CC BY
69
Том XXXV
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 4
№ 1 — 2
УДК 532.526.5.011.7 533.6.013.2.011.5
ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭФФЕКТОВ НА ОТРЫВ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ГАЗА С КОРМОВОЙ КРОМКИ
ОБТЕКАЕМОГО ТЕЛА
Р. Я. ТУГАЗАКОВ
Явление отрыва вносит значительные поправки как при определении силовых характеристик летательных аппаратов, так и при оценке теплопередачи к его поверхности. В данной статье приводится теория нестационарного отрыва потока идеального газа с кормовой части тела при сверхзвуковом его обтекании. Основной гипотезой для построения теории послужило предположение о квазиодномерности потока газа в пристеночной области перехода от стационарного течения к нестационарному. Это позволило свести двумерную нестационарную задачу к двум задачам взаимодействия одномерных потоков газа, изучаемых в рамках теории распада произвольного разрыва. В работе теоретически определены силы, вызывающие отрыв в зависимости от величины раствора угла 0, моделирующего кромку тела, и скорости набегающего потока газа. Найдены углы 0*, при которых происходит отрыв потока с кромки тела, и углы срыва потока 0„ вдоль которых движется оторвавшийся газ.
Численно показано, что при 0^ < 0 < 0* отрыв потока газа происходит с боковой поверхности обтекаемого тела. Для 0 > 0* получено эмпирическое соотношение, описывающее величину донного давления и угла срыва потока в зависимости от параметров задачи.
В идеальной постановке явление «невязкого» отрыва связано с вихревой пеленой или тангенциальным разрывом, которые, как следует из эксперимента, свертываются в виде спиралей. Общее уравнение, описывающее эволюцию вихревой пелены в идеальной жидкости, дано
А. А. Никольским [1]. В данной работе изучаются «невязкие» отрывные течения, реализующиеся при нестационарном обтекании выпуклого угла сверхзвуковым потоком газа, когда к вершине угла, помимо веера разрежения, примыкают контактный разрыв и сдвиговый слой смешения. Для двух видов задач, отличающихся начальными и граничными условиями, определены границы перехода от безотрывного течения газа к отрывному по числу М набегающего потока и величине раствора угла.
В первой задаче набегающий поток газа инициируется ударной волной, огибающей выпуклый угол. В такой постановке задача рассматривалась, например, в [2] — [5]. Работа [2] явилась одной из первых, посвященных этой проблеме, где была выдвинута гипотеза, позволяющая для определенных режимов течения найти угол срыва потока. В дальнейшем эта проблема более полно рассмотрена экспериментально рядом авторов в работах, представленных в монографии [3]. Изучение данной задачи проведено и численными методами [5], где приведены результаты детального исследования дифракции ударной волны на выпуклом угле 90° методом Годунова второго порядка точности. Следует отметить, что расчеты для 90° дают хорошее соответствие с экспериментальными данными в описании течения газа, разрывов и возникающих вихрей везде, кроме окрестности угловой точки.
Во второй задаче рассматривается внезапное движение выпуклого угла со сверхзвуковой скоростью вдоль одной из поверхностей, образующих данный угол. Решение этой задачи в полной постановке автору неизвестно, хотя она при определенных предположениях моделирует интересный и важный для аэродинамики процесс образования вихря и отрыв потока газа на кромке крыла при внезапном изменении его угла атаки [6] — [7]. Данная задача отличается от задачи дифракции на выпуклом угле [2] — [5] тем, что она не зависит от начальной энтропии, порождаемой набегающей ударной волной. Это упрощает картину течения в переходной зоне, где сталкиваются два разных потока, и позволяет свести двумерную задачу о распаде произвольного разрыва, происходящего в вершине угла, к задаче последовательного взаимодействия двух одномерных разрывов. Безотрывное решение задачи о внезапном движении вогнутого угла дано в [8].
Сравнение течений газа с вязким и «невязким» отрывами для тел одинаковой формы приведено в [9], где показано, что это два принципиально разных явления, отличающиеся друг от друга причиной отрыва потока газа. Анализ работ [2] — [5], [9] показывает, что для данных нестационарных задач нет теории, объясняющей отрыв потока идеального газа от обтекаемой поверхности [10], хотя экспериментальные и численные результаты в рамках нестационарных уравнений Эйлера достаточно точно описывают картину отрыва.
В настоящей работе приводится теория, дающая количественную оценку величины угла, после которого происходит отрыв потока в зависимости от числа М набегающего потока. Показано, что для больших величин раствора угла на границе переходной области образуется сильная ударная волна, в которой ускоренный поток газа после веера разрежения становится звуковым. Это приводит к передаче информации в виде повышенного давления в угловую точку, где происходит распад двумерного произвольного разрыва [11]. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа построена в рамках последовательных взаимодействий одномерных потоков газа.
