Влияние моделей трения на динамические и статические характеристики калибровочного гироскопического стенда Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.38

Ю.В. Чеботаревский, П.К. Плотников, Ю.А. Захаров, Д.М. Калихман, А.В. Полушкин

ВЛИЯНИЕ МОДЕЛЕЙ ТРЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЛИБРОВОЧНОГО ГИРОСКОПИЧЕСКОГО СТЕНДА

Рассматривается влияние выбора моделей трения на анализ характеристик калибровочного гироскопического стенда, представляющего собой сложную электромеханическую систему в виде одноосного гиростабилиза-тора. Произведена оценка влияния трения на точность калибровочного гироскопического стенда.

Показано, что применение классической модели Амонтона - Кулона в дифференциальных уравнениях приводит к полному срыву вынужденных колебаний, начиная с некоторой частоты, пропорциональной амплитуде колебаний. Применение модели, учитывающей эффект явления предварительного смещения, ограничивает проявление срыва и дает АЧХ, практически идентичную экспериментальной. При этом наблюдается второй резонансный пик, существенно проявляющийся при малых амплитудах задаваемых колебаний.

На основе анализа А ЧХ возможна идентификация параметров модели трения и компенсация влияния трения для повышения точности работы.

Y.V. Chebotarevsky, P.K. Plotnikov, J.A. Zaharov, D.M. Kalihman, A.V. Polushkin

FRICTION MODELS INFLUENCE ON GAUGE GYROSCOPIC STAND DYNAMIC

AND STATIC CHARACTERISTICS

Friction models choice influence on the analysis of characteristics of the gauge gyroscopic stand representing complex electromechanical system in the form of the monobasic gyrostabilizer is considered here. The estimation of influence of friction on accuracy of the gauge gyroscopic stand is made. It is shown that application of classical model Amonton - Coulomb in the differential equations leads to full failure of the compelled fluctuations, since some frequency proportional to amplitude of fluctuations. Application of the model considering effect of the phenomenon of preliminary displacement, limits display of failure and gives AFH, practically identical experimental. Thus the second resonant peak essentially shown at small amplitudes of set fluctuations is observed in the article. The estimation of influence offriction on accuracy of the gauge gyroscopic stand is made. On the basis of analysis AFH identification of parameters of model of friction and indemnification agency of friction for increase of accuracy of work is possible.

1. Схема и дифференциальные уравнения движения стенда

Объектом исследования является калибровочный гироскопический стенд (КГС), представленный на рис. 1 [1].

Рис. 1. Функционально-кинематическая схема калибровочного гироскопического стенда

На схеме КГС показан одноосный калибровочный стенд для «самоконтроля» гироскопических, в том числе поплавковых датчиков угловых скоростей (ДУС), который представляет собой схему, защищенную патентом № 2044274 и рассмотренную в работе [1]. Испытуемый поплавковый ДУС 1 одновременно является и чувствительным элементом КГС. Стенд имеет двухконтурную обратную связь с управлением двигателя по задаваемой угловой скорости. Задающее устройство 2 подает на вход сумматора 3 напряжение Цзад, пропорциональное задаваемой угловой скорости, в сумматоре происходит сравнение задающего напряжения с напряжением, снимаемым с нагрузочного сопротивления цепи обратной связи ДУС иа, которое пропорционально угловой скорости вращения наружной рамы 4 КГС. Двигатель 5 управляется усиленным и преобразованным разностным сигналом Аи=изад-иа, чем обеспечивается равенство заданного и фактического значений угловой скорости вращения наружной рамы 4. Задающее устройство и измерительная система могут быть выполнены в виде единого вычислительного комплекса. Калибровка статической характеристики ДУС в процессе его «самоконтроля» осуществляется измерительной системой путем сопоставления информации, считываемой в цепи обратной связи ДУС, с информацией датчика угла 6 поворота наружной рамы. На рис. 1 представлены усилитель ДУСа 7 и система управления 8 двигателем стабилизации. На рис. 2 представлены координатные трехгранники и их повороты.

