CC BY
118
Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 2, с. 81-87
УДК 621.391
ВЛИЯНИЕ НЕТОЧНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ФАЗЫ НЕСУЩЕЙ НА ВЕРОЯТНОСТЬ БИТОВЫХ ОШИБОК В М-КАМ СИСТЕМАХ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ
© 2007 г. АА. Артеменко 1,г, АА. Мальцев 1,г, А.Е. Рубцов 2
1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 ЗАО «Интел А/О», г. Нижний Новгород
Поступила в редакцию 9.02.2007
Проводится исследование влияния неточности оценивания фазы на вероятность битовых ошибок в М-КАМ системах передачи данных. Получены аналитические выражения для вероятности битовых ошибок в зависимости от среднеквадратического отклонения ошибки оценивания фазы для М-КАМ модуляции (где М принимает значения 2, 4, 16, 64). Выражения для вероятности битовых ошибок получены в виде конечных сумм определенных интегралов. Приводятся результаты компьютерного моделирования системы связи с М-КАМ модуляцией, подтверждающие результаты теоретического анализа.
Введение
В настоящее время многопозиционная квадратурно-амплитудная модуляция (М-КАМ)
применяется для высокоскоростной передачи информации во многих приложениях - высокоскоростных модемах, системах наземного цифрового телевидения, компьютерных сетях передачи цифровых данных по радиоканалам [1]. В частности, М-КАМ используется для модулирования сигналов в современных системах радиосвязи с ортогональными поднесущими (OFDM - Orthogonal Frequency Division Multiplexing) [2]. При М-КАМ модуляции каждому комплексному информационному символу a=a+jaQ соответствует log2M передаваемых битов (в современных системах для повышения пропускной способности используются значения М вплоть до 512).
В любом когерентном приемнике присутствует система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которая оценивает в присутствии аддитивного шума £ набег фазы несущей, обусловленный сдвигом частоты и нестабильностями генераторов. Поэтому перед демодуляцией фаза принятого сигнала компенсируется на величину, определяемую системой ФАПЧ [3, 4]. Однако система ФАПЧ всегда имеет случайную фазовую ошибку, плотность вероятности которой при малых шумах описывается гауссовским законом распределения [5]. Это фазовое дрожание y («phase jitter») вызывает дополнительные ошибки при демодуляции принятого комплексного сигнала, которые могут значительно ухудшить значение вероятности битовых ошибок (bit error rate - BER) [6].
Целью данной работы являлось исследование влияния неточности оценивания фазы несущей на вероятность битовых ошибок в системах радиосвязи с использованием М-КАМ модуляции.
Постановка задачи
Рассмотрим принятый М-КАМ сигнал после компенсации фазового набега схемой ФАПЧ:
r = a ■ e]W + %, (1)
где a — переданный комплексный информационный символ, £ — аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) канала с дисперсией оД / — случайная гауссовская ошибка оценивания фазы несущей с нулевым средним и дисперсией о/ [7, 8]. Принятый сигнал можно также представить в виде синфазной и квадратурной компонент:
\rI = аг cos/-aQ siny + %1,
\ (1 ) \rQ = aQ cos/ + at sin/+4Q .
Формула (1) показывает, что наличие неуст-раненного фазового дрожания / может привести к существенному искажению принятого сигнала. Для примера на рис. 1а представлено сигнальное созвездие переданного информационного 16-КАМ сигнала а, на рис. 1б — принятого сигнала r при наличии фазового дрожания / и аддитивного шума £
В работе [6] получены аналитические выражения для вероятности битовых ошибок для канала с АБГШ. Однако фазовое дрожание / оказывает влияние на вероятность битовых ошибок, которое необходимо учитывать при
исследовании систем радиосвязи с М-КАМ модуляцией. В следующем разделе проведен теоретический анализ влияния неточности оценивания фазы несущей на вероятность битовых ошибок для четырех порядков М-КАМ модуляции: М = {2, 4, 16, 64}.
