CC BY
12
Литература
1. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М., 1993.
2. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М., 1982.
3. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М., 1983.
4. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев, 1982.
5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977.
6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М., 1984.
7. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. № 4. С. 82-86.
8. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282-283.
9. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., 1980.
Ростовский государственный строительный университет 23 ноября 2004 г.
УДК 536.46
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИИ НА ГОРЕНИЕ ПОЛИДИСПЕРСНОГО ТОПЛИВА
© 2005 г. Э.Г. Янукян
The condition for the decrease in the mean mass of the fuel dispersed throughout the combustion chamber in self - oscillating regimes as compared with that in the corresponding steady - state one of the same heat production is obtained. The influence of the parametrical modulation of processing parameters upon the neutral stability and upon the properties of oscillating combustion regimes is investigated. Modulation characteristics, which cause either stabilization or destabilization of combustion, are determined. Harmonic, ultra - and subharmonic frequency locking phenomena appearing in new regions of instability of the parametrically influenced combustion regimes are revealed. Quasiperiodic combustion regimes forming outside the regions of frequency locking are studied.
В работе [1] исследована неустойчивость стационарных процессов горения полидисперсных систем частиц, обусловленная нелинейной зависимостью скорости реакции от температуры. Рассчитаны характеристики автоколебательных режимов горения, возникающих в результате потери устойчивости. Наличие собственных частот колебания делает в принципе возможными явления нелинейного параметрического резонанса: искусственную стабилизацию, параметрическое возбуждение колебаний, квазипериодические режимы и т.п. Такого рода процессы широко распространены при тепломассообмене в дисперсных системах [2, 3] и могут иметь
практическое значение для оптимизации ряда технологических процессов [4, 5]. Последнего следует ожидать и применительно к топкам с диспергированным топливом [1]. В связи с этим в настоящей работе рассматривается влияние модуляции ряда параметров на нейтральную устойчивость и амплитудно-частотные характеристики автоколебательных режимов горения.
В качестве исходной рассматривается предложенная в [1] модель горения пылевидного или капельного топлива в пренебрежении процессами дробления и коагуляции для условий идеального перемешивания в топке. В данной работе будем рассматривать кинетический режим протекания реакции на частицах. В этом случае скорость уменьшения радиуса горящих частиц может быть представлена в виде ёг1М = -в, где в - близкая к аррениусовской функция температуры в топке Т. Скорость полного теп-лоотвода описывается при помощи линейного соотношения а(Т - Те), где Те играет роль эффективной температуры внешнего потребителя, а скорость подвода частиц дается функцией у(г); обе эти величины отнесены к единице объема топки. Процесс горения описывается при помощи уравнения теплового баланса и кинетического уравнения для плотности распределения / горящих частиц по размерам. Первое учитывает теплообмен с внешней средой и выделение теплоты реакции, второе - подвод частиц извне и уменьшение их размеров, обусловленное горением. После ряда преобразований в пренебрежении влиянием начальных условий, что возможно как для стационарных, так и для установившихся периодических процессов, эти уравнения сводятся к интегро-дифференциальному уравнению
а + (»+а. + 4^3А2в(и) ?Г? > 2(Д)А = о, (1)
в РсТои* 0 I * Р[и(т + 5 - х)])
описывающему динамику изменения температуры в топке, и представлению для плотности распределения
/ (т, з) = бв I г(х)ёх . (2)
* в\и(т + 5 - х)] Здесь введены переменные и параметры:
и* Т„ 6 То ' ^0 '
г 1
5 = — (3)
А
(ßlV0 )
^ =а(и5 - ие )в ^ = аиев
Рси* ' 6 Рси* ' Нижний индекс 0 отмечает некоторые характерные значения соответствующих величин; индекс * - значения величин, соответствующих ста-
ционарному режиму горения при заданных физических и режимных параметрах; р и с - плотность и удельная теплоемкость смеси, принимаемые постоянными; к - коэффициент, определяемый механизмом реакции; р -теплота сгорания. Физический смысл постоянства р, с и к, а также сделанные при выводе (1) и (2) допущения подробно обсуждены в [1].
Если В, > В0, где Вк = uS d lnß
к! duk
к = 1, 2, 3, то стационарные
режимы оказываются неустойчивыми, причем в разных областях изменения параметров возможно как мягкое, так и жесткое нарушение устойчивости. В первом случае возникает автоколебательный режим, который при достаточно малой относительной надкритичности (Б1 - Bj0) / B° мо-
2
жет быть описан при помощи соотношения: £(т) = £ Лпе1П00Т, причем Л0
n=-2
вещественно; амплитуду Л1 допустимо рассматривать как вещественную; Л_2 и Л2 - комплексно сопряженные величины. Условие нейтральной устойчивости, мягкого и жесткого возбуждения неустойчивости, а также представления для амплитуд рассмотрены в [1].
