CC BY
9
DOI: 10.24143/2073-1574-2019-1-89-96
УДК [629.5.035-233.1-233.21:534.011] :621.3.018.411
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЖЕСТКОСТИ ДЕЙДВУДНЫХ ПОДШИПНИКОВ НА СОБСТВЕННУЮ ЧАСТОТУ ПОПЕРЕЧНЫ1Х КОЛЕБАНИЙ ВАЛОПРОВОДА СУДНА
Г. А. Кушнер, В. А. Мамонтов
Астраханский государственный технический университет, Астрахань, Российская Федерация
Одним из наиболее значимых факторов, влияющих на собственную частоту поперечных колебаний систем «вал - подшипник» скольжения, является коэффициент жёсткости подшипника. Необходимость учёта влияния неоднородности коэффициента жёсткости подшипника на собственную частоту обусловлена тем, что при износе подшипника изменяется модуль продольной упругости материала и, поскольку подшипник изнашивается неравномерно, возникает неоднородность распределения коэффициента жёсткости. Исследована задача по определению собственной частоты поперечных колебаний гребного вала судна, опирающегося на основание с переменным по длине коэффициентом жёсткости. Рассмотрено дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости. Отмечено, что в общем случае данное уравнение является уравнением четвёртого порядка в частных производных и не может быть проинтегрировано в квадратурах для произвольной функции распределения жёсткости по длине вала. Предложен численно-аналитический метод определения собственной частоты системы, основанный на аппроксимации функции распределения жёсткости кусочно-линейной функцией. Метод применён для вычисления собственных частот участка валопровода с учётом функций, описывающих изменение коэффициента жёсткости. Предложенный метод позволяет рассмотреть участок валопро-вода, заключенный в дейдвудный подшипник с учётом неоднородности распределения коэффициента жёсткости подшипника, и является основой для повышения точности нахождения истинной собственной частоты поперечных колебаний валопровода.
Ключевые слова: судовой валопровод, дейдвудный подшипник, коэффициент жёсткости, поперечные колебания, собственные частоты.
Для цитирования: Кушнер Г. А., Мамонтов В. А. Влияние неоднородности распределения коэффициента жесткости дейдвудных подшипников на собственную частоту поперечных колебаний валопровода судна // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. 2019. № 1. С. 89-96. DOI: 10.24143/2073-1574-2019-1-89-96.
Введение
Согласно требованиям мировых классификационных обществ расчёт поперечных колебаний валопровода судна является обязательным при проектировании и модернизации кораблей и судов. Существенное количество аварийных случаев, связанных с поломками гребных валов вследствие превышения предела усталостной прочности их материала, позволяет говорить о необходимости уточнения существующих методов расчёта колебаний [1].
Для расчёта поперечных колебаний валопровода судна составляются расчётные схемы, где дейдвудный подшипник моделируется, как правило, упругим основанием согласно модели Э. Винклера [2]. В большинстве используемых методов расчёта собственных частот валопровода коэффициент жёсткости дейдвудных подшипников считается постоянным по всей длине. Это оправдано только в случае, когда подшипник является новым. Для изношенных подшипников коэффициент жёсткости уже нельзя считать постоянным вследствие воздействия различных факторов. В изношенных подшипниках возникает неоднородность распределения модуля упругости материала и, соответственно, коэффициента жёсткости. При этом коэффициент жёсткости на концах подшипника может различаться в несколько раз [3, 4]. Такое расхождение делает невозможным применение классических схем для вычисления частот собственных колебаний вала [2, 5].
Следует отметить, что дифференциальное уравнение колебаний гребного вала, записанное с учётом переменного по длине вала коэффициента жёсткости, в общем случае не является интегрируемым, т. е. его решения не могут быть выражены через элементарные функции, как это можно сделать в случае однородного вала.
В работе предложен численно-аналитический метод вычисления частот валопровода с учётом неоднородности жёсткости материала подшипника. Этот метод, в отличие от метода Галёркина и его модификаций [6], не требует построения системы функций, удовлетворяющих условию ортогональности [7].