Дифференциальные линеаризованные уравнения движения КГС при конечном угле поворота а и малом угле Р имеют вид:

54

4a + na<& + Я(3 + Мдеоо _ Мтх ;

Ipp + «р(3 - Ha + Мдм _ Hwx; ()

М дм _ Кдм 21 1дм 21 ; (2)

= U sin j. (

Здесь Мдвоо - момент двигателя стабилизации; Мдм - момент обратной связи ДУСа; ¡дм21 - ток обратной связи; Iá, Ip - осевые моменты инерции рамы с закрепленными элементами КГС вокруг оси OX стабилизации и вокруг оси Oy поплавкового гироузла ДУСа; ná, np - коэффициенты демпфирования вокруг осей OX и Oy соответственно; МТХ - момент сил трения вокруг оси стабилизации КГС. Именно этот момент оказывает наибольшее влияние на возникновение погрешности в выработке заданного угла a (угловой скорости á) поворота платформы КГС. В данной работе будет задана математическая модель сил трения МТХ в виде модели Кулонова трения, а также модели с предварительным смещением трения для изучения влияния их на статические и динамические характеристики КГС.

Рис. 2. Схемы координатных трехгранников и углов поворотов КГС. Здесь ОХпХ - географический трехгранник, ось ОХ направлена по вертикали вверх; ось ОХ - на север; и - угловая скорость вращения Земли; ф - широта моста; R - радиус Земли; а - угол поворота платформы КГС с закрепленными на ней испытуемым прибором (ИП) (ВОГ, ДНГ, ...) и ДУСом, входящим в состав КГС; Н - кинетический момент ДУСа; р - угол поворота поплавкового гироузла ДУСа относительно нулевого положения

Математические модели дляМдвоо иМдм синтезированы на ПО «Корпус» и имеют вид [1]:

М (s) _к 1 (т> + № +1) R (s)'

p s (T3s + 1)(T4s + 1)(T5s +1)P (3)

Kp _ Кду21КуосKдм21 ;

Ws) _ Kc P(s);

5 (T3s + 1)(T4s +1) (T5s +1)'v/ (4)

Kпс = Кду 21Куос ;

мо (,) = к 1 (7'5 +1)(/2^+1) Г11 (75±№±1)р(,).

^ а 5 (Г^ + 1) {ТА8 + 1)(Т55 + 1) 15 0 (Т,5 + 1) (Г95 + 1) ^ (5)

Ка = Кду21КуосКоых21Мстоо ■

Здесь Кр, Ка - коэффициенты передачи контура обратной связи ДУСа и системы стабилизации КГС соответственно; Кду 21, Куос, Кдм 21 - коэффициенты передачи датчика угла, усилителя обратной связи и датчика момента ДУСа; Квых 21, Кстоо - коэффициенты передачи согласующего устройства и силовой части системы стабилизации КГС; Т (/=1, ..., 9) - постоянные

времени; 5 = —— символ дифференцирования.

й г

Заданная угловая скорость поворота платформы с испытуемым прибором определяется из статического режима для (1)-(5) соотношениями:

Ца = Кеых 21/дм21 ;

и = К ш • К = НКв"х21 (6)

и зад КмшХзад ; Км к '

Кдм21

где Км - масштабный коэффициент, переводящий заданное напряжение изад (рис. 1) в заданную угловую скорость; Квых 21 - коэффициент передачи звена на входе сумматора 3. В этом режиме имеет место:

мвоо.(5)=к,Щ^.Г11 +1)(Т5+1)РС)-

5 (T3s +1) (T4s +1) (T5s +1) I s 0 (T8s +1) (T9s +1) K (T6 s + 1)(T7 s +П ..

__стоо ^ 6_7_—T! fc^

s (T8 s + 1)(T9 s +1) 3aá

(7)

где Кстоо - коэффициент передачи силовой части системы стабилизации. В статическом режиме разность напряжений DU для ДУСа Ua и заданного изад равна

DU = Uзад - Ua;

U _ K , . , _H (w x +á) (8)

U a Kвых2Гдм21; 'дм21 к

Кдм21

и должна за счет работы системы стабилизации стать равной нулю:

DU _ 0; Ua_ Uad . (9)

Тогда будем иметь с учетом (6):

H (wx+á) HK ^

к У x_/ _ ^вых21 w •

вых21 ^ ^ Хзад ; /1 /л\

K дм 21 кдм21 (10)

á _ Wt?ad -wx _®^ад - U sin j.