Теоретический анализ
Двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн)
При использовании 2-ФМн (2-КАМ) каждому переданному информационному символу соответствует один бит. Связь между значением символа и переданным битом для 2-ФМн модуляции представлена в табл. 1, где d - некоторая постоянная величина.
Поскольку квадратурная компонента принятого сигнала не несет информации, то для демодуляции необходимо выделить реальную часть принятого комплексного символа:
Tj = Re r = a • cos у + 4, (2)
где - реальная часть комплексного аддитив-
2 2 //^
ного шума с дисперсией /2.
Найдем условную плотность вероятности принятого сигнала rj при фиксированном значении ошибки оценивания фазы у В силу предположения о гауссовости аддитивного шума канала, принятый сигнал rj является гауссов-
Таблица 1
2-ФМн (2-КАМ) модуляция
Переданный бит Синфазная компонента ai Квадратурная компонента Uq
0 -d 0
1 d 0
скои случайной величинои со средним значением acosуи дисперсией а^И\
W(rj \у) =
exp
па
(r - a cos у)
а
(3)
В случае передачи единичного бита (а = !) максимум условной плотности вероятности принятого сигнала W(r^\1, у) при фиксированном значении ошибки оценивания фазы у будет смещен в точку d•cosу (см. рис. 2). При этом условная вероятность ошибки демодуляции Р(е\!, у) определяется как площадь под частью кривой условной плотности вероятности, находящейся в левой полуплоскости (на рис. 2 эта область заштрихована). Используя выражение (3), можно записать условную вероятность ошибки демодуляции принятого символа:
Р(е \!, у) = 1
х j exp
4
(r - d cos у)
2
а
dr =
= б
V2d
cosy
Л
а
(4)
где Q(x) - интеграл вероятности [9], выраженный в виде:
1
Q( x) = ^=J е" /2dt.
V2n x
(5)
Аналогичным образом можно получить выражение для условной вероятности ошибки демодуляции принятого сигнала при передаче нулевого бита (а = -!):
1
2
да
Рис. 2. Условная плотность вероятности W(rj\1, y) для 2-ФМн модуляции
P(e | -d,y) = Q
V2d
cosy
Л
а
4
2-ФМн
(е |ц) =1 P(e 1 d,¥) +
2
1
+2 P(e 1 -d w) = Q
42d
cosy
a
4
Y =
d
2
a
4
P
2-ФМн
2-ФМн (e) = IP(e W) W(УМУ = -п
==T IQЩг cosw)x 2паЦЦ -n
x exp
2
W
2a
у
dy,
(10) переходит в известное выражение для вероятности битовых ошибок для 2-ФМн системы связи в АБГШ канале [6].
Для упрощения записи дальнейших формул введем следующее обозначение:
J (a, B, C, D,al )=-г1
2па
| Q(AD cos y + BD sin y + CD) x
(6) x exP
2a
y
dy.
(11)
Используя предположение о равновероятности передаваемых информационных бит, выражение для условной вероятности ошибки передачи бита при фиксированном значении ошибки оценивания фазы у может быть получено в виде:
(7)
Отношение сигнал/шум (ОСШ) определяется как отношение мощности сигнала к мощности аддитивного шума канала. Для 2-ФМн (2-КАМ) модуляции отношение сигнал/шум можно записать следующим образом:
Используя обозначение (11) формулу (10) можно представить в виде:
Р2-ФМн (е) = J (і,0,0,л/2г,< ). (12)
Четырехпозиционная фазовая манипуляция (4-ФМн)
При использовании 4-ФМн (4-КАМ) каждому переданному информационному символу соответствует два бита Ь0Ь1. Связь между значениями синфазной и квадратурной компонентами информационного символа а и переданными битами для 4-ФМн модуляции представлена в табл. 2.