Идея метода основана на следующем наблюдении. Если считать, что жёсткость подшипника представляет собой линейную функцию от его длины, то соответствующее обыкновенное линейное дифференциальное уравнение имеет точное общее решение в виде суммы гипергеометрических функций. Так как всякую кусочно-непрерывную функцию можно аппроксимировать кусочно-линейными функциями, то, разбив вал на части, можно на каждой из этих частей коэффициент жёсткости считать линейной функцией и записать точное решение уравнения на этом участке. Для склейки соответствующих решений используются естественные условия гладкости и условия равенства моментов и перерезывающих сил.
Отметим, что гипергеометрические функции имеют широкую область применения при решении задач математической физики. В частности, они применяются для расчёта собственных форм колебаний неоднородных стержней и пластин [8].
Методика расчёта собственной частоты
Для рассматриваемой расчётной схемы приняты следующие допущения:
1. Участок гребного вала (0, L3) моделируется однородной балкой постоянного сечения с жёсткой заделкой, частично опирающейся на упругую опору;
2. Гребной винт заменяется сосредоточенной нагрузкой M0g на конце участка;
3. Дейдвудный подшипник представлен модифицированной моделью Э. Винклера с переменным по длине коэффициентом жёсткости k(x)u.
Расчётная схема (рис. 1) представляет собой балку постоянного сечения, которую можно разделить на три части: 1 - жёсткую заделку (в зависимости от конструкции валопровода может быть заменена на податливый шарнир); 2 - опирающуюся на кормовой подшипник переменной жёсткости; 3 - свободную балку с нагрузкой на конце.
3 2 1
L з L 2 L 1
с M0g
Рис. 1. Расчётная схема участка гребного вала
Дифференциальные уравнения колебаний гребного вала представим отдельно на каждом участке. На участке 2 < х < L2) уравнение имеет вид:
d2u d4u , s m0 —— + EJ —- + k ( x) u = 0, dt dx
(1)
где t, х - время и пространственная координата; и = х) - отклонение точки оси стержня с координатой х в момент времени t от положения равновесия; Ш - жёсткость материала вала; т0 - погонная масса вала.
На участках 1 (0 < х < Ll) и 3 (Ь2 < х < L3) уравнения имеют вид:
0
д 2u
_d4u
m0 HF+EJдй=0
(2)
Рассмотрим решение уравнения на участке 2. Для упрощения вычислений обозначим координаты участка 2 вала как х е [0, Ь]. Произведём перенормировку переменной х: х ^х/Ь.
Тогда концы вала будут иметь координаты х = 0 и х = 1, а уравнение (1) примет вид:
д2u EJ d4u 7 /т \
m0 —— +—:--- + k (Lx) u = 0.
0 dt2 L4 dx4 У '
(3)
Будем искать решение уравнения (3) в виде
u (t, x) = sin (pt) U (x).
(4)
Подставив (4) в (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для нахождения функции и:
JU(4)+( k (Lx )- m0 p 2 )U = 0.
(5)
Сначала рассмотрим случай, когда функция к(х) линейна:
k (х) = ах + Ь.
Тогда уравнение (5) примет вид:
U(4) +
aL (b - moР2 ) l4 ^
EJ
-x +
EJ
U = 0.
(6)
Введём новую переменную:
_ aL
x =-x +
EJ
(b - mp p2 ) L4 EJ
Концы вала имеют координаты:
xA =
(b - m0p2 )L4
EJ
xL =
l2
aL5 +(b - m0p2 )L4
EJ
Уравнение (6) примет вид:
U(4) + a4 xU = 0,
(7)
где и = и (х); а = ^^. 4 ! аЬ
Общее решение уравнения (7) выражается через гипергеометрические функции:
f
U = C^ F,
(
+C3 x20 F,
2 3 4 5'5'5
4 6 7;
4 5
a x 625
4 5 ^ a x
625
+ C2x 0 F3
45
3 4 6 a4x5
5 5 5 625
+
+ C4 x\ F3
45
6 7 8 a x
555
625
(8)
где С1, C2, С3, С4 - произвольные постоянные, а - обобщённые гипергеометрические функции [7]:
0 F3 ( К Ь2, b3;s ) = !-
п=0(Ь1)п (Ь2)и (Ьз)пп! '
(Ь)п = Ь(Ь +1)(Ь + 2)...(Ь + п -1). Ряды в правой части формулы (8) сходятся при любых значениях х.
