Оценка вероятности битовых ошибок в системах связи 4G Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.3.07

Оценка вероятности битовых ошибок в системах связи 4G

А.С. Пастухов, к.т.н., преподаватель Чувашского государственного университета (ЧГУ),

г. Чебоксары, e-mail: pastuhov_as@mail.ru

Ю.А. Иванов, аспирант ЧГУ, г. Чебоксары, e-mail: yurasic@mail.ru С.И. Малышев, студент ЧГУ, г. Чебоксары, e-mail: sergman13@mail.ru

Рассмотрено влияние параметров сигнала на вероятность появления битовых ошибок в системах связи 4G, основанных на технологии OFDM.

In given clause research the estimation of influence of parameters 4G a signal based on technology OFDM on bit error rate.

Ключевые слова: битовая ошибка, гауссовский шум, модуляция, манипуляция, OFDM.

Key words: bit error, Gaussian noise, modulation, manipulation, OFDM.

Постановка задачи

Анализ вероятности появления битовых и блоковых ошибок позволяет оценить качественные показатели системы передачи 4G, поэтому важно учитывать данные показатели при исследовании. На вероятность появления ошибок влияют многие параметры системы: величина защитного интервала, вид модуляции, число поднесущих и др. Изменяя данные параметры, можно добиться оптимальных значений показателей BER (от англ. Bit Error Rate) и BLER (от англ. Block Error Rate).

Оценке ошибок уделяется большое внимание в теоретических исследованиях [1, 6, 7]. Но в имеющихся работах уделено мало внимания влиянию параметров системы и многолучевому пути распространения в целом, поэтому исследования в этой области являются актуальным.

В рамках данной работы произведено моделирование системы связи на основе полученных теоретических сведений [10, 12] с целью оценки вероятности появления битовых ошибок в системах 4G.

Вероятность появления ошибочных битов в канале AWGN

Для сигнала OFDM (от англ. Orthogonal Frequency Division Multiplexing) справедливы следующие выражения [2), 3, 5]:

s(t ) =Ц C,er-* (') f (t - T ),

І = -(Ю k=1

Г 1, (—A g < t < t, ), f (t) = \ G

yw |0,(t <—A G, t > t, ),

r k — 1 Kj. 1 fk =—, Af = -,

t,

t,

(1)

(2)

(3)

T =A g + ts, (4)

R = 1T = NJT,, (5)

где Nsc - число поднесущих; cki - i-й информационный символ на k-й поднесущей; f - частота k-й поднесущей; Ts - период символа OFDM; AG - длина защитного интервала; ts - период наблюдения, часто называемый «полезной длиной символа»; ft) - меандр волны символа; R - общая скорость передачи символа.

Если ограничиться только набором из двоичной BPSK (от англ. Binary Phase Shift Keying,) или квадратичной PSK (от англ. Quadrature Phase Shift Keying) [4] фазовой модуляции во всех поднесущих, то информационный символ определяется как

.2rnn

m = 0,1,..., M — 1;

(6)

где М = 2км ; таким образом км =1 для ВР8К и км = 2 для 0Р8К.

Модель радиоканала

Как правило, в канале радиопередачи передаваемый сигнал подвержен не только искажению вследствие многолучевого распространения, как уже было отмечено ранее, а также поврежден тепловым шумам (рис. 1).

Рис. 1. Модель радиоканала

e

Принятый сигнал может быть записан в виде формулы

r(t ) = I h(r; t )s(t - r)dt + n(t ),

(7)

где h(r; t) - импульсная функция канала; n(t) -шум AWGN (от англ. Additive White Gaussian Noise) с двухсторонней спектральной плотностью мощности No/2.

Функция h (г; t) обладает случайными свойствами, иными словами, h(r; t) шумоподобна. Уравнение (7) показывает, что в радиоканале переданный сигнал сначала задерживается на время распространения т и умножается на h (г; t ), а затем складывается с n(t), следовательно, можно считать, что затухание является мультипликативным шумом.