1. Данную задачу можно рассматривать в общем аспекте. Известно, что при обтекании выпуклого угла АОВ (рис. 1, а) сверхзвуковым потоком идеального газа, движущегося вдоль оси х, возможен безотрывный режим обтекания, когда газ, разгоняясь, разворачивается в веере
Рис. 1. Общая картина течения газа при дифракции сильной ударной волны на
выпуклом угле:
а) схема отрывного течения в вершине угла; б) дифракция ударной волны на угле 45°; в) отрывное
течение газа на угле 90°
Рис. 2. Картина течения газа при охвате сверхзвуковым потоком газа выпуклого угла: а) расположение волн и областей с кусочно-постоянными решениями для малых углов; б) образование высокоэнтропийной зоны ЛА^Е при обтекании угла в 60°
разрежения СОВ и движется параллельно стороне ОВ, и отрывный, когда газ разворачивается в веере на меньший угол и движется вдоль тангенциального разрыва ОЕ [12]. При этом газ в области ВОЕ покоится или движется с дозвуковой скоростью, а на линии тангенциального разрыва развивается неустойчивость Кельвина — Гельмгольца, приводящая к ее разрушению. Выбор конкретного режима обтекания зависит от условий течения ниже точки О. В данной задаче при обтекании угла АОВ нестационарным потоком газа в начальный момент времени образуется возмущенная область (аналогичная области конуса Маха), которая для малых 0 (величина его измеряется от оси х по часовой стрелке) сносится от вершины О со сверхзвуковой скоростью. В этом случае в вершине О реализуется безотрывный режим обтекания. С увеличением 0 до определенных значений в возмущенной области образуется интенсивная ударная волна, которая движется
к точке О, преодолевая сопротивление сверхзвукового потока, движущегося из вершины О. Эта ударная волна приносит информацию из возмущенной области АВСД в точку О, в результате чего в ней происходит переход от безотрывного режима обтекания к отрывному.
Рассмотрим общие картины течения газа, полученные по результатам численного счета. На рис. 1, 2 сплошные кривые соответствуют изобарам, а пунктирные — изохорам. Стрелки указывают направления движения ударной волны и потока газа. Основными параметрами газа являются: р — давление, Я — плотность, отнесенные к их значениям в невозмущенном газе, М — число Маха, Q — скорость потока газа и у — показатель адиабаты. Для каждой из рассматриваемых
в задаче областей параметры течения взяты с индексом или без него в соответствии с номером данной области.
Случай, когда ударная волна СВВ, движущаяся вдоль оси х, огибает угол АОВ (0 = 45°) в безотрывном режиме, представлен на рис. 1, б. Для данной автомодельной задачи картина течения представлена в момент ^ =1. Здесь СВ — невозмущенная часть падающей ударной волны, ВВ — деформированная ударная волна, ОВ — контактный разрыв, Е¥ — внутренняя ударная волна, О¥Е1 — веер разрежения. Когда угол 0 мал, область Е¥ВВО представляет собой след конуса Маха, где течение в автомодельных переменных £, = х^ и п = у!^ является дозвуковым.
В этом случае граница Е¥ является предельной характеристикой. Для больших 0 из-за существенной нелинейности задачи Е¥ превращается в ударную волну большой интенсивности. Природа образования ее ясна и описана в квазистационарной постановке в [2]. С точки зрения нестационарного взаимодействия это можно объяснить следующим образом. Сверхзвуковой поток газа за набегающей ударной волной, разворачиваясь и ускоряясь в веере разрежения, движется
вдоль стенки ОЕ. В то же время поток газа за дифрагированной волной ВВ замедляется из-за ее ослабления. В результате два потока, движущиеся вдоль поверхности ОВ, сталкиваются. При этом линии Е¥ и ВВ являются границами, данной области взаимодействия. Как отмечено выше, данная задача исследована в [2] — [5], поэтому опишем только те моменты, которые относятся к предотрывному режиму течения и не отмечены в предшествующих работах. Это, в частности, касается поведения ударной волны ЕЕ1¥ около поверхности ОВ. В идеальном газе, когда в области ОЕ1Е поток однородный, волна ЕЕ1 подходит перпендикулярно к поверхности ОВ. В эксперименте, однако, всегда существует пограничный слой вдоль поверхности ОВ, что вызывает бифуркацию ударной волны ЕЕ1 [2] и отрыв потока от поверхности. При этом ударная волна ЕЕ1 убегает вперед и занимает положение, отмеченное пунктирной прямой. В численных расчетах это явление также реализуется из-за сильной особенности в точке О при расчете параметров
в ней конечно-разностным методом [5]. Здесь образуется энтропийный слой, действующий на движение ударной волны так же, как и пограничный слой. Однако, если в расчетах устранить неточность в вычислениях плотности (энтропии), то волна ЕЕ1 подходит перпендикулярно к ОВ, что является в настоящей работе одним из основных положений, используемых для расчета величины угла, при котором происходит срыв потока с вершины угла.