4-ФМн (4-КАМ) модуляция
Таблица 2
(8)
Используя формулу (8), несложно найти зависимость условной вероятности ошибки передачи бита от ОСШ:
(e \у) = Q(J2y cosy). (9)
Вероятность битовых ошибок для 2-ФМн модуляции можно получить путем усреднения условной вероятности ошибки P2-ФМн(е\ у) по распределению ошибки оценивания фазы у.
П
P.
Комбинация бит (b0bj) Синфазная компонента ai Квадратурная компонента aQ
00 -d -d
01 -d d
10 d -d
11 d d
Найдем условную плотность вероятности синфазной компоненты принятого сигнала г при фиксированном значении ошибки оценивания фазы у:
W (г1 \у) = ■ 1
(10)
па
4
x exp
(r -(
r - \a,j cos y - Qq sin y
f
а
4
(13)
где W(у) - гауссовская плотность вероятности ошибки оценивания фазы у, Оц2 - дисперсия ошибки оценивания фазы. Следует заметить, что при идеальном оценивании фазы формула
Из формулы (13) видно, что на ошибку демодуляции синфазной компоненты принятого сигнала г влияет квадратурная компонента переданного сигнала aQ. Это приводит к тому, что на ошибку демодуляции первого бита Ь0 оказывает влияние значение второго переданного бита Ьь
x
2
x
-п
2
Найдем условные вероятности ошибки демодуляции бита Ъ0 при фиксированной ошибке оценивания фазы у при различных комбинациях переданной пары бит Ь0Ъь В случае передачи двух единичных бит (Ъ0Ъ = 11), максимум условной плотности вероятности синфазной компоненты принятого сигнала W(rI\11, у) при фиксированном значении ошибки оценивания фазы убудет смещен в точку йсо8 у- у (см.
рис. 3). Тогда, условная вероятность ошибки демодуляции определяется как площадь под частью кривой условной плотности вероятности, находящейся в левой полуплоскости (на рис. 3 эта область заштрихована):
Рис. 3. Условная плотность вероятности W (rI| 11, /) для 4-ФМн модуляции
Pbo (e\11,/) = -=L
X J exp
= Q
V2d
(r¡ - d(cos / - sin /))
O
(cos / - sin /)
v
Pb (e \ 01,/) = Q (cos/ + sin/)
V а*
Pb (e \ 00, /) = Q (cos / - sin /)
V
4 bobj=oo
V
(15)
= 2 Q {jr(cosV- siny))+
+ 2 Q (л/Й cos y + sin y)),
где y - отношение сигнал/шум, определяемое для 4-ФМн модуляции как:
2d2
Y =
(16)
а
*
В силу симметрии сигнального созвездия для 4-ФМн модуляции выражения для условных вероятностей ошибки демодуляции бита Ъ0 и бита Ъ\ идентичны и выражение для условной вероятности ошибки демодуляции бита при фиксированной ошибке оценивания фазы у можно представить в следующем виде:
Р4-ФМн (е \ /) = 2 Pb0 (e \ /) + ^ P (е \ /) =
2
cos/- sin/)l+
))+
(17)
dr, = (14)
+ 1 Q {¿У (соэ у + sinу)).
Вероятность битовых ошибок для 4-ФМн (4-КАМ) модуляции может быть получена путем усреднения условной вероятности ошибки Р4-ФМн(е\ у) по распределению ошибки оценивания фазы W(у). В предположении, что плотность вероятности ошибки оценивания фазы W( у) является гауссовской, несложно получить: ( ) 1 1 (е) = Т
P4
4-ФМн у
2
2яа,„
Аналогично можно получить выражения для условной вероятности ошибки демодуляции бита b0 для трех других комбинаций переданной пары бит b0b j:
Pb (e \ 10,/) = Q (cos / + sin /)
+
jfe(4r(cos/- sin/))+
-П
Q (Y (cos / + sin /))}exp
(18)
2а/
d/ =
(14’)
Используя предположение о равновероятности появления комбинаций передаваемых пар бит Ъ0Ъ\, несложно найти выражение для условной вероятности ошибки демодуляции бита Ъ0:
2J(1,-1,0,4/,а/)+2J(1,1,0, Jro/) •
16-позщионная квадратурная амплитудная модуляция (16-КАМ)
При использовании 16-КАМ модуляции каждому переданному информационному символу соответствует четыре бита Ь0Ъ1Ь2Ъ3. Связь между значениями синфазной и квадратурной компонентами информационного символа и переданными битами для 16-КАМ модуляции представлена в табл. 3.