Если импульсная функция канала является постоянной и инвариантной ко времени, то ее можно представить как

h(t ) = hS(t ), (8)

где h - комплексное значение канального усиления.

Поэтому можно игнорировать эффект замираний и говорить только о существовании шума AWGN в канале. Данный канал носит название «AWGN-канал». С другой стороны, если импульсная функция канала имеет свойства, инвариантные ко времени, то в канале присутствуют и замирания, и AWGN шум. Тогда данный канал можно назвать «канал с замираниями».

Показатель BER для исполнения модуляцион-ной/демодуляционной схемы в значительной степени зависит от принимаемого отношения мощности сигнала к мощности шума SNR (от англ. Signal-to-Noise Ratio,) на бит, которое также называется «отношение мощности сигнала на один бит к спектральной плотности мощности шума (Eb/N0)» или «энергетический контраст».

Оценка вероятности появления битовых ошибок в канале.

На рис. 2 изображена система передачи OFDM на основе когерентной фазовой манипуляции CPSK (от англ. Coherent Phase Shift Keying). На этом рисунке приняты следующие обозначения: S/P - блок последовательного/ параллельного преобразования (P/S -блок обратного преобразования); DFT - блок прямого дискретного преобразования Фурье (IDFT - блок обратного преобразования); SR - блок восстановления поднесущей: CD - когерентный детектор; WS -блок окна времени синхронизации. Если предположить, что приемник «знает» точное время окна дис-

Рис. 2. Система OFDM на основе CPSK: a - передатчик; б - приемник

кретного преобразования Фурье (DFT), то для DFT-выхода преобразование на n-й поднесущей в интервале [iTs, iTs + ts] запишется как

1

- j 2f (t-iTs )

dt.

(9)

rm = — J Г(t

s iTs

Определим nni как шумовой компонент на выходе DFT, входящий в формулу (9) в виде

rn, = hcn, + nn, . (Ю)

Из уравнения (9) ясно, что полученный сигнал интегрируется только за полезный период символа. Для текущей схемы системы OFDM сигнал передается даже во время защитного интервала, причем его мощность не используется для обнаружения. Поэтому в канале AWGN величина BER для систем OFDM на основе CPSK является одинаковой, как и для систем с одной несущей на основе CPSK-манипуляции [3]. Необходимо учитывать потери мощности, связанные с добавлением защитного интервала. Используя BPSK- или QPSK-манипуляцию во всех поднесущих, получим BER в виде

r)B,coheret r>Q,coheret

^b,AWGN Pb,AWGN _

У

(11)

где erfc(x) - дополнительная функция ошибки,

2

Ie-,2;

(12)

erfc(x) = —j= I e

ЛІЯ

У - эффективное SNR на бит,

У'ъ = у Уъ = (1 ~aG )їь.

s

На рис. 3 показана система передачи OFDM на базе DPSK-манипуляции. В схеме приняты следующие обозначения: DE - дифференциальный кодер; DD - дифференциальный детектор.

(13)

да

Рис. 3. Система OFDM на основе DPSK: a - передатчик; б - приемник

Эта система выгоднее, чем OFDM-система на основе CPSK-манипуляции, потому что дифференциальное обнаружение может полностью исключить сложное восстановление поднесущей. Показатель BER систем OFDM на основе DPSK определяется так же, как и для систем с одной несущей на основе DPSK:

PBdifferential 1 -У'ь

Pb,AWGN _ "2 e

(14)

В случае QPSK-манипуляции BER определяется в виде

p<2,differential _

(15)

(16) (17)

£

2ст?

p(£) _^-e 2ffr, £> 0 .

(19)

После подстановки у'ь = £2/]/оП и у[ = о]/о2п

в (19), можно переписать функцию плотности вероятностей следующим образом:

Р(г'ъ) = 1

-Il

%

(20)

+b

Усредняя полученные результаты (11) и (20), можно получить BER для случая рэлеевского канала с замираниями:

B,coheret r>Q,coheret

b,fading b,fading

œ і

j ^-erfc^V%T )p(%b Wb

1 -

f1 + +

(21)

1 --{a2 +Ъ2')

b,AWGN = Q(a Ъ) - ^1 o(ab)e2 =

a ==g (^V2W2 —J 2 -V2

ъ = Ë +72^/2 ).