С увеличением угла 0 интенсивность волны Е¥ возрастает так, что она приближается к вершине О. Это приводит к перестройке режима обтекания в отрывный (рис. 1, в). Здесь ¥¥1 — внутренний скачок, связанный с вихрем ¥, который движется вдоль слоя смешения О¥. В центре вихря имеем минимум давления и плотности и максимум энтропии. Газ разворачивается вокруг вихря по часовой стрелке и движется в области вершины с малой дозвуковой скоростью к точке О. Над слоем смешения О¥ газ движется от вершины со сверхзвуковой скоростью.
Рассмотрим вторую задачу, когда газ обтекает выпуклый угол при внезапном движении его вдоль стороны О1О со сверхзвуковой скоростью Q (рис. 2, а), что равносильно задаче о внезапном охвате порывом газа задней кромки обтекаемого тела. В случае малых 0 область возмущенного газа АВЕ1СВ при прохождении через вершину О ограничена предельными характеристиками АВ, СВ и участком простой волны ВС. Внутри области находится слабый контактный раз-
рыв ЕЕ1. Параметры газа в области 1 находятся (при безотрывном режиме) при развороте потока в веере разрежения при заданных М и 0. В области 2 параметры течения находятся при прохождении через простую волну, образующуюся при движении поршня с отрицательной скоростью ир = Q 8Ш0. При этом скорость в области 2 (относительно вершины О) равна Q2 = Qcos0, а величины энтропии в областях 1 и 2 равны ее значению в набегающем газе. С ростом 0 параметры течения в областях 1 и 2 существенно различаются, скорость Q1 растет, Q2 падает. В этом случае область АВСВ (рис. 2, б) ограничена сильными разрывами АВ, ВС и СВ, которые ограничивают возмущенное течение газа при столкновении в данной области двух потоков газа с однородными параметрами. Внутри области реализуется контактный разрыв конечной интенсивности Е¥.
Конечно, надо учитывать, что динамика течения в области АВСВ (в момент ^ > 0) разыгрывается в точке О, где осуществляется излом поверхности. Это вносит двумерность в характер течения газа в области, если даже оно формируется при столкновении одномерных потоков. Однако заметим, что характер течения около поверхности АЕВ в области АВСВ близок к одномерному. Это следует из теоретического анализа течения: ударные волны АВ, СВ и контактный разрыв Е¥ перпендикулярны к поверхности и течение за ними одномерное; величина энтропии вдоль участков поверхности АЕ и ЕВ постоянна, как вдоль линии тока в автомодельных переменных £, = хН и п = у^. Двумерность в характер распределения параметров течения в АВСВ привносится из верхней части области ВС, где взаимодействуют стационарный веер разрежения ОВ и простая волна. Максимум этого влияния приходит в область особой точки Е (рис. 2, а), куда сходятся изэнтропы АЕ, ВЕ, ЕЕ1, ЕС, ЕВ. В результате вдоль линии тока на участках АЕ и ЕD происходит незначительное изэнтропическое перераспределение параметров течения. Это видно из анализа численных результатов течения вдоль поверхности АВ, где величины давления и плотности
изэнтропически меняются в пределах 3 — 5%. Изэнтропический характер поведения параметров течения наблюдается и вдоль поверхности ЕОВ (рис. 1, б) в задаче обтекания угла ударной волной. То есть в данных нестационарных задачах при обтекании угла ударным способом происходит образование потоков газа (области 1, 2, рис. 2, а), которые взаимодействуют между собой. При этом для малых значения параметров течения в областях 3 и 4 (рис. 2, а) мало отличаются от их значений в области 1, а число М1 ~ М3, вычисленное относительно вершины угла, больше 1. С увеличением 0 до углов п орядка 60° образуется ударная волна АВ с интенсивностью около 20,
а число М3 уменьшается до 1. В этом случае энтропийные возмущения из области 4 начинают влиять на течение в окрестности точки А. На рис. 2, б приведена картина обтекания потоком газа с М =1,5 угл£0 = 60 ° в виде линий постоянной плотности. Видно, что в этом случае точка Е приближается к точке А, при этом ЕВ является изэнтропой. За сильно деформированной ударной волной АА1В на участке АЕ образуется область высокой энтропии, которая простирается в вихревую область ¥, образовавшуюся из точки Е (рис. 2, а) из-за нелинейных эффектов. Действительно, при увеличении0 параметры газа в точке Е претерпевают сильный разрыв, что приводит
к перестройке типа течения в этой точке. При 40° (для данного варианта) линия тока с высокой энтропией, проходящая через ударную волну АВ в точке А, под противодействием линии тока ЕВ с низкой энтропией начинает отходить от поверхности ОВ, совершая петлю в области вихря ¥. То есть происходит всплывание особенности типа точки Ферри, которое для 0 = 40° почти не деформирует первоначальную волну АВ (рис. 2, а). Для 0 = 60°, когда М3 близко к 1, на поверхности ЕВ под вихрем ¥ образуется область торможения, где часть газа движется в сторону вершины угла. В результате этого газ в полосе АЕ¥А1 имеет сильный градиент скорости и представляет собой слой смешения, оторвавшийся от поверхности.