Теперь рассмотрим случай кусочно-линейной аппроксимации. Отрезок L2) разобьём точками х0, ... , хт на части, не обязательно равные. На каждом из отрезков (хь хг+1) функцию ^х)
аппроксимируем линейной функцией ki (х) = ах + Ьi, где а, и Ь, - некоторые постоянные, зависящие от жёсткости упругого основания. Без ограничения общности будем считать, что aiФ 0. На каждом из элементарных отрезков (хг-, хг+1) уравнение (5) примет вид:
EJU(4) + {atx + b, - m0p2)Ut = 0.
(9)
При замене переменных в уравнении (9):
z = atx + bt - m0p2; V, ( z ) = U,
^ z - bj + m0p 2 ^
(10)
уравнение (9) примет вид:
ЕЛХ{ 4)( г ) + (г ) = 0. Его общее решение выражается через гипергеометрические функции:
V ( z ) = C 0 F3
f
2 3 4
5 5 5 625EJa 4
(
+ C3z 20 F3
V
4 6 7
5 , 5 , 5
(
+ C'2z 0 F3
V
3 4 6
5, 5 , 5
625EJa 4
+
Л
625EJa
f
+ C4z30 F3
' j
6 7 8
5 , 5 , 5
625EJa
' J
Выполнив преобразование обратное (10), получим общее решение уравнения (9) из функции У(г) с заменой г на ах + Ьi - т0р2.
Дальнейшие действия повторяют последовательность вычисления частот поперечных колебаний [9]: граничные условия на концах вала (определяются конструктивным исполнением валопровода) и условия стыковки решений в точках L1 и L2 приводят к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов С, С2, СЗ3, С4.
Для того чтобы полученная система уравнений имела ненулевое решение, определитель матрицы А, составленный из коэффициентов С1, С2, С3, С4, должен быть равен нулю:
det A = 0.
(11)
Условие (11) представляет собой трансцендентное уравнение относительно значения собственной частоты р, корни которого отвечают собственным частотам поперечных колебаний гребного вала.
Для оценки влияния закона распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты проведён численный эксперимент по расчёту участка гребного вала, опирающегося на кормовой дейдвудный подшипник. Расчёт произведён согласно рис. 1 по схеме, в которой система моделируется следующими основными параметрами:
n
s
5
5
z
z
5
5
z
z
4
4
Ь = 0,1 м; Ь2 = 0,92 м; Ь3 = 1,62 м; т0 = 245 кг/м.
Масса гребного винта, кг, с учётом увлекаемой воды: М0 + Мувл = 760. Гребной вал изготовлен из стали 35, для которой модуль Юнга, Па, Е = 2,06 • 1011. Диаметр гребного вала, м, D = 0,2; его осевой момент инерции, м4, 3 = 7,8•Ю-5; изгибная жёсткость вала, Нм2, ЕЗ = 1,61 -105; модуль Юнга материала подшипника, Па, Еп = 5 • 106.
График функции ^(х) представлен на рис. 2.
Рис. 2. Закон распределения коэффициента жёсткости по длине подшипника ^(х) Функцию ^(х) можно аппроксимировать следующей кусочно-линейной функцией:
х )=—1 • 107 х + 1,5 -107 для х е[0; 0,2];
2) (х) = -1,25-106 х + 1,32 •Ю7 для х е[0,2; 0,6]; Л1(3)(х) = —■4,54-106 х + 1,52 •Ю7 для х е[0,6; 0,82].
Численное решение уравнения (11) позволяет получить частоты собственных колебаний гребного вала.
Дополнительно произведём расчёт первой собственной частоты системы для линейно убывающей функции k2(x) и постоянной функции kз(x):
£2 (х ) = —3,24 -108 х + 1,59 -109; £3 (х) = 1,45 -107 Результаты расчёта приведены в табл.