Автоколебания температуры приводят к осцилляциям важнейших технологических параметров процесса - полного числа, среднего размера, поверхности и массы несгоревшего топлива, которые определяются моментами функции распределения частиц по размерам соответствующего порядка и рассчитываются непосредственно с использованием (2). Нелинейность рассматриваемой системы приводит к тому, что в автоколебательном процессе средние по времени температура и моменты плотности распределения оказываются отличными от таковых для стационарного режима, что объясняется наличием в разложении для ненулевого сдвига Л0. Условие интенсификации процесса горения в слабонелинейном автоколебательном режиме, т.е. увеличение массы несгоревшего топлива при неизменном тепловыделении, соответствует положительности неосцил-лирующей части третьего момента плотности распределения и имеет вид
2Л2Б0 Гш (ш Л
Б0Л0 - 2[(B0 )2 - Б2 ]Л1Л-1 + ^ j 0 cosо °sI J y(x) cosо °xdx I r3 (s)ds +
Ш (ш Л _ ]
+J sino°s I Jy(x)sino°xdx I r (s)ds >< 0, (4)
ш (ш Л
Q= Jl J r(x)dx Ir3(s)ds.
Непосредственная проверка показывает, что условие (4) выполняется в широком интервале физических и режимных параметров (рис. 1), при этом средняя масса несгоревшего топлива растет пропорционально над-
критичности (B1 - B10)/ B10 и даже при надкритичности порядка 10 2 - 10 1 может достигать нескольких процентов. в
Рис. 1. Области, соответствующие увеличению I и уменьшению II средней массы несгорев-шего топлива в автоколебательном процессе по сравнению со стационарным (8 = -Бхе/Бх)
Помимо проблемы интенсификации горения в автоколебательных режимах важна задача стабилизации неустойчивых процессов - в ряде случаев интенсивные колебания температуры и плотности дисперсной фазы нежелательны, поскольку могут вызвать перегрузки оборудования. Перспективный способ подавления неустойчивостей состоит в использовании внешних периодических воздействий, вызывающих модуляцию определяющих параметров процесса. В рассматриваемой системе управляемыми могут быть интенсивность подвода новых частиц у и критерий теплоотдачи Представим у и в следующей форме:
у($,т) = Г0(5)[1 + хр(т)]; = Б(ео[1 + пх(т)], где ф, х - периодические функции. Очевидно, что влияние модуляций на устойчивость стационарных процессов можно проанализировать, ограничиваясь в уравнении (1) членами, линейными по
^ + [К -^(1 + шЧШ -Бх) + Б1ео[1 + + ^ЧК -&ео(1 + пхТ))] х
ат Х(т)
П i7o(s)[1 + ХРТШт + s + x)dx Ir2(s)ds
(5)
K =
ав pc
э / а
^ (т) = | ^ /^0 (*)[1 + ХР(т)]0г ^ г2 (
Определение границ устойчивости стационарного режима горения сводится к отысканию периодических решений интегро-дифферен-циального уравнения (5). С целью получения качественной информации о
o
влиянии модуляции на устойчивость удобно начинать анализ уравнения (5) с исследования прямоугольного ступенчатого закона модуляции, когда
{(т), Х(т)} =
1,
-1,
2пп п(2п +1) -<т <—--,
а
п(2п -1)
а
< т <-
2пп
(6)
а а
(п - целое число). С точки зрения технологических приложений модуляция (6) легко реализуема.
Общее решение уравнения (5) на промежутке
п п
записываем в
виде
--< т < 0,
а
£j(t) = e 1 (Cj sin Рт + c2cos Дт).