При увеличении 0 до значения 0 к, когда происходит срыв потока с вершины угла, объем газа с высокой энтропией движется к точке О. При этом объем газа, включающий вихрь ¥, движется медленнее, так как в этой части течения волна А1В взаимодействует с волной разрежения и частично гасится. Другая же часть газа, расположенная за ударной волной около поверхности АЕ, при увеличении 0 перемещается быстрее, так как интенсивность ударной волны максимальна в точке А. В результате при) = 0 к газ, расположенный в области АЕ, достигает вершины угла. Полоска высокоэнтропийного газа АЕ¥А1 превращается в слой смешения, который соединяет точку О
с вихрем ¥, являясь узкой угловой областью, где течение зависит только от угла поворота потока. Вдоль этого слоя происходит срыв сверхзвукового потока газа, прошедшего через веер разрежения, а в нижней части между слоем смешения и поверхностью ОВ газ движется к вершине угла.
При 0 = 0 к условие М3 = 1 означает, что в точку О приходит изэнтропа из области 4 и происходит срыв потока газа с вершины О под углом 0я, а при 0 < 0к отрыв происходит с боковой поверхности. Следует отметить, что пр0[ >0 к величина 0 я зависит от углгб и может быть определена для данных М и 0 лишь эмпирически.
Для определения величины0 к, при которой начинается срыв потока газа с вершины угла, необходимо выполнить второе условие: скорость В13 ударной волны АА1 должна быть не меньше скорости потока в области 1, т. е. волна АА1 не должна сноситься потоком газа от вершины угла.
Так как для решения задач, где в малой области (в вершине угла) происходит градиентная катастрофа, нет общего подхода, то, анализируя параметры течения в рамках гипотезы, предложенной в работе, покажем, что два условия: М3 = 1 и В13 = Q1, и определяют угол срыва потока 0я и значение угла 0 к, когда для данного числа М происходит срыв потока газа с вершины угла.
2. Из сказанного выше о характере поведения параметров течения вблизи стенки в областях 1 — 4 можно констатировать, что решения в областях 3 и 4 на поверхности тела в районе примыкания ударных волн находятся как результат столкновения двух однородных потоков с параметрами: р1, Я1, Q1 и р2, Я2, Q2, которые при заданных М и 0 легко находятся. Следовательно, для двух состояний газа необходимо найти решения в следующий момент времени по формулам
Рис. 3. Поведение S и М в областях 3 и 4, вычисленных по схеме столкновения потоков из областей 1 и 2:
а) кривые 1, 2 — первая и 3, 4 — вторая задачи; б) уменьшение величины М3 до 1 при 0= для второй задачи
распада произвольного разрыва. В частности, при фиксированном значении М, меняя величину 0, можно найти значения 0я и 0к.
Исследуем поведение параметров течения газа в области 3 при увеличении 0 для разных значений М, полученных как результат столкновения двух потоков. На рис. 3, а приведены кривые, описывающие поведение энтропии в областях 3 и 4 (кривые 1 и 2 для первой и 3 и 4 для второй задач соответственно) как функции угла 0. В первом случае для кривых 1 и 2 начальные данные определяются потоком за ударной волной с р = 17 (М = 1,53, S = 2,08), во втором — движущимся потоком с М =1,5 (р = 1, 5=1). Видно, что с ростом величина энтропии за ударной волной СВВ (рис. 1, б) падает от своего начального значения 2,08 до 1 при и 64 °. То есть, при движении вдоль ударной волны СВ от точки В к В интенсивность падающей волны падает до 1 при значении угла 64°. Формально при0 > 64 ° пристеночная часть ударной волны должна бы выродиться в звуковую или стать волной разрежения. Но в этом случае скорость движения фронта этой части волны определялась бы только скоростью невозмущенного газа в области 2 и не зависела бы от дальнейшего увеличения угла раствор), что не соотве тствует физике течения. Этот момент указывает на то, что при 64 ° поток должен перестроиться.
Действительно, численные расчеты показывают, что при отрывном режиме (рис. 1, в) часть газа, разворачиваясь вокруг вихря ¥, движется к вершине О, в то же время другая часть газа, натыкаясь на поверхность ОВ, разворачивается и течет за ударной волной СВВ. Значит, на участке поверхности ОВ существует точка растекания. В результате такого движения газа пристеночная часть волны СВВ при
0 > 64° все время остается слабой ударной волной.