В (15) Q (a, b) - функция, определяемая как

-—(a2 +Ъ2) “ f a \1

Q(a,b) = e2 ]T(^J Ii(a,b), (18)

где I(x) - модифицированная функция Бесселя первого рода 1-го порядка.

Вероятность появления ошибочных битов OFDM-систем для рэлеевского канала с замираниями

Система на основе CPSK-манипуляции. В канале с рэлеевскими замираниями BER OFDM-систем на основе CPSK зависит от используемого метода восстановления поднесущей. Рассмотрим BER при идеальном восстановлении поднесущей.

Огибающая функции плотности вероятностей рэлеевских замираний представлена в виде

Это уравнение имеет низкую зависимость от частотной и временной селективности канала. Система на основе DPSK-манипуляции. Точно так же, как и при выводе формулы вероятности битовых ошибок для систем на основе CPSK манипуляции (21), можно получить BER для DPSK в рэлеевском канале с замираниями, но определить BER возможно только для нижней границы оценки OFDM систем на основе BDPSK манипуляции в виде

f I -f Л

B,differential

b,fading

1 1 f I —f

1-е-Ib p(lb «_ -11 ^ +■

. (22)

Теоретический анализ вероятности появления ошибочных битов

В дифференцированно закодированной Р8К-манипуляции передача информации осуществляется посредством скачков фазы между последовательными символами. Различие фазы Д^- между

7-м и (7 - 1)-м символами определяется для BDPSK-систем как

|о,(ъи = 0),

[Я (Ък7= 1).

В то же время для QDPSK-систем имеем:

0, (Ък(27-1)Ък27 = 00),

ЬФы_-

(23)

Афь_

п

„ , (bk(2i-1)bk2i _ 01),

2

П, (bk(2i-1)bk2i _ 10), Ц;,b,2i-,)b„, _ 11),

(24)

где Ък7 - 7-й информационный символ на к-й поднесущей (на рис. 4 изображены подобные переходы фазы).

0

А<рк/= п ^ {bu= 1)Х Д(рм= 0 \ (Ьм= 0) ' О

Область ошибкі для Дсркі= 0 (* &срк1- п — (Ьк(2і-цЬк2і = 11) /'s w ) Д (ркі= п/2 *—~JA[2»)biai- 01) /Лп гл

Д cpki= Зп/2 (Ьц2ії)Ьіаі= 10) \ \ Д cpki= 0 (Ьк(2И)Ь/а/= 00) Область ошибки для Д^;= 0 t)

B,differential

b,fading

r - * " '

Pr- Re r r пі n(i—1) < 0

r. І пі rn(i—1)

(25)

pg,differential _ 1 pr j pe b,fading _ k

kM

* n

rnir n(i—У ej7 , ,i і e

r r

I ni I n ( i — 1 )

< 0

, (26)

Re

rnir n(i—1) _ j 4

r r

ni n(i—1)

< 01

В (25) и (26) знаменатели всегда положительны, поэтому

' ' (27)

рВ и Q.differential _ рг/п <Г ПІ

ГЪ ,fading _ гі\Упі —

rnir n(i—1)e

2 M

(28)

Теперь перепишем выражение для BER в виде

psin(я/M )

ту В и Q,differental -

b,fading „

1 —

Vі — (pcos(n/M ))2

(29)

Р _

Re[E[

rni r n(i — 1)

Е[гшг * пі]

(30)

Рис. 4. Скачки фазы в DPSK сигнале: a -BDPSK; б -QDPSK

Предположим, что при BDPSK на n-й поднесу-щей был передан символ bni = 0. Битовая ошибка происходит, когда разность фазы между i-м и (i - 1)-м символами в n-м выходе DFT меньше -ж/2 или больше +п/2. Итак, BER записывается как

Если же предположить, что bni = 00 для QDPSK, то, подобно случаю BDPSK, битовая ошибка возникает при различиях в фазе меньше -п/4 и больше -п/4. Тогда BER для систем QDPSK запишется следующим образом:

Можно видеть, что нормализованная корреляция р играет ключевую роль в описании BER.