X
2
*
-да
X
Таблица 3
16-КАМ модуляция
Комбинация бит 6061 Синфазная компонента а1 Комбинация бит Ь2Ь3 Квадратурная компонента а0
00 -3й 00 -3й
01 -й 01 -й
10 3й 10 3й
11 й 11 й
Таблица 4
64-КАМ модуляция
Комбинация бит Ь0Ьф2 Синфазная компонента а1 Комбинация бит ЬэЬ^ Квадратурная компонента ао
000 -7й 000 -7й
001 -5й 001 -5й
010 -3й 010 -3й
011 -й 011 -й
100 7й 100 7й
101 5й 101 5й
110 3й 110 3й
111 й 111 й
Рис. 4. Вероятность битовых ошибок при заданных значениях ау для а) 2-ФМн модуляции; б) 4-ФМн модуляции; в) 16-КАМ модуляции; г) 64-КАМ модуляции
Расчет вероятности битовых ошибок для 16-КАМ модуляции аналогичен рассмотренным + J выше случаям, однако более громоздок. Поэтому, вывод формулы для случая 16-КАМ модуляции опущен, и приведено лишь окончательное выражение для вероятности битовых ошибок:
Р16-КАМ(е) = Г1 '21-7 1 т,0^^,°// +
-1, щ2,^ 7-а/
\
+
V
3, т - 2,л!
\
+
3, щ2,}
\
где индекс т принимает значения {-3, -1, 1, 3}.
( ¡7 2 л
к ’- т,4^\2Ї,а'^
У
+ 2
к =-5,-3
( 17 2 Л
к-
V у
( 17 2 Л
+7 - к щ - х у21,о'¥,
( 17 2 Л
- к щ,^]1л,а^
I у 2 - к щ6’І2їО/
л
(19) + 2
к =-7,-5
( [7 2 л
- кт- О
V ’ у
( [7 2 Л
- к /ці]]2[,аг
(20)
где индекс т принимает значения {-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7}.
Результаты моделирования
64-позиционная квадратурная амплитудная модуляция (64-КАМ)
64-КАМ модуляции позволяет передавать шесть бит ЪффффлЬъ на каждом информационном символе. Связь между значениями синфазной и квадратурной компонентами информационного символа и переданными битами для 64-КАМ модуляции представлена в табл. 4.
Выражение для вероятности битовых ошибок с учетом влияния ошибки оценивания фазы у для случая 64-КАМ модуляции записывается следующим образом:
Р64 - КАМ
(
7, т, - 2„М-,о\2,
7 щ 6 л ІА о-,!
( [7 21
7,т,- М^,о/ ■
( [7 2 Л
- 1, - щ Я і/“,0/
+ 2 7
к =1,3,5,7
+2
к =-3,-1
Л
-1, -
, У 2
1> Щ ЬЛ1—,а!
Для исследования влияния неточности оценивания фазы несущей на вероятность битовых ошибок в системах связи в среде программирования Ма^аЬ была реализована модель системы связи с М-КАМ модуляцией. Было проведено численное моделирование работы такой системы связи для канала с АБГШ и исследованы зависимости вероятности битовых ошибок от ОСШ для различных значений среднеквадратического отклонения ошибки оценивания фазы несущей а/ При моделировании предполагалось, что ошибка оценивания фазы / является
гауссовской случайной величиной с нулевым
2
средним и дисперсией ащ.