Совсем по-другому ведет себя кривая 1, описывающая величину энтропии за ударной волной ЕЕ1. Видно, что при росте0 до 64 ° величина энтропии увеличивается в несколько раз по сравнению с начальным ее значением. Таким образом, при увеличении0 в точке Е реализуется сильная ударная волна, но это происходит в большей степени из-за значительного падения давления в области 1.
Поведение кривых 3 и 4 для второй задачи показывает, что граница СВ (рис. 2, а) является слабой волной, поэтому при измененйюнтропия 54 практически совпадает с начальным
значением 1 . В то же время граница АВ при 0 > 64° представляет собой сильную ударную волну, где 53 значительно возрастает.
Рассмотрим, как возникновение сильной внутренней ударной волны меняет величину М3. На рис. 3, б показано поведение числа М3 как функции угла 0 для нескольких вариантов второй задачи с начальными числами М = 1,01; 1,3; 1,5; 2 и 3 (кривые 1 — 5). Видно, что М3 возрастает с увеличением 0, а затем уменьшается и при определенных значениях ^ для каждого варианта задачи становится равным 1. Эти значения 0Х и определяют величину угла срыва потока в каждом варианте задачи.
Анализ кривых показывает, что М3 становится равным 1 раньше для меньших М. В то же время при М = 2,5, когда происходит отрыв потока газа, угол достигает максимального значения 65,3°. При увеличении М до 5 и 6 угол 0Х = 53,35° и 45,4°.
3. Данные рис. 3, б позволяют получить зависимость угла отры0а ^ от числа М для рассматриваемой задачи в виде кривой 2 на рис. 4. Аналогичная зависимость для первой задачи на данном рисунке представлена кривой 4. Отметим, что кривая 4 построена в диапазоне чисел
1 < М < 1,89, так как максимальное число М за сильной ударной волной равно 1,89 (у = 1,4).
Условие равенства скоростей В13 = Q1 для первой и второй задач представлено на рис. 4 в виде кривых 3 и 1. Все кривые 1 — 4 получены по указанной ранее схеме: при известном числе М и заданном) находились значения параметров в областях 1 и 2, а затем, используя эти значения как начальные данные, по формулам распада произвольного разрыва [13] находились решения в областях 3 и 4. Для выполнения условий 1 и 2 при заданном М варьировалась величина угла 0.
Для сравнения теоретических результатов (кривые 1 — 4) с
экспериментом и данными численного моделирования на рис. 4 построена кривая 5, описывающая угол срыва 0 ^ при
фиксированном 0 к = 65° в первой задаче. То есть выбрана величина угла, близкая к минимальному, когда срыв потока газа происходит с его вершины. В этом случае кривую 5 можно сравнивать с кривой 4, которая до М3 ~ 1,2 находится выше кривой 5 на 1 — 2°. Такое совпадение наблюдается и для кривой 3, если построить зависимость 0к от М, взятую из эксперимента и численного счета. Таким образом, в рамках предложенной гипотезы условия 1 и 2 для первой задачи с достаточной точностью описывают угол 0 к, при котором начинается срыв потока с вершины угла, и величину угла срыва 0Ж.
Для второй задачи кривые, описывающие 0 к и 0 й расположены значительно выше, чем для первой задачи.
Это объясняется тем, что в области 2 во второй задаче присутствует компонента скорости вдоль поверхности ОВ при 0 < 90 °. Эта скорость направлена в противоположную сторону движения газа около вихря ¥ и тем самым ослабляет его интенсивность. Данный эффект описан в [14]. При0 = 90 ° скорость Q2 становится равной нулю, и величина0 ж в данном случае уменьшается почти до значений, соответствующих дифракционной задаче. Картина течения в области вершины угла для второй задачи при 0 = 90° похожа на рис. 1, в.
Для сравнения теоретических значений, описываемых кривыми 1 и 2, в работе рассчитано течение газа, движущегося с М = 1,2 и 1,5 около угла0г= 75 °. Эта величина ближе к0 к = 73°
при М = 1,5, чем й к = 69° при М = 1,2. Этим объясняется, что при М = 1,5 расчетные данные (кружки) лежат ближе к кривой 2, чем при М = 1,2. Характер изменения кривых 1 — 4 на участке 1,1 < М <1,5 таков, что для фиксированных значений малых изменениях числа М происходит отрывное или безотрывное течение газа. То есть, если в набегающем потоке число М
0
60
40
1
/2- 2
~~~
/V 4 5
М
Рис. 4. Кривые 0к (1, 3) и 0^ (2, 4) в зависимости от М набегающего потока, найденные по теории; кривая 5 — экспериментальные данные из [3]; о — полное численное моделирование
Рис. 5. Фрагменты полей, равных Я, Q, S, V(а — г), с интервалом изменения 5 % для дифракционной задачи при р = 17 (М = 1,53) и 0 = 63°
меняется по времени или в набегающем потоке существуют неоднородности, которые незначительно меняют число М, то при обтекании угла происходит чередование по времени отрывного и безотрывного режимов течения. Причем малые изменения М вызывают глобальную перестройку течения с конечными приращениями всех его параметров. В поле течения зарождаются волны и вихри, которые являются источником шумов в донной части обтекаемого тела [15].