Вероятность появления ошибочных бит при частотной и временной селективности рэлеевского канала с замираниями

Импульсная функция частотно-селективного рэлеевского канала с быстрыми замираниями моделируется как дискретная линия задержки, где каждый дискрет - независимый комплексный гауссовский случайный процесс с нулевым средним:

¿i+Z/2

h(T; t) = Y^ai(t )ô(t~ti (31)

l=1

где aa (t) - потери l-го пути, которые приняты как

комплексная гауссовская случайная величина с

„ 2

нулевым средним и дисперсией ai , а также с ті -задержкой распространения 1-го пути, которая классифицируется следующим образом:

0<Гі <Ag (і = 1,...,L), (32)

<Tl < Ts (l = L1 + L1 + L2). (33)

Таким образом, для данного типа канала принятый сигнал запишется в виде

iTs +ts

_E

-e

— j 2^fnIl

l_1 t,

j al (t )dt

+

4+L c iT,+t,

+ E JnL e—f (t)dt+

l_L +1 t„ ,rr A

I-L1+1 - s

L N,

iTs—Ag+z

+•

M ^sc n sm s

EE- e—m'1 b (t)e'

l_1 t_1 ts iT,

k^n

-j2*fk —fnXt—iTs ) dt+

A+¿2 Ns

+

EE- e—jf'1 fa (t)e

_L,+1 k_1 ts iT,-Aq+rt

-j2*(ft —fn )(t—iT, ) dt+

l_¿2+11_1 s

кФп

L+L n c iTs —Ag+Ti

^ —Ck.i—1D -/2П(т —t,) -

+ EE— e

i_l2 +1 k_1 ts

(t)e ■/2я(/к fn )(t T)dt

кФп

L +¿2

+

где р - величина нормализованной корреляции между г„1 и гп которая находится из выражения

E "г

n(i—1) e—j 24п (Ті —Ts )

iTs

^—Ag+Tl

+

l _L1+1

jal (t)dt

+nni.

(34)

iT.

r

iT

iTs +ts

n n

s

В (34) первый член характеризует желаемый информационный компонент сигнала, второй и третий члены означают интерференцию между поднесущими и межсимвольную интерференцию соответственно и четвертый член означает гауссовский шумовой компонент с нулевым средним 2 2

и мощностями а1 и ап , удовлетворяющими следующему уравнению:

+ ¿2

Къ =

I

і=1

.2

а

kM°n

2

(35)

Р

а

s1

2 2 2 а S2 + а + а

(36)

22 где аз1 - мощность сигнала; а6.2 - мощность меж-

символьной интерференции; а/ - мощность интерференции между поднесущими:

а1=±а; ]1 -(f )2

t 2

і=1

+

L +:L2 + I а2

i=L +1

f (L-bL j1 -Я )2 +t2 Jct

ал = I \1-(jfü У

> +

l=1

'І a l {1 -(f )

+ I а

i=l +1

L/! +:'2

(Ts -*i )2

■ +

I a (-Ag+ь у j 1 _ j )2 Lag+îI.1

+ I а

i=l+1

(38)

L Nsc Z'2/2

a = IIa2fs

£ґ 2(k - n)

к

+

+

L Nsc

II

i=1 к=1 к ^n

а

fD (Ts- ь)2 cosi2я(к - n )(Ts- ь)

LUb

2(k - n )

Л

ts

+

+ ■

fDtS (Ts - b )2 sin Г 2j(k - n )(Ts - b )

я

(к - n )

-sin

+

+ ■

fDts (Ts -b )\-f 2я(к - n)(Ts -b )

я

(к - n)

-sin

ts

+

\ s y

2 Г 2-Як - n)T )^

+ fX(Ts -ь)2 sinf 2^(к-n)(Ts -ь)