(т) = e~a2%(с3 sinß2T + c4 cos ß2r), 0 < т <
(7)
а
п
Непрерывность решения (7) в точках--,0, — обеспечивается вы-
т) ( ai
(8)
полнением следующих условий:
§1 (0) = §2(0), £ (0) = £ (0), £ С = £ [--
) \ а
где ¡г - вещественный параметр, а точка означает дифференцирование по времени. Подставляя (7) в (8), нетрудно получить систему линейных уравнений, связывающих коэффициенты (с1 - с4). Условием существования нетривиального решения этой системы является равенство нулю соответствующего характеристического определителя
ßn ß2n cos—1—cos—2—
(а -а)2 +ß2 + ßß
sin
ßn„ß2n
-sin
= /иск
(а + a2 )п
ас 2 Р1 в2 ас а
Периодические решения уравнения (5), соответствующие новой поверхности нейтральной устойчивости, определяются условием \г\ = 1. Кроме того, при подстановке выражений (6) в уравнение (5) возникают дополнительные соотношения, связывающие параметры аь а2, вь р2. Полученная система нелинейных алгебраических уравнений анализировалась численно совместно с (8). Из рис. 2 видно, что указанная модуляция может приводить как к стабилизации, так и к дестабилизации стационарного режима горения. Соответствующий сдвиг кривых нейтральной устойчивости показан на рис. 3. Слева от точки пересечения новых кривых нейтральной устойчивости с исходной областью устойчивости устойчивость уменьшается, а справа увеличивается. Аналогичные результаты получены при модуляции критерия теплоотдачи Стентона.
СО (О
Рис. 3. Сдвиг кривых нейтральной устойчивости при ступенчатой модуляции кинетики подвода частиц;_х= 0;______х= 0,2;.................. х= 0,5; у= y(1 + XVÍT)
При переходе к другому виду периодического воздействия результаты меняются лишь количественно. Для примера проведены расчеты для гармонической модуляции, причем средние за полупериод эффективные модуляционные воздействия соответствовали ступенчатой модуляции, т.е. п
ср(г) = — sin ®г . В этом случае уравнение (5) может быть проанализировано только численно. Область устойчивости соответствует затухающим со временем решениям этого уравнения, неустойчивости - возрастающим, а новая поверхность нейтральной устойчивости определяется периодическим решением уравнения (5).
Исследование областей неустойчивости искусственно стабилизированных режимов проведено интеграционным методом Эйткена-Стеф-фенсена на основе уравнения (1). Обнаружено захватывание частоты соб-
ственных колебаний внешней частотой: после введения параметрического периодического воздействия частота автоколебаний может совпадать с вынуждающей в некоторой полосе частот, достаточно близких к собственной - гармонический захват частоты. Это явление имеет место при условии, что собственная и внешняя частоты близки друг к другу, а амплитуда модуляции достаточно велика. Захватывание собственной частоты происходит также тогда, когда отношение частот автоколебаний и внешнего периодического воздействия близко к целому числу, отличному от единицы. В этом случае собственная частота колебаний захватывается частотой, в целое число раз большей или меньшей внешней - ультра- и субгармоническое захватывание.
Области синхронизации частот показаны на рис. 4. В отличие от детерминированных механических систем, когда ультра- и субгармоническое захватывание возникает в областях неустойчивости при сколь угодно малой амплитуде модуляции [6], в рассматриваемом процессе это происходит только на основной гармонике, а для кратных частот существует некоторая критическая амплитуда, соответствующая началу синхронизации.
Рис. 4. Области гармонического, ультра- и субгармонического захватывания собственной частоты при ступенчатой модуляции скорости подвода частиц;
= 1, В1 = 1,05 В/1 , = 10
Как следует из проведенного анализа, модуляция физических и режимных параметров системы может быть использована в качестве эффективного средства управления процессом, поскольку влияет на характеристики нейтральной устойчивости и кардинально меняет топологию новых областей неустойчивости искусственно стабилизированных режимов, приводя к захватыванию собственных частот автоколебаний и формированию квазипериодических колебаний. Нелинейность автоколебаний, приводя к существенным изменениям осредненных технологических характеристик процесса по сравнению со стационарными, также может быть использована для улучшения эксплуатационных характеристик топок с дисперсным топливом. К нетривиальным результатам может привести
учет баланса окислителя в системе. Помимо выяснения влияния колебаний окислителя на характеристики периодических процессов, весьма актуальна задача об использовании различных способов подачи окислителя в качестве дополнительного средства управления температурным режимом и характеристиками дисперсной фазы в топках.
Литература
1. Аракелян Э.К., Янукян Э.Г. Горение полидисперсного топлива // Изв. РАН. 2002. № 2. С. 60-67.
2. Randolph A.D., Larson M.A. Theory of particulate processes. London, 1989.
3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М., 1987.
4. Yanukyan E.G. Computational modeling of controlled unsteady combustion for dispersed fuels // Book of abstracts of the Fifth World Congress on Computational Mechanics. Vienna, 2002. Vol. 2. P. 584.
5. Наталуха И.А., Янукян Э.Г. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2004. Т. 11. С. 130.
6. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М., 1968.
Филиал Северо-Кавказского государственного
технического университета в г. Пятигорске 18 ноября 2004 г.