Влияние распределения коэффициента жёсткости на значение собственной частоты
Параметры системы Закон распределения коэффициента жёсткости Значение собственной частоты системы p, с-1 Круговая собственная частота участка вала и, об/мин
Ь = 0,1 м; Ь2 = 0,92 м; Ь3 = 1,62 м; т0 = 245 кг/м; М0 + Мувл = 760 кг; Е = 2,06 • 1011 Па; ЕЗ = 1,61 • 105 Н • м2; Еп = 5 • 106 Па kw(x) = , xe [0,1; 0,3], ki(2)(x) = , xe [0,3; 0,7], ki(3)(x) = , xe [0,7; 0,92] 165,94 1 579
fe(x) = -3,24 ■ 108x + 1,59 ■ 109 171,24 1 630
k3(x) = const = 1,45 ■ 107 184,13 1 752
Путём проведения численного эксперимента установлено, что для данных параметров системы учёт влияния неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника привёл к снижению значения первой собственной частоты системы на 10 % в случае распределения ^(х), на 7 % - в случае распределения ^(х) по отношению к случаю с постоянным коэффициентом жёсткости подшипника ^(х).
Заключение
В работе представлена новая методика расчёта собственной частоты поперечных колебаний гребного вала, в которой учтено влияние неоднородности распределения коэффициента жёсткости дейдвудного подшипника. Полученные результаты позволяют глубже изучить поперечные колебания гребного вала и являются основой для повышения его долговечности и надёжности. Представленная методика вычисления критических частот вращения вала может быть применена для расчёта различных инженерных систем, имеющих в своём составе пару трения «вал - подшипник» скольжения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чура М. Н., Файвисович А. В. Эксплуатационные повреждения гребных валов // Транспортное дело России. 2011. № 11. С. 110-112.
2. Мамонтов В. А., Рубан А. Р., Куличкин Н. В., Халявкин А. А. Расчёт поперечных колебаний вало-проводов судов с учётом длины и жёсткости дейдвудных подшипников // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2010. № 2. С. 30-33.
3. Кушнер Г. А., Мамонтов В. А., Халявкин А. А. Исследование изменений формы и коэффициента жёсткости моделей дейдвудных подшипников из капролона // Вестн. Гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2015. Вып. 6 (34). С. 151-157.
4. Быков Д. Л., Пелешко В. А. Определяющие соотношения деформирования и разрушения наполненных полимерных материалов в процессах преобладающего осевого растяжения в различных барометрических условиях // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2008. № 6. С. 40-65.
5. Халявкин А. А., Мамонтов В. А., Комаров М. П. Влияние коэффициента жёсткости капролона на частоту собственных колебаний валопроводов судов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. 2012. № 2. С. 45-50.
6. Галёркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестн. инженеров. 1915. Т. 1. № 19. С. 897-908.
7. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1962. 709 с.
8. Коваленко А. Д. Развитие теории гипергеометрических функций в связи с задачами об упругом равновесии пластин и оболочек // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. № 4. С. 472-509.
9. Кушнер Г. А., Мамонтов В. А., Халявкин А. А., Шахов В. В. Методика расчёта поперечных колебаний гребного вала с учётом вращения // Вестн. Волж. гос. академ. водн. трансп. 2016. Вып. 49. С. 122-129.
Статья поступила в редакцию 15.11.2018
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Кушнер Гурий Алексеевич — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; ассистент кафедры судостроения и энергетических комплексов морской техники; guriy.kushner@mail.ru.
Мамонтов Виктор Андреевич — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, доцент; профессор кафедры судостроения и энергетических комплексов морской техники; guriy.kushner@mail.ru.
INFLUENCE OF INCONSTANT DISTRIBUTION OF DEADWOOD BEARING STIFFNESS COEFFICIENTON NATURAL FREQUENCY OF THE SHAFT TRANSVERSE VIBRATIONS
G. A. Kushner, V. A. Mamontov
Astrakhan State Technical University, Astrakhan, Russian Federation
Abstract. One of the most significant factors affecting the natural frequency of transverse vibrations of shaft-slide bearing systems is the stiffness coefficient of the slide bearing. The need to consider the influence of heterogeneity of stiffness coefficient of the bearing on its natural frequency is caused by the fact that when the bearing is worn, the modulus of longitudinal elasticity of the material changes, and since the bearing wears unevenly, the non-uniform distribution of the stiffness coefficient occurs. The problem of determining the natural frequency of transverse vibrations of a ship propeller shaft based on the foundation with a variable stiffness coefficient along the length has been studied. The differential equation of the propeller shaft vibrations written taking into account the stiffness coefficient variable along the shaft length is considered. It has been noted that, in the general case, this equation is a fourth-order partial differential equation and cannot be integrated in quadratures for an arbitrary stiffness distribution function along the shaft length. A numerical-analytical method for determining the natural frequency of a system based on approximation of the stiffness distribution function by a piecewise-linear function is proposed. The method is applied to calculate the natural frequencies of the pipeline section taking into account the functions describing the change in the stiffness coefficient. The proposed method allows to consider the section of the shafting enclosed in the stern bearing, subject to the non-uniform distribution of the stiffness coefficient of the bearing, and is the basis for improving the accuracy of finding the true natural frequency of transverse vibrations of the shafting.