На рис. 4 представлены теоретические и экспериментальные зависимости вероятности битовых ошибок от ОСШ при заданных значениях среднеквадратического отклонения ошибки оценивания фазы а/ для 2-ФМн (рис. 4а), 4-ФМн (рис. 4б), 16-КАМ (рис. 4в) и 64-КАМ (рис. 4г) модуляции. На рис. 4 сплошными линиями показаны результаты теоретического анализа, пунктирными линиями с круглыми маркерами -результаты компьютерного моделирования, которые хорошо согласуются с аналитическими.
Из рис. 4 видно, что при увеличении порядка М-КАМ модуляции (увеличении скорости передачи данных) влияние ошибки оценивания фазы на вероятность битовых ошибок возрастает. Например, для 2-ФМн модуляции среднеквадратическая ошибка оценивания фазы Ощ ~ 22° эквивалентна ухудшению отношения сигнал/шум у на 1 дБ (при значении вероятности
+
+
+
+
битовых ошибок, равной 10-2). Для 4-ФМн такое же эквивалентное уменьшение ОСШ наблюдается при меньшей ошибке оценивания фазы <7ц,~ 10°, для 16-КАМ модуляции - при ацг~ 5°, для 64-КАМ модуляции - при ацг~ 2.5°. Следует подчеркнуть, что при больших значениях отношения сигнал/шум у даже малая ошибка оценивания фазы (порядка 1°-2°) приводит к существенному увеличению вероятности битовых ошибок в системах передачи данных, использующих М-КАМ высокого порядка.
Заключение
В работе проведено исследование влияния неточности оценивания фазы на вероятность битовых ошибок в М-КАМ системах передачи данных. Получены аналитические выражения для вероятности битовых ошибок в зависимости от среднеквадратического отклонения ошибки оценивания фазы для М-КАМ модуляции (где М принимает значения 2, 4, 16, 64). Выражения для вероятности битовых ошибок получены в виде конечных сумм определенных интегралов, каждый из которых несложно найти, используя стандартные математические пакеты (например, Ма1ЬаЬ). Представлены результаты компьютер-
ного моделирования системы связи с М-КАМ модуляцией, подтверждающие результаты теоретического анализа.
Список литературы
1. Hanzo L. Quadrature Amplitude Modulation: Basics to Adaptive Trellis-Coded, Turbo-Equalised and Space-Time Coded OFDM, CDMA and MC-CDMA Systems. Wiley-IEEE Press, 2004.
2. Prasad R., van Nee R. OFDM Wireless Multimedia Communications. - L: Artech House, 2000. - 275 p.
3. Lindsey W.C. and Chie C.M.// Proc. IEEE. Apr. 1981. V. 69. P. 410-431.
4. Артеменко А.А., Рубцов А.Е. // Вестник ННГУ. Серия Радиофизика. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. Вып. 1(3). С. 127-134.
5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966.
6. Мальцев А.А., Рубцов А.Е., Шпагина В.С. // Тез. докл. «VIII нижегородская сессия молодых ученых». - Н. Новгород, 2003. - С. 104-106.
7. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. - М.: Наука, 1967.
8. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Баклеева и М.В. Капранова. - М.: Сов. радио, 1978.
9. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000. - 800 с.
EFFECT OF THE CARRIER-PHASE ESTIMATION ERROR ON THE BIT-ERROR RATE IN M-QAM DATA TRANSMISSION SYSTEMS
A. A. Artemenko, A. A. Maltsev, A.E. Rubtsov
We study the effect of carrier-phase estimation error on the bit-error rate in M-QAM data transmission systems. Analytical expressions for the bit-error rate as a function of the standard deviation of phase-estimation error for M-QAM modulation (M is equal to 2, 4, 16, and 64) are derived in the form of finite sums of definite integrals. The theoretical analysis is confirmed by the presented results of computer simulation of an M-QAM data transmission system.
