ц(г) = ДоОО^е г) = ц0(г Ъ-Ьттт ,

2Ц0Ф (Я г)

получим решение задачи В в виде

Р Я

w(г) = -Р Г-з^тЧ Ф'(Я, г)йг. (12)

Р1 г Ц0(г)

Это выражение по форме совпадает с аналогичным в ламинарном случае (см.(6)) (с некоторым дополнением в виде градиентов давления Р1 и Р2 ).

Итак, для турбулентного стационарного течения при условии независимости множителя турбулентности от изменения физической вязкости доказано следующее утверждение: если известно (точное или приближенное) решение ф(Я, г) задачи с постоянной физической вязкостью цо , то решение задачи с переменной по радиусу физической вязкостью Цо (г) дается выражением (12). Ниже полученное соотношение будет обобщено на случай, когда обе сравниваемые задачи имеют переменные вязкости.

Б) Определение скоростей потоков с одной переменной вязкостью по скоростям потоков с другой переменной вязкостью

гц(г )

йг

Решение задач с переменной вязкостью является достаточно сложной проблемой. В турбулентном случае такое решение может быть получено только экспериментально или численно, весьма приближенно. В связи с этим возникает вопрос о том, можно ли решение, полученное для одного закона изменения вязкости, использовать для получения решения при другом законе изменения вязкости.

Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть имеются два одинаковых канала (плоских или цилиндрических) одинакового размера (полуширины или радиуса) Я с текущими по ним стабилизированными потоками с различными законами изменения вязкости по радиусу. Эти потоки (с индексами 1 и 2) подчиняются уравнениям движения:

1 й

т йг

гт—1(г):йг =

йг

рь

т / чйщ2

гт—2(г ) 2

йщ

= Р2 (13)

г

гт йг _ йг

и краевым условиям (4).

Как отмечено выше, при ламинарном режиме течения вязкости — ](г) и —2(г) являются физическими вязкостями, при турбулентном - расчетными —1г (г) = —1 (г )т1 (Яе, г) и —2Г (г) = — 2 (г )т2 (Яе, г). Однако, это не влияет на дальнейшее рассмотрение. Деля уравнения (13) почленно одно на другое, получим (в компактной записи)

Р2[гт— 1(г )Ц]' = Р1[гт— 2(г )Щ ]'.

Проинтегрируем обе части этого соотношения. Поскольку равенство должно выполняться и при г=0, произвольная постоянная пропадет. Получим

р>гт—1 (г )Щ = Р1гт—2(г)щ2 (14)

или Щ (г) = Р2—1(г) Щ (г).

Р1— 2(г )

Откуда, интегрируя, с учетом условия на стенке получаем

Щ2(г) = -РРг Щ(г)йг. (15)

Р1 г —2(г)

Граничные условия на оси также удовлетворяются: из (15) следует, что Щ (0) = 0 при условии Щ (0) = 0 .

Таким образом, получена связь между полями скоростей с различными законами изменения вязкости как при ламинарном, так и при турбулентном режиме, однако в последнем случае в подинтегральном выражении стоит отношение не физических, а полных турбулентных вязкостей.

В турбулентном случае при определенных условиях этот анализ можно продолжить. Если предположить, как это было сделано выше, что Х1(Яе, г) = Т2(Яе, г) (одинаковость турбулентного множителя), то после подстановки в выражение (15) полных турбулентных вязкостей — 1 (г) и —2г (г) оно останется справедливым. Тогда, если щ (г) - некоторое турбулентное решение первого из уравнений (13), полученное по (15) выражение для щ2(г) будет турбулентным решением для второго уравнения (13). Итак, выражение (15) - это общее соотношение (для ламинарного и турбулентного режимов), устанавливающее связь между скоростями при изменении вязкости и градиента давления.

Замечание. Нахождение производной от скорости по радиусу может быть связано с потерей точности (при использовании приближенного решения) или промежуточной «потерей» некоторых параметров (например, при дифференцировании логарифмической функции). Чтобы избежать этого, следует найти решение той же задачи, не содержащее производных от скоростей. Это можно сделать следующим образом. Проинтегрировав по частям выражение (15), получим

Таким образом, решена задача о том, как по известному решению Wl(r) задачи для вязкости, изменяющейся по одному закону, ц1(г), получить решение W2(r) для вязкости, изменяющейся по другому закону, ц2(г). Но необходимо отметить, что гипотеза об инвариантности множителя турбулентности может быть справедливой только при весьма существенных ограничениях, состоящих в том, что перемешивание фаз отсутствует (между фазами отсутствует как массо-, так и импульсообмен). Тем не менее, хотя в турбулентных потоках инерционное влияние значительно превосходит вязкостное, теоретическое осмысление вариаций последнего (его изменения по радиусу) представляется весьма полезным.

На основе полученных результатов могут быть решены практические задачи, относящиеся к слоистым течениям. К ним относятся, например, задачи об определении эффективной вязкости, средних скоростей, скоростей скольжения, изломах скоростей на стыке слоев, связи объемных расходов с положением границ слоев и др.

Заключение

1. Рассмотрена и решена задача о влиянии переменной по сечению, в том числе и ступенчатой, вязкости на поле скоростей многофазных стабилизированных непересекающихся потоков в каналах при ламинарном режиме.

2. Показано, что решение ламинарных задач со скачкообразно меняющейся вязкостью является линейной комбинацией базисных функций, представляющих собой решение некоторых однофазных задач. Найдено и сформулировано свойство односторонней независимости фаз многофазного потока.

3. Введено понятие о множителе турбулентности и предложен метод его нахождения на основе решения для поля скоростей турбулентного течения с постоянной вязкостью.

4. Предложена гипотеза о неизменности множителя турбулентности при переменной по радиусу физической вязкости. Этот подход позволяет определить влияние переменной вязкости на поле скоростей двух- и многофазных стабилизированных непересекающихся (слоистых) потоков в каналах при турбулентном режиме.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ - Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-08-00043а).

It is represented the precise solution of Navier — Stokes equations for two — and multiphase stratified flows in channels under laminar mode. During consideration of turbulent mode it is introduced the concept of «turbulent factor» and it is suggested the hypotheses of this factor constancy for two - and multiphase streams. On the base of this hypotheses it is suggested the method of influence analysis of nonconstant viscosity upon velocity field of multiphase flows at turbulent mode.

Summary

Key words: hydrodynamics, laminar and turbulent flows, multiphase streams, nonconstant viscosity.

Литература

1. Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухфазных систем. М.: МЭИ, 2007. 384 с.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 778 с.

4. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

5. Вукалович М.П., Новиков И.И., Термодинамика. М.: Машиностроение, 1972. 672 с.

6. Никитин Н.В., Турбулентное течение в канале с искусственным двумерным пристенным слоем // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №6. С. 32-40.

7. Новиков И.И., Воскресенский К.Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. М.: Госатомиздат, 1961, 548 с.

Поступила в редакцию 06 сентября 2012 г.

Меламед Лев Эммануилович - канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник ЗАО «Атомэнергомаш». Тел.: 8 (495) 6171915; 8 (495) 4557024; 8 (905) 7853339. E-mail: melamedl@yandex.ru.

Тропкина Ася Исааковна - канд. техн. наук, старший научный сотрудник ЗАО «Атомэнергомаш». Тел.: 8 (495) 6171915; 8 (495) 4557024; 8 (905) 7853339.

Фальковский Лев Наумович - технический директор ЗАО «Атомэнергомаш». Тел.: 8 (495) 6171915; 8 (905) 7966135. E-mail: bifonar@mail.ru.