+ ■

я(к - n) 1

ts

+

■ + ■

3flts 2

2я2 (к - n)2 4я2 (к - n)4

f

X j1 - cos

2я(к - nfas -b)N

■ +

Подставляя (34) в (30), можно получить BER, но это было бы очень трудоемко. В случае, когда приемник использует всенаправленную антенну, величина р может быть рассчитана в общем виде уравнения с помощью уравнения .2

+ ■

fD (-^G + Ь ) cosf 2я(к - nX- ^G +Ti )

2(к - n)2

cos

+

+

fDts (- ^G + Ь

)\:і2я(к - n)(-Ag + Ь)

я

(к - n)

+ ■

■ + ■

sin

3flts 2

+

2я2 (к - n)2 4я2 (к - n)4

(

X j 1 - cos

2я(к - n)(-AG + b )

t.

(39)

Величина <Jj является функцией от n, т.е. мощность интерференции между поднесущими зависит от позиции рассматриваемой поднесущей. Поэтому, чтобы вычислить BER с большой точностью, необходимо вычислять (29) с учетом n.

Уравнения (36) - (39) справедливы для рэлеев-ского канала с замираниями при частотной и временной селективности. Поэтому, устанавливая fD в ноль, можно получить BER для частотноселективного рэлеевского канала с медленными замираниями (неселективный по времени), тогда как при установки L2 в единицу можно получить BER для частотно-неселективного (однородного) и вре-мя-селективного (быстрого) релеевского каналов с замираниями. Чтобы иметь BER в частотнонеселективном рэлеевском канале с медленными замираниями, установим нижние границы: fD = 0 и L2= 1 (см. (36) -(39)).

Тогда

1 км К

Р =

1 + а

/((1 - a g )а2 ) км К +1

(40)

При р = 1 можно аппроксимировать (29) в виде

Г)Б и £,differential b,fading

=1 (1 - р)

(41)

X

t

t

1

X

6

2

t

S

6

6

s

s

t

s

Тогда, подставляя (40) в (41), получим: 1

т)Б и ^differential ______

b,fading 2

f k тґ Л k.

1 --

M /

kM fb + 1

(42)

Это уравнение эквивалентно уравнению (23) для BDPSK.

Оптимальное число поднесущих и оптимальная длина защитного интервала

Когда заданы скорость передачи символов, частотная и временная селективность канала, то могут возникнуть условия, при которых передача может быть неоптимальной. Так, передача более чувствительна к временной избирательности при увеличении числа поднесущих, поскольку более широкая продолжительность символа менее надежна при случайных фазовых шумах [9].

Передача становится менее эффективной, когда длина защитного интервала увеличивается, так как передача сигнала в течение защитного интервала приводит к потере мощности, также передача становится более чувствительной к частотной селективности при уменьшении длины защитного интервала, потому что более короткий защитный интервал менее надежен при распространении задержки. Поэтому для данных R, TrmS и fD существуют оптимальные значения Nsc и AG и можно определить их, максимизируя корреляцию, приведенную в формулах (36) - (39).

Для проведения оценки вероятности появления битовых ошибок на языке математического программирования Matlab была написана программа-модель системы связи, основанной на технологии OFDM [8, 10, 13]. Данная программа, в соответствии с установками пользователя, осуществляет кодирование, моделирование и перемежение передаваемого сигнала, производит моделирование распространения сигнала по предустановленному каналу. Затем осуществляет прием, декодирование, демодуляцию, избавление от перемежения. Далее производится подсчет ошибочно принятых бит в зависимости от отношения сигнал / шум. Программа позволяет изменять такие параметры системы связи, как модуляция, количество поднесущих в каждом подканале, скорость кода, длина защитного интервала, системная ширина полосы частот и др. Результаты моделирования представлены на рис. 5 - 10.

Из рис. 5 и 6 видно, что увеличение числа под-несущих приводит к увеличению блоковой ошибки при одних и тех же значениях отношения сигнал/ шум, тогда как битовая ошибка меняется незначительно. Дело в том, что увеличение числа поднесу-

щих приводит к уплотнению каналов, что, в свою очередь сказывается на блоковой ошибке.