Эту угловую скорость поворота платформы с ИП обозначим азад:

á _á зад _ W Хзад - U Sin j ' (11)

и она является выходной для КГС. Приращения интеграла от этой угловой скорости измеряются датчиком угла 6 (рис. 1) или же áзад измеряется ДУС 1.

2. Математические модели силы трения

А. Модель момента сил трения по Амонтону - Кулону [2]

56

Мтх =

-м°к при a > о [- м°, м° ] при a = о м°к при a > о

(12)

Б. Модель силы Кулонова трения [3], в которой описаны переходы от статического трения Мс к динамическому Мк и наоборот [3];

- Мтх = Мк + М

мк = M°sign a мс = м* (i-(sign a)2)

м* = 0,5м:(1 -(signмI)-м°с))+ \ . (13)

+ 0,5м°с (1 + (sign (м: |) -м°с))signчм[

|+1 a > о

sign a = i о a = о

[-1 (X < о

мо > мо

Здесь МО,МО - модули статического и динамического моментов трения; М™ - моменты внешних сил, развиваемых вокруг оси стабилизации платформы; М* - промежуточная переменная; МТХ - текущее значение момента Кулонова трения.

В (12) неопределенным является описание момента статического трения, в то время как в модели (13) это описание определено однозначно.

В. Модели моментов сил трения с учетом эффекта предварительного смещения приведены в [3, 4, 5]. Удобной для инженерных приложений является модель, приведенная в [5] и имеющая вид:

X = x„ -

t . 2

xo (1 + sign (xo X)) + X - X^sign (X)

2

(1 + sign (| X|-p));

p = (n - p)t-1 (1 - sign (|X - p)) - (p - Хо)t-1 (1 + sign (|X| - p)); t -1

n = (X2 - n)^ (1 - sign (|X - p)) - (n - Хо) t-1 (1 + sign (IX - p)); мтх = - KT X + gX3,

(14)

где X - предварительное смещение; р, V - дополнительные функции; т, Т - постоянные времени; Хо, Х¥ - максимальное и устанавливающееся значения зоны предварительного смещения; а - скорость тела. В нашем случае имеем С0 = а, а переменные X, р, V имеют смысл параметров углового движения, где КТ и у имеют размерность коэффициентов жесткости для линейного и нелинейного членов [6, 7]. В [8, 9] приведены модели трения с учетом нормальной упругой деформации в точках контакта, но без учета эффекта предварительного смещения.

3. Статический режим

Из уравнений (1)-(4) и (7), (12) для установившегося режима при выполнении условий асимптотической устойчивости движений КГС имеем

= cKbH + K^_ HKx s HKx

м

(15)

t

A

где H - оценка кинетического момента при пересчете U3a) в га^ж)-Нетрудно видеть, что в случае

U3ad = const; MTX = Ml = const;

() XKp Hw „. t (16)

a(s) = —--^^ = const,

( ) HKa s '

т.е. в статическом режиме постоянный момент Кулонова трения не влияет на угловую скорость a = a(U3ad). Это свидетельствует о высокой точности КГС в этом режиме. В силу вращения наружной рамы на неограниченный угол М0 практического влияния не оказывает. Следовательно, здесь для КГС вполне достаточно задать модель (12). Иначе обстоит дело при задании гармонического закона изменения U3a). В этом случае знак a = a(U3ad) изменяется и меняется момент сил Кулонова трения. В этом случае не достаточно использовать модель трения (12), так как время пребывания КГС в режиме a = 0 очень неопределенно. Исследование динамики КГС произвести сложно в силу нелинейности характеристики момента силы трения и высокого порядка системы нелинейных дифференциальных уравнений движения. По этой причине в данной работе динамические свойства КГС определены методом математического моделирования.