4. В результате отрыва потока от поверхности ОВ (рис. 1, в) происходит перестройка течения в окрестности вершины угла так, что поток разворачивается в веере разрежения на меньший угол, возникает слой смешения и контактный разрыв. Интенсивность ударной волны ЕЕ1, которая до отрыва тормозит поток, частично гасится волной разрежения, а сильные энтропийные возмущения, вызванные ударной волной, не могут исчезнуть при взаимодействии и распространяются в слое смешения, формируя вихрь Е. Оценки, взятые из прямого численного моделирования, показывают, что величина S в центре вихря для данного р близка к значению S3, взятому за ударной волной ЕЕ! (рис. 1, б) при 0 , близких к 64°. То есть при пересечении слоя смешения АЕ и контактного разрыва (рис. 1, а) с переходом из области 1 в 6 величина S не просто падает от S1
до S6, а возрастает до S3, а затем падает до S6 .
Из-за влияния возмущений в дифрагированной области на течение газа в вершине угла при 0 > 0^ теоретически нельзя определить угол0 (рис. 1, а), вдоль которого течет газ. Поэтому для определения картины течения используется прямое численное моделирование течения газа в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Расчеты проводятся двухшаговым методом Лакса — Вендроффа [11] в прямоугольной системе координат в поле размером 500 х 500 ячеек.
Сравнение результатов расчета данной работы и [5] для первой задачи показывает, что при отрывном режиме обтекания, когда! = 90°, общая картина течения (рис. 1, в), величины0 ^ и давления отрыва совпадают. Решение первой задачи для предотрывного диапазона значений0 представлены в виде фрагментов полей Я, Q, S, V на рис. 5, где интервал изменения изолиний, если специально не оговорено, составляет 5%. На рис. 5, а — г приведено решение задачи для 0 = 63° и р = 17 (М = 1,53). Для удобства картина течения на рисунке повернута по часовой стрелке так, что поверхность ОВ совпадает с осью у. Для случая, когда М3 < 1 и Q1 > В13, видно, что произошел отрыв высокоэнтропийного потока с боковой поверхности в виде полоски газа, расположенной между ударной волной ЕЕ1 и контактным разрывом ОЕ (рис. 5, а). При изгибе волны ЕЕф
в точке Е1 после наклонного скачка появляется сверхзвуковая касательная составляющая
скорости, которая превращает полоску высокоэнтропийного газа пристеночной области ЕО в сдвиговый слой, направленный в центр вихря Е. То есть линия Е1Е ограничивает сверху высокоэнтропийную область, что видно на рис. 5, б, в, где приведены изолинии скорости и энтропии. На рис. 5, г представлены изолинии компоненты скорости V, направленной в набегающем газе вниз по оси у (пунктирные кривые). Видно, что область положительных V (сплошные кривые) состоит из части ядра вихря Е и массы газа, захватываемой вихрем вплоть до боковой поверхности угла ОВ. Границей, разделяющей газ с разными знаками V является мгновенная линия тока с нулевой скоростью газа, которая пересекает боковую поверхность угла в двух точках, где реализуются сжатие газа и его растекание.
Расчеты для второй задачи при тех же М 0и показывают, что угол 63 ° для второй задачи
меньше, чем для первой. Вихрь Е в этом случае расположен ближе к поверхности ОВ и его интенсивность меньше.
Расчеты для обеих задач пр0и = 75° и М = 1,5, когда срыв потока газа происходит с вершины угла, показывают, что угол срыва0 ж для дифракционной задачи меньше, чем в задаче о порыве газа около выпуклого угла.
5. Численные расчеты и результаты эксперимента указывают на простой вид отрывного течения газа около вершины угла. Это позволяет представить простую эмпирическую зависимость угла срыва 0Х от числа М набегающего газа и величины раскрытия угла при 0 > 0к.