Key words: ship shafting, stern tube bearing, stiffness coefficient, transverse vibrations, natural frequencies.
For citation: Kushner G. A., Mamontov V. A. Influence of inconstant distribution of deadwood bearing stiffness coefficient on natural frequency of the shaft transverse vibrations. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Marine Engineering and Technologies. 2019;1:89-96. (In Russ.) DOI: 10.24143/2073-1574-2019-1-89-96.
REFERENCES
1. Chura M. N., Faivisovich A. V. Ekspluatatsionnye povrezhdeniia grebnykh valov [Operational damages of propeller shafts]. Transportnoe delo Rossii, 2011, no. 11, pp. 110-112.
2. Mamontov V. A., Ruban A. R., Kulichkin N. V., Khaliavkin A. A. Raschet poperechnykh kolebanii valoprovodov sudov s uchetom dliny i zhestkosti deidvudnykh podshipnikov [Analysis of transverse vibrations of ship shafting taking into account the length and stiffness of stern bearings]. Vestnik Astrakhanskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2010, no. 2, pp. 30-33.
3. Kushner G. A., Mamontov V. A., Khaliavkin A. A. Issledovanie izmenenii formy i koeffitsienta zhestkosti modelei deidvudnykh podshipnikov iz kaprolona [Studies of shape and stiffness coefficient of caprolon models of stern bearings]. Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2015, iss. 6 (34), pp. 151-157.
4. Bykov D. L., Peleshko V. A. Opredeliaiushchie sootnosheniia deformirovaniia i razrusheniia napolnen-nykh polimernykh materialov v protsessakh preobladaiushchego osevogo rastiazheniia v razlichnykh baro-metricheskikh usloviiakh [Defining relations of distorting and destroying of filled polymer materials in prevalent axial deformation processes in different barometric consitions]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2008, no. 6, pp. 40-65.
5. Khaliavkin A. A., Mamontov V. A., Komarov M. P. Vliianie koeffitsienta zhestkosti kaprolona na chastotu sobstvennykh kolebanii valoprovodov sudov [Influencing of caprolon stiffness coefficient on frequency of natural vibrations of ship shafting]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Morskaia tekhnika i tekhnologiia, 2012, no. 2, pp. 45-50.
6. Galerkin B. G. Sterzhni i plastinki. Riady v nekotorykh voprosakh uprugogo ravnovesiia sterzhnei i plas-tinok [Bars and plates. Rows in certain questions of elastic equilibrium of bars and plates]. Vestnik inzhenerov, 1915, vol. 1, no. 19, pp. 897-908.
7. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximation methods of higher analysis]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoi literatury, 1962. 709 p.
8. Kovalenko A. D. Razvitie teorii gipergeometricheskikh funktsii v sviazi s zadachami ob uprugom ravnovesii plastin i obolochek [Developing theory of hyper geometric functions in relation to problems of elastic equilibrium of plates and shells]. Prikladnaia matematika i mekhanika, 1967, vol. 31, no. 4, pp. 472-509.
9. Kushner G. A., Mamontov V. A., Khaliavkin A. A., Shakhov V. V. Metodika rascheta poperechnykh kole-banii grebnogo vala s uchetom vrashcheniia [Methods of analysis of transverse vibrations of ship shafting subject to its rotation]. Vestnik Volzhskoi gosudarstvennoi akademii vodnogo transporta, 2016, iss. 49, pp. 122-129.
The article submitted to the editors 15.11.2018
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Kushner Guriy Alekseevich — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Assistant of the Department of Shipbuilding and Power Complexes of Marine Engineering Equipment; guriy.kushner@mail.ru.
Mamontov Victor Andreevich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor; Professor of the Department of Shipbuilding and Power Complexes of Marine Facilities; guriy.kushner@mail.ru.