А

4. Динамический режим. Уравнения и соотношения для математического моделирования

На основе системы дифференциальных уравнений движения (1)-(4), (7), в которых в силу малости положено Г5=0, имеем дифференциальные уравнения в форме Коши:

58

У =

Уо = я;

(-М7Х sign (У) - nayx - kay7 - Hy3 - kTyw); .y2 = Уз;

. = (НУ1 - np Уз- kp У4).

y3 т ;

У4 = У 5 + (T1 + T2) Уб + T1T2

[ У2 - У5 - (T3 + T4) Уб ].

TT

У5 = Уб.

У = [У2- У5 - (T3 + T4)Уб ]. Уб _

TT

T3T4

У 7 = У 8 + (?б + T7) У9 + T6T7

K,

У13 + У4 - У8 - (T8 + T9) У9

TT

T8T9

У 8 = У9;

к

У13 + У4 - У8 - (T8 + T9) У9

У&9 =

У&1о = У1

TT

T8T9

¡"У(1 + sign(УУю^О + У10 -10sign (У10)

(1 + sign (| У 10 - Уи));

Уи =(У12- У11)t- (1 - sign (lУ1О - Уи))-( У11-1 о) t- (1+sign (lУ1О - Уи)); t -

У12 =(12- У12 ) ^ (1 - sign (lУ1О- Уи))-( У12- ^о) t-1 (1+sign (lУ101- Уи));

У13 = Uзад ;

Уо =a; У1 =d; У2 =P; У3 = p; У4 = idM ; У7 = Мдвоо •

(17)

Численные значения параметров приведены ниже:

cH • см

cH • см

КР = 7,99 405-——; Ka = 4,99 409-——; Ia = 85; Ip = 0,286cH • см • с2;

рад • с

рад • с

T1 = о,о278 c; T2 = 0,00912 c;

T5 = 0,13б•Ю-3 c; T5 = 0,55•Ю-2 c;

T8 = 0,454•Ю-3 c; TQ = 0,124•Ю-3 c;

(18)

T3 = 0,587•Ю-3 c; T7 = 0,118•Ю-2 c; H = б5 cH• cм• c; T4 = 0,585 •10-3c; nd = 40 cH• cм• c; np = 35 cH• cм• c;

изад = 1 В; 0,1 В; 10 В .

5. Результаты математического моделирования

С помощью программы Matchad было произведено математическое моделирование статического и динамического режимов работы КГС для следующих вариантов задания угловой ьшсзад скорости:

Р

k

Р

k

Р

-1

t

2

Uзад =U0 = const; ишд = Ux sin(<ai + y) .

зад

(19)

В уравнениях (17) использованы как модель Кулонова динамического трения M0 sign а, т.е. модель (12) без учета компонента статического трения, так и модель (14). Моделировались переходные и установившиеся процессы, позволившие оценить статические и динамические характеристики КГС при варьировании величин напряжений U0 и Ui, а также частот w колебаний. Статические характеристики снимались при номинальных значениях параметров КГС, представленных в выражениях (2).

На рис. 3 представлены переходные процессы при отсутствии момента сил трения по осям стабилизации и прецессии

Нетрудно видеть, что перерегулирование в системе (2) по а составляет величину около 1,3, по току 1дм 21 около 1,38, времена переходных процессов 0,18 с и 0,21 с соответственно. Значение а после окончания переходного процесса нарастает с постоянной скоростью, так что при изад=10 В и ¿=0,3 с составляет 0,03 рад; при изад =0,2 В и ¿=1,4 с составляет

При этом же воздействии изад=10 В и при учете модели трения по уравнениям (13), при М°=60 сНсм, М0 =50 сНсм получены такие же значения параметров переходного процесса. При отсутствии трения имеем а (0.3)=0,1 рад/с, а(0.3)=0,03 рад, 1=0,08 А. Это означает, что при задании большой скорости трение не оказывает практического влияния на переходные процессы и статическую характеристику.

При наличии момента сил трения, определяемого по уравнению (12) и (13) при М°=60 сН-см, М0 =50 сН-см и изад=0,2 В, динамические параметры переходного процесса не изменяются, но имеет место а(0,30)=0,0005 рад вместо идеального а(0,30)=0,0006 рад (рис. 4).

a = a (иад = io в,t) .

величину а(1,4)=0,262 10 2 рад.