Рис. 5. Вероятность появления блоковых ошибок для различного количества поднесущих при =50 Гц и = 0,5 мкс

ного количества поднесущих при fd =50 Гц и trms = 0,5 мкс

личных типов модуляции при fd =5 Гц и trms = 0,5 мкс

Рис. 8. Вероятность появления битовых ошибок для различных типов модуляции при =5 Гц и ТщМ8 = 0,5 мкс

Рис. 9. Вероятность появления битовых ошибок при различной длине защитного интервала для БРБК манипуляции

Также, применяя различные схемы модуляции, можно в значительной степени изменять вероятность появления ошибок. Так, на рис. 7 и 8 показано, что увеличение позиций QAM-модуляции негативно сказывается на вероятности появления битовых и блоковых ошибок. Видно, что при малых отношениях SNR наиболее оптимальным выбором позиций модуляций является выбор их наименьшего количества, а уже с увеличением отношения сигнал/шум возможно использование наиболее скоростных вариантов модуляции при схожих значениях вероятности появления ошибок.

Аналогично, изменяя величину защитного интервала, можно в некоторых пределах изменять и качественные показатели системы. Необходимо учесть, что большой защитный интервал уменьшает скорость передачи данных, так как занимает часть полезного времени передачи информации, но позволяет избежать большого количества ошибок при передаче в неблагоприятных условиях при низком отношении сигнал/шум. Данное утверждение хорошо согласуется с приведенными на рис. 9 и 10 зависимостями вероятности битовых ошибок от отношения сигнал / шум при различных длинах защитного интервала и для разных схем манипуляции

BPSK и QPSK. Также из рисунков видно, что наиболее применяемый в настоящее время защитный интервал GI = 1/4 имеет высокие показатели вероятности битовых ошибок для обоих видов манипуляций при больших отношениях сигнал / шум. Следовательно, при оптимальном SNR возможно использование более коротких защитных интервалов.

Рассмотрев прохождение сигнала OFDM с различными видами манипуляции по рэлеевскому каналу с замираниями и оценив вероятность появления ошибочных бит, можно сделать выводы, позволяющие оптимизировать значения BER и BLER на всем промежутке SNR:

1) при низких значениях SNR необходимо использовать возможное минимальное количество поднесущих;

2) для сохранения допустимого качества обслуживания при низком отношении сигнал/шум необходимо уменьшать количество позиций модуляции и увеличивать их при увеличении SNR.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kulkarni G. Subcarrier Allocation and Bit Loading Algorithms for OFDMA-Based Wireless Networks. // IEEE Transactions on Mobile Computing, vol. 4, No. 6, pp. 652 - 662, Nov.-Dec. 2005.

2. Masoud O. Spatial processing, power control, and channel allocation for OFDM wireless communications. // Dissertation submitted to the Faculty of the Graduate School of the University of Maryland, College Park in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy, 2003.

3. Proakis J.G. Digital Communications, Fourth Edition. // New York: McGraw-Hill, 2001.

4. Ramjee P. OFDM for Wireless Communication. // Ar-tech House Publishers, 2004.

5. Richard V. N. OFDM Wireless Multimedia Communication. / V.N. Richard, P. Ramjee // Artech House Publishers, 2000.

6. Wong C.Y. Multiuser OFDM with adaptive subcarrier, bit, and power allocation. // IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 17, No. 10, pp. 1747 -1758, Oct. 1999.

7. Zhang Y.J. Multiuser adaptive subcarrier-and-bit allocation with adaptive cell selection for OFDM systems. // IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 3, No. 5, pp. 1566 -1575, Sep. 2004.

8. http://ieeexplore.ieee.org/

9. http://www.itu.int/

10. http://www.4g.co.uk/

11. http://3g4g.blogspot.com/

12. http://www.3g4g.co.uk/

13. http://matlab.exponenta.ru/

Поступила 20.06.2009 г.

Рис. 10. Вероятность появления битовых ошибок при различной длине защитного интервала для QPSK манипуляции