На рис. 1, а видно, что после веера разрежения давление постоянно до боковой поверхности угла. Слой смешения представляет собой узкую область (линию), к которой внизу примыкает контактный разрыв. Решения для скорости и плотности потока представляются кусочнопостоянными функциями вне области смешения. Это позволяет написать уравнение сохранения импульса для области ОВЕ, указанной на рис. 1, а. В данном случае течение в окрестности вершины угла не является потенциальным из-за сильного скачка завихренности на линии срыва OE. Как показано ранее, отрыв потока происходит из-за действия вихря Е на газ, движущийся после веера разрежения COD. В результате часть потока в области ВОЕ тормозится, т. е. на линии срыва происходит потеря импульса. Отметим, что ситуация аналогична ламинарному
обтеканию тела вязким газом, когда торможение газа в следе и сила сопротивления,
действующая на тело, обусловлены кинематической вязкостью [12]. В данном случае сила сопротивления возникает из-за вихревой вязкости. Тогда по аналогии для силы сопротивления, действующей вдоль линии срыва OE, можно написать:
Ес = OEp11 q2 dz, (5.1)
где р1 — плотность газа после веера разрежения, q — скорость в слое смешения. Интегрирование в (5.1) производится по нормали к линии OE. Так как слой смешения тонок, то считаем, что скорость q меняется вдоль него по линейному закону:
q = [ z (^ - q6)+q6й]/h. (5.2)
Здесь q1, q6 — скорости в областях 1 и 2, h — толщина слоя смешения, г меняется от 1 до h.
Подставив (5.2) в (5.1) и проинтегрировав по толщине слоя смешения, получим:
Ес = Л2 + q2 - ^OE, (5 3)
где qk = q6cos(9-9^) — касательная составляющая скорости q6 вдоль OE. Данная сила сопротивления уравновешивается силой, действующей со стороны вихря на площадку BE:
Е = BE(p1 +P6q62), (5.4)
2
где р6 — плотность газа в области 6, величина р6 q6 составляет 1 — 3% от р1.
Тогда с точностью до постоянной Ь1 проекции сил Ес и Е1 на направление, перпендикулярное движению ударной волны, уравновешивают друг друга. Определив BE и OE из треугольника BOE, напишем условие равенства этих сил в проекции на ось у:
Рис.6.
а) Поведение донного давления (кривые 1 — 3) и угла срыва потока 0, (4 — 6) в нестационарной задаче для р = 7, 17, 37; формула 5.5 — сплошные линии; значки — эксперимент [3]; б) вычисление Ср (1, 2) и 05 (3, 4) по формуле 5.5 для стационарной задачи обтекания уступа (1, 3) и уступа
за клином с углом раствора 30° (2, 4) в зависимости от М; о — эксперимент [18]
ьр вш 0 8т(0-е,) = Р1 «2 + «\ - «« ]вт 0,. (5.5)
Эмпирическое уравнение (5.5) определяет угол срыва потока 0 , при заданных р и 0. Величины рь рь «1 находятся по изэнтропическим формулам для веера разрежения, если известен угол поворота потока) ,. Малая величина «6, учитывая результаты расчетов, бралась равной «6 *-0,1«1. Константа Ь1, входящая в левую часть (5.5), как и в задаче турбулентного обтекания угла жидкостью, находится из данных эксперимента или численного расчета. Для начальных
р = 7, 17, 37 имеем Ь1 = 6,7; 13,5; 22,2. Величина Ь1 в задаче пропорциональна начальной завихренности (энтропии) и в уравнении (5.5) увеличивает или уменьшает влияние вихря на процесс срыва.
На рис. 6, а приведены результаты расчетов по уравнению (5.5) для 65° < 0 < 120° ир = 7, 17, 37. Кривые 1 — 3 описывают поведение давления, а 4 — 6 — угла срыва. Значения давления и 0, указаны на оси ординат слева и справа рисунка. Сплошные кривые на рис. 6, а получены по (5.5); символы «+», «х» и «о» соответствуют результатам полного численного моделирования для р = 7, 17, 37 и = 70 °, 90°, 120°. Сравнение результатов численного моделирования п(0 , с экспериментальными данными [3] показывает их совпадение в пределах 1 — 3%, что находится в рамках погрешностей получения как экспериментальных, так и расчетных данных. Из рис. 6, а видно, что при малых 0 « 64° отрыв для р = 37 происходит при р ~ 3р0, в то же время при 0 > 90 ° величина р < р0, что соответствует [3]. Здесь и далее параметры с индексом «0» соответствуют невозмущенному потоку газа.