60

-

Л

/ \ k^_

i f-

1 - У

t

f t

D 0.05 О.) D.1S 0 2 0 25

t, c

Рис. 3

а, радС; а, рад; /, A

0.003i

о.ооз

1 r / / /' I \ v \ \ L,. — -— . _ _ _ _

/ ) ¡1

n- I ( 1

Jf V Q<

V

0 OjOJ 0.1 0.1 j 0.2 0.33

t, c

Рис. 4

Наблюдается застой по а до £»0,04 с и до £»0,045 c по а, вызванные моментом силы Кулонова трения ^а(0,3) = 0,00195 радj. Перерегулирование по а равно 1,25.

При модели трения по формуле (12) имеем существенные искажения для синусоидального воздействия U3=0,2 sin 2 pf tпри М°=50 сНсм (рис. 5).

а, 1С; а, рад; i, A

0 i n ij:

0 ОЙ:

0 441

-о 001

-о 00?

-О OOJ

Í

f Í A h

/ f Oí...- ■ 1 I.4'"

• *M.__ / !

\j I % li /I / r"

0 0 - Ú .:■: 1 1 Рис. 5

t, c

При f■=5 Гц срыва нет, но Да =0,01 рад/с (периодическая нелинейная функция)

н

5 -10-3

Приf=5 Гц, Ui=10 В - функция а почти линейная, Да =5-10 3 рад/с (а0=0,12 рад/с)

~ Да0

Д __ампл

а а0

W Л

0,12

-•100 @ 5% .

При U3a=10 Вf=1 Гц Да0=0,01 рад/с а0а =0,1 рад/с 5а= 0,01-100 @ 10% .

0,1

При U¡ =2 В7=1 Гц Да°=5-10-3 рад/с^а=25%.

При иа =0,2 В у=1 Гц 5а=90%.

Нетрудно видеть нелинейный характер колебаний КГС и наличие в нем погрешностей от 5 до 90%.

62

На рис. 6, 7 представлены семейства амплитудно-частотных характеристик КГС, соответствующих гармоническим задающим воздействиям различных амплитуд и частот, где ыХзад=А-ъ:т 2 р/в виде АЧХ нелинейной системы с разными моделями трения, но с едиными параметрами изменения амплитуд и частот, а именно - верхний ряд для момента трения МТХ=50 сН-см, нижний график дляМТХ=10 сН-см.

м1чзд=0,01

Ln А

з

-2

-Л

-i

0,1

\ 1

V \

\ V-

\ ч \ \ \ \ i ; \ \ ' -

■ , - t \ ■, 1 ; i

10

Гц

100

\

Ln А

-5

0,1

/ У Л

\\

----- ll N V"4 \ \ \ ^

f - " ч ■ \ ■ X \ ^ \ \ 1

i ■1 \ \ \

10

Гц

100

Рис. 6

1

1

Ln А

-5

Гц

Рис. 7

График рис. 6 отображает влияние модели Амонтона - Кулона (12) или (13), а график рис. 7 - модели с предварительным смещением (14).

По амплитудам задаваемые колебания варьировались от 0,04 до 0,0006 рад/с с логарифмическим шагом - делителем =1,6 (5 точек на декаду). По частотам задаваемые колебания варьировались от 0,1 до 100 Гц с логарифмическим шагом множителем =1,26 (10 точек на декаду). Утолщенные кривые соответствуют амплитудам ^^=0,04; 0,01 (рад/с). Из анализа графиков видно, что модель Амонтона - Кулона дает резкий срыв колебаний малых ам-

плитуд меньше 0,01 рад/с для моментаМТХ=50 сНсм, и пропорционально уменьшенную границу меньше 0,0025 рад/с для МТх=10 сН-см.

Для уменьшающихся амплитуд колебаний граница срыва пропорционально уменьшается в сторону уменьшения частоты. Сравнение графиков рис. 6 и 7 свидетельствует о том, что при учете эффекта предварительного смещения (рис. 7) появляется второй резонансный пик. Практически он проявляется при малых значениях амплитуд задаваемой угловой скорости качки.

Графики систем (рис. 8) содержат АЧХ экспериментального КГС (кривая 1) и АЧХ, полученную при математическом моделировании систем (17)-(14) - кривая 2.

2,5

1 ,5

0,5

2

_ \ (эк спериме HI)

15

20

25

30

f, Гц

Рис. 8

Из сравнения АЧХ экспериментального КГС и моделей (1), (3) для математического моделирования заключаем о достаточной близости кривых 1 и 2 (рис. 8). Следовательно, математическая модель КГС (1) адекватна физической и она, в основном, использована при моделировании вместе с моделью трения (14).

Выводы

1. Построены нелинейные дифференциальные уравнения движения гироскопического калибровочного управляемого стенда путем введения в них моментов силы трения в виде модели Амонтона - Кулона [2, 3, 4],а также с учетом эффекта предварительного смещения [3, 5].

2. Показано, что в статическом режиме (а =соп81;) в КГС момент сил трения практически не влияет на точность заданной от эталонного напряжения изад угловой скорости поворота наружной рамы с испытуемым гироприбором, что следует из формулы

а(.) = Х Кр И / ,?ИКа+ Кр Мтх (з)/НКа .

3. Зафиксировано существенное влияние МТХ на точность задания угловой скорости а в режиме гармонических колебаний. В КГС при больших оэхзад(Ню§зад>>М°к) АЧХ близки к линейным. При Нюхзад<(0,1...0,3) М° наблюдаются нелинейные колебания, характеризующиеся:

- искажением формы выходного сигнала а, приводящим к погрешностям задания угловой скорости а до (5. 50)% при ю<( 1.3) Гц; и срывом колебаний КГС при частотах >5 Гц;

- появлением второго резонансного пика на АЧХ КГС, вызванного упругостью момента силы трения при учете эффекта предварительного смещения.

4. Из анализа статического и динамического режимов по дифференциальным уравнениям движения КГС с учетом различных моделей сил трения следует, что учет предварительного смещения обеспечивает снижение погрешности определения зон застоя КГС и, как следствие, повышение прогноза его точности.

Существенное реальное повышение точности может быть обеспечено применением в КГС компьютерной системы идентификации момента силы трения, в первую очередь для модели трения с учетом эффекта предварительного смещения, с последующей компенсацией его влияния через посредство системы управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Калихман Д.М. Основы проектирования управляемых оснований с инерциальными чувствительными элементами для контроля гироскопических приборов / Д.М. Калихман. Саратов: СГТУ, 2001.335 с.

2. Пэнлеве П. Лекции о трении / П. Пэнлеве. М.: Гостехиздат, 1954. 31б с.

3. Плотников П.К. Модели сил трения одномерных кинематических пар и свойства движений твердых тел / П.К. Плотников // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 4. С. бб-80.

4. Bliman P.A. Modeles de frottements secs pour les applications embarques. Applications au contact pneu / sol. / P.A. Bliman, M. Sorine, A. Dauron // Actes des Journees Europeens de Frottement JEF95, Villeneuve d' Ascq (France), 12-13 Decembre 1995. Р. 33-42.

5. Захаров Ю.А. Модель силы трения и её приложение к решению некоторых задач механики / Ю.А. Захаров, П.К. Плотников // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. № б. С. 5б-б5.

6. Крагельский И.В. Основы расчетов на трение и износ / И.В. Крагельский, М.Н. До-бычин, В.С. Комбалов. М.: Машиностроение, 1977. 527 с.

7. Кузнецов В.Д. Физика твердого тела / В.Д. Кузнецов. Томск: Полиграфиздат, 1974. Т. 4. 542 с.

8. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел / В.Ф. Журавлев // Прикладная математика и механика. 1998. Т. б2. Вып. 5. С. 7б2-7б7.

9. Журавлев В.Ф. О динамике волчка Томсона(тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением / В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № б.С. 157-1б8.

Чеботаревский Юрий Викторович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета

Плотников Петр Колестратович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Приборостроение» Саратовского государственного технического университета

Захаров Юрий Анатольевич -

ассистент кафедры «Приборостроение»

Саратовского государственного технического университета

Калихман Дмитрий Михайлович -

доктор технических наук, профессор, начальник отдела ПО «Корпус», г. Саратов

Полушкин Алексей Викторович -

ведущий инженер ПО «Корпус», г. Саратов

бб