Уравнение (5.5) получено для квазистационарного течения газа в области ОБО с учетом силы, действующей со стороны вихря. Если отвлечься от природы этой силы, то данный подход можно применить к другим стационарным задачам для определения угла отрыва с острых кромок. К таким задачам относится обтекание уступа сверхзвуковым потоком газа [16], [17]. В [16] считается, что сила, вызывающая отрыв газа от угловой точки, возникает в результате отражения ускоренного в веере разрежения потока от стенки в виде волны сжатия. Эта величина давления инициирует отрыв. В [17] рассматривается обтекание не только прямоугольного уступа, но и уступа за клином. Для получения решения в [17] используется связь между сопротивлением
тела и увеличением энтропии в потоке. Но в обоих случаях схема течения газа в окрестности точки отрыва до контактного разрыва такая же, как в настоящей работе. Тогда, констатируя факт отрыва, независимо от природы сил, вызывающих отрыв, можно для определения угла срыва и донного давления за уступом применить (5.5) со своим значением Ь1. Это объясняется малым вкладом скоростного напора в величину полного давления в донной части. В результате имеем: сила,
не дающая развернуть поток в веере разрежения параллельно донной части уступа, т. е. вызывающая отрыв, определяется давлением р, которое получается после поворота газа на угол 0,.
На рис. 6, б приведены зависимости коэффициента давления ср = 2(р - р0)/Рои угла
срыва 0, от числа М набегающего потока за прямоугольным уступом (кривые 1, 3). Такие же зависимости для уступа за клином с углом раствора 30° даны кривыми 2, 4. В первом случае в (5.5) брались 0 = 90°,р = 1, М = М0, во втором — 0 = 105°, ар и М соответствуют параметрам при обтекании клина с углом 30° потоком с М = М0. Кружками на рис. 6, б нанесены экспериментальные данные [17] для прямоугольного уступа. Экспериментальные данные при обтекании уступа за клином практически ложатся на кривую 2 и здесь не приведены.
Заключение. В рамках модели идеального газа построена теория, описывающая отрыв нестационарного сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла. Для двух задач, отличающихся начальными и граничными условиями, теоретически определены значения угла 0к, после которого при данной скорости набегающего потока происходит срыв его с вершины угла, и значения угла0 ,, вдоль которого движется оторвавшийся газ для данной) к. Показано, что при
0, <0 <0к отрыв потока происходит с боковой поверхности угла.0 Для к представлена
эмпирическая зависимость для определения величины угла отрыва и донного давления.
Сравнение теоретических значений к и 0 , с данными численного моделирования и эксперимента дает совпадение в пределах 1 — 3°, что подтверждает достоверность принятой гипотезы об одномерности течения газа вдоль боковой поверхности угла.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 02-01-00757).
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела // ДАН СССР. — 1957. Т. 116, № 2.
2. Jones D. M., Martin P. M., Thornhill C. K. A note on the pseudostationary flow behind a strong shock diffracted or reflected at a corner//Proc. Roy. Soc. A. — 1951. Vol. 209, N 1097.
3. Баженова Т. В., Гвоздева Л. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. — М.: Наука. — 1977.
4. Баженова Т. В., Базаров С. Б., Булат С. В., Голуб В. В., Шульмейстер А. М. Экспериментальное и численное исследование ослабления ударных волн при выходе из плоского и осесимметричного каналов // Изв. РАН, МЖГ. — 1993, № 4.
5. Hillier R. Computation of shock wave diffraction at a ninety degrees convex edge// Shock waves. — 1991. Vol. 1.
6. Ekaterinaris J. A. Compressible studies on dynamic stall//AIAA-89-0024.
7. E r i c s o n L. E., King H. H. Rapid prediction of high — alpha unsteady aerodynamics of slender-wing aircraft // J. Aircraft. — 1992. Vol. 29, N 1.
8. Тугазаков Р. Я. Нестационарная задача о внезапном движении клина и конуса с до- и сверхзвуковой скоростями//Ученые записки ЦАГИ. — 1973. Т. IV, № 1.
9. Rhodes J. A., Lavante E. Comparison of inviscid and viscous separated flows // AIAA J. — 1990. Vol. 28, N 3.
10. Griffith W. C. Shock waves // J. Fluid Mech. —1981. Vol. 106.
11.Тугазаков Р. Я. Исследование задачи о распаде двумерного произвольного разрыва // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1989, № 2.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — М.: Наука. — 1988. Т. 4.
13. Годунов С. К., Семендяев К. А. Разностные методы численного решения задач газовой динамики // ЖВММФ - 1962. Т. 2, № 1.
14. Тугазаков Р. Я. Исследование схода газодинамического разрыва с кромки пластины в рамках уравнений Эйлера // Ученые записки ЦАГИ. —1987. Т. XVIII, № 1.
15. Антонов А. Н., Купцов В. М., Комаров В. В. Пульсации давления при струйных и отрывных течениях. — М.: Машиностроение. — 1990.
16. K o r s t H. H. A theory for base pressures in transonic and supersonic flow // J. Appl. Mech. —1956. Vol. 23.
17. Tanner M. Theoretical prediction of base pressure for steady base flow // Progr. Aerospace Sci. —1973. Vol. 14.
PyKonucb nocmynuna 27/XII2002 